 Operations Research and Fuzziolgy 运筹与模糊学, 2012, 2, 53-62 http://dx.doi.org/10.12677/orf.2012.24007 Published Online November 2012 (http://www.hanspub.org/journal/orf.html) The Center-of-Gravity Fuzzy System and Its Probability Representation Theory Based on the Parameter Singleton Fuzzifier* Xuehai Yuan School of Control Science and Engineering, Dalian University of Technology, Dalian Email: yuanxh@dlut.edu.cn Received: Aug. 6th, 2012; revised: Aug. 15th, 2012; accepted: Aug. 27th, 2012 Abstract: The constructed fuzzy systems are not universal approximators when the normal fuzzy implications such as Lukasiewicz implication is chosen and the union operation is taken to aggregate fuzzy inference rela- tions. It is pointed in this paper that one can dissolve the problem if the parameter singleton fuzzifier is used in the construction of fuzzy system. In this paper, the center-of-gravity fuzzy systems based on Lukasiewicz implication are first constructed by use of the parameter singleton fuzzifier, then the universal approximations of the fuzzy systems are proved and the sufficient conditions for the fuzzy system as universal approximator are given. In the end, the joint probability density functions, the marginal density functions and numerical characteristics such as mathematical expectations, variances and covariances for the fuzzy system are ob- tained. Keywords: Fuzzy Control; Fuzzy System; Universal Approximation; Probability Density; Numerical Characteristics 基于参数单点模糊化的重心法模糊系统及 其概率表示理论* 袁学海 大连理工大学控制科学与工程学院，大连 Email: yuanxh@dlut.edu.cn 收稿日期：2012 年8月6日；修回日期：2012年8月15日；录用日期：2012 年8月27 日 摘 要：在模糊系统的构造中，如果使用Lukasiewicz 蕴涵且推理关系取并运算，则所构造的模糊系统 没有泛逼近性。针对这一问题，本文指出：通过应用参数单点模糊化方法可解决此问题。本文首先应 用参数单点模糊化方法，成功地构造出了基于Lukasiewicz 蕴涵的重心法模糊系统，然后证明了所构造 的模糊系统具有泛逼近性，并给出了这种模糊系统具有泛逼近性的充分条件。最后给出了所构造重心 法模糊系统对应的联合概率密度函数和边缘概率密度函数，给出了这些概率分布的数学期望、方差和 协方差等数字特征。 关键词：模糊控制；模糊系统；泛逼近性；概率分布；数字特征 1. 引言 模糊系统的构造主要有：对输入变量进行模糊化；构造模糊推理关系；模糊推理和对输出模糊集进行解模 糊化等四个过程。到目前为止，常用的解模糊化方法有：中心平均解模糊化方法；重心法解模糊化方法和最大 *基金项目：国家自然科学基金资助项目(No.90818025, No.61074044)。 Copyright © 2012 Hanspub 53  袁学海 基于参数单点模糊化的重心法模糊系统及其概率表示理论 值解模糊化方法等[1]。文献[2,3]指出：对一些常用的正则模糊蕴涵算子，如Lukasiewicz 蕴涵等，当采用单点模 糊化且推理关系取“并”时，所构造的模糊系统没有响应能力。