 Modern Physics 现代物理, 2012, 2, 77-81 http://dx.doi.org/10.12677/mp.2012.24013 Published Online November 2012 (http://www.hanspub.org/journal/mp.html) Theoretical Study of Energy Spectrum Condition Number of n-Dimension Coupled Harmonic Oscillator* Ao Hu#, Zhicheng Zhong#, Shixue Ding Physics & Electronics Engineering Department, Hubei University of Art and Science, Xiangyang Email: #huaomath@163.com, #zczhongf@163.com Received: Jul. 2nd, 2012; revised: Aug. 6th, 2012; accepted: Aug. 30th, 2012 Abstract: This paper according to the matrix form of Schrödinger equation of n-dimension coupled harmonic oscillator, on the basis of representation theory, the element of matrix Hnn of Hamiltonian operator ˆ H is derived. Through con- structing one of complete normed linear space, the Hnn is proved to be boundedness in this space by using functional theory, and eigenvalue E of Hamiltonian operator is obtained; and then the author get the spectrum condition number formula of E that is made use of matrix theory. From this expressions, the formula of operator norm of energy E and harmonic oscillator’s state is acquired. Researching the relationship between spectrum condition number of E and operator norm, the supremum and infimum of E operator norm is estimated, the reason of numerical size of energy spectrum condition number is presented. It turned out that: when the approximately range of spectrum condition number and operator norm is achieved, under the representation theory frame, the difference degree between two states of har- monic oscillator are estimated, which in terms of the exactly value of spectrum condition number, and analysis the fea- ture states of harmonic oscillator. Keywords: n-Dimension Coupling Harmonic Oscillator; Spectrum Condition Number; Operator Norm n维耦合谐振子的能量谱条件数理论研究* 胡 奥#，钟志成#，丁世学 湖北文理学院，物理与电子工程学院，襄阳 Email: #huaomath@163.com, #zczhongf@163.com 收稿日期：2012 年7月2日；修回日期：2012年8月6日；录用日期：2012 年8月30 日 摘 要：本文根据 n维耦合谐振子矩阵形式的薛定谔(Schrödinger)方程，在表象理论的基础上，得到了哈密顿 (Hamiltonian)算子 ˆ H 的矩阵元Hnn。通过构建一类完备的赋范线性空间，由泛函理论，证明了Hnn 在此空间中是 有界算子，同时求得哈密顿算子的本征值 E；进而利用矩阵理论得到 E的谱条件数公式。从这个表达式出发， 得到了能量 E的算子范数与谐振子的状态之间的关系式；研究了E的谱条件数与算子范数之间的关系，并估 算E的算子范数上、下界的值，给出了能量谱条件数值大小的原因。结果表明：求出谱条件数与算子范数的大 致范围，就可以根据谱条件数的准确值，在表象理论框架内，估测谐振子两个状态之间的差异程度，分析谐振 子的状态特征。 关键词：n维耦合谐振子；谱条件数；算子范数 1. 引言 物理学的诸多领域都涉及到谐振子的问题。例如 分子振动、原子核壳层模型、晶格振动等问题都有赖 于耦合谐振子的量子求解；针对上述问题，普遍的方 法是求解不同条件下谐振子 Schrödinger 方程的波函 数与本征值。文献[1]给出了 n维耦合谐振子的求解。 *资助信息：湖北文理学院大学生科研项目(2011DXS097)。 #通讯作者。 Copyright © 2012 Hanspub 77  n维耦合谐振子的能量谱条件数理论研究 n维谐振子的定态 Schrödinger 方程： ˆ H E ( 22 22 1 ˆ 22 n nj j m H x m ) (1) 它的波函数 ，可由基函数 构成，计算式中径 向函数 与的结果得 , r 12 1 , , n rRrY n R 12 1 , , , n Y , n 22 1 22 22 22 , , 2 rl nr r n RrNnlerFnlr 12 1 ,,, n Y n 解的形式 12 211 1 ,,,, , 1 nnkk k k Y 。 