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Modern Physics 现代物理, 2012, 2, 77-81
http://dx.doi.org/10.12677/mp.2012.24013 Published Online November 2012 (http://www.hanspub.org/journal/mp.html)
Theoretical Study of Energy Spectrum Condition Number of
n-Dimension Coupled Harmonic Oscillator*
Ao Hu#, Zhicheng Zhong#, Shixue Ding
Physics & Electronics Engineering Department, Hubei University of Art and Science, Xiangyang
Email: #huaomath@163.com, #zczhongf@163.com
Received: Jul. 2nd, 2012; revised: Aug. 6th, 2012; accepted: Aug. 30th, 2012
Abstract: This paper according to the matrix form of Schrödinger equation of n-dimension coupled harmonic oscillator,
on the basis of representation theory, the element of matrix Hnn of Hamiltonian operator ˆ
H
is derived. Through con-
structing one of complete normed linear space, the Hnn is proved to be boundedness in this space by using functional
theory, and eigenvalue E of Hamiltonian operator is obtained; and then the author get the spectrum condition number
formula of E that is made use of matrix theory. From this expressions, the formula of operator norm of energy E and
harmonic oscillator’s state is acquired. Researching the relationship between spectrum condition number of E and
operator norm, the supremum and infimum of E operator norm is estimated, the reason of numerical size of energy
spectrum condition number is presented. It turned out that: when the approximately range of spectrum condition number
and operator norm is achieved, under the representation theory frame, the difference degree between two states of har-
monic oscillator are estimated, which in terms of the exactly value of spectrum condition number, and analysis the fea-
ture states of harmonic oscillator.

Keywords: n-Dimension Coupling Harmonic Oscillator; Spectrum Condition Number; Operator Norm
n维耦合谐振子的能量谱条件数理论研究*
胡 奥#,钟志成#,丁世学
湖北文理学院,物理与电子工程学院,襄阳
Email: #huaomath@163.com, #zczhongf@163.com
收稿日期:2012 年7月2日;修回日期:2012年8月6日;录用日期:2012 年8月30 日
摘 要:本文根据 n维耦合谐振子矩阵形式的薛定谔(Schrödinger)方程,在表象理论的基础上,得到了哈密顿
(Hamiltonian)算子 ˆ
H
的矩阵元Hnn。通过构建一类完备的赋范线性空间,由泛函理论,证明了Hnn 在此空间中是
有界算子,同时求得哈密顿算子的本征值 E;进而利用矩阵理论得到 E的谱条件数公式。从这个表达式出发,
得到了能量 E的算子范数与谐振子的状态之间的关系式;研究了E的谱条件数与算子范数之间的关系,并估
算E的算子范数上、下界的值,给出了能量谱条件数值大小的原因。结果表明:求出谱条件数与算子范数的大
致范围,就可以根据谱条件数的准确值,在表象理论框架内,估测谐振子两个状态之间的差异程度,分析谐振
子的状态特征。

关键词:n维耦合谐振子;谱条件数;算子范数
1. 引言
物理学的诸多领域都涉及到谐振子的问题。例如
分子振动、原子核壳层模型、晶格振动等问题都有赖
于耦合谐振子的量子求解;针对上述问题,普遍的方
法是求解不同条件下谐振子 Schrödinger 方程的波函
数与本征值。文献[1]给出了 n维耦合谐振子的求解。
*资助信息:湖北文理学院大学生科研项目(2011DXS097)。
#通讯作者。
Copyright © 2012 Hanspub 77
n维耦合谐振子的能量谱条件数理论研究
n维谐振子的定态 Schrödinger 方程:
ˆ
H
E  (
22
22
1
ˆ
22
n
nj
j
m
H
x
m


 
) (1)
它的波函数 ,可由基函数
构成,计算式中径
向函数 与的结果得

,

r
 

12 1
, ,
n
rRrY


 
n
R

12 1
, , ,
n
Y
 



,
n

 

