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Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 117-122
http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.23019 Published Online July 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)
New Subclass of p-Valent Meromorphic Functions*
Jingyu Yang1,2, Shuhai Li2
1Department of Mathematics, Chifeng University, Chifeng
2School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology, Dalian
Email: yjy923@163.com, lishms66@sina.com
Received: Jan. 21st, 2012; revised: Feb. 14th, 2012; accepted: Feb. 25th, 2012
Abstract: In this paper, we introduce a subclass

,,,,,,;
pj acAB m



of the class ,
p
j
 by use of Ha-
damard operator and subordination principle. The main objective of this paper is to provide co effi-
cient inequality, inclusion properties, extreme points, convexity and starlike radius of this class. In this paper,
we extend relevant results of univalent meromorphic functions and p-valent meromorphic functions to the
subclass

,
p
Lac
,,,,,acAB


,;
pj m


.
Keywords: Hadamard Convolution; Meromorphic Functions; Coefficient Inequality; Extreme Point;
Convexity Radius; Starlike Radius
p-叶亚纯函数的新子类*
杨静宇 1,2,李书海 2
1赤峰学院数学学院,赤峰
2大连理工大学数学科学学院,大连
Email: yjy923@163.com, lishms66@sina.com
收稿日期:2012 年1月21 日;修回日期:2012 年2月14 日;录用日期:2012 年2月25 日
摘 要:本文运用线性算子和从属关系定义了含绝对值形式的 p-叶亚纯函数

,
p
Lac

,
p
j
的一个新子
类

,,,,,,;
pj acAB m





,,,,,,;
pj acAB m
。讨论了该函数类的系数不等式,包含关系,极值定理以及凸半径和星象半
径。本文将已有的某些单叶亚纯函数及 p-叶亚纯函数的相关结果推广至 p-叶亚纯数子类


上。
关键词:Hadamard 卷积;亚纯函数;系数不等式;极值点;凸半径;星象半径
1. 引言
设,
p
j
表示在

*:,0UzzCz1内解析,形如
 

*
1 21:1,2,
n
n
pnj
fzazj Nii N
z


 


(1)
的p-叶亚纯函数全体所成的函数类。设 ,0 1R



,若


f
z满足条件


Re zf z
pf z











*
zU (2)
*基金项目:内蒙古自然科学基金(No. 2009MS0113)。
Copyright © 2012 Hanspub 117
杨静宇, 李书海  p-叶亚纯函数的新子类
则称

f
z是

-级亚纯星象函数;若

f
z满足条件


1
Re zf z
ppfz





 









*
zU (3)
则称

f
z是

-级亚纯凸象函数。
设

,
1n
npj

pnj
fz az
z




,,
1n
np
pnj
gz bz
z


 j

,则




,
f
zgz的Hadamard 卷积定义为:
 

*
1
n
nn
pnj

f
gzabzgfzzU
z


 
 (4)
令
 


 
10
11
n
n
vn
vvvv nnN
v

 





,定义函数


,;
pacz




 

1*
00
1
1
,; ;\;:0,1,2,;
n
n
ppnn
a
aczzaRc zzzU
c
z



 
 (5)
根据函数的 Hadamard 卷积的定义和函数


,;
pacz

,引进线性算子


,
p
Lac
[1,2]


(,)()(,;)() (),
Lacfzacz fzfz
pp pj

 
(6)
文[3]中Aouf,Silverman 和Srivastava,运用算子


,
p
Lac定义了 p-叶解析函数的子类

,,,,
ac
PABp

并且考
察了子类

,,,,
ac
PABp


的系数不等式等性质。文[4]Aouf 及El-Ashwah 研究了正系数单叶亚纯函数类的性质。
J. Patel,N. E. Cho,H. M. Srivastava在[5]中给出了 p-叶解析函数类的包含关系等一系列的性质Kim,Lee及Owa
在文 [6]中讨论了一类正系数单叶亚纯函数类。本文受文献[4]的启发,利用算子


