修正Pöschl-Teller势Schrödinger方程束缚态的近似解析解 Approximate Analytical Solutions of Bound States for Schrödinger Equation with Modified Pöschl-Teller Potential

doi:10.12677/APP.2012.23014

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Applied Physics 应用物理, 2012, 2, 82-88

http://dx.doi.org/10.12677/app.2012.23014 Published Online July 2012 (http://www.hanspub.org/journal/app)

Approximate Analytical Solutions of Bound States for

Schrödinger Equation with Modified Pöschl-Teller Potential*

Changyuan C h en#, Yuan You, Falin Lu

School of Physics and Electronics, Yancheng Teachers University, Yancheng

Email: #yctcccy@163.net

Received: May 9th, 2012; revised: May 17th, 2012; accepted: May 22nd, 2012

Abstract: We use a new approximation scheme for the centrifugal term, and present approximate analytical solutions of

bound states for modified Pöschl-Teller potential with the arbitrary angular momentum states. The normalized wave

functions and energy equation for bound states are given. The numerical results show that our results are in good

agreement with those obtained by using the Mathematica package, and that the new approximation scheme is better

than the old approximation scheme.

Keywords: Modified Pöschl-Teller Potential; Schrödinger Equation; Bound States; Approximate Analytical Solutions

修正 Pöschl-Teller 势Schrödinger 方程束缚态的近似解析解*

陈昌远#，尤源，陆法林

盐城师范学院物电学院，盐城

Email: #yctcccy@163.net

收稿日期：2012 年5月9日；修回日期：2012年5月17 日；录用日期：2012年5月22日

摘要：利用我们最近提出的关于离心项的一个新的近似表达式，获得了修正 Pöschl-Teller势非 S波束缚态的

近似解析解，给出了能谱方程和相应的归一化的径向波函数。数值计算结果表明，由新的离心项的近似表达式

获得的能量本征值和Mathematica 程序包给出的计算结果很好的一致。

关键词：修正 Pöschl-Teller势；Schrödinger 方程；束缚态；近似解析解

1. 引言

修正 Pöschl-Teller势是由 Flügge[l]最先引入的，

它的表达形式为

 



2cosh

Vr Mr







, (1)

式中



是表示势阱深度的无量纲系数，



是屏蔽参

数。修正 Pöschl-Teller势是一个短程势，它可以用来

描述分子的振动等问题[2,3]。对于 1维情况，修正

Pöschl-Teller 势的非相对论束缚态和散射态均可以精

确求解[1,4-7]，文献[7-10]还给出了束缚态矩阵元的通项

公式和递推关系。对于 3维情况，只有S波的束缚态

和散射态可以精确求解，非 S波的束缚态和散射态由

于离心项的存在均无法精确求解[1,4-6]。

最近，众多作者研究了一些指数型势函数的非相

对论情况下任意角动量的束缚态和散射态的近似解，

如Hulthén 势[11,12]，Eckart 势[13-15]，Manning-Rosen 势

[16,17]，在这些研究中，人们采用这一近似







2

来代替离心项。对于修正 Pöschl-Teller

*资助信息：江苏省自然科学基金(批准号：BK2010291)资助的课题。

#通讯作者。势，文献[18]采用下列近似形来代替离心项

修正 Pöschl-Teller 势Schrödinger方程束缚态的近似解析解



sinhrr



, (2)

研究了束缚态的近似解，但这种近似仅对较小的



值

适用，大的



值所得结果与数值解有较大差异。所以

对于不同形式的势场，人们又提出了各种改进的离心

项的近似表达式，以便求得到更为满意的结果。对于

修正 Pöschl-Teller 势，我们[19]最近采用了下列改进的

心项的近似表达式离

 



222 2

sinh cosh22

rr rr

ee ee

 









 

















(3)

获得了散射态的近似解析解，给出了相移表达式和按

“2πk标度”归一化的散射态径向波函数，式中t是

无量纲的系数。数值计算结果表明，(3)式这种近似比

(2)式给出的相移数值与振幅相位方法(amplitude—

phase method，简称为 APM)符合得更好。但(3)式是

否适用于修正 Pöschl-Teller 势的束缚态，它能否给出

与其它方法一致的能级值和相应的归一化波函数也

是一个令人感兴趣的问题，本文将对这一问题进行研

究。

本文的安排如下，第二部分中我们对修正

Pöschl-Teller 势的离心项采用(3)式近似形式，获得了

修正 Pöschl-Teller 势的非 S波束缚态的近似解析解，

给出了束缚态的能谱方程和归一化的径向波函数，并

讨论近似解析解的二个特殊情况。为了检验(3)式的适

用性，在第三部分中计算了 5.5



和8



时的全部

束缚态能级，发现它和 Mathematica 程序包[20]给出的

结果符合程度比其它的近似要好。同时在第三部中分

别画出了 2个不同 t值情况下离心项的新的近似表达

式(3) 和老的表达式(2) 与真实离心项的比较以及

5.5





和8





时全部的束缚态的能级图。经过对比

我们发现，无论是对于束缚态还是散射态，(3)式都是

修正 Pöschl-Teller 势离心项的一个比(2)式更好的近

似，详细讨论见本文的第三部分。

2. 束缚态的近似解析解

修正 Pöschl-Teller 势的 Schrödinger 方程为



  

