 Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2012, 1, 59-70 http://dx.doi.org/10.12677/aam.2012.12008 Published Online November 2012 (http://www.hanspub.org/journal/aam.html) The Euler Implicit/Explicit Schemes with Nonconforming Finite Element Method of Subgrid Eddy Viscosity Type for the 2D Time-Dependent Navier-Stokes Equations* Yingwen Guo, Minfu Feng Department of Mathematics, Sichuan University, Chengdu Email: guoyingwen6@sina.com Received: Aug. 4th, 2012; revised: Aug. 20th, 2012; accepted: Aug. 21st, 2012 Abstract: In this paper, an Euler implicit/explicit scheme with nonconforming finite element method of sub- grid eddy viscosity type for solving the 2D nonstationary incompressible Navier-Stokes equations under high Reynolds number is considered. The implicit/explicit scheme which is implicit for the linear terms and explicit for the nonlinear term, avoids the severely restricted time step size from stability requirement and re- sults in a linear system with a same constant matrix at each level of time. The backward Euler scheme is used for time discretization. Crouzeix-Raviart nonconforming finite element approximation is used for the velocity and pressure field with the subgrid eddy viscosity technique, to cope with usual instabilities caused by Galerkin finite element methods. This paper also improved the restricted time step size which under stable conditions and given error estimates of velocity and pressure which independent on the viscosity Re . Keywords: Euler Implicit/Explicit Schemes; Subgrid Eddy Viscosity Method; Nonconforming C-R Element 二维非定常 Navier-Stokes 方程的 Euler 隐/显格式子格涡 旋粘性非协调有限元法* 郭英文，冯民富 四川大学数学学院，成都 Email: guoyingwen6@sina.com 收稿日期：********* 摘 要：本文研究了二维高雷诺数情形下，非定常不可压Navier-Stokes 方程的Euler 隐/显格式子格 涡旋粘性非协调有限 元方 法。 隐式 处理 线性 项， 避免 了时 间步 长的 苛刻 限制 ，显式处 理非 线性项， 使 得对所有时间层求解时，系统矩阵为同一常数矩阵；时间项做向后 Euler 差分离散，空间用 C-R非协 调有限元逼近，构造子格涡旋粘性有限元方法，克服了在 情形下Galerkin 有限元方法的不稳定现象。 本文改善了稳定性下对时间步长的限制，并给出了不依赖粘性系数 Re Re 的速度和压力误差估计。 关键词：Euler 隐/显格式；子格涡旋粘性法；非协调C-R 元 1. 引言 不可压缩Navier-Stokes 方程的相关理论及数值分析一直是计算流体力学和计算数学等领域研究的热点，至 *资助信息：国家自然科学基金 11271273/A011702 非定常 N-S 方程的稳定化有限元方法，冯民富四川大学主持。 Copyright © 2012 Hanspub 59  郭英文，冯民富 二维非定常 Navier-Stokes方程的 Euler 隐/显格式子格涡旋粘性非协调有限元法 今已有不少有限元方法、研究结果[1,2,3-5]。关于 Navier-Stokes 方程的有限元逼近，最常用的方法是混合有限元法。 对高雷诺数情形下的非定常Navier-Stokes 方程采用 Galerkin 混合有限元方法研究时，至少有以下四个问题需要 考虑： 1) 为了保证速度和压力的数值解稳定，要求构造的有限元空间满足inf-sup 条件[6]。 