 Journal of Water Resources Research 水资源研究, 2012, 1, 136-140 http://dx.doi.org/10.12677/jwrr.2012.13019 Published Online June 2012 (http://www.hanspub.org/journal/jwrr.html) Chaos Phenomenon of the Monthly Rainfall in the Taolai River Basin* Wenyan Li, Linshan Yang, Wenjin Yang College of Earth and Environment Science, Lanzhou University, Lanzhou Email: liwy10@lzu.edu.cn Received: Mar. 21st, 2012; revised: Apr. 14th, 2012; accepted: Apr. 28th, 2012 Abstract: As one of the important sources, rainfall in upper reaches of inland rivers in arid regions of north- western China plays key roles in not only the surface runoff generation, water transformation and utilization, but also regional drought and flooding to some certain extent. For a better understanding of characteristics of the rainfall, the Taolai River basin is selected as the study area. The method of Chaos is used to determine the two key parameters of the Saturation Correlation Dimension and Kolmogorov Entropy based on the statistics of the observed monthly rainfall series from three representatively hydro-meteorological stations in the upper, middle and lower reaches of the river, respectively. Determination of the two key parameters resulted in rela- tively chaotic features for the time series of the monthly rainfall across the Taolai River basin. Furthermore, reciprocal of the Kolmogorov entropy described a possible temporal forecasting scale of 10 months in this region. This study can help to understand the complex rainfall regime and analyze precipitation-runoff proc- esses in arid regions. Keywords: Chaotic Theory; Saturation Correlation Dimension; Kolmogorov Entropy; Taolai River Basin 讨赖河流域月降水时间序列中的混沌现象* 李文艳，杨林山，杨文瑾 兰州大学资源环境学院，兰州 Email: liwy10@lzu.edu.cn 收稿日期：2012 年3月21 日；修回日期：2012 年4月14日；录用日期：2012 年4月28 日 摘 要：降水是我国西北干旱内陆河 流域出山径流的重要补给来 源，很大程度上影响着流域水资 源的形 成转化、开发利用以及旱涝灾害等过程。本文以讨赖河流域为研究区，基于流域上、中、下游 3个典型 站点的月降水序列资料，采用混沌理论分析方法，以饱和关联维数和 Kolmogorov 熵为控制参量，计算 并探讨该区月降水序列中的混沌特性 。计算结果表明，讨赖河流域降水过程在月时 间尺度上具有混沌特 征，3个典型站的 1/Kolmogorov 值得出的流域降水的可预报长度为 10 个月左右。本研究有助于深入理 解干旱内陆河流域复杂降水过程变化 规律，对降水–径 流过程的研究具有序列特征 方面的指导意义。 关键词：混沌理论；饱和关联度；Kolmogorov Entropy；讨赖河流域 混沌运动是一种由确定性系统产生的、对初始条 件具有敏感依赖性、永不重复的、回复性非周期运动， 广泛存在于气象、水文、医学、电子、信息科学等众 多领域。