为此，文献[4]首次引入了参数单点模糊化方法， 指出：利用参数单点模糊化可解决一些常用的正则模糊蕴涵算子不能构造模糊系统的问题，但文献[4]仅给出重 心法模糊系统的近似形式。 我们知道，用重心法构造的模糊系统具有概率论意义，它是在最小二乘意义下对所逼近系统的最佳逼近[5,6]。 但如何得到重心法模糊系统所对应的概率密度函数是一个困难的问题。 本文应用参数单点模糊化和重心法构造出了基于 Lukasiewicz 蕴涵的模糊系统及对应的联合概率密度函数 和边缘概率密度函数，我们证明了所构造的模糊系统具有泛逼近性，并给出了所构造的概率分布的数学期望、 方差和协方差等数字特征。 2. 重心法模糊系统 设 1 , ii in xy 为一组输入输出数据，本文做如下假设 12 12 , . n n ax xxb cy yyd 利用已知数据构造具有二相性的三角波，即对 2, 3,,1in ， 1 1 1 1 1 1 ,, , 0, iii ii i iii ii xx x xx xx xx Axx xx xx , 其它 1 1 1 1 1 1 , ,, , ,, 0, . iii ii i iii ii yy yyy yy yy By yyy yy 其他 2 12 21 1 ,, 0, xx x xx xx Ax 其它 1 1 1 ,, 0, nnn nn n xx x xx xx Ax 其它. 2 12 21 1 ,, 0, yyyyy yy By 其他. 1 1 1 ,, 0, nnn nn n yy yyy yy By 其他. , 则, ii x y分别为 i A 和 的峰点，即 i B 1,11, 2,, ii ii A xBy in且当 1 , ii x xx 时， 11, 0,1. ii j AxAxAxjii 当 1 , ii y yy 时， 11, 0,1 ii j ByByByj ii 。 于是有模糊推理规则 If is ,then is 1,2,, ii x AyBin (1) 令 为Lukasiewicz 模糊蕴涵算子，即 ,1aba b 1 。将规则(1)中的每条规则生成一个模糊关系 。 i y ,, ii Rx AxBy 设i A 为输入变量 x 的参数单点模糊化，即 , 0, i i A xxx Ax x x (2) 令，取一个-范T，做 合成，当 1 n i i BA i RtT 1 , ii x xx ， 1 , ii y yy 时，记 1 , ii uAxvA x ， Copyright © 2012 Hanspub 54  袁学海 基于参数单点模糊化的重心法模糊系统及其概率表示理论 11 ,. 22 ii ii ii x xyy xy 则有 且 1uv 1 ,, ii By uTuByvTvBy 则重心法模糊系统为： d d d cd c yB y y Sx Byy (3) 则有以下定理： 定理 1 1) 当 时，则 ,Taba b 1111 2211 11 , , ,, , iii iii iii iii iii i 1 A xy Axyxxx Sx A xy Axy xxx Axy Axy 其中 ，且 111 1 ii Ax Ax 221 1 ii Ax Ax 23 12 13 128 36 41 iuuu Ax uu ， 23 21 2 13 128 36 41 ivvv Ax vv 。 2) 当 时， ,1Taba b0 1111 2211 11 , , , , , iii iii iii iii iiii CxyCxy x xx Sx CxyCxyx xx Cxy Cxy 1 其中 ，且 111 1 ii Cx Cx 221 1 ii CxC x 23 1 12 33 i Cxu u ， 23 21 12 33 i Cxv v 。 3) 当 时 ,Tabab 1111 2211 11 , , , , , iii iii iii iii iii i Dxy Dxyxxx Sx DxyDxy x xx Dxy Dxy 1 其中 111 1 ii Dx Dx ， 221 1 ii Dx Dx , 234 123 1 61517156, 31484 iuuu uu Dx uuuu 5 234 21 23 1 61517156. 314 84 ivv v vv Dx vvvv 5 证明： 1) 设 ,Taba b，则 11 ,, , ii ii x yxx yy 时 1 11 ii Byu vByv uBy . Copyright © 2012 Hanspub 55  袁学海 基于参数单点模糊化的重心法模糊系统及其概率表示理论 当 , ii x xx时， ， i Byu vBy 1 2 ii uvByyvyuvy y ii 。所以，当 i yy 时， ，当 i By vBy i yy By u 时， 。 当 1 , ii x xx ， ， 1i Byv uBy 1 2 ii vuBy yuyvuyy 1ii 。所以，当 i yy 时， ，当 时， By v i yy 1i By uB y 。 