22 1
22 22
22 , ,
2
rl
nr r
n
RrNnlerFnlr









12 1
,,,
n
Y
 


n
解的形式

12 211
1
,,,, ,
1
nnkk k
k
Y
 

 





。
同时得出谐振子的本征值
2
Nn
EN





 (2)
从结果看到,n维谐振子的波函数表达式十分复
杂,不便直观地从函数图像来考察谐振子的概率分布
情况。然而我们可以利用(2)式谐振子能量的简洁表达
式,从另一角度来研究谐振子能量算子的谱。
文献[2-4] 用二次型方法计算 n维谐振子的本征
值,以及 Hamiltonian 量对角化的标准型。以上文献
用经典方法求出的结果,并不能深层次地了解谐振子
不同状态差异的原由;因为谐振子的能量值是由
Hamiltonian算子 ˆ
H
的扰动性引起的,扰动后算子的
谱会发生变化,这些变化会对谐振子状态产生怎样的
影响?
此类问题不仅仅是算子理论中一类有意义的数
学问题,重要的是它有深刻的物理背景。本文根据表
象理论,列出n维谐振子Hamiltonian 算子的矩阵元
Hnn,并证明它在巴拿赫(Banach)空间中的有界性,由
于Hnn 与矩阵E相等,且 E中元素的值都是已知的,
故引出 Banach 空间中能量 E的算子范数,列出能量
的谱条件数公式;推演得到了谐振子能量E的算子范
数与它状态 之间的关系式,并估测算子范数上、下
界的值;利用谱条件数-算子范数不等式,分析谐振
子的状态特性。

2. 构造 Banach 空间中能量 E的算子范数
完备的赋范线性空间称为Banach 空间[5]。先得到
一个完备的线性空间,然后在此空间中将矩阵和向量
赋以范数。
2.1. Schrödinger方程的矩阵形式
在表象理论中[6],波函数 可展开成
 
1
,
n
nn

x
tatu
x,列出算符的矩阵元公式

nn
Η
E

其中 (T 表示转置)(3)

,,

2

nn
T
12 ,
n
aa a
同时列出矩阵形式的 Schrödinger 方程
11
11
222
nn
nn
aa
H
aaH
aaH
 
 
 


 
 
 
 
E

(4)
其中 ,因为
11
22
nn
H
H
H








nn
H
H
在自身表
象中,故它是一个对角矩阵。
2.2. 建立 E的谱条件数与算子范数之间的联系
因为波函数

的本征函数: 与

n
Rr


1

12
, , ,
n
Y

是属于希尔伯特(Hilbert) 空间,它
是一类特殊的赋范空间,记它为 ;对于 ˆ
H
算子有
ˆ
H
E


,所以存在另一空间 ,是ˆ
H
从到
的一种映射,记为 ˆ
H
(→);并且ˆ
H
(→)组成的
集合满足线性运算规则,因此它构成一个线性空间,
可记为 。由于 、都是完备空间,所以 是完
备的线性空间[7,8]。
在中定义一个矩阵 A, ,按某一
法则,存在 A的一个实值函数,记为

jk mn
a
A
A
,并有

12
†
AAA
。†
(
A
表示 A的埃尔米特(Hermite) 共
轭),那么这个空间就是完备的赋范线性空间。
虽然 ˆ
H
是无界算子[9],考虑到实际物理模型,取
nn
H
中的 n为有限大的值,因此 是有限维空间。 ˆ
H
算子是 →的映射,用 nn
H
的范数 nn
H来衡量这
种映射的效果应该是最精确的;ˆ
H
算子对应的本征值
E,在 空间也可以看成一种算子,并且是有界算子。
将(2)式改写为

2
nn
Em m





 (5)
n代表谐振子的维数,m代表所在的能级
(1 ,2 ,m

),并且将 m看作 的函数。由于(4)式
n
E
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78
n维耦合谐振子的能量谱条件数理论研究
左边 nn
H
是一个 n阶矩阵,右边的 E也写成一个n
阶方阵,
n
即
11
22
nn
E
E
E