222

1,, ,,

cosh rEr

MM r









 







 





 ， (4)

令



 

,, ,













, (5)

得满足的径向方程为



 



22 22

dcosh

dur ll

ME ur

rrr









 

















, (6)

对于 S波







，离心项等于0，无论是束缚态还是

散射态上式都可以精确求解[1,4-6] 。但对于非 S波







，离心项不等于0，因而无法精确求解。文献

[19]采用(3)式这种离心项的近似表达式获得了散射态

的近似解析解。下面我们来研究束缚态的近似解析

。把(3)式代入(6)式得

解

 





22 22

11 1

dcoshsinh

tl l

dur ll

ME ur

 





 





 





r



, (7)

对于束缚态，，所以对上式做如下变换 0E







, rx



, (8)

式中 0



，则(7)式可化下列的无量纲方程

 



222

11 0

dcoshsinh

du xllux

xxx









 











, (9)

式中



11414 1

tl l









, (10)

当0t



时，







，这就退化为以前人们应用(2)式

所表示的近似离心项的情况[18]。对于 S波0

，l



，由

(10)式得







，这对应于以前S波精确可解的情况

[1,4-6]

对(9) 式变换，为此引入新变量

。

的自变量做指数

修正 Pöschl-Teller 势Schrödinger方程束缚态的近似解析解

tanhzx，则(9)式可化为



 



 

21 d

duz uz

zz z

zll uz

ll z



 















 





. (11)

即的束缚态的

边界条件，做函数代换



考虑到 0r即0z和r 1z





121

uzzzfz





 , (12)

则(11)式可化为

 

 

13252

11122 10



fzl lzfz

ll fz



 

 











(13)

这是参数









, 2

b,





 3

cl , (14)

的超几何微分方程[21-23]，因而解是超几何函数

 

,;;

z Fabcz,

当ab



 时，超几何函数



,; ;

(15)



Re 0c

abc z

在1z处是发散的[21-23]。为了满足束缚态的边界条

件，超几何函数必须中断为一个多项式，这就要求a

或者是 b必须等于 0或负整数，由(14)式和(8)可知，b

恒大于 0，因此只能是 a取0或，即负整数







0,1, 2,

n), (, (16)

或改写成如下形式







 

, (17)

由(8)式可知

，



的取值大于 0，所以对于一定的



值，

径向量子数的取值范围是



,2, 3,l



 (18)

式中



0,11 2

n，











12表示取值小于



12l



 值的最

大正

hl-Teller 势任意 l

波束缚态能谱方程的解析表达式为

整数。

将(18)式代入(8)式，得修正 Pösc



222 222

22 r

Eln

 





 



(





0,1,2,3,12











), (19)

相应的束缚态径向波函数可以用超几何多项式表示

为

 



212

tanh1 tanh

,12;32;tanh

nl nl

urN rr

Fn nlr







 









 ,

(20)

式中是归一化常数，满足归一化条件



0d1r





。利用超几何多项式和雅可比多项

式的关系[21-23]



 







1!1

,1;1;12

Px n

Fn nx





 



 



, (21)

以及含有雅可比多项式的积分公式











11 d

xxPxx

















 





, (22)

经过一系列运算得归一化常数





221!

22 1!22

nl l

Nnln

ln n











 







 





, (23)

于是修正 Pöschl-Teller 势任意 l波束缚态的归一化径

向波函数为

 







212

221

221!

22 1!22

tanh1tanh

,12;32;tanh

ln l

ur nln

lnn

ln n

nn lr















 



 







 



 









  

.(24)

下面我们讨论两个特殊情况，第 1种情况是当



时，







，于是(19)式和(24)式分别退化为



22 2

Eln









(



0,1, 2, 3,12



), (25)

修正 Pöschl-Teller 势Schrödinger方程束缚态的近似解析解

 









212

221

221!

