 Computer Science and Application 计算机科学与应用, 2012, 2, 108-113 http://dx.doi.org/10.12677/csa.2012.22020 Published Online June 2012 (http://www.hanspub.org/journal/csa) Pulse Signal-Based Weighting Closed-Loop Iterative Learning Control for Large-Scale Linear Systems Jianling Cui1, Chao Li1, Dongning Di1, Shuaishuai Gong2 1No.01, P.O.Box.085, Luoyang 2No.01, P.O.Box.059, Luoyang Email: jlcui.math@stu.xjtu.edu.cn Received: May 7th, 2012; revised: May 19th, 2012; accepted: May 24th, 2012 Abstract: In this paper, the pulse signal-based closed-loop PD-type iterative learning control algorithms are proposed for steady-state hierarchical optimizing control of large-scale linear industrial processes. The convergence of the updat- ing rules is analyzed in the sense of Lebesgue-p norm by using the generalized Young inequality of convolution integral. Numerical simulations show that the PD-type iterative learning control algorithms presented by a pulse signal may ef- fectively suppress the tracking error caused by the initial state shifts and simultaneously can significantly improve the transient performance of the system such as with no or less overshooting, quick transient response, short setting time and so on. Furthermore, it exhibits the validity of the theoretical analysis. Keywords: Large-Scale Linear Systems; Iterative Learning Control; Initial State Shift; Transient Performance; Lebesgue-p Norm 线性大系统基于脉冲型信号的加权闭环迭代学习控制 崔建岭 1，李 超1，狄东宁 1，宫帅帅 2 1洛阳市 085 信箱转 01 号，洛阳 2洛阳市 059 信箱转 01 号，洛阳 Email: jlcui.math@stu.xjtu.edu.cn 收稿日期：2012 年5月7日；修回日期：2012年5月19 日；录用日期：2012年5月24日 摘 要：本文针对线性大工业过程的稳态递阶优化控制，当系统存在初始状态漂移时，研究了基于脉冲型信号 的加权闭环 PD-型迭代学习控制算法，并在 Lebesgue-p范数意义下利用推广的 Young卷积不等式分析了算法的 收敛性。数字仿真表明，引入脉冲型信号的加权 PD-型迭代学习控制算法能有效地减小初始状态漂移引起的跟 踪误差，并能显著改善系统暂态响应的动态品质，如抑制超调，加快响应速度，缩短过渡时间等，有效的验证 了理论分析的正确性。 关键词：线性大系统；迭代学习控制；初始状态漂移；动态品质；Lebesgue-p范数 1. 引言 像许多化工工业、冶金工业、电力工业和发酵工 业等由若干个子过程构成的复杂大工业过程，通常情 况下，其整个工业过程控制被设计为连续或间歇的运 行在某一特定的稳态工况。但是在生产过程中，由于 环境条件的变化、各种原材料以及触媒剂成分的改变 等慢扰动的存在使得工业过程偏离最优工况。因此， 为了提高产品产量和质量，必须对工业过程实施在线 递阶稳态优化[1]。然而由于许多大工业过程控制的复 杂性和子系统之间的关联特性，其动态品质不是非常 令人满意，如暂态响应过于缓慢，过渡时间过长等。 