2) 因为高雷诺数情形下方程对流占优，所以即便采用inf-sup 稳定的有限元空间组合，数值解仍会产生非物 理震荡，需要考虑新的稳定化方法。 3) 非线性项的处理好坏将直接影响算法的效率和数值解的收敛，选择最优的处理格式成为必要。 4) 为达到工程对时间步长取值的需求并降低计算量，对时间变量的离散格式既要求计算简便，又得保证在 稳定性下尽可能使时间取到大步长。 低阶元由于其计算方便，在工程应用方面有着重要意义。众所周知，传统的低阶协调 ， 10 PP1 QQ 0 元不 满足 inf-sup 条件，不能直接用于混合有限元法，往往需要加 bubble 函数或进行稳定化处理；相比之下，非协调 元满足 inf-sup 条件，具有局部守恒性，并且自由度取在边上，可以进行并行计算。正因如此，C-R[7]元目 前在解决工程问题的混合有限元法中占据了重要的地位。但在高雷诺数情形下，即使对空间采用 inf-sup 稳定有 限元逼近，方程的对流占优仍会使标准 Galerkin 混合法得到的数值解产生非物理震荡。 10 PP 对于克服 Galerkin 混合法在求解对流占优问题时的不稳定性，目前已有一些有效的解决途径。经典的解决 方法是人工粘性法(简称 AV法)[8]，该方法具有良好的稳定性，但精度不高，且格式不相容。八十年代中期，Hughes 和Brooks[9]提出了流线扩散法(简称SD方法)。SD 法具有良好的数值稳定性及高精度性，但该方法有以下两个 方面的缺点：一方面为增加稳 定性引 入了其 它关联 项，且 稳定化 参数一 般不易 最优选 取；另 一方面 为确保 方法 的相容性，添加项中含有二阶 导数项 ，增加 了计算 量。近 年来， 一种基 于人工 粘性法 发展起 来的子 格涡旋 粘性 法开始受到人们的关注。相比 SD法，该方法具有良好的稳定性和高精度性，且格式简单，因此，子格粘性法 近年来吸引了不少人们进行深入研究和应用。该法最早源于 Guermond 思想，他在[10]中提出了 Subgrid modeling 方法，通过 bubble 函数增强有限元空间，使得人工粘性项仅作用在 bubble 函数空间上。随后Layton[11]将其思想 进一步拓展，提出了子格粘性 法，使 得只在 子格上 增加粘 性项， 并针对 定常对 流扩散 问题， 用混合 有限元 法证 明了该方法具有良好的稳定性，同时给出了最优误差估计。并且 John-Kaya[12,13]和Kaya-Riviere[14]把该方法用于 非定常 N-S 方程，Kaya-Layton[15]还基于此思想提出了一种新的稳定化技巧即变分多级方法。 由于时间离散和非线性项的处 理， 在提高计 算效 率方面有 着重 要的意义 ，因 此需要研 究恰 当的处理 格式， 使得在保证稳定性下，既计算简便，又可取到大时间步长。目前，已有许多 Navier-Stokes 方程有效算法的研究。 差分离散(如Euler 离散或 C-N离散等)由于可以有效回避时空有限元空间剖分维数增加所形成的困难，降低算法 的复杂性和工作量，数值实现简便易行，成为解决非定常问题中时间项处理的常用方法。对于非线性项的处理， 目前共有四种方法，即全隐格式，全显格式，半隐格式和隐/显格式[1,2,6,16]。其中全显式格式虽然简单，但由于 其收敛性对时间步长的苛刻限 制很少 被人们 使用； 全隐格 式虽是 无条件 收敛的 ，但需 要在每 一时间 层求解 非线 性方程组，也不被人们看好；半隐格式，虽然几乎无条件收敛，但数值计算方面还存在一些缺陷。至于隐/显格 式既不苛刻限制时间步长，又 在每一 时间层 上线性 方程组 的系数 矩阵为 同一常 数矩阵 ，提高 了计算 效率， 该格 式对线性项采用向后 Euler 隐式格式以改善格式的稳定性，对非线性项采用显式格式简化计算，因此得到人们的 认可和研究。以往的数值分析结果认为对于隐/显格式，空间离散网格尺度和时间步长需要满足 CFL 条件，即 。最近何银年[1]对于二维 N-S 方程采用 Galerkin 混合有限元法，改善了上述收敛性条件，证明了隐/ 显格式数值方法是几乎无条件收敛的，即 0。 0 r tCh tC 本文针对二维高雷诺数情形下的非定常不可压Navier-Stokes 方程，建立了基于非协调 C-R元逼近的 Euler 隐/显格式子格涡旋粘性有限元方法，即时间变量采用向后 Euler差分离散，空间变量采用非协调 C-R元逼近， 有效降低了算法的复杂性和工 作量； 隐式处 理线性 项，避 免了时 间步长 的苛刻 限制， 显式处 理非线 性项， 使得 Copyright © 2012 Hanspub 60  郭英文，冯民富 二维非定常 Navier-Stokes方程的 Euler 隐/显格式子格涡旋粘性非协调有限元法 对所有时间层求解时，系统矩阵为同一常数矩阵，既提高计算效率，并且可以在保证稳定性下取到大时间步长； 稳定化方法采用子格涡旋粘性法，有效地克服了在情形下Galerkin 混合有限元方法的不稳定现象，同时格式 简单。本文对高雷诺数 进行了修正，证明了该有限元格式是几乎无条件稳定的，并且改善了何银年 [1]中的稳定性条件，使得时间步长不依赖于粘性系数 Re 1 Re o 。同时，本文还给出了不依赖于粘性系数 的速度和压力 误差估计。 本文安排如下：第 2节给出一些记号和预备知识；第3节建立非定常不可压 N-S方程的 Euler 隐/显子格粘 性非协调有限元格式；第4节给出格式的稳定性分析和解的存在唯一性证明；第5节得出不依赖粘性系数 的 速度和压力误差估计；第 6节是结论。 2. 