 Applied Physics 应用物理, 2012, 2, 89-91 http://dx.doi.org/10.12677/app.2012.23015 Published Online July 2012 (http://www.hanspub.org/journal/app) One New Isotherm Equation Expressed in Exp Form Junxiang Chen1, Yuhuai Sun2, Fusheng Liu3 1National Key Laboratory of Shock Wave and Detonation Physics, Institute of Fluid Physics, China Academy of Engineering Physics, Mianyang 2Institute of Mathematics and Software Science, Sichuan Normal University, Chengdu 3Institute of High Temperature and High Physics, Southwest Jiaotong University, Chengdu Email: {cjx621, sunyvhai63, fusheng-l}@163.com Received: May 10th, 2012; revised: May 13th, 2012; accepted: May 22nd, 2012 Abstract: Based on the analysis in Bridgman equation of state (EOS), a new isotherm EOS for solids has been constructed. This new EOS takes an exponential form which is very simple for data process than other forms of isotherm EOS for solids. It is not only suitable for the experiment data fitting for the phase which the initial density is known, but also for the phase which initial density is unknown. Keywords: Isotherm Equation; Langrange’s Module; Exp Form 一种指数式等温方程 陈俊祥 1，孙峪怀 2，刘福生 3 1中国工程物理研究院流体物理研究所冲击波物理与爆轰物理重点实验室，绵阳 2四川师范大学，数学与软件科学学院，成都 3西南交通大学，高温高压物理研究所，成都 Email: {cjx621, sunyvhai63, fusheng-l}@163.com 收稿日期：2012 年5月10 日；修回日期：2012 年5月13日；录用日期：2012 年5月22日 摘 要：本文对 Bridgman 物态方程作进一步研究，构建了一种新的等温方程，这种方程具有及简单的指数形式。 用它处理数据和进行运算比现有其他形式的等温方程都容易得多；它不仅能直接拟合已知初始密度的单相压力 区的实验数据，而且也能直接拟合未知初始密度的单相压力区的实验数据。 关键词：等温方程；拉格朗日体模量；指数式 1. 引言 构建材料的高压物态方程，并给出适当表达式， 一直是高压科学研究中有意义的工作。就等温方程而 言，常用的有三种形式： Birch-Murnahang 方程[1]： 73 53 00 0 23 0 1 1.5 10.7541 VV pVK VV V KV (1) Vinet 方程[2]： 23 13 000 13 1 00 31 3 exp11 2 VV pK VV V KV (2) Born-Meyer 方程[3]： 13 0 23 23 1 00 V qV VV pQ e VV (3) 式中 p是压强，V0是初始比体积，V是压缩后的比体 积；K0是p = 0的体模量、K1是K0对p的一阶导数； Copyright © 2012 Hanspub 89  一种指数式等温方程 Q和q是由实验决定的两个参数。 这三种方程形式都很复杂，运算和求导数非常困 难。而且V0与待定参数耦合在一起，当 V0为已知时， 可从实验数据拟合待定参数；当 V0为未知时(如压缩 过程中发生相变，新相区的 V0是不知道的)，就不能 直接进行数据拟合。本文构建的方程中，V0与其它两 个参数是分离的，如果V0未知，可将 V0作为方程的 参数直接进行拟合。 2. 指数式等温方程 Bridgman 早年统计过等温压缩度与压强的关系 为[4]： 2 0 0 VVap bpcp V 3 (4) 式中 00 VVV ，为材料的压缩度。上式对 p求 导数 22 d2 23 1 d bc abpcp app pa 3 a (5) 文献[4]表1.1 的数据表明， 1ba，0ca， 大多数材料只用到(4)式的前两项。因此(5)式可视为下 式展开式的前三项： 22 2 d24 1 2 d1 abb app b pa a p a (6) Bridgman 的统计证明，(6)式展开式的前两项可用 于多种材料的低压区。当 p很大时(6)式不能展开，不 展开的(6)式适用到什么压力范围是值得研究的。 将(6)式倒写，即是材料的拉格朗日体模量表示 式： 01 2 d12 d pb pB Bp aa (7) 式中 B0是p = 0的拉格朗日体模量，B1是拉格朗日体 模量对 p在p = 0的一阶导数。(7)式积分得到 1 0 1 1 B B pe B (8) (8)式中 B0和B1的物理意义与(1)式和(2)式中的欧拉体 模量 K0和K1相似。因此它应该适用于与(1)式或(2) 式同样的压力范围。关于拉格朗日体模量的定义和性 质见文献[5]。 3. 应用实例对比 (1)式与(2)式是普遍应用的等温物态方程，下面就 (8)式与它们的应用进行比较。 