,
p
Lac和从属关系定义了含绝
对值形式的 p-叶亚纯函数类,并用文[4]中的方法,研究该类函数的性质,得到该函数类的系数不等式,包含关
系,极值定理以及凸半和星象半径。所得结果推广了文[4]的相应结论。
定义 1 设,0,0pNa c,11,,
A
BR

 



*
1!
0, ,,mj
1!
pm mN
p


 
若函数

,pj
fz

满
足条件




 

 


*
1!
1 1
,,
1! 1!1
1!
mp mp
pp
pm Az
mm
zLacfzzLacfzzU
pm pBz
p




 



 




(7)
则称

f
z属于函数类


,,, , , ,;
pj acAB m


,显然式(7)等价与







 








 



1! 1!
,,
1! 1!1
1! 1!1!
,,
1! 1!1!
mm
mp mp
pp
mm
mp mp
pp
pm pm
zLacfz zLacfzpp
pm pmpm
BzLacfzzLacfzBAB
pp p

 


 





 





 







(8)
注1 在本文的研究过程中,参数B的取值范围是 01B

。
2. 系数不等式
定理 1 设

,
1n
np
pnj
fz az
z




j
,若
Copyright © 2012 Hanspub
118
杨静宇, 李书海  p-叶亚纯函数的新子类

,,,,,;
nn
nj
pBacmaBA






 (9)
那么
 
,,, , , ,;
pj
fzacABm


,其中







 

1
1
11 !
,,,,,; 1!
!1!
n
n
n
Ban
pBacmpm
cnmp













(10)
证明:设

,
1n
n
pnj
fz az
z




pj
,则


























11
11
1! 1!
,,
1! 1!
1!
,,
1!
1! 1!
1! 1!
!!
!!
mm
mp mp
pp
mm
mp mp
p
np np
nn
nn
nj n
p
j
nn
pm pm
zLacfzzLacfzpp
pm
BzLacfzz Lacfz
na na
azaz
nm cn
p
pm pm
BAB
p
m
p
c












 











 
 

















 



 
 



 





11
11
1
1
1
1
!! 1!
!!
!1!
11 !1!
!1!
11 1
!1!
np np
nn
nn
nj nj
nn
np
n
n
nj n
n
n
nj n
nana pm
BazBazAB
nm cnm cp
na pm
Baz BA
nm cp
na pm
Ba BAz
nm cp
1!
















 






 






 










根据最大模原理,对任意 都有
*
zU























 




1
1
1! 1!
,,
1! 1!
1!
,,
1!
1! 1!
1! 1
!1!
11 !1!
!
mm
mp mp
pp
mm
mp mp
pp
n
n
nj n
pm pm
zLacfz zLacfzpp
pm
BzLacfzzLa
na pm
Ba BA
nm cp
cfz p
pm pm
BAB
pp









 
















 
 













从而由从属原理得
 
,,, ,, ,;
pj
fzacAB m


。
3. 包含关系
定理 2 设,则0a



,,
1,,,,,; ,,,,,;
pj pj
acABm acABm





。
证明:因为
Copyright © 2012 Hanspub 119
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


 







 

11
11
11!11 1!
1! 1!
!!
1! 1!
nn
nn
Ban Ban
pm pm
cnmBA cnmBA
pp





 

 
 
 
 
 

 