记号和预备知识 设是边界为 Lipschitz 连续的凸多边形有界区域，文本考虑如下二维非定常不可压缩 Navier-Stokes 问题：求速度 2 2 ,, ,utx 1 utux 和压力 ,pp tx满足 ,in 0, 0, in0, 0,on 0, tpT T T uuuu f u u (2.1) 0 ,0, in uxu x 其中 为给定体力， 2 2 12 ,,,,tftftL ffxx x 1 Re 01 是粘性系数， 为一有限时间， 是初始速度。 0T 2 2 H 0 ux 为解决问题(2.1)，引入如下 Hilbert 空间[6,12,17]： 2 1 0 XH, 2 2 YL , 22 0;d0QL qLqx . 对于空间赋予 -标量内积 2,1,2,4 d Ld, 2 L , 和 2 L -范数 0 ；相应地，对于空间 和空间 1 0 H X ， 赋予通常内积 ，和范数 , uv u ,v 12 0X, uuuu ，同时我们定义 X 的闭子空间： ；Y的闭子空间： ;0VXuu ;0;HY 0 vvvn。此外，我们引入 Stokes 算子 A P ， 其中为 YH的-正交投影算子，P2 L A 的定义域为 2 2 DA HV 。 对,, , X qQuvw，我们分别定义 X X 上的连续双线性型 ·,a ， X Q 上的连续双线性型 ·,d ， 以及 X XX上的三线性型 ,为： ·,b ,,,,, 111 ,,,div,,, . 222 adqq b uv uvvv uvwuvwuvwuvwuwv 对于上面定义的 ，我们有[3,17]： ·, ,b 1) 对 ,,:,,, ,,Xb b uvwuvwuwv 12 121212 0000 0 ,, ;bcuvwuuvww 2) 对 ,, X DA Y uv w： 00 ,, ,,,,bbbcuvwvuwwuvuv w0 A. 于是，问题(2.1)的一个相应变分问题为：对 0,tT ，求 ,pXQ u使得 Copyright © 2012 Hanspub 61  郭英文，冯民富 二维非定常 Navier-Stokes方程的 Euler 隐/显格式子格涡旋粘性非协调有限元法 0 ,,,,,, ,0,,. tabdqdp qXQ uvuv uuvuv,, f v uxu xv (2.2) 由文献[4] 知，当 ， 0, ;LTH f 20,; tLTV f， 2 2 0 0, H HV fu 时，变分问题(2.2)存在唯一解 ,pu，满足 ， 2 2 0, ;LTH u 1 2 0, ;pL TH。 3. Euler隐/显子格涡旋粘性非协调有限元格式 对任给定的正整数 T，记，其 中,0,1, n tntnN NTt ，t 为时间步长。设 是一网格参数， 为区域 0hh T 的拟一致三角剖分，其中所有三角形单元 h K T 的直径 K h不超过 h。所有单元 K的边界 的集合定 义为 ， E h E h为边界 E的长度， E n为边界 E的外法向量， n PK为单元 K上次数小于或等于 n的多项式空间。 对于函数 ，我们定义跳跃函数 为： E KEK 。其中为相邻单元 和 E K K 的公共边界，特别 地，在 上我们定义 K 。 定义速度和压力的非协调有限元空间如下： 2 1 :,d0,, hK hh E VYPK sKTE vv v, 0h :, hK QqQq PKKT . 定义 上的内积 h V , h hK TK , ，范数 0,h ，其中： , K 和 12 0, , K k 分别为 上内积和范数。同 时定义 2 LK , E 和12 , E E 0, 为 2 LE上内积和范数。令 0;, hhhhhK h WV KT vv . 因为 ，所以引进离散的双线性型 h VX , h a ， , h d 的定义： ,,,, ,,,+X, h h hhhhhhhhh h K KT hhhhhhhhhh K KT aV dqqV qQ uvu vuv vvv; X 以及三线性 的定义： ,, h b ,, hh hh VX uvw， 1 ,,, , 2h hhhhh hhhh h hh K K KT b uvwuvwuwv , 其中梯度算子 和散度算子 h h 满足 , hh KhKhh KhK vv v v，即有： ,,,,, ,, ,,,,,. hh h aab b dd X uvuvuvw uvw uvuv uvw , 为定义子格涡旋粘性法，我们现引入如下空间： 2 00 ;, hhK h RYPKKT qq , 同时定义 -正交投影算子 ， 2 L0 : H PY R 0 ,,,, hHh h PYR pqpq p q，则有 0, 0, 0, 2 1 0, , ; . , K K HK HK PC Y PCh H ppp ppp pY 为后面稳定性和误差估计分析的需要，我们现给出以下三个性质： (A1) 当 时，则有(为正常数) 0,, ,0,; ttt DAL TY ufff C 0000 0 0 sup ttt tT A tt t ufffC Copyright © 2012 Hanspub 62  郭英文，冯民富 二维非定常 Navier-Stokes方程的 Euler 隐/显格式子格涡旋粘性非协调有限元法 (A2) 存在逼近 hh I Vv，hh J pQ满足对 2 2 XH v， 1 pHQ 有[7]： ,,, ,,, hh hhh KK hh hh KK qI qqQ, . h J pp vv vvvV 2 0,0, 0, , hhK K KK IhI chA vvvvv (3.1) 0, 0, 0, , hhK K KK pJphpJpch p (3.2) 且有逆估计： 1 0, 0, 12 0, 0, , , hKhh KK hEh EK ch V ch E h h vvv vv (A3) 下列不等式成立： 4 2 12 12 01 00 0 30 00 0 02 0,0,0,2 ,0, || ,,; || ,; . , ,, L H hhh hh KKkK K rXC CArADA rC vvvvvv vvvvv vvv vv 0 h V 其中 , ,为仅依赖于区域 的正常数，为依赖于 0 r1 C2 C3 C 和 的常数。 