二阶微分方程的解的不动点及与小函数的关系 The Fixed Points of the Solutions of Second Order Differential Equation and the Relationship with Small Functions

doi:10.12677/PM.2012.23020

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Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 123-130

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.23020 Published Online July 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)

The Fixed Points of the Solutions of Second Order

Differential Equation and the Relationship

with Small Functions

Xueqin Luo, Zongxuan Chen

Department of Mathematics, Huanan Normal University, Guangzhou

Email: qincai0602@126.com, chzx@vip.sina.com

Received: Apr. 5th, 2012; revised: Apr. 25th, 2012; accepted: May 9th, 2012

Abstract: In this paper, we study the second order differential equation: when



with the same level of f

coefficient and equal to one, the fixed points of the solutions of equation and the relationship with the small

functions.

Keywords: Differential Equation; The Convergence Index; Small Function; The Fixed Point

二阶微分方程的解的不动点及与小函数的关系

罗雪琴，陈宗煊

华南师范大学数学科学学院，广州

Email: qincai0602@126.com, chzx@vip.sina.com

收稿日期：2012 年4月5日；修回日期：2012 年4月25 日；录用日期：2012 年5月9日

摘要：在本文中，我们研究了二阶微分方程：当



，f的系数具有相同级且等于 1时，方程的解的

不动点以及解与小函数之间的关系。

关键词：微分方程；收敛指数；小函数；不动点

1. 引言与结果

在本文中，我们使用值分布论标准记号(见[1])。另外，使用







表示亚纯函数



z的级，





表示





的超级，





表示



z的零点收敛指数，







表示





z的不同零点叙列的收敛指数。我们还使用











表示亚纯函数



z取小函数



的点的收敛指数，











表示





z取小函数



的点的二级收敛指数，用







表示





z的解的不动点的收敛指数，





表示





z的解的二级不动点的收敛指数。

关于二阶微分方程解的不动点问题，许多作者已有研究。当二阶微分方程中





z的系数为多项式且次数大

于等于 1时，陈宗煊在文[2]中得到结论：

定理 A 假设是多项式，次数







deg 1Pz n



，那么微分方程





0fPzf





 (1.1)

的所有非零解都有无穷多个不动点，且不动点的收敛指数满足

 





。

在方程(1.1)的基础上，若为超越亚纯函数，吕巍然在文[3]中证明了结论：



定理 B 假设





Pz为超越亚纯函数且









，那么方程(1.1)的所有非零亚纯解





z及其 ,



有无穷

罗雪琴, 陈宗煊  二阶微分方程的解的不动点及与小函数的关系

多个不动点，满足





 

ff ff

 





和

















22 22

 





f。

关于解与小函数的关系问题，也有许多研究。当





Aef

的系数具有不同级或者具有相同级但是级不等于 1

时，考虑二阶微分方程

fAef

 

 (1.2)

若



0



0,1





j是整函数且，陈宗煊和孙光镐在文[4]中得到如下结果：

是整函数且













0





0,1j

定理 C 假设





。是复常数且满足和或

。如果

,ab ab 0arg argab



0acbc











0是有限级整函数，那么方程(1.2)的每一个解











0满足







ff



 









。

定理 D 假设



zab

满足定理 C的假设条件。假设









0, 1,2是不全恒

dzj等于零的多项式，











0

整函数，如果是级小于1的







0是方程(1 函数解，那么微分多项式



210

zdfdfdf

 

满.2)的任一整

足





。

本文考虑二阶线性微分方程：









0QzffPzf

 

 (1.3)

其中是整函数，满足

 

,Pz Qz











nz z

ea ze

Pzaz (1.4)











b ze

Qzb ze (1.5)

 

azbz，，

 

az az







bz bz是多项式，并且满足下面(1.6)式和(1.7)式。



jjdjd

az azaz







1, ,

azajn



(1.6)







1101, ,

bzb ks





,,,

kkm km

bz bzbz



 (1.7)

其中均是整数，



0,01,,; 1,,

dm jnks 

aa a





km kkm

bb；是常数，



，

。

0

已有作者研究过此类方程，如文[5]。他们证明了：当ns



时，方程(1.3)的每一个解







0满足

。而关于方程(1.3)的解的不动点以及解与小函数的关系尚未得到研究。本文中，作者研究了方程(1.3)

的解的不动点以及与小函数的关系，得到下面的结论。



21f





定理 1.1 假设满足(1.4)~(1.7)式，

 

,Pz Qz





z是方程~(1.3)的任一非零解，







0



是有限级整函数，

且。那么有







 



in1,zf



















2 2





 f

。

定理 1.2 假设满足(1.4)~(1.7)式，

 

,Pz Qz













012

,,zdzdzd 不全恒等于零的多项式，





是z





0是级

小于 1的整函数，若 f是方程(1.3)的任一无穷级解，那么微分多项式





021

zdf df



df

满足





 。

若令小函数，则得到下面关于不动点的结论：







推论 1.3 假设







,Pz Qz



满足(1.4)~(1.7 )式，则方程(1.3)的每一个无穷级解 f均有无穷多个不动点，即

。同时，所有不动点的二级收敛指数均等于 f的超级，即

 













。

2. 为证明定理所需的引理

引理 2.1[6] 设01 1

,,,,



F



0



为有穷级亚纯函数。如果





z是方程

的一个无穷级亚纯函数解，那么f满足：

 

fAf





AfAf





F





 

fff





。

引理 2.2[5] 假设

 





,, ,,,

az azbzbz

是多项式，并且具有(1.6)式和(1 .7)式的形式，







azbz



。

124

罗雪琴, 陈宗煊  二阶微分方程的解的不动点及与小函数的关系

 

,Pz Qz满足(1.4)~(1.7)式，那么当时，方程(1.3)的每一个解ns









0满足。



21f





 

 



引理 2.3[5] 令亚纯函数是方程

,,ff,,

f10



 的一组线性无关解，那么亚纯系数



1k满足性质：









1,,k,lOogmax,:

mraTrfs





0, ,

aj





。

引理 2.4[4] 假设 f是无穷级整函数，







0, 1,2j





210

fdfdf

 





dz 是不全恒为零的多项式。那么

具有无穷级。

3. 定理 1.1 的证明







 

,gfgf

假设 f是方程(1.3)的任一非零解，令













zfz z



，那么



 





。由(1.3)

式得



 QgP Q





 

。显然0PQ









。否则，



是方程(1.3)的一个解，这与











矛盾。故有：

11gg





gPQg



 





 



 

 (2.1)

所以



,,, ,,,mrmrmrmrPmrQ C

gPQg





 





 

 



 







 (2.2)

,, 3,NrNrNr C

gPQg











 







(2.3)

由(2.2)，(2.3 )式可得

 

111

,,,3, ,,,,

Trc TrNrmrmrmrPmrQC

gPQggg



 

 



 

 

 



 

TrP (2.4