当 , ii x xx时， 1 2, iii i y yvy y 1iii i y yuvy y ， 于是 11 2 1 1 ddd 64 2 iii iii yyy iii yyy ByyuyvByyyyu u 1 ， 11 111 1 dd d 2 iii iii yyy iiiiii yyy yByyyuyyvByyyyCxyCxy i ， 其中 23 113 128 3 i Cxu uu ， 2 164 ii Cx Cxuu 1。 同理，当 1 , ii x xx 时 11 2 11 1 ddd6 2 ii i ii i yy y iii yy y ByyuBy yvyyyvv 41 , 1 1 111 1 ddd 2 ii i ii i yy y iiiii yy y yByyyuByyyvyyyDx yDx y 1 ii , 其中 ， 23 113 128 i Dxv v v 2 164 ii Dx Dxvv 1。 因此，由式(3)可推得： 11iii i SxAxy Axy 。 2) 设Ta ，则 ,1ba b0 11 ,, , ii ii x yxx yy 时 1 11 11 ii Byu vByv uBy . 则 ii i uByyyByBy v ， ii Byvy y ，则当 , ii i yyyByBy ，当 。 , i yyByv 同理，当 时，即 i uByi y y时， 1i By uBy 。 则当 ，当 1 , ii i yyyByBy , i yyBy u 。 于是 , ii y y 将 1 ,, ii ii1 x xyy 划分为四个部分： 1 1 ,,, ,,, iii iiiii H xyxxxyyyxyxxx yyy 21 ,,, ii ii H xyxxxyyy 311 ,,, ,,, ii iiiiii1 H xyxxxy yyxyxxxyyy 4,,, ii ii H xyxxxyyy 则 1 12 3 4 ,, ,, ,, ,, i i uxyH By xyH By vxyH Byxy H 当 , ii x xx时， 11 , ii iiiiii yyvy yyyuy y , Copyright © 2012 Hanspub 56  袁学海 基于参数单点模糊化的重心法模糊系统及其概率表示理论 1111 , ii iiiiii yyvyyyyuyy , 则 11 * 1 dd dd2 iiii iiii yyyyii i yyyy y y Byyuyvy Byy , 1 111 1 d2 i i y iiii ii yyByyyyCx yCxy , 其中 23 1 12 ,1 33 ii CxuuCx Cx i 。 因此，由(3)可知： 111iii i SxC xyCxy 1 ，其中 23 11 12 ,1 33 ii CxuuCxCx 11i 。 同理，当 1 , ii x xx 时， 221iii i SxC xy Cxy 1 ，其中 23 21 12 33 i Cxv v ， 221 1 ii CxC x 。 因此，由式(3)可推得： 11iii i SxCxyCxy 。 3) 设 ，当 ,Tab ab 11 ,, , ii ii x yxx yy 时 1 11 ii ByuvByvuB y . 由于 ，因此，当 1 ii vByy y i y y 时， 1i By uvuB y ； 时， i By uvByv 当i y y而 2 2 11ii vu uvuB yyvyy y v ii , 22 3 1ii uv v vuvByyyy y uu ii . 于是 23 ,, iii y yy 将 1 ,, ii ii1 x xyy 划分为六个部分： 11 ,,, ii ii J xyxx xyyy 3 12 ,,, ii ii J xyxx xyyy 3 13 1 ,,, ii ii J xyxx xyyy 2 21 1 ,,, ii ii J xyxx xyyy 2 22 1 ,,, ii ii J xyxx xyyy 231 1 ,,, ii ii J xyxx xyyy 则当 , ii 时， 11 12 13 ,, ,, ,, i uxy ByuvByxy J vxy J J x xx 时， 21 12 23 ,, ,, ,, i uxy ByvuByxy J vxy 2 J J 则当当 x 1 , ii xx x , ii xx时， Copyright © 2012 Hanspub 57  袁学海 基于参数单点模糊化的重心法模糊系统及其概率表示理论 3 1 1 3 23 1 14 84 1 dd dd 2 iiii iiii yyyy iii yyyy uu u ByyuyuvBy yvyyyu , 3 1 1 3111 1 ddd d 2 iii i iii i yyy y iiii yyy yiii y ByyyuyyuvByyyvxyyyCx yCxy , 其中 234 2 1 61517156 3 iuuu uu Cx u 5 , 23 1 14 84 ii uu u Cx Cxu . 