同时得出谐振子的本征值 2 Nn EN (2) 从结果看到，n维谐振子的波函数表达式十分复 杂，不便直观地从函数图像来考察谐振子的概率分布 情况。然而我们可以利用(2)式谐振子能量的简洁表达 式，从另一角度来研究谐振子能量算子的谱。 文献[2-4] 用二次型方法计算 n维谐振子的本征 值，以及 Hamiltonian 量对角化的标准型。以上文献 用经典方法求出的结果，并不能深层次地了解谐振子 不同状态差异的原由；因为谐振子的能量值是由 Hamiltonian算子 ˆ H 的扰动性引起的，扰动后算子的 谱会发生变化，这些变化会对谐振子状态产生怎样的 影响？ 此类问题不仅仅是算子理论中一类有意义的数 学问题，重要的是它有深刻的物理背景。本文根据表 象理论，列出n维谐振子Hamiltonian 算子的矩阵元 Hnn，并证明它在巴拿赫(Banach)空间中的有界性，由 于Hnn 与矩阵E相等，且 E中元素的值都是已知的， 故引出 Banach 空间中能量 E的算子范数，列出能量 的谱条件数公式；推演得到了谐振子能量E的算子范 数与它状态 之间的关系式，并估测算子范数上、下 界的值；利用谱条件数－算子范数不等式，分析谐振 子的状态特性。 2. 构造 Banach 空间中能量 E的算子范数 完备的赋范线性空间称为Banach 空间[5]。先得到 一个完备的线性空间，然后在此空间中将矩阵和向量 赋以范数。 2.1. Schrödinger方程的矩阵形式 在表象理论中[6]，波函数 可展开成 1 , n nn x tatu x，列出算符的矩阵元公式 nn Η E 其中 (T 表示转置)(3) ,, 2 nn T 12 , n aa a 同时列出矩阵形式的 Schrödinger 方程 11 11 222 nn nn aa H aaH aaH E (4) 其中 ，因为 11 22 nn H H H nn H H 在自身表 象中，故它是一个对角矩阵。 2.2. 建立 E的谱条件数与算子范数之间的联系 因为波函数 的本征函数： 与 n Rr 1 12 , , , n Y 是属于希尔伯特(Hilbert) 空间，它 是一类特殊的赋范空间，记它为 ；对于 ˆ H 算子有 ˆ H E ，所以存在另一空间 ，是ˆ H 从到 的一种映射，记为 ˆ H (→)；并且ˆ H (→)组成的 集合满足线性运算规则，因此它构成一个线性空间， 可记为 。由于 、都是完备空间，所以 是完 备的线性空间[7,8]。 在中定义一个矩阵 A， ，按某一 法则，存在 A的一个实值函数，记为 jk mn a A A ，并有 12 † AAA 。† ( A 表示 A的埃尔米特(Hermite) 共 轭)，那么这个空间就是完备的赋范线性空间。 虽然 ˆ H 是无界算子[9]，考虑到实际物理模型，取 nn H 中的 n为有限大的值，因此 是有限维空间。 ˆ H 算子是 →的映射，用 nn H 的范数 nn H来衡量这 种映射的效果应该是最精确的；ˆ H 算子对应的本征值 E，在 空间也可以看成一种算子，并且是有界算子。 将(2)式改写为 2 nn Em m (5) n代表谐振子的维数，m代表所在的能级 (1 ,2 ,m )，并且将 m看作 的函数。由于(4)式 n E Copyright © 2012 Hanspub 78  n维耦合谐振子的能量谱条件数理论研究 左边 nn H 是一个 n阶矩阵，右边的 E也写成一个n 阶方阵， n 即 11 22 nn E E E E (6) 其中 11 22 1,2,, 22 nn nn EE Em 2 n 将(6)式代入(4)式，可得出 j jjj H E ()。 1 ,2 , ,jn 因为矩阵元 nn H 是由内积产生的，它的范数 nn H也可以由内积公式导出，而且nn H和向量 的范数 满足下列性质[10] nn nn HH 即 nn nn H H (7) 由于 nn E H，可推得 E的范数 E 也满足矩阵范数 的运算法则，用 E 来衡量 ˆ H 算子的这种映射和 nn H得到的效果是一致的，并且它将能量值与状态 联系起来，故用矩阵E代替 nn H . 由(7)式引出下式[8] 1 max EE (8) 即可引入E的谱条件数，记为 2 cond E 。由文献[10] 中的定义式： 1 2 cond E EE (9) 之前已经知道 的表达式，所以 2 n Em cond E 的值 可以直接计算得到。 3. 用算子范数估计 2 cond E 根据(9)式的定义,谱条件数就是算子范数中的一 种，因此 2 cond E 除了可以用 E中的元素计算，还 可以用算子范数来估计，由(9)式 1 1 1 max min E EE E (10) 通过 的表达式及范数的定义有 n Em 2 1 m kk k k Ea E, 根据不等式性质 2 2 11 1 mm kk kkk k kk Ea Ea m 两边取自然对数， 22 11 1 lnln ln mm kk kkk k kk Ea Ea m ，只要求出 的值， 2 1 ln m kk k k Ea E 下界范围就能确定。而由 于 * , k xtuxd k at ，准确计算此积分较为困 难，因此这里只作估计，(证明见附录 A1)结果得到 m E (其中 1 11 2 11 1 1 121 1 m mm aa aamaa n aa a ) (11) 同时 E 还存在上界。类似上面的估算过程(证明见 附录 A2)，最后计算得 1 2 2 12 mp p k n k E(其中 . ) (12) 1 , 2 ,, km 1p ∴综合可得 1 2 2 12 mp p k n k m E (13) 4. 结果讨论 本文中 ˆ H 算子的谱点是由它的本质谱与离散谱 组成的[11,12]，E中元素的差异程度是由算子的离散谱 点产生裂变引起的。 