金属铁常温下在几个 GPa 就由 α相转变为 ε相， 文献[6-8]发表的实验数据所拟合的 ε相ρ0各不相同。 Uchida[6]指出用(1)式拟合 ε相实验数据，需要对不同 的V0-K1和K0-K1进行平衡比较(because of the well- known trade-off among K0, K1 and V0)，然后才能确定 V0的值。文献[6]确定 ρ0 = 8.16 g/cm3。本文将(8)式 写成 0 11 0 1 1 B B pe B ，直接拟合 B0、B1、ρ0 三个参数，得到 ρ0 = 8.096 g/cm3。再以此 ρ0值代入(1) 式拟合，两种拟合的结果见表 1，曲线见图 1。 图1可见两种拟合线完全重合。表 1中两种拟合 的卡方差(chi2)和相关性(R2)十分接近，(8)式还略优于 (1)式。(8)式拟合的初始密度值没有任何的人为性，根 据最小二乘法原理可以保证它的误差最小。 (8)式源于 Bridgman 方程，低压区已适用于多种 材料。在中、高压力区，可选取文献[9]中Al、Cu、 Table 1. Fitting parameters for isotherm compression experimental data of -iron 表1. ε相铁等温压缩实验数据拟合参数 Eq. ρ0 K0(B0) K1(B1) chi2 R2 (1) 8.096 122.826 6.339 16.482 0.99858 (8) 8.096 115.704 7.553 16.353 0.99859 8910 11 12 13 14 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Fe- da ta Eq. (8) Eq. (1) pT(GPa) (g/cm3) Figure 1. Isotherm compression data and its fitting lines of -iron 图1. ε相铁等温压缩数据及其拟合线 Copyright © 2012 Hanspub 90  一种指数式等温方程 Copyright © 2012 Hanspub 91 Table 2. Fittinexperimental 表2. 四种金 拟合参数 Eq. (8) ρ0 B0 B1 chi2 R2 g parameters for isotherm compre s s io n data of four metals 属等温压缩实验数据 Al 27 5. 0.0.4.705 0.63579361053 9997 Cu 8.937 131.406 6.293 0.27869 0.99988 W 19.258 296.687 5.317 0.49705 0.99978 Au 19.278 171.072 6.611 0.05936 0.99993 Eq. (2) ρ0 K0 K1 chi R 2 2 Al 27 6. 0.0.9.705 4.81617725395 9998 Cu 8.937 132.659 7.475 0.19675 0.99991 W 19.258 298.009 5.911 0.44768 0.99981 Au 19.278 170.308 8.199 0.0589 0.99993 0.0 0.1 0.20.3 0.4 0.5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 ref. [9] Eq. (8) Eq. (2) pT(GPa) Al Cu W Au Figure 2. Isotherm compression data and their fitting lines of 图2. 四种金属等据及其拟合线 和Au 等四种典型金属材料数据，用(8)式与(2)式分 抗材料， Au 是 0 本文用拉格朗日体模量及其随压力变化的一阶 导数 参考文献 (References) l tability f 4, our metals 温压缩数 W 别拟合进行验证。其结果见表2和图 2。 Al、Cu、W分别代表低、中、高三种阻 常用的压标材料。从表2和图 2可见，(8)式拟 合这些金属材料的实验数据，其均方差和相关性与(2) 式Vinet 等温方程拟合的结果一致。零点体模量值用 不同的方程拟合都有所不同，但差别不大，表 2中B K是比较接近的。拉格朗日体模量对 p的导数B1 与欧拉体模量对 p的导数 K1，在同一等温方程中相差 1，在不同形式的等温方程中相差应在 1左右，表 2 中B1和K1之差与此情况相符。 4. 结论 ，构建的指数式等温方程是合理的，所用参数的 物理意义明确，形式简单，普遍适用。对实验数据拟 合的相关性和误差达到了与BM3方程和 Vinet 方程相 同的程度。但方程形式更为简洁，易于运算，使用方 便；且能直接拟合得到新相区的初始密度值，免去人 为的不确定性。因此，(8)式是更具实际应用意义的等 温物态方程。 [1] F. Birch. Finite strain isotherm and velocities for single-crysta and poly-crystalline NaCl at high pressure and 300 K. Journal of Geophysical Research, 1978, 83(B3): 1257-1268. [2] P. Vi net, J. H. Ross, J. Ferrante and J. R. Sm ith. Univer sal features of equation of state of solids. Journal of Physics: Condensed Matter, 1989, 1: 1941-1963. [3] V. N. Zharkov, V. A. Kalinin. 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