221!2 2

tanh1tanh

,12;32;tanh

ln l

ur nln

ln n



nn lr















 



 







 







 

.(26)

(25)式和(26)式就是 Agboola[18]用(2)式这种离心项的

近似表达式所得到的结果。注意到如果取势参数为



1V02





，则

1MV





 



，于是







(25)式可化为

122







 















(







0,1, 2, 3,12



)． (27)

上式同 Agboo [18]给出的3维能谱方程是完

2种情况是S波，

la 全相同的，

但归一化常数的表达式比文献[18]给出的形式要简

洁。

第0l



，



，于是(19)式

和(24)式分别退化为



22 2







(



0,1, 2, 3,12



), (28)

 



 



212

22121!22n

tanh1tanh

,12;32;tanh

rr r

ur nn

Fn nr



 











 









 

. (29)

(28)式与文献[5]获得的 S波精确的能谱方程(29)式是

讨论

了说明(3)式是比(2)式更好的

离心

(19)式给出的

完全相同的，把上式中超几何多项式展开然后同文献

[5]给出的波函数表达式(32)相比可知，除了相差一个

无关紧要的因子



外，二者是完全相同的。

3. 数值结果与

对于束缚态来说，为

项的近似表达式，我们在表 1和表 2中列出了由

5.5



的除 S态外的全部束缚

Table 1. Energy eigenvalues for bound states in atomic units

(



1M) and for .55



t = 0.751

表1. 束缚态的能 1M，.55

级值(原子单位，



t = 0.751)

态本文 Agboo chöberl α 结果 la[18] S[20]

2p 0.025 –0.003556481 0036447 –0.00382–0.

0.050 –0.

0142256–0.0153125 –0.0145789

0.075 –0.0320077–0.0344531 –0.0328024

p 0.025 –0.0005895–0.0007031 –0.0005664

0.050 –0.0023581–0.0028125 –0.0022654

0.075 –0.0053058–0.0063281 –0.0050972

d 0.025 –0.0013939–0.0019531 –0.0014519

0.050 –0.0055754–0.0078125 –0.0058075

0.075 –0.0125447–0.0175781 –0.0130668

Tble 2. Energy e in atoaigenvalues for boun d s t at e smic units

(

和8





1) and Mfor 8



t = 0.809

表2. 束缚态的能级值(原子单位，，1M8



t = 0.809)

态 α本文 Agbo Schöberl[20] 结果 ola[18]

2p 0.025 –0.0108939 0.0110572 –0.0112500 –

0.050 –0.

0435757 –0.0450000 –0.0442289

3p 0.

075 –0.0980454 –0.1012500 –0.0995150

025 –0.0047636 –0.0050000 –0.0048280

0.050 –0.0190543 –0.0200000 –0.0193122

3d 0.

075 –0.0428722 –0.0450000 –0.0434524

025 –0.0069311 –0.0078125 –0.0072590

0.050 –0.0277243 –0.0312500 –0.0290361

4p 0.

0.075 –0.0623797 –0.0703125 –0.0653312

025 –0.0011332 –0.0012500 –0.0011160

0.050 –0.0045329 –0.0050000 –0.0044640

0.075 –0.0101990 –0.0112500 –0.0100440

d 0.025 –0.0022942 –0.0028125 –0.0023415

0.050 –0.0091768 –0.0112500 –0.0093658

4f 0.

075 –0.0206478 –0.0253125 –0.0210732

025 –0.0036303 –0.0050000 –0.0039552

0.050 –0.0145211 –0.0200000 –0.0158208

5d 0.

075 –0.0326724 –0.0450000 –0.0355967

025 –0.0001573 –0.0003125 –0.0000280

0.050 –0.0006292 –0.0012500 –0.0001120

5f 0.

0.075 –0.0014158 –0.0028125 –0.0002520

025 –0.0006198 –0.0012500 –0.0004430

0.050 –0.0024793 –0.0050000 –0.0017719

0.075 –0.0055785 –0.0112500 –0.0039868

g 0.025 –0.0012350 –0.0028125 –0.0012118

0.050 –0.0049401 –0.0112500 –0.0048471

0.075 –0.0111153 –0.0253125 –0.0109061

态的能级应近)，，

1和表 2中还列出了 Agboola[18]给出的结果(对应于

值(对于离心势似表达式(3) 作为对比

表

离心势近似表达式(2))，以及由 Lucha 和Schöberl[20]

修正 Pöschl-Teller 势Schrödinger方程束缚态的近似解析解

用Mathematica软件编写的程序算出的结果，由于这

个程序包的计算精度很高，所以有的文献将它给出的

结果作为能谱的精确值对待 1。对于不同的势场强度



来说，参数 t的选值当然是不一样的。而 S态的能

谱是可以精确求解的，由(28)式给出的值与数值解[20]

全一致，表 3中给出了5.5完





和8



的全部 S态

能级的精确值。为了更直观的看出(3)式比(2)式更接近

于真实的离心项，我们在图别了 1/r2、(3)