2 cond E 的值反映的正是 E中 元素的相对差异程度，虽然用算子范数估算的值精确 度不高，但它更深层次地反映造成 2 cond E 值大小不 同的原故。 联系(8)(10)两式，又由算子范数的性质[13]可得 1 2 2 11 max 2 mp p k n k E ，min m E 1 进一步得 Copyright © 2012 Hanspub 79  n维耦合谐振子的能量谱条件数理论研究 Copyright © 2012 Hanspub 80 参考文献 (References) 1 2 2 1 2 2 mp p k n k cond m E，其中 . (14) 1 , 2 ,, kLm 1p [1] 郁渭铭. N维谐振子和 N维氢原子的联系[J]. 南京师大学报 (自然科学版), 1990, 13(8): 28-34. [2] 王秀利, 张运海. 利用二次型求解 n模耦合谐振子能量本征 值精确解[J]. 大学物理, 2009, 28(6): 53-56. [3] 张仲, 卢纪材, 吴献等. 二次型方法求解坐标动量耦合的 n维 谐振子能量本征值[J]. 大学物理, 2011, 30(3): 11-13. 谱条件数的准确值可由(6)、(9)式计算出来，根据 这个值并结合上式，就能考察谐振子的状态 、 维数 n、能级束缚态k、以及参数 p之间的关系。 1,m aa [4] 凌瑞良, 冯进, 冯金福. 三维各向异性耦合谐振子体系的量 子化能谱与精确波函数[J]. 物理学报, 2010, 59(12): 8348- 8358. [5] 张恭庆, 郭懋正. 泛函分析讲义(上册)[M]. 北京: 北京大学 出版社, 1990: 20-67. 用波函数的解析式刻画 n维耦合谐振子状态 是较为困难的。当确定谐振子的维数后，由(14)式可 以更容易地估算出谐振子的低能态 1 a与高能态 m a之 间的差值；这样一来，在表象理论中分析谐振子的两 个状态 m，就知道谐振子在此能级出现的几率， 对分析有限维Hilbert 空间中谐振子系统有更直观的 物理意义。 1,aa [6] W. Pauli. General principles of quantum mechanics. Berlin: Springer- Verlag, 1980: 13-61. [7] 程其襄, 张奠宙, 魏国强等. 实变函数与泛函分析基础[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003: 124-202. [8] B. K. Driver. Topology and functional analysis. San Diego: De- partment of Mathematics, University of California, 2001: 0112. [9] 张恭庆, 郭懋正. 泛函分析讲义(下册)[M]. 北京: 北京大学 出版社, 1990: 45-130. [10] 方保镕, 周继东, 李医民. 矩阵论[M]. 北京: 清华大学出版 社, 2004: 28-120. [11] J. J. Qi, G. S. Xu. On the spectrum of singular Hamiltonian differential systems. Annual of Differential Equations, 2005, 21(3): 389-396. 5. 致谢 [12] 王忠, 孙炯. J-自共轭微分算子谱的定性分析[J]. 数学进展, 2001, 30(5): 405-413. 感谢湖北文理学院大学生科研项目(2011DXS097) 资助；特别感谢一直指导与帮助我写作的钟老师和丁 老师。 [13] 门少平, 封建湖. 应用泛函分析[M]. 北京: 科学出版社, 2005: 23-94. [14] 胡克. 解析不等式的若干问题[M]. 武汉: 武汉大学出版社, 2003: 1-37.  n维耦合谐振子的能量谱条件数理论研究 附录 A1 ∵ 22 11 1 lnln ln mm kk kkk k kk Ea Ea m (1) 有 11 2 mm kk kk kk n Eak a (2) 根据谐振子的几率特性，当 k较小时，谐振子出现的 可能性较大；当k较大时，出现的概率小，即 1kk aa (k 较大时)，假定 ，则(2)式可看作一个等比数 列求和， 1kk aa q 11 22 mm k k kk nn ka kq (01) q 令 12 mk k n kq ，直接写出结果 11 2121 1 mm m qq mqnqq qq q 将 代 入 1 , m m aqa q 11 11 2 11 1 1 121 1 mm aa aamaa n aa a 附录 A2 由赫尔德(Hölder)不等式[14]： 11 111 mmm p q pq jj jj jjj ab ab (11 1 pq ,) 1 , 1pq ∴ 11 2 222 111 mmm ∴ 11 22 222 11 lnln ln mmm 1 p q pq kk kkkk kkk Ea Ea (3) ∵2 kk n Ek ，即 1 122 2 2 11 2 p p mm p p kk kk n Ek 根据闵可夫斯基(Minkowski)不等式： 11 1 nn rr rr jjj j jj 1 n r r aba b j 1r () ∴ 11 22 22 11 2 mm pp pp kk kk n Ek 同时利用詹森(Jensen)不等式： 11 11 nn s r sr jj jj aa 其 中 ， 0 j a1, 2,, jn ， 0rs ∴(3)式变成 11 22 22 11 lnln 2 mm p p kk k kk n Ea k ∴ 1 2 2 12 mp p k n k E() (4) 1p 实际上 p为度量空间的维数[13]，可以取 。 qm ∴综合上面公式可得 1 2 2 12 mp p k n k m E 2 p q p kk kkkk kkk Ea Ea q 。两边取自然 对数 Copyright © 2012 Hanspub 81 |