p-叶亚纯函数的新子类 New Subclass of p-Valent Meromorphic Functions

doi:10.12677/PM.2012.23019

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Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 117-122

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.23019 Published Online July 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)

New Subclass of p-Valent Meromorphic Functions*

Jingyu Yang1,2, Shuhai Li2

1Department of Mathematics, Chifeng University, Chifeng

2School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology, Dalian

Email: yjy923@163.com, lishms66@sina.com

Received: Jan. 21st, 2012; revised: Feb. 14th, 2012; accepted: Feb. 25th, 2012

Abstract: In this paper, we introduce a subclass



,,,,,,;

pj acAB m







of the class ,

 by use of Ha-

damard operator and subordination principle. The main objective of this paper is to provide co effi-

cient inequality, inclusion properties, extreme points, convexity and starlike radius of this class. In this paper,

we extend relevant results of univalent meromorphic functions and p-valent meromorphic functions to the

subclass



Lac

,,,,,acAB





pj m





.

Keywords: Hadamard Convolution; Meromorphic Functions; Coefficient Inequality; Extreme Point;

Convexity Radius; Starlike Radius

p-叶亚纯函数的新子类*

杨静宇 1,2，李书海 2

1赤峰学院数学学院，赤峰

2大连理工大学数学科学学院，大连

Email: yjy923@163.com, lishms66@sina.com

收稿日期：2012 年1月21 日；修回日期：2012 年2月14 日；录用日期：2012 年2月25 日

摘要：本文运用线性算子和从属关系定义了含绝对值形式的 p-叶亚纯函数



Lac



的一个新子

类



,,,,,,;

pj acAB m











,,,,,,;

pj acAB m

。讨论了该函数类的系数不等式，包含关系，极值定理以及凸半径和星象半

径。本文将已有的某些单叶亚纯函数及 p-叶亚纯函数的相关结果推广至 p-叶亚纯数子类





上。

关键词：Hadamard 卷积；亚纯函数；系数不等式；极值点；凸半径；星象半径

1. 引言

设,

表示在



*:,0UzzCz1内解析，形如

 



1 21:1,2,

pnj

fzazj Nii N





 





(1)

的p-叶亚纯函数全体所成的函数类。设 ,0 1R





，若





z满足条件



Re zf z

pf z























zU (2)

*基金项目：内蒙古自然科学基金(No. 2009MS0113)。

杨静宇, 李书海  p-叶亚纯函数的新子类

则称



z是



-级亚纯星象函数；若



z满足条件



Re zf z

ppfz











 



















zU (3)

则称



z是



-级亚纯凸象函数。

设



npj



pnj

fz az









，,

pnj

gz bz





 j



，则









zgz的Hadamard 卷积定义为：

 



pnj



gzabzgfzzU





 

 (4)

令

 



 

vvvv nnN



 











，定义函数





pacz









 



,; ;\;:0,1,2,;

ppnn

aczzaRc zzzU







 

 (5)

根据函数的 Hadamard 卷积的定义和函数





pacz



，引进线性算子





Lac

[1,2]





(,)()(,;)() (),

Lacfzacz fzfz

pp pj



 

(6)

文[3]中Aouf，Silverman 和Srivastava，运用算子





Lac定义了 p-叶解析函数的子类



,,,,

PABp



并且考

察了子类



,,,,

PABp





的系数不等式等性质。文[4]Aouf 及El-Ashwah 研究了正系数单叶亚纯函数类的性质。

J. Patel，N. E. Cho，H. M. Srivastava在[5]中给出了 p-叶解析函数类的包含关系等一系列的性质Kim，Lee及Owa

在文 [6]中讨论了一类正系数单叶亚纯函数类。本文受文献[4]的启发，利用算子





Lac和从属关系定义了含绝

对值形式的 p-叶亚纯函数类，并用文[4]中的方法，研究该类函数的性质，得到该函数类的系数不等式，包含关

系，极值定理以及凸半和星象半径。所得结果推广了文[4]的相应结论。

定义 1 设,0,0pNa c,11,,



 







0, ,,mj

pm mN





 

若函数



,pj

fz



满

足条件







 



 



1 1

1! 1!1

mp mp

pm Az

zLacfzzLacfzzU

pm pBz









 





 









(7)

则称



z属于函数类





,,, , , ,;

pj acAB m





，显然式(7)等价与









 











 





1! 1!

1! 1!1

1! 1!1!

mp mp

pm pm

zLacfz zLacfzpp

pm pmpm

BzLacfzzLacfzBAB

pp p



 



 











 









 













(8)

注1 在本文的研究过程中，参数B的取值范围是 01B



。

2. 系数不等式

定理 1 设



pnj

fz az









，若

118

杨静宇, 李书海  p-叶亚纯函数的新子类



,,,,,;

pBacmaBA













 (9)

那么

 

,,, , , ,;

fzacABm





，其中















 



11 !

,,,,,; 1!

!1!

Ban

pBacmpm

cnmp























(10)

证明：设



pnj

fz az









，则



























1! 1!

mp mp

np np

nj n

pm pm

zLacfzzLacfzpp

BzLacfzz Lacfz

na na

azaz

nm cn

pm pm

BAB





















 



















 

 



























 



 

 



 





!! 1!

!1!

11 !1!

!1!

11 1

!1!

np np

nj nj

nj n

nana pm

BazBazAB

nm cnm cp

na pm

Baz BA

nm cp

na pm

Ba BAz

nm cp





























 











 











 















根据最大模原理，对任意都有

zU





















 





1! 1!