这使得一些优良的闭环稳态优化算法很难付诸实施。 Copyright © 2012 Hanspub 108  线性大系统基于脉冲型信号的加权闭环迭代学习控制 因此，如何进一步改善大工业过程递阶稳态优化进程 中暂态响应的动态品质是亟需解决的问题。 文献[2,3]分别针对线性和非线性大工业系统提 出了加权 PD-型迭代学习算法，并创新性的给出在 Lebesgue-p范数意义下算法的收敛性分析，但为了保 证跟踪误差的渐进收敛性，系统要求每次运行时的初 始状态始终与理想轨线的初始 状态相 一致。然而，由 于不可避免的测量误差或系统执行元器件灵敏度的 局限性，要求系统每次运行时的初始状态与理想轨线 的初始状态相一致是非常苛刻 的。因此本文针对线性 大工业过程，当系统存在初始状态漂移时，研究基于 脉冲型信号的加权闭环 PD-型迭代学习控制算法。并 在Lebesgue-p范数意义下利用推广的 Young 卷积不 等式分析算法的收敛性，数值仿真验证算法的有效 性。 2. 控制结构与算法 考虑如下一类具有 N个子系统组成的线性大系统 () 1, D,1,2, C,00 N ii iiiji i jji iiii , x txtut xti yt xtx N (1) 假设稳态优化协调层产生的子系统i的幅值不等的控制器设定值改变序列为： 111 21212 2212 12 ,,,, ,,,,, ,,,,1,2, ii i TT T ii i iii iiiiii kkk mm mk cccccccccccck 满足： 0,1,2, ,,1,2, , i lj cl mj k。令： 11121 2122212 12 Gdiag, ,,,Gdiag, ,,,,Gdiag, ,, ii ii iii iiiiii kkk mm cc ccc ccc c i i mk 对于系统(1)中的每个子系统提出基于脉冲型信号的加权闭环PD- 型迭代学习控制算法： 1 11 0 11 GGB 0 ,0,,2,3, k i iiiiiiiiii ii kkkkpkdkkk d ii ututet ett yCx ut ctTk , (2) 其中： 1, 0; 0, . i k i ik k i k t t tT 为一脉冲型函数序列，在工业应用中， 常被 限制在一定范围内，即 ；k为迭代次数， 和 i kt L i kt , ii dd Bk i 分别表示比例学习增益、微分学习增益 和补偿增益； 为加权系数矩阵，目的是使 得当控制输入 施加于控制系统(1)时，当系统暂 态进程结束后， 的稳态值等于控制器设定值 ，即 ；表示 理想轨线与实际输出的误差，其中理想轨线的选取参 照文献[4]。 1 GG ii kk i k ut i k u ii kk uc 1 t k i i d ety i k c 1 11kk ty t i k 当迭代学习控制律(2)施加到系统(1)，系统第 k 次运行的动态方程为： 1, D C, 00 N iiiii iji kkk jji iiii kkk x txtutx yt xtx t (3) 由于在每次迭代过程中重置初始状态都会使误差 不可避免地产生，从而导致初始状态随机的变化，因 此我们假定每次迭代时系统的初始状态满足不等式： 1 0 0 11 G0 kii i jj ip xx o kk (4) 3. 收敛性分析 为了从整体上对大系统进行收敛性分析，按照文 献[4]中的方法对系统进行整理，相应的迭代学习控制 法(2)转化为： 算 1 11 GGB 0 kk kkkkpkdkkd utu tetettyCx 0 系统第 k次运行时的控制输出为： k (5) 0 Cexp A0Cexp ABd t kk yttxt u Copyright © 2012 Hanspub 109  线性大系统基于脉冲型信号的加权闭环迭代学习控制 下的引理： 引理[4] 如果初始状态满足不等式(4)，则： 对初始状态满足的不等式(4)可得如 1 0 lim G00 kk p kxx (6) 在大工业过程控制中，由于子系统之间存在关 联，而且系统控制关于控制输入信号的响应也不满足 叠加原理，因此，一般情况下，迭代学习控制不能保 证控制系统的输出完全跟踪理想轨线。但将迭代学习 控制算法(2)施加于控制系统(1)时，我们可得如下的定 理。 定理 如果线性稳定大系统(1)的初始状态满足不 等式(4)，矩 阵 Cexp ABt 若比例学习增益 非奇异，采用迭代学习控 制算法(5)，Γ p ，微分学习增益 满 足条件： Γd 111 1 11 1 1 SCBGGSSCexpAABBGGS k kdkkkkd pkkk I 则系统的输出误差在Lebesgue-p范数意义下是有界的。 