E (6)
其中
11 22
1,2,,
22
nn
nn
EE Em
2
n


 
 
 
 

将(6)式代入(4)式,可得出
j
jjj
H
E ()。
1 ,2 , ,jn
因为矩阵元 nn
H
是由内积产生的,它的范数
nn
H也可以由内积公式导出,而且nn
H和向量

的范数 满足下列性质[10]

nn nn
HH
即 nn
nn
H
H
 (7)
由于 nn
E
H,可推得 E的范数
E
也满足矩阵范数
的运算法则,用
E
来衡量 ˆ
H
算子的这种映射和
nn
H得到的效果是一致的,并且它将能量值与状态
联系起来,故用矩阵E代替
nn
H
.
由(7)式引出下式[8]
1
max

EE
 (8)
即可引入E的谱条件数,记为

2
cond
E
。由文献[10]
中的定义式:

1
2
cond 

E
EE (9)
之前已经知道 的表达式,所以

2

n
Em

cond
E
的值
可以直接计算得到。
3. 用算子范数估计


2
cond E
根据(9)式的定义,谱条件数就是算子范数中的一
种,因此

2
cond
E
除了可以用 E中的元素计算,还
可以用算子范数来估计,由(9)式
1
1
1
max
min




E
EE E



 (10)
通过 的表达式及范数的定义有

n
Em

2
1
m
kk k
k
Ea


E,
根据不等式性质

2
2
11
1
mm
kk kkk k
kk
Ea Ea
m





两边取自然对数,
 
22
11
1
lnln ln
mm
kk kkk k
kk
Ea Ea
m





,只要求出
的值,

2
1
ln
m
kk k
k
Ea

E

下界范围就能确定。而由
于






*
,
k
xtuxd
k
at


,准确计算此积分较为困
难,因此这里只作估计,(证明见附录 A1)结果得到
m


E

(其中


1
11
2
11
1
1
121
1
m
mm
aa
aamaa n
aa
a





) (11)
同时 E

还存在上界。类似上面的估算过程(证明见
附录 A2),最后计算得
1
2
2
12
mp
p
k
n
k

















E(其中 .
) (12)
1 , 2 ,, km
1p
∴综合可得
1
2
2
12
mp
p
k
n
k
m








 









E
 (13)
4. 结果讨论
本文中 ˆ
H
算子的谱点是由它的本质谱与离散谱
组成的[11,12],E中元素的差异程度是由算子的离散谱
点产生裂变引起的。

2
cond
E
的值反映的正是 E中
元素的相对差异程度,虽然用算子范数估算的值精确
度不高,但它更深层次地反映造成

2
cond
E
值大小不
同的原故。
联系(8)(10)两式,又由算子范数的性质[13]可得
1
2
2
11
max 2
mp
p
k
n
k

















E
,min m


E
1
进一步得
Copyright © 2012 Hanspub 79
n维耦合谐振子的能量谱条件数理论研究
Copyright © 2012 Hanspub
80
参考文献 (References)