所以根据定理 1可以推出



,,
1,,,,,; ,,,,,;
pj pj
acABm acABm





。
定理 3 设v是复数且 ,Re 0v



,,,,,,;
pj
fzacABm




,若
 
1
0d
zpv
pv
v
F
ztf
z


tt
则
 
,,,,,,;
pj
FzacAB m


。
证明:设

,
1n
n
pnj
fz az
z




p
j
,那么

1n
n
pnj
v
F
za
npv
z


 
z
因为




,,, , , ,;
pj
fzacABm


且
 
, ,,, ,;,,,, ,;
nnn
v
pBac mapBac ma
npv
 

 n
所以由定理 1可知
 
,,,,,,;
pj
FzacAB m


。
4. 极值点
定理 4 设
  
11
,,,,,,;
n
pnp
pp
n
BA
f
zfzpBac m
zz



 z

,则




,,,,,,;
pj
fzacABm




,当且仅当
 
np
pp np
nj
f
zfz f






z
其中 0, 1
p
np n
nj
 




p
。
证明:充分性。设
 
pp npnp
nj
f
zfz f





z,则
 
1
,,,,,;
n
pn
pnj n
BA
f
zz
pBacm
z








进一步的


 


,,,,,; 1
,,,,,;
nnpnp
nj nj
n
BA
pBacmB AB AB A
pBacm
 

 

 

p



由定理 1得




,,, , , ,;
pj
fzacABm


。
必要性。假设
 
,,, ,, ,;
pj
fzacAB m


,则有

,,,,,;
nn
BA
apBacm




令

,,,,,;
n
np n
pBacma
BA


,1
p
np
nj






,则有
 
pp npnp
nj
f
zfz f





z
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120
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5. 星象半径与凸半径
定理 5 设

,
1,
n
npj
pnj
fz az
z


 





,,, ,, ,;
pj
fzacAB m




,那么


f
z在

,,,,,,;zrABacp m




内是

-级星象函数


01


,其中
 
 
1
1,,,,,;
inf 2
np
n
nj
ppBacm
rBAn pp

 












(11)
证明:根据星象函数的定义及(2)式,只需证对任意


,,,,,,;zrABacpm



内都有


1
zf z
pf z1



 (12)
由于


 
1
np
np
nn
nj nj
np
np
nn
nj nj
npaz npaz
zf z
pf zppaz ppaz










 



(13)
所以只要证当

,,,,,,;zrABacp m



时

1
np
n
nj
np
n
nj
npaz
ppaz










 (14)
则(12)式即得证。而(14)式等价于

21
1
np
n
nj
npp
az
p







 (15)
由于




,,, , , ,;
pj
fzacABm


,根据定理 1有



,,,,,; 1
nn
nj
pBac ma
BA






欲证(15)式,只需




,,,,,;
2
1
np npBacm
npp
z
pBA





 

即
 
 
1
1,,,,,;
2
np
n
ppBacm
zBAnpp
 









至此定理结论得证。
定理 6 设

,
1n
npj
pnj
fz az
z




,




,,, ,, ,;
pj
fzacAB m




,那么


f
z在

,,,,,,;zrABacp m




内是

-级星象函数


01


,其中
 
 
1
1,,,,,;
inf 2
np
n
nj
ppBacm
rnBA npp

 










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杨静宇, 李书海  p-叶亚纯函数的新子类
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122
证明:根据凸函数的定义及(3)式,只需证对任意


,,,,,,;zrABacp m



都有


1
1
zf z
ppfz 1




 (16)
由于


 
1
1
np
np
nn
nj nj
np
np
nn
nj nj
nn paznnpaz
zf z
ppfz pnpazpnpaz










 
 


所以只证当

,,,,,,;zrABacp m



时,有

1
np
n
nj
np
n
nj
nnp az
pnpaz










 (17)
而(17)式等价于



21
1
np
n
nj
nnp paz
p







 (18)
由于
 
,,, ,, ,;
pj
fzacAB m


,根据定理 1有



,,,,,; 1
nn
nj
pBac ma
BA






所以(18)式成立,只要





2,,,
1
np n
nnp ppBacm
z
pB
,,;
A




 


即
 
 
1
1,,,,,;
2
np
n
ppBacm
znBA npp










证毕。
6. 致谢
感谢本文得到内蒙古自然科学基金资助项目(No. 2009MS0113)的支持。
参考文献 (References)
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