于是变分问题(2.2)的非协调Euler隐/显子格粘性有限元格式为：求 , nn hhh h pVQu，使得对任意 满足 1, 2,,nN 11 ,,,,,,,?, nnnn nn th hhh hhhhhhhhhhhhh h h dab dpqV uvuvuuvvf vvQ (3.3) 其中 1nnn thh h dt 2 0 uuu ； 为 0 h u H u的-正交投影，即 2 L0 00, 0, h K Kuu；双线性型 为 , h M ,,, h hhhHhHhhh h K KT , M IP IPV uvuv uv ； I 为自映射，粘性参数 稍后给出定义。 因为 H P为-正交投影，所以对于 2 L0, 0 hh v，h Vh v有 2 222 2 0, 20, 0, 0,0, 0, 0, 1: hH h HH ahh dh hhh hh h h h P IP P v vv vvv v 2 d v 且由 0, 0, 0Hhh hh P vv可得 add 0h v。 4. 格式的稳定性分析及解的存在唯一性证明 下面我们对问题(3.3)的离散解的稳定性和存在唯一性进行分析和证明，设 为不依赖粘性系数C 的正常数， 在不同的地方有不同的数值。 定义 4.1 我们定义修正的高雷诺数如下： 0, 1 red add Re :inf,. tT h ttX V 引理 4.1[18] 存在不依赖于 的正常数 h ，使得 0, 0, , inf sup. hh hh h h hh qQ Vh hh dq q u u u Copyright © 2012 Hanspub 63  郭英文，冯民富 二维非定常 Navier-Stokes方程的 Euler 隐/显格式子格涡旋粘性非协调有限元法 定理 4.1 当 ，时间步长 2 1 H f 0t 满足 12 redred 01 min1, Re,2Re, hh tGG 2 c (4.1) 即 0red0 ,Re ,,tC u f 时，Euler 隐/显子格粘性非协调有限元问题(3.3)的解 , nn hh pu具有如下稳定性估计： 2 1 red 1 0, Re , n hh u (4.2) 1 222 2 1 redred0 0 00,1 1 Re Re N Nnn hh h n N n tC t uufu. (4.3) 其中 为依赖于的正常数， 1 red 0 ,Re ,,uf 2 2-1 11red0 0, Re h c u。 证明：在(3.3)式中令再等式左右两端同乘以 2 , n hhhh qpvu, nt 则有 11 ,2,2,,2,2,2 nnnnnn th hhhhhhhhhhhh h h dta tbtMt t uuuuuuuuuf u (4.4) 由等式 22 22 ,,2 xyxxyxyxy有 222 2 1 0, 0,0, ,2 . nnn nn th hhhth hhh h dt d uuuuu t (4.5) 因为 2 0, ,2 2,2. h nnn nn hh hhhh h K KT att t uuu uu (4.6) 22 11 1/11 0, 0, 22 2 , 2 2 1 00, 2,, 2,, 1, 4 nnnnnn nn nhhhnhhthhh th hh nnn thhh hh btbdtGd dtG t uuuuu uuuu uuu t (4.7) 其中 2 22 00, 2. nn hh h Gcuu 2 add 0, ,2 2,2. nnnnn n hh hHhHhhh h h M ttIPIP uuuuu ut (4.8) (4.4)式变形可得 11 ,2,2,2,2, ,.2 nnnnnn th hhhhhh hhhhhh h h dta tMttb t uuuuuuf uuuu (4.9) 由(4.4)式右边可得 2122 add 1 add 10 3 ,2 24 n h nnn nn hh h h C tt u fuu fu , h t . (4.10) 结合(4.5)-(4 .10)式得 1 22 222 2 11 2 add1add 0, 0,0,0,1 15 44 nn nnnnnn hh hhhhh hh hh Gt tC uu uuuuuft 关于从 1到求和，有 nN 22 22 2 -11 20 red1 red 00, 0,1 11 1 51 Re Re 44 NN N Nnnn n hhhh hh nnn tGtC uuuu 2 0 h t f u (4.11) 下面我们用数学归纳法证明(4.2)式和(4.3)式： 当时，由0N0 0 huu 可得两式显然成立；当 1N 时，因为 0 red Re hh GtGt u 1N 1 1 ，则显然有(4.2) 式 对 成立。再把带入(4.11)式，则我们有(4.3)式也对1N 0 red Re hh GtGt u 成立；假设 0,1, ,N J 时， (4.2)式和(4.3)式都成立，下证明两式当 1NJ 也成立。 