式和(2)式随 r的变化情况。由图 1可知，无论

1中分画出



的取

值如何，(3)式比(2)式更接近于真实的离心项 1/r2。此

外我们在图中还画出了5.52





和8



时全部的束

缚态能级。从表 1和表 2中所列数据可以看出，无论



值是比较小还是比较大， gboola[18]给

出的结果更接近于 Schöberl[20]的结果。另外从表1、

2、表 3和图 2还可以看出，对于修正 Pöschl-Teller

势来说，当

本文结果比 A

表



取值一定时，束缚态的总数是有限的，

而且对于一定的主量子数 1

nn l



的能级来说，角

量子数越大对应的能级越低。综合本文和文献[19]对

散射态的讨论，我们可以得到如下结论，对于修正

Pöschl-Teller 势来说，无论是束缚态还是散射态，由(3)

式表示的离心项的近似表达式都是一个更好的近似，

至少说到目前为止，它应该是最好的。因为由它我们

不仅能给出与数值计算结果符合得很好的束缚态的

Table 3. Exact energy eigenvalues of S states in atomic units

(1M) and for .55,8



能级值和散相移值，且还能分别态

的归一化波散射态的函把

函数

表3. S态能级的精确值(原子单位, 1M, .55, 8



)

态 λ = 8 α λ = 5.5

1s 0.025 –0.006328–0.1 0153125

0.050

射态的而给出束缚

函数和归一化波数，这对于

修正 Pöschl-Teller 势应用于实际问题时计算振子强

度、激发态寿命和光电离截面等就方便多了，因此本

文和文献[19]给出的结果一方面说明(3)式是离心项的

一个很好的近似，另一方面也说明在把修正 Pöschl-

Teller 势应用于实际时这些结果将会有广泛的应用。

最后，我们需要说明的是，无论是修正Pöschl-

Teller 势、第二类Pöschl-Teller 势还是其它类型的双曲

型势场，他们都是 S波的束缚态和散射态能精确

求解，而非 S波的则无法精确求解的。在以前的文献

[18,24-26]中，对于这类势场非S波总是取(2)式进

(a)

–0.5 –0.0253120612500

0.075 –0.0569531 –0.1378125

2s 0.025 –0.0019531 –0.0078125

0.050 –0.0078125 –0.0312500

0.075 –0.0175781 –0.0703125

3s 0.025 –0.0000781 –0.0028125

0.050 –0.0003125 –0.0112500

0.075 –0.0007031 –0.0253125

4s 0.025 –0.0003125

0.050 –0.0012500

0.075 –0.0028125

(b)

Figure 1. The variations of the 2

(solid line) and the new ap-

proximation scheme (6) (doted) and old approximation

sche dash

me (5) (dashed) with r



foous values of the parameter

he r vari.



changes from 0.025 to 0.075 in steps of 0.025. (a) t = 0.751;

(b) t = 0.809

图1. 离心项

1这个用 Mathematica 软件编写的程序可以用求解 3维中心势场的径

向Schrödinger 方程，作者 Lucha 和Schöberl在文献[20]中并没有给

出3维修正 Pöschl-Teller 势的计算结果，作为对比，我们在这里用

这个程序算出了 3维修正 Pöschl-Teller 势的束缚态能谱。

1r(实线)新的离心项近似表达式(点划线)和老的离

心项近似表达式(虚线)随r



的变化情况。参数



从0.025 到0.075，

) t = 0.751；步长 0.025。(a (b) t = 0.809

修正 Pöschl-Teller 势Schrödinger方程束缚态的近似解析解

(a)

(b)

Figure 2. Energy levels of bound states in atomic units (



1M)

and .005



. (a) .





; (b) 8



1，图2. 束缚态的能原子单位，级图(M.005



，(a)

.55



；(b) 8



)

行近似求解的，当然对于束缚态也可以有其它的近

，不过同时适用于束缚态和散射态的，只有(2)式这

本文感谢江苏省自然科学基金项目(BK201029

谢F. Schöberl 教授提供的用于 3维中心势

场束

[1] S. Flügge. Practical quantum mechanics [M]. 北京: 科学出版

odel of bending vibrations of

als, seres,

章

社, 2009: 问题 39, 问题 93.

[2] F. Iachello, S. Oss. Algebraic m

似

种形式。而本文和文献[19]采用了新的离心项近似(3 )

式来研究修正 Pöschl-Teller 势的束缚态和散射态，取

得了更好的结果。因此我们猜想，对于其它类型的双

曲函数型势场的束缚态和散射态，

(3)式也可能是一个

更好的近似。

4. 致谢

1) [2

的支持。感

缚态能谱计算的Mathematica 程序。

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