同理，当 1 , ii x xx 时 2 1 1 2 23 11 14 84 1 dd dd 2 iiii iiii yyyy iii yyyy vvv ByyuyvuBy yvyyyv , 2 1 1 2111 1 dd dd 2 iii i iii i yyy y iiiii yyy y yByyyuyyvuByyyvyyyDx yDxy 1 ii , 其中 234 12 16 1517156 3 ivv v vv Dx v 5 , 23 1 14 84 ii vvv Dx Dxv . 因此，由式(3)可推得 11iii i SxDxy Dxy 。 注1 前边的推导都是假定 s x是单调函数。对于非单调函数，我们可将 X 分成几个小区间，使 s x在每 个小区间上单调，则仍可得到模糊系统 Sx。 例如令 sin ,π,πsx xX，12 πππ , 2 π,, , 22 XX 3 π,π 2 X 。则 s x在12 ,, 3 X XX上都是单 调函数。 3. 泛逼近性 由前面得到的模糊系统 Sx均可以表示为 11iii i SxA xyAxy ，其中 。 11 ii Ax A x 当 1 , ii x xx 时，令 111iii i SxAxy Axy ， 211i iii CxyC xySx ； 31iii1i SxDxy Dxy ，则 1, 2,3 i Sxi可以统一写成形式： 11iii i SxA xsxAxsx 且 11 , iii i Sx ySxy 。 引理 1[7] 设 s x在 ,ab 上二阶连续可导，当 1 , ii x xx 时， 11iii i F xA xsxAxsx 。 则2 1 8 F ss hx。其中 。 1 1 max ii in hx 定理 2 设 f 为被逼近函数且二阶连续可导， 1 1 max i in hx i x ，则 2 11 83 Ssshs h (4) 证明： 1) 选取 。当 1 TT , ii x xx时， 1111111iiiiiiiii SxFxAxA xyAx AxyAxAx yy 1i . 易知 2 12 2122 1 11 33 53 4 44 ii uuu Ax Ax u ，故 13 ii 1 Ax Ax 。于是 Copyright © 2012 Hanspub 58  袁学海 基于参数单点模糊化的重心法模糊系统及其概率表示理论 11 11 33 ii SxFxy ys h 类似地，当 1 , ii x xx 时，可得 11 11 33 ii SxFxy ys h 。 由引理 1得2 11 11 83 Ss SF Fsshsh 。 2) 选取 ，当 2 TT , ii x xx时， 23 1 12 33 ii CxAxuu u ，则 1 1 3 ii Cx Ax 。 于是 11 11 11 33 iiiiii SxFx CxAxyyyysh . 同理，当 1 , ii x xx 时， 23 21 1 12 33 ii CxAxv v v . 因此， 11 11 11 33 iiiiii SxFx CxAxyyyysh ， 于是可得， 2 11 83 SsSFFsshs h 。 3) 选取 ，当 3 TT , ii x xx时， 1,1 2 i uAx ，则 2345 123 11 6125961 33 14 84 ii uuuuu Dx Axuuuu , 于是 31 11 11 33 iiiiii SxFx DxAxyyyysh . 当 1 , ii x xx 时， 1 1,1 2 i vA x ，则 2345 21 123 11 6125961 33 14 84 ii vvvvv DxAx vvvv , 于是 32111 1 3 iiii SxFxDxAxyysh . 因此， 2 33 11 83 Ss SF Fsshsh . 注2. 定理2实际上给出了模糊系统 Sx具有泛逼近性的充分条件，由此定理可确定推理规则数目。 例1. 设 sin 3, 3 x sx X x ， ，则 0.44, 0.34ss 。令逼近误差 0.1 ， 33 6 11 hnn 。 则根据公式(4)可知：当 时，10n10.1Ss 。 仿真曲线和误差曲线见图 1。 Copyright © 2012 Hanspub 59  袁学海 基于参数单点模糊化的重心法模糊系统及其概率表示理论 Figure 1. The simulation curve and the error curve 图1. 仿真曲线和误差曲线 4. 概率表示理论 令 ， ,, , 0, Byxy XY qxy 其它 ,dd H qxyxy ， 当 ,, , X ab Ycd时，有 dd bd ac H Byxy (5) 若 ，则 0H , ,qxy fxy H (6) 满足： + ,0; ,ddfxyfxyxy 1. 因此， , f xy可视为某随机向量 , 的联合密度函数[5,6]。 