Copyright © 2012 Hanspub 64  郭英文，冯民富 二维非定常 Navier-Stokes方程的 Euler 隐/显格式子格涡旋粘性非协调有限元法 我们由归纳假设和(4.2) 式对 0,1,,N J 成立知， 2 222 2 0r 0, 22R JJ hh h Gtct c uu ed01 e，所以有 ，即 1 red Re J hh GtGt u 11 red Re 11, n hh GtGtnJ u. (4.12) 由此当 +1N J 时，结合定义 4.1，(4.11)式和(4 .12)式可得 222 -1 0 red red 00,1 1 +1 +1 1 1 +Re Re. nn hh h nn JJ JtCt uuf 2 0 h u 即有当 +1N J 时，(4.3)式成立。即由归纳假设可知，(4.3)式对 n 成立。 再由(4.3)式可得 2 11 red 1 0, Re J hh u，即当 +1N J 时，(4.2)式成立，则由归纳法可知，(4.2)式也对 也成立。 n 定理 4.2 Euler隐/显子格粘性非协调有限元格式(3.3)存在唯一解 , nn hhh h pVQ u 1n 。 证明：由于我们要讨论解 的存在唯一性，因此假定已求得,? nn hh puh u。首先证明(3.3)式中解的存在性：(3 .3) 式等价于 11 11 ,,,,,, ,, nn nnnnnnn hhhhhhhhhhhhhhhhhhhh h h h adpdqM b tt uvuvvuuvf vuvuuv 1 , (4.13) 令 111 1 ,;,, ,,, 1 ,,,, nnnnnn n h hhhhhhhhh hhhhhh hh h nnnn hhhhhhhh h , A pqaMd pd q t Fb t u vuvuvuvvu vfvuv uuv 则问题(4.13)即为线性问题：求 ，使 得, nn hhh h pVQu ,;, nn hhhh h ApqFuv v。显然， F 是一个连续线性算子， 由Brouwer 不动点定理可知解存在。 下证明解的唯一性：假设 均为(4.13)式解，令 1122 ,,, nnn n hhh h ppuu 1212 , nn nn nn uh hphh Epp Euu 则 有 1,,,,, nnnnn uhhuh hhp huhhuh h adEdqM t EvEvvEEv 0 n p (4.14) 令 ，有, nnn huh qEvE 22 1 red 0, 0, Re 0 nn uu hh t EE。所以 0 n u E，即问题(3.3)的速度解唯一。再由引理 4.1 的 inf-sup 条件可知，问题(3.3)的压力解也存在且唯一。 5. 误差分析 引理 5.1[19] 存在正常数 ，使得 C 1 0 2 ,0, 0, 0, πd, πd. E K K E EEK E vvsCh v vvsCh v 其中 为π 1k H KPE上的 投影， 2 LE h E ， 11 , H KvHK 。 引理 5.2 (Gronwall 引理)设,,,,, nnn n Ctabcd 0n是非负数，且满足 11 100 ,1 mmm mn nnn nn n atbtadtcCm . 则 11 100 exp, 1. mm m mn nn nn n atbtcCtdm Copyright © 2012 Hanspub 65  郭英文，冯民富 二维非定常 Navier-Stokes方程的 Euler 隐/显格式子格涡旋粘性非协调有限元法 定理 5.1 设 为问题(2.1)的解， 2 21 ,pHXH Qu , nn hhh h pVQ u为问题(3.3)的解， ，则存在不依赖粘性系数 22 222 0 0,; ,LTH xHu,, tttttt uuu 的正常数 C，当 0red 0 Re,, ,tC T u 时，对 , 1, 2,,nN NTt有 12 1 2 -1 2 red red 00, 1 ReRe,,, , N NN nn hh h n tCTph uuuuuth (5.1) 证明：令 nnnn nn nn hhh hh II n euuuuu u。已知在本方法中对, hh KTE 有0 n hK q， 0, 0 nn hK E vu n 。 由上知 nnn hh uu ，则(3.3)式等价于 111 1 ,, ,,,,, ,,, ,,,,,, ,,, ,, nn nnnnnnn thhhhhhhhhh hhhhhhhh h nnn nnnnnnn hth hhhhhhhhhhhh hh nnn n nn hhhhhhh h dabb M , h f daMbebedpd tt tbaM vvuuuvuuuvv vvv vuvuvvu u uvuuvuvuv q (5.2) 又因为 ,,,,,,, 1 ,,,,, 2 hh nnnn nnn hhhh hhhhhhh h nn nn tn hn hhhEhEh hh E E EEE EE fa bdpMdq ttMp vuvuuvv uvu u uvv uvnvunuv n (5.3) 将(5.3)式带入(5.2)式，则有 111 1 ,,,,,,,, ,,,,,,,, 1 ,,, 2 h hh nnnnnnn thhhhhhhhhhhhh tntnhh h h nnnnnnnnnn hhhhhhhh hhthhhhhhE E E nn nhEhh h E EE EE daMbebedtta bbdMMp tR vvvuvuvuuv u uuvuu uvvvuvvn uvunuvv n 234 ,,,. hhh hhh RRRvv v , n h v (5.4) 其中 11 1 1 2 3 4 ,,,,, ,,, ,, 1 ,,,, ,, , 2 . h nnn nnn htntnhhhhhhhhhhh hh nnn hthhhhh hh nn n hnhEhhE hE EE EE n