证明： 由于控制器设定值的不同，使得系统每次运行的 稳态输出值不相等，为了分析系统输出误差的收敛情 况和对输出误差的影响因素，本文用 1 Skk et 来衡量 系统的输出误差，即： 1 111 1111 111 11 11 1 111 1 11 11 0 0 SSS SSSS SSCexpA0SCexpA0 SCexpABGGB0C kk kk kkkdkkkdk kkkk k kkkk kk t kkkkpkdkkd etytytytytyty t et txtx tueeyx 11111 11111 0 11 11 11 1 0 d SCexpABdSSCBGGSCexpABGG0 SCexpA0SCexpA0SCexpAABBGGd S t kkkkkkkdkkkk t kkk kkdpkkk tuetett e tx txte 1 1 dk 11 1 1111 0 11 10 0 CexpABGSCexp ABGGd SCexpABGGBd0Cd kk t kkkkkk t kkkkd ttu tyx 式中： 11 10 0 11 10 0 11 10 0 11 10 SC expABGGBd0C 1SC expABGGB0Cd, 0; 1SCexpA BGGB 0Cd, . SCexpAMBGG0 C kk kk k kk kk t kkkkd t kkkd k kkkd k kkkd tyx tyx tyx ttBy x k k t t 其中 expA, 0. M expA, 0. tt k k tt t t k 进一步整理可得： 11111 11 111 1 0 11 111 0 ISCBGG S SSSCexpAABBGG SSd SCexpABGSCexpABGGd t kdkk k kkkkkdp kk kkk t kkkkk ete tte tt 1 1 k u 11 10 111 0 SCexpAMBGGB0 SCexpAGG0SCexpAG kk kkkd kkkkkk tty Cx tx tx Copyright © 2012 Hanspub 110  线性大系统基于脉冲型信号的加权闭环迭代学习控制 11 11110 1 1 G0 SCexpAG CexpAG kkkk x tx tx 1 1 SCexpA k t 1 11 0 1 1 G G S SGG GC G C k k k kdkk dk t x 1 SC expA kk 1 C expABt 0 1 10 G 0 G G0 k kkk kkd x x y 1 SC expA B k t 对上式两边同时取Lebesgue-p范数，并利用推广的Young 卷积 式，可以得到： 不等 111 1 111 111 11 1 ISCB GGSSS SCexpAABBGGSS SCe k kdkkkkk kk pp kdpkkkkk p ee e 11 11 1 0 B SCexpABC k 11 1 11 11 GSCexp ABGG G GMBGBG0 kk kkkkk p dkkkkd xp A p u yx 0 11 11 110 11 1 G SCexpAGG0 SCexpAGSCexpAG kkkk p kkkk p kkk k xx 11 SCexpAG 0xx 10 111 10 SCexpABGGGCG0 p kdkkkkk p x xx (7) 定义： 11 111 1 11 1 11 11 1 111 1 11 1 11 11 ES, UG 1 IS CBGGSS CexpAABBGGS SCexpA BGSCexpABG IS CBGGSS CexpAABBGGS SCexpAGSCexpA G IS kkkk kk pp k kdkk kkdpkk k kkk k k kdkkkkd pkkk kkk k k k eu 111 1 11 1 111 11 111 1 11 1 CB GG SSCexpAABBGG S SCexpAB GGMBG BG IS CBGGSS CexpAABBGGS k dkkkkdpkkk kdkkkk k kdkk kkdpkk k 不等式(7)可化为： 110 0 11 0 111 1 11 1 11 11110 111 1 EE U0C SCexpAGG0 ISCB GGSSCexpAABBGGS SCexpA GG0 ISCB GGSSCexpAABBGG k kkk kkkkd pp kkkk p kdkkkkdpkkk kkkk p kdkkkkdpkk xyx xx xx 1 11 111 1110 111 1 11 1 S SCexpABGGGCG0 ISCB GGSSCexpAABBGGS k kdkkkkk p kdkkkkdpkkk xx (8) Copyright © 2012 Hanspub 111  线性大系统基于脉冲型信号的加权闭环迭代学习控制 Copyright © 2012 Hanspub 112 我们假定系统是稳定的，故有[5] exp A0 因此不难得到： , UU, , kkkk 对(8)式两 边同时取极限并由引理可得： 100 00 sup limU0CR0C lim E11 kk kkkkd pd p p k k k xyx x p yx 证毕。 