我们有： 定理 3 1) 若 ,Taba b，则 1 11 1 7 12 n iiii i H yyxx 10 (7) 2) 若 时，则 ,Taba b 1 11 1 1 2 n iiii i H yyxx (8) 3) 若 时，则 ,Tab ab 1 11 1 1 ln 26 n iiii i H yyxx (9) 证明： 1) 由定理 1的证明知： Copyright © 2012 Hanspub 60  袁学海 基于参数单点模糊化的重心法模糊系统及其概率表示理论 11 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 dd dddddddd 7 , 12 ii ii ii iiiiii ii iiiiii nxy xy i nxyxyx yxy ii xyxyxyx y i n iiii i HByyx yxvB yyxvByyxvyx yyxx 1 2)和3)类似可证。 注3 由定理 3和公式6知：我们已得到模糊系统 Sx所对应的随机向量 , 的联合概率密度函数。 下面对 和的情况研究随机向量 ,Taba b ,Taba b10 , 的边缘概率密度函数及其对应的 数字特征。我们有以下结论： 定理 4 1) 若 ，则随机向量 ,Taba b , 的边缘概率密度函数为 12 12 1 44 1,, 2 44 1,, 2 ii ii ii ii yyuu xxx H fx yyvv xxx H ， 11 1, 2ii ii 1, ii xx f yByByyyy H 10 2) 若 ，则随机向量 ,Taba b , 的边缘概率密度函数为 1 1 ,, 2 ii ii yy f xxxx H 1 1 ,, 2 ii ii xx f yyyy H 证明是显然的。 定理 5 1) 随机变量 , 的数学期望： 1 n ii i Ex ， 1 n ii i Ey . 2) 随机变量 , 的方差： 2 1 11 nn iiiii ii Dxxx () ，2 1 11 () nn iiiii ii Dyy y . 3) 随机变量 , 的协方差： 111 Cov , nnn iiii ii iii zx y . 其中， 11 1 11 1 iiii in iiii i yyxx yyxx 。 证明：仅对 加以证明。 ,Taba b 11 1 11 11 1 11 ddd 7. 12 2 iii iii nn xxx xxx ii nn iiiiiiii ii Exfxxxfxxxfxx xfxx yyxxxx x H d Copyright © 2012 Hanspub 61  袁学海 基于参数单点模糊化的重心法模糊系统及其概率表示理论 Copyright © 2012 Hanspub 62 12 11 222 11 11 11 11 11 793 dd 12 280 7. 12 i i nn xiiiiiii i x ii nn iiii ii iii ii yyxx Exfxxxfxxxxxx H yyxx xx xx H 则 2 22 1 11 () nn iiiii ii DE Exxx , 11 1 1 1 1 1 1 1 11 ,dd ,dd 1 dddd dddd ii ii ii ii ii ii ii i ii i nxy xy i nxy xy iii xy xy i xy y ii i xy y Exyfx yy xxyfx yy x xyAxy xxyAxByy x H x yAxByy xxyAxyx 11 11 1 11 11 1 13 , 60 i i x x nn n iii iiiiii ii i zyyxxz 111 Cov , nnn iiii ii iii EEEz xy . 5. 结论 本文应用参数单点模糊化方法，构造出了基于Lukasiewicz 蕴涵的重心法模糊系统，证明了所构造的模糊系 统具有泛逼近性，给出了所构造的模糊系统对应的联合概率密度函数、边缘概率密度函数和这些概率分布的数 学期望、方差和协方差等数字特征。这些讨论进一步揭示了模糊系统的概率意义。 参考文献 (References) [1] 王立新著, 王迎军译. 模糊系统与模糊控制教程[M]. 北京: 清华大学出版社, 2003. [2] 李洪兴, 尤飞, 彭家寅, 曾文艺. 基于模糊蕴涵算子的模糊控制器及其响应函数[J]. 自然科学进展, 2003, 13(10): 1073-1077. [3] 李洪兴, 彭家寅, 王加银. 常见模糊蕴涵算子的模糊系统及其响应函数[J]. 控制理论与应用, 2005, 22(3): 341-347. [4] 袁学海, 李洪兴, 孙凯彪. 基于参数单点模糊化方法的模糊系统及其逼近能力[J]. 电子学报, 2011, 39(10): 2372-2377. [5] 李洪兴. 模糊系统的概率表示[J]. 中国科学 E辑, 2006, 36(4): 373-397. [6] 袁学海, 李洪兴. 基于输入-输出数据的概率分布和数字特征[J]. 模糊系统与数学, 2011, 25(1): 69-78. [7] X. J. Zeng, M. G. Singh. Approximation theory of fuzzy systems-SISO case. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 1994, 2(2): 162-176. |