hhh h Rdttb b Rda M Rt p RM vvuuvuuuvuuu vv vv u vvunuvv n vuv , ,n h 令，代入(5.4)式中有 2n hh tW v 22 22 12 add 0, 0,0,0, 1234 2,,2 ,,2 ,2 ,2,2 ,2 nnnnnnnnnn n hhthhh hhhhh hh hh nnnn hhhh hhhh dtbetbett RtRtRtRt uu (5.5) 下面我们估计等式(5.5)右边的每一项，因为 11 1 11 dd nn nn tt tnt ntntnntt tt tdtttttt tt uu uuut 所以 Copyright © 2012 Hanspub 66  郭英文，冯民富 二维非定常 Navier-Stokes方程的 Euler 隐/显格式子格涡旋粘性非协调有限元法 1 11 1 11 1 ,,d,, n n tnnnnnn hntth hhhhhhhhhh hh t Rttttb b t vuvuuuvuu ,,uv 则 1 12 22 12 1 11 0, 00,0,0, d n n tnn n ntthh th hhh t RCt tttCd uuuu h t 22 2add 2 2 11, 0, 0, add 2 12 0, ,2 12 4 n h nnn htttnht h nhh hh nn n hh h h C Rt tttd GG t uu uu h t (5.6) 下面估计(5.5)式右边的第二项， 22 add 1, 0,0,1, add 22 add 0, 0, ,2 12 ,2,22 12 n h nnn nnn th thht n hh h hh n add h nnnnnn n hhhh h hh C dCd d aM h (5.7) 下面估计(5.5)式右边的第三项，由[20]知 0, 0, , h nn nh h hh EEE tChA uu n n , (5.8) 2 0,0, 1, 2h nnnnn Eh h h EE Ch A uuunh , (5.9) 0, 0, , h nnn n hE h h EE pChp nh , (5.10) 24 add 2 30,0, 0, add ,2 12 n h nn n hh n hh hh C Rh u2 n h Ap (5.11) 最后我们估计(5.5)式右边的第四项得 2 add 2 40,0,0,0, ,2 12 n h nnnn hH Hhh hh h h RIPIP ChA uu 2 n h (5.12) 又因为 0,0,0, 0, 222 add 2 0,0,0, 0,0,0,0, add ,,2 ,,2,,2 ,,2 ,,2 ,,2 ,,2 12 nn nnn nnn nnnnnnn hhhhhh hhhhhh nn nnn nnnnn hhhhh hh hhhh n h nnnnnn n hh n hhhhhhh h beb ebbb bbC C ChA uuuu uu uu 2 u 2 0, 224 0, 0,0, add add n hh nn n nn hh h hh CC u (5.13) 将上面的式子代入(5.5)式，整理得 Copyright © 2012 Hanspub 67  郭英文，冯民富 二维非定常 Navier-Stokes方程的 Euler 隐/显格式子格涡旋粘性非协调有限元法 22 22 1 1 add 0, 0,0,0,0, 22 22 2 2 1, 1, 0,0, add add 222 2 0,0, 0, add 11 3 222 4 nnn nnnnn hhh hhhh hh hh nnnn taddttt n nn h hh h h h nnn h nhhh h GttG ttt CC dttCHAt tt ChA t uu uu uu 2 h 42 4 add 0, 0, add 242 0,0, add nn h nhh h nn nhh h ChA tCA t Ch Apt n uu u 由(4.1)式和定理 4.1 可知 11 red red ReRe0,0 n hh Gt Gtn uN . 对 从1到求和，则 nN 2 22 2 22 22 2222 22 2221 22 2 14 redred 0, ; 00, 1 22 22 red redred0, ; 0, 1 22 22 red 0, ;0, ; 2 4 24 red red 0, ;0, ;0, 1Re Re 2 Re ReRe Re Re Re N Nn hht LTH h n Nn htt LTH h n LTH LTH h LTHLTH h tCh CthCt Ch CH Chp Ch u u uu u0 由三角不等式，可知 0000 00002 0,0, 0,0, 0, 0 0, n hhhh hh hhhhh II uu uuuuuuu h ChA 取为在中的插值函数，即令 0 h u0 uVh0 0hh I uu ，则 02 00 0, 0, hh hCh Auuu ，02 00, 0, hh hCh A u。使用离散的 Gronwall 不等式，则存在正常数 red Re, , ,CuT使得 22 12 red 00, 1 1Re 2 N Nn hh h n tCht 22 h (5.14) 又 22 12 red 00, 1 1Re 2 N Nn h n tCht 22 h ，由三角不等式即可得(5.1)式。 