4. 数值仿真 利用迭代学习算法(2)对如下由两个子系统组成的线性系统进行数值模拟。 11 11 111 22 11 33 11 11 111 22 11 33 01 00 00 10D 1251543501 0 111 ,00 25 5 25 0 2 1 2 122 2 3 x txtxt x txtutxt x txt xtx ytxt x xtx xt 22 11 222 22 22 33 22 11 222 22 22 33 01 00 00 10D 130165360 1 0 111 ,0 30 6 20 0 1 1 1 212 1 3 x txtxt x txtutxt x txt xt x ytxt x xt x 0 xt 式中： 12 21 01 001 0 001, 001 1 251543 50130165360 DD 系统初始状态满足： 00 12 1exp0.4, 1exp0.3 dd yttyt t 1111 00 2 2222 00 2 0.2 ˆ 1, 3,2,0rand0.5 0.2 ˆ 1, 4, 3,0rand0.5 T kk T kk xxcx k xxcx k 假设控制器设定值改变序列为： 选取理想轨线： 学习算法中学习增益，脉冲性信号选取如下： 112 2 0.65, 4.5, 0.25, 0.15 pdp d 2 12 1111 1234 1111 5678 2222 1234 2222 5678 ˆˆˆˆ 1.4, 1.2, 1.0, 0.8, ˆˆˆˆ 0.6, 0.4, 0.2, 0.1, ˆˆˆˆ 1.0, 0.6, 0.4, 0.2, ˆˆ ˆˆ 0.2, 0.1, 0.1, 0.05. cccc cccc cccc cccc 2 k 2 22 2 11 , 01, 0.01 0.02 1 0, 1. 11 , 01, 0.01 0.02 1 0, 1. k k tk tk t tk tk t k  线性大系统基于脉冲型信号的加权闭环迭代学习控制 系统仿真结果如图1~4 所示。 由仿真结果可以看出，系统每次运行时，对线性 系统的各个子系统所施加的基于脉冲型信号的加权 闭环 PD-型迭代学习控制算法，不仅有效的抑制了初 始状态漂移引起的跟踪误差，而且显著改善了各子系 统暂态响应的动态品质，如随着迭代次数的增加， Figure 1. Simulation result for subsystem 1: output information at 2nd, 4th, 6th, 8th implementation 图1. 子系统 1在第 2、4、6、8次运行时的仿真结果 Figure 2. The tracking error in the sense of Lebesgue-2 for subsys- tem 1 范数下的输出误差 图2. 子系统1在Lebesgue-2 Figure 3. Simulation result for subsystem 2: output information at 5th, 6th, 7th, 8th implem entation 、6、7、8次运行时的输出轨线 图3. 子系统 2在第 5 Figure 4. The tracking error in the sense of Lebesgue-2 for subsys- tem 2 图4. 子系统 2在Lebesgue-2 范数下的输出误差 过渡时间越来越短，超调逐渐减小。尽管系统输出不 能完全跟踪理想轨线，但输出误差是一致有界的。 5. 结束语 本文针对一类线性大工业系统的稳态递阶优化进 程，当系统存在初始状态漂移时，提出了基于脉冲型 信号的加权闭环 PD-型迭代学习控制策略。并在 Lebesgue-p范数意义下利用推广的 Young 卷积不等式 对算法进行了收敛性分析。理论分析表明，由于子系 统之间的关联和系统多次运行的非重复性使得系统输 出不能完全跟踪理想轨线，但是随着迭代次数的增加， 实际各个子系统的输出越来越逼近理想轨线，系统输 出误差是一致有界的。同时仿真试验表明，引入脉冲 型信号的加权 PD-型迭代学习控制算法能有效地抑制 初始状态漂移引起的跟踪误差，并能显著改善系统暂 态响应的动态品质，如抑制超调，加快系统响应速度， 缩短过渡时间，从而大大加快了工业过程稳态优化进 程。对企业生产带来了巨大的经济利益和社会效益。 参考文献 (References) [1] 万百五. 工业 大 系统优 化与 产品质量控 制[M]. 北京: 科学出 版社, 2003: 1-378. [2] X. E. Ruan, Z. Bien and K. H. Park. 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