混沌理论及其应用消除了确定论和概率论之 间的鸿沟，将确定性和内在随机性统一于一体，准确 *基金项目：国家重点基础研究发展计划(973 计划)项(2009CB421306)； 兰州大学中央高校基本科研业务费专项资金(lzujbky-2012-k41)。 作者简介：李文艳(1989-)，女，汉族，甘肃庆阳人，硕士研究生， 主要研究方向为干旱区水资源及水文模拟。 Copyright © 2012 Hanspub 136  李文艳，等：讨赖河流域月降水时间序列中的混沌现象 第1卷 · 第3期 描述了整体稳定、局部不稳定的复杂动力系统，深刻 揭示了系统运动中有序和无序相互转化的辩证关系 [1]。混沌现象的发现，开启了简化复杂现象的可能性， 拓展了人们对某些现象的认识和预测能力，然而，由 于混沌理论是基于基本假定发展的，因此关于水文过 程中存在混沌现象的报道经常招到质疑[2]，对于混沌 理论目前尚无通用的严格定义，一般认为，将不是由 随机性外因引起的，而是由确定性方程(内因)直接得 到的具有随机性的运动状态称为混沌，即混沌是由确 定性产生的貌似随机性的非周期行为[3]。常用表征系 统混沌特性的量有：连续功率谱、饱和关联维数、 Lyapunov 指数和Kolmogorov 熵，相应的关于混沌时 间序列判别的基本方法有：功率谱法、主分量分析 (PAC)方法、Poincare 截面法、Lyapunov 指数法、c-c 方法等[4]，上述量均为从某一方面判断水文序列是否 为混沌序列的必要条件。 讨赖河属黑河水系一级支流，为我国典型的干旱 内陆河，降水是该流域水量补给的一项主要来源，因 此降水在很大程度上影响着流域水资源开发和利用， 及与水有关的干旱、洪涝等自然现象，研究讨赖河流 域降水的演变特性，对于其水文水资源系统的预报、 模拟十分重要。本文结合讨赖河流域上、中、下游 3 个代表水文站的月降水资料，从饱和关联维数及 Kolmogorov 熵这 2方面对月降水时间序列的混沌特 性进行分析。 1. 研究方法与理论 1.1. 相空间重构 相空间重构的基本思想是：系统中任一分量的演 化都是由与其相互作用着的其它分量决定的，因此这 些相关分量的信息就隐含在任一分量的发展过程中， 要重构一个等价的状态空间，只需考察一个分量，并 将它在某些固定的时间延迟点上的测量作为新维处 理，它们确定了某个多维状态空间中的一点。重复这 一过程并测量相对于不同时间的各延迟量，就可以产 生出许多这样的点，它可以将吸引子的许多性质保存 下来，即用系统的一个观察量可以重构出原动力系统 模型，可以初步确定系统的真实相空间的维数[5]。降 水系统极其复杂，可认为是一动力系统，其系统演化 的动力方程用动力系统控制方程描述[6]： 12 d,, 1,2, d i im x f xx xim t (1) 系统的时间演变由多个变量 12 ,m x xx所组成 的m维相空间的轨迹来刻划。 12 ,, T m X txtxtxt (2) 对于单变量降水时间序列，只需将(1)式变换成 m 阶非线性微分方程，即： 1 ,, ,, m xFxxxx m (3) 变换后的降水系统的新轨迹为： 1 ,,, T m X txtxtxt (4) 将(4)式离散化，即为单变量延滞时间的降水时间 序列 1, 2,, x ii n的重构相空间： ,,2,, 1 T X txtxtxtxtm (5) 1, 2,,tN ，即： 111 11 222 21 1 ,, ,, ,, m m lll lm xx x xx x xx x X X X (6) 式中， 为滞时；l为相点数， 1ln m ；表 示等价于；X(t)为m维相空间矢量。 式(5)描述了降水系统在 m维相空间的演化轨迹。 水文水资源系统相空间重构的关键在于确定滞时 τ和 嵌入维数m。实际工作中，τ和m都不宜过大和过小。 τ太小会导致关联维数被低估，τ太大会导致相空间重 建的相关信息丢失，进而高估关联维数[7]，m过小， 将无法容纳所研究系统的吸引子，因而无法全面展示 该系统的动力特性；m过大，除加大计算工作量外， 还将减少可使用数据长度，使所建相空间中的相点显 得过于稀疏[8]，选取滞时τ的常用方法有自相关函数 法和互信息法，嵌入维数 m常用关联指数法确定[9]， m至少应大于其状态空间的饱和关联维 D2的2倍加 1，即 m > 2·D2 + 1[10]。一般的作法是从小到大尝试不 同的嵌入维数 m值，直到维数的变化对关联维数大小 不产生显著的影响[7]。 Copyright © 2012 Hanspub 137  李文艳，等：讨赖河流域月降水时间序列中的混沌现象 Copyright © 2012 Hanspub 第1卷 · 第3期 138 1.2. 饱和分维数 D2计算 混沌系统是，1/K为系统的可预报长度。Kolmogorov 熵的计算公式如下： 一般地说，混沌系统的维数为一个正的分数，而 随机系统为无穷大，确定性系统的维数则为1~3 的整 数[11]。在所重构相空间的序列 X1, X2, ···, Xl中，设 rij 为任意两向量之差的绝对值(即欧氏距离)，然后给定 一个数 r0，r0的取值必须介于rij 中的最大值和最小值 之间。适当调整 r0的大小，可算出一组 lnr0和lnC(r) 的值，从而通过式(7)计算关联维数 D2 [12]。