定理 5.2 设 , nn hhh h pVQu为问题(3.3)的解， 2 21 ,pHXH Qu ;, 为问题(2.1) 解， 2 22 ; ,,,H pL 21 0, 0 tttttt LT THuu u, 2 2 0, ;LTH u，则存在不依赖粘性系数 的正常数 red Re ,C,,pTu，使得 321212 12 0, 1 Nnn hh n tppC thththt (5.15) 证明：对(2.1)式的第 n层，两边同乘以 h Vh v，并在单元 K上积分后运用Green公式，则我们可得 ,,,,,,, nnn nnn tnhhhhhh hhhhh h hh tab dpdqfL uvuvuuvvuvv 其中 1d 2 h nnn hhnhE hhE EEE Lt p s u vvunuvv nn Copyright © 2012 Hanspub 68  郭英文，冯民富 二维非定常 Navier-Stokes方程的 Euler 隐/显格式子格涡旋粘性非协调有限元法 结合(3.3)式，有 1 11 , ,, ,,,, 1, ,, , ,,, nnnn n n hhhhhh hh hhh nn nn nhhhhhh h nnnnn hhhhhhhhh nnnnn hhhhhh hh Jp pJpppp ta tt bb ML Jp pMp vvvv uuuvuuv uuvu u vuvv vuuv v h h 由(5.8)，(5.1 0)式可得 2 0, 00, nn hh h h h LChApvu v (5.16) 结合(4.12)，(5.6 )，(5.13) 式，我们可知 1 11 11 1 1, 00 0, 0,0, 0, 0 0, ,,,,,,, nn nnn nn nnn hh hhhhhhhhh hhhh nnnnnnnn ttt nhhh hhh h nn n hh h h abb M tt Ctt hA uu uvuuvuuvuuvuv uuuuuuuu uuu v u 综上，对 从1到求和，再由(5.1)式和 ，的正则性，则存在不依赖粘性系数nNn un p 的正常数 C，使 321212 12 0, 1 , Nnn hh h h h n pptCt hththt vv (5.17) 由引理 4.1 知 0, 0, div , sup hh nn hh h h nn hh hVhh Jpp Jp pC v v v, 所以，利用三角不等式和(5.17)式，有 0,0, 0,0 11 111 0, 32121212 div , sup hh nn NN NNN hh h h nnnnnnn hhh h hhh V nn nnn hh Jp p tpptJpptpJpCtCht p C thththt v v v (5.18) 所以有(5.15)式的压力估计。 6. 结论 本文对高雷诺数情形下，非定常不可压 Navier-Stokes 方程采用Euler 隐/显格式子格粘性方法，用非协调 C-R 元逼近，有效地克服了在情形下 Galerkin 混合有限元方法的不稳定现象，改善了稳定性下对时间步长的限制， 给出了稳定性分析和不依赖粘性系数 Re 的误差估计。该有限元方法很容易推广到满足inf-sup 条件的高阶有限元 情况。 7. 致谢 非常感谢参考文献中作者的思 想、 结论对本 文的 启发和帮 助， 同时也非 常感 谢评审专 家及 编者对本 文提出 的宝贵意见。 Copyright © 2012 Hanspub 69  郭英文，冯民富 二维非定常 Navier-Stokes方程的 Euler 隐/显格式子格涡旋粘性非协调有限元法 Copyright © 2012 Hanspub 70 参考文献 (References) [1] Y. N. He. The euler implicit/explicit scheme for the 2D time-dependent Navier-Stokes equations with smooth or non-smooth initial data. Mathematics of Computation, 2008, 77(264): 2097-2124. [2] L. G. Davis, F. Pahlevani. Semi-implicit schemes for transient Navier-Stokes equations and eddy viscosity models. Wiley InterScience, 2007: 1-20. [3] J. Li, Y. He and Z. Chen. A new stabilized finite element method for the transient Navier-Stokes equations. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2007, 197(1-4): 22-35. [4] R. Temam. Navier-Stokes equations and nonlinear functional analysis. 2nd Edition, Philadelphia: SIAM, 1995. [5] W. Layton, L. Tobiska. A two-level method with backtrackking for the Navier-Stokes equations. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1998, 35(5): 2035-2054. [6] V. Girault, P. A. Raviart. Finite element method for Navier-Stokes equations: Theory and algorithms. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1987. [7] M. Crouzeix, P. Raviart. Conforming and nonconforming finite element methods for solving the stationary Stokes equations I. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 1973, 7(R3): 33-75. [8] A. Quarteroni, A. Valli. Numerical approximation of partial differential equations. Berlin: Springer-Verlag, 1997. [9] T. J. R. Hughes, A. N. Brooks. A multi-dimensional up-wind scheme with no crosswind Diffusion. In: T. J. R. Hughes, Ed., Finite element methods for convection domination flows. ASME Monograph AMD-34, 1979: 19-35. [10] J.-L. Guermond. Stabilization of Galerkin approximation of transport equations by subgrid modeling. Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 1999, 33(6): 1293-1316. [11] W. Layton. A connection between subgrid scale eddy viscosity and mixed methods. Applied Mathematics and Computation, 2002, 133(1): 147-157. [12] V. John, S. Kaya. A finite element variational multiscale method for the Navier-Stokes equations. SIAM Journal on Scientific Computing, 2005, 26(5): 1485-1503. [13] V. John, S. Kaya. Finite element error analysis of a variational multiscale method for the Navier-Stokes equations. Advances in Computational Mathematics, 2008, 28: 43-61. [14] S. Kaya, B. Riviere. A discontinuous subgrid eddy viscosity method for the time-dependent Navier-Stokes equations. SIAM Journal on Nu- merical Analysis, 2005, 43(4): 1572-1595. [15] S. Kaya, W. Layton. Subgrid-scale eddy viscosity methods are variational multiscale method. Tech. Report TR-MATH 03-05, University of Pittsburgh, 2003. [16] J. G. Heywood, R. Rannacher. Finite-element approximations of the nonstationary Navier-Stokes problem, Part I: Regularity of solutions and second-order spatial discretization. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1982, 19(2): 275-311. [17] R. Temam. Navier-Stokes equations: Theory and numerical analysis. 3rd Edition, Amsterdam: North-Holland, 1983. [18] 王烈衡, 许学军. 有限元方法的数学基础[M]. 北京: 科学出版社, 2004. [19] V. John, J. Maubach and L. Tobiska. Nonconforming streamline-diffusion-finite-element-methods for convection-diffusion problems. Nu- merische Mathematik, 1997, 78: 165-188. [20] Z. Cai, J. Douglas Jr. and X. Ye. A stable nonconforming quadric-lateral finite element method for the stationary Stokes and Navier-Stokes equations. Calcolo, 1999, 36: 215-232. |