1
2
2
1
2
2
mp
p
k
n
k
cond
m







E,其中 .
(14)
1 , 2 ,, kLm
1p
[1] 郁渭铭. N维谐振子和 N维氢原子的联系[J]. 南京师大学报
(自然科学版), 1990, 13(8): 28-34.
[2] 王秀利, 张运海. 利用二次型求解 n模耦合谐振子能量本征
值精确解[J]. 大学物理, 2009, 28(6): 53-56.
[3] 张仲, 卢纪材, 吴献等. 二次型方法求解坐标动量耦合的 n维
谐振子能量本征值[J]. 大学物理, 2011, 30(3): 11-13.
谱条件数的准确值可由(6)、(9)式计算出来,根据
这个值并结合上式,就能考察谐振子的状态 、
维数 n、能级束缚态k、以及参数 p之间的关系。
1,m
aa
[4] 凌瑞良, 冯进, 冯金福. 三维各向异性耦合谐振子体系的量
子化能谱与精确波函数[J]. 物理学报, 2010, 59(12): 8348-
8358.
[5] 张恭庆, 郭懋正. 泛函分析讲义(上册)[M]. 北京: 北京大学
出版社, 1990: 20-67.
用波函数的解析式刻画 n维耦合谐振子状态
是较为困难的。当确定谐振子的维数后,由(14)式可
以更容易地估算出谐振子的低能态 1
a与高能态 m
a之
间的差值;这样一来,在表象理论中分析谐振子的两
个状态 m,就知道谐振子在此能级出现的几率,
对分析有限维Hilbert 空间中谐振子系统有更直观的
物理意义。

1,aa
[6] W. Pauli. General principles of quantum mechanics. Berlin: Springer-
Verlag, 1980: 13-61.
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[11] J. J. Qi, G. S. Xu. On the spectrum of singular Hamiltonian
differential systems. Annual of Differential Equations, 2005,
21(3): 389-396.
5. 致谢 [12] 王忠, 孙炯. J-自共轭微分算子谱的定性分析[J]. 数学进展,
2001, 30(5): 405-413.
感谢湖北文理学院大学生科研项目(2011DXS097)
资助;特别感谢一直指导与帮助我写作的钟老师和丁
老师。
[13] 门少平, 封建湖. 应用泛函分析[M]. 北京: 科学出版社,
2005: 23-94.
[14] 胡克. 解析不等式的若干问题[M]. 武汉: 武汉大学出版社,
2003: 1-37.
n维耦合谐振子的能量谱条件数理论研究
附录 A1
∵
 
22
11
1
lnln ln
mm
kk kkk k
kk
Ea Ea
m




(1)
有
11
2
mm
kk kk
kk
n
Eak a







 (2)
根据谐振子的几率特性,当 k较小时,谐振子出现的
可能性较大;当k较大时,出现的概率小,即 1kk
aa

(k
较大时),假定 ,则(2)式可看作一个等比数
列求和,
1kk
aa
q
11
22
mm
k
k
kk
nn
ka kq

 

 
 

(01) q
令
12
mk
k
n
kq






,直接写出结果

11
2121
1
mm m
qq mqnqq
qq
q





将 代
入
1 , m
m
aqa q


11
11
2
11
1
1
121
1
mm
aa
aamaa n
aa
a





附录 A2
由赫尔德(Hölder)不等式[14]:
11
111
mmm
p
q
pq
jj jj
jjj
ab ab







(11
1
pq

,) 1 , 1pq
∴

11
2
222
111
mmm
∴

11
22
222
11
lnln ln
mmm
1
p
q
pq
kk kkkk
kkk
Ea Ea









(3)
∵2
kk n
Ek





,即
1
122
2
2
11
2
p
p
mm
p
p
kk
kk
n
Ek




 




 







根据闵可夫斯基(Minkowski)不等式:

11
1
nn
rr
rr
jjj j
jj
1
n
r
r
aba b
j

 
 


 

1r

()

∴
11
22
22
11
2
mm
pp
pp
kk
kk
n
Ek



 

 
 


同时利用詹森(Jensen)不等式:
11
11
nn
s
r
sr
jj
jj
aa









其
中 ,
0
j
a1, 2,, jn

, 0rs
∴(3)式变成

11
22
22
11
lnln 2
mm
p
p
kk k
kk
n
Ea k














∴
1
2
2
12
mp
p
k
n
k

















E() (4) 1p
实际上 p为度量空间的维数[13],可以取 。 qm
∴综合上面公式可得
1
2
2
12
mp
p
k
n
k
m








 









E


2
p
q
p
kk kkkk
kkk
Ea Ea





q



。两边取自然
对数
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