即lnC-lnr 图上无标度区曲线的斜率便是关联维数 D2 [2]。 2 22 1 1ln m m Cr KCr (10) 2. 实例研究 2.1. 基本资料 2 0 lim ln,ln r DmCrm r 0 (7) 以讨赖河流域上、中、下游 3个代表水文站实测 年降水量时间序列为例，研究年降水量时间序列是否 存在混沌特性。基本资料情况见表1。 0 ,1 1 ,1 ,1,2, l ij CrmHrXiXj ll ij n (8) 2.2. 相空间重构 设某站 i年j月降水时间序列{pi,j}(i = 1, 2, ···, n; j = 1, 2, ···, 12)；将{pi,j}表示成长序列xt(t = 1, 2, ···, 12n)。要重构相空间,必须先确定滞时 τ。本文选择用 自相关系数法确定滞时τ，计算公式见式(11)。 式中，H为Heaviside 单位函数，即： 1, 0 0, 0 x HX x (9) 1 2 1 n tt t kn t t x xx x r xx (11) 1.3. Kolmogorov熵 Kolmogorov 熵是表征混沌特性的另一个重要指 标，它是用来描述了混沌轨道随时间演化信息的产生 率的，可以通过度量系统运动的混乱程度来区分系统 是规则运动、混沌运动还是随机运动的[13]。一般情况 下，K = 0 代表系统为规则运动，K = ∞表示系统为随 机运动，0 < K < ∞便表征系统是混沌运动，当系统为 式中，表示第 k阶自相关系数；x为 k rt x 均值。自相 关系数第一次接近 0时对应的 τ即为所求的滞时。由 此得出的自相关函数图见图 1，因此可知祁连与酒泉 最佳滞时为3，金塔的最佳滞时为 2。 的 Table 1. Data profiles of precipitation in the Taolai River Basin 表1. 讨赖河流域典型代表站降水资料概况 站名 资料长度(a) 起止时间 上游山区 祁连 50 1956~2005 中游平原 酒泉 55 1951~2005 下游平原 金塔 17 1989~2005 祁连 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 123456789 滞时 / 月 自相关系数 /rk 酒泉 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 123456789 滞时 / 月 自相关系数 /r k 金塔 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 123456789 滞时 / 月 自相关系数/r k 自相关系数 /rk Figure 1. The autocorrelation function of monthly precipitation series in Taolai River Basin 图1. 讨赖河流域月降水系列自相关函数  李文艳，等：讨赖河流域月降水时间序列中的混沌现象 第1卷 · 第3期 2.3. 饱和关联维数 D2计算 根据式(7)、(8)、(9)绘制祁连、酒泉、金塔3个 站点在不同嵌入维数 m下的 lnr-lnC的关系图，见图 2。 由图 2可以看出，祁连，酒泉和金塔这 3个站在 不同的嵌入维数 m条件下，其 lnr-lnC关系曲线均存 在直线相关部分，即存在无标度区，由此说明讨赖河 流域月降水系列的分布具有混沌特性。lnr-lnC关系曲 线中直线部分的斜率即为各嵌入维 m所对应的关联 维数，由此绘制得到 3个站的关联维数与嵌入维数的 关系图如图 3所示。 分析图 3中各站点的嵌入维数m与关联维数的关 系可以看出：对于祁连站降水序列当m = 14 时，关联 维数 D趋于稳定，并达到饱和值 4.75，即祁连站降水 序列的饱和关联维数 D2 = 4.75，因此祁连站的月降水 序列具有混沌特征，在嵌入空间达到14维的条件下， 系统具有了稳定的混沌吸引子4.75；对于酒泉站降水 序列，当m = 17时，关联维数 D趋于稳定，并达到 饱和值 5.35，即酒泉站降水序列的饱和关联维数 D2 = 5.35，因此酒泉站的月降水序列具有混沌特征，在嵌 入空间达到 17 维的条件下，系统具有了稳定的混沌 吸引子 5.35；同样，金塔站的月降水序列在m = 14 时， 关联维数 D趋于稳定，达到饱和值3.09，即金塔站月 降水序列的饱和关联维数 D2 = 3.09，因此金塔站月降 水序列具有混沌特征，在嵌入空间达到 14 维的条件 下，系统具有了稳定的混沌吸引子3.09。 2.4. Kolmogorov熵计算 图4描述了 K与m的变化关系，由图 4可以看出， 讨赖河流域上下游 3个站点均呈现出随着 m的增加， K逐渐趋于稳定(即达到K的估计值 K2)的特性，且对 于祁连站，当m = 14时，K达到稳定值0.102，对于 金塔和酒泉站，当 m = 17时，K值分别达到稳定值 0.095 和0.098，再次说明讨赖河流域降水系统具有混 沌特性(0 < K < ∞)，同时 3个代表站降水系统的可预 报长度均为 10个月左右。 