1! 1

!1!

11 !1!

mp mp

nj n

pm pm

zLacfz zLacfzpp

BzLacfzzLa

na pm

Ba BA

nm cp

cfz p

pm pm

BAB











 





























 

 

















从而由从属原理得

 

,,, ,, ,;

fzacAB m





。

3. 包含关系

定理 2 设，则0a







1,,,,,; ,,,,,;

pj pj

acABm acABm











。

证明：因为

杨静宇, 李书海  p-叶亚纯函数的新子类



 















 



11!11 1!

1! 1!

Ban Ban

pm pm

cnmBA cnmBA







 



 

 

 

 



 







所以根据定理 1可以推出







1,,,,,; ,,,,,;

pj pj

acABm acABm











。

定理 3 设v是复数且，Re 0v







,,,,,,;

fzacABm









，若

 

zpv

ztf





tt

则

 

,,,,,,;

FzacAB m





。

证明：设



pnj

fz az









，那么



pnj

npv





 

z

因为









,,, , , ,;

fzacABm





且

 

, ,,, ,;,,,, ,;

nnn

pBac mapBac ma

npv

 



 n

所以由定理 1可知

 

,,,,,,;

FzacAB m





。

4. 极值点

定理 4 设

  

,,,,,,;

pnp

zfzpBac m







 z



，则









,,,,,,;

fzacABm









，当且仅当

 

pp np

zfz f













z

其中 0, 1

np n

 









p

。

证明：充分性。设

 

pp npnp

zfz f











z，则

 

,,,,,;

pnj n

pBacm

















进一步的



 



,,,,,; 1

,,,,,;

nnpnp

nj nj

pBacmB AB AB A

pBacm

 



 



 









由定理 1得









,,, , , ,;

fzacABm





。

必要性。假设

 

,,, ,, ,;

fzacAB m





，则有



,,,,,;

apBacm









令



,,,,,;

np n

pBacma





，1











，则有

 

pp npnp

zfz f











z

120

杨静宇, 李书海  p-叶亚纯函数的新子类

5. 星象半径与凸半径

定理 5 设



npj

pnj

fz az





 











,,, ,, ,;

fzacAB m









，那么





z在



,,,,,,;zrABacp m









内是



-级星象函数









，其中

 

1,,,,,;

inf 2

ppBacm

rBAn pp



 

























(11)

证明：根据星象函数的定义及(2)式，只需证对任意





,,,,,,;zrABacpm







内都有



zf z

pf z1







 (12)

由于



 

nj nj

npaz npaz

zf z

pf zppaz ppaz

















 





(13)

所以只要证当



,,,,,,;zrABacp m







时



npaz

ppaz



















 (14)

则(12)式即得证。而(14)式等价于



npp













 (15)

由于









,,, , , ,;

fzacABm





，根据定理 1有







,,,,,; 1

pBac ma













欲证(15)式，只需









,,,,,;

np npBacm

npp

pBA









 



即

 

1,,,,,;

ppBacm

zBAnpp

 



















至此定理结论得证。

定理 6 设



npj

pnj

fz az









，









,,, ,, ,;

fzacAB m









，那么





z在



,,,,,,;zrABacp m









内是



-级星象函数









，其中

 

1,,,,,;

inf 2

ppBacm

rnBA npp



 





















杨静宇, 李书海  p-叶亚纯函数的新子类

122

证明：根据凸函数的定义及(3)式，只需证对任意





,,,,,,;zrABacp m







都有



zf z

ppfz 1









 (16)

由于



 

nj nj

nn paznnpaz

zf z

ppfz pnpazpnpaz

















 

 



所以只证当



,,,,,,;zrABacp m







时，有



nnp az

pnpaz



















 (17)

而(17)式等价于







nnp paz













 (18)

由于

 

,,, ,, ,;

fzacAB m





，根据定理 1有







,,,,,; 1

pBac ma













所以(18)式成立，只要









2,,,

np n

nnp ppBacm

,,;









 





即

 

1,,,,,;

ppBacm

znBA npp





















证毕。

6. 致谢

感谢本文得到内蒙古自然科学基金资助项目(No. 2009MS0113)的支持。

参考文献 (References)

[1] J.-L. Liu. Properties of some families of meromorphic p-valent function. Japanese Journal of Mathematics, 2000, 52: 425-434.

[2] J.-L. Liu, H. M. Srivastava. A linear operator and associated families of meromorphically multivalent functions. Journal of Mathematical Ana-

lysis and Application, 2001, 259(2): 566-581.

[3] M. K. Aouf, H. Silverman and H. M. Srivatava. So me families of linear operators associated with certain subclasses of multivalent functions.

Computers and Mathematics with Applications, 2008, 55(3): 535-549.

[4] M. K. Aouf, R. M. El-Ashwah. Properties of c ertain subclass of mero morphic function with positive coefficients. Mathematical and Computer

Modeling, 2009, 49(1-2): 868-879.

[5] J. Patel, N. E. Cho and H. M. Srivastava. Certain subclassed of multivalent functions associated with a family of linear operator. Mathematical

and Computer Modeling, 2006, 43(3-4): 320-338.

[6] Y. G. Kim, S. H. Lee and S. Owa. On certain meromorphic functions with positive coefficients. International Journal of Mathematics and

Mathematical Sciences, 1993, 16(2): 409-412.