祁连 m=18 m=2 -5 -4 -3 -2 -1 0 3 3.5 4 4.5 5 lnr lnC 酒泉 m=20 m=2 -5 -4 -3 -2 -1 0 22.533.54 lnr lnC 金塔 m=2 m=17 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 2 2.53 3.5 4 lnr lnC Figure 2. Diagram of lnr-lnC 图2. lnr-lnC关系图 祁连 0 2 4 6 2468101214 1618 m D(m) 酒泉 0 2 4 6 2581114 17 20 m D(m) 金塔 0 1 2 3 4 24681012 14 16 m D(m) Figure 3. Relation diagram of m and D 图3. m-D关系图 祁连 0 0.1 0.2 0.3 0.4 2468101214 16 18 m K 酒泉 0 0.03 0.06 0.09 0.12 246810 12 14 16 18 m K 金塔 0 0.03 0.06 0.09 0.12 24681012 14 16 m K Figure 4. Relation diagram of K and m 图4. K与m的变化关系 Copyright © 2012 Hanspub 139  李文艳，等：讨赖河流域月降水时间序列中的混沌现象 第1卷 · 第3期 Table 2. T2 and K2 表2. 站名 滞时 τ 饱和关联维数 D2 Kolmogorov熵K2 预报长度(月) he calculated results of τ, D 滞时 τ，饱和关联维数与 Kolmogorov 熵计算成果 祁连 3 4.75 0.102 10 酒泉 3 5.35 0.095 10 金塔 2 3.09 0.098 10 . 结论 通过混沌理论的计算方法，对讨赖河流域上中下 游3 多变降水系 统可能是 致谢 在本篇文章完成之际，要特别感谢国家重点基础 研究 参考文献 [1] 李红霞, 许士国, 徐向舟, 等. 混沌理论在水文领域中的研究 et al. Present situation ogy: Important issues CHEN Xueyun. Chaos theory and its 汝颜. 东江流域降水时间序列的混沌特 征分析[J]. 中山大学学报, 2006, 45(4): 111-115. aotic charac- 瀚. 混沌时间序列相空间重构参数的选取方法 of the parameters for 现象 g, et al. Chaos analy- 学中的应用与 pplication r ensemble predict- . 流域降水径流时间序列的混沌识别及其预 gnosis of 上游川中地区降水时间序列的 os analy- [J]. Chaos analysis of monthly s based ov 熵的应用 y on Kolmo- 3 个典型代表水文站的月降水序列进行了分析和计 算，由计算得出的饱和关联维与 Kolmogorov 熵(表2) 可以看出，讨赖河流域降水系统具有混沌特性，并且 该系统可预报长度为 10个月左右。 由本次分析计算可以看出，看似复杂 混沌动力演化的结果，只有认识到降水系统 的混沌特性，才能更好地掌握降水的变化规律，为水 文预报做出贡献。 4. 发展计划(973 计划)项目(2009CB421306)和兰州大 学中央高校基本科研业务 费专项资金资助(lzujbky- 2012-k41)。同时感谢在文章完成过程中我的导师李常 斌副教授的细心指导，并感谢合作者杨文瑾在数据整 理方面给予的帮助，最后感谢参考文献中所列的各位 老师在研究方法与思路上给予的帮助。 (References) 现状及展望[J]. 水文, 2007, 27(6): 1-5. LI Hongxia, XU Tuguo, XU Xiangzhou, and prospect of chaos theory in hydrology. Journal of China Hydrology, 2007, 27(6): 1-5. (in Chinese) [2] SIVAKUMAR, B. Chaos theory in hydrol and interpretations. Journal of Hydrology, 2000, 227: 1-20. [3] 唐巍, 李殿璞, 陈学允. 混沌理论及其应用研究[J]. 电力系 研究 统自动化, 2000, 4: 67-70. TANG Wei, LI Dianpu and application. Automation of Electric Power Systems, 2000, 4: 67-70. (in Chinese) [4] 石教智, 陈晓宏, 林 SHI Jiaozhi, CHEN Xiaohong and LIN Ruyan. Ch teristics of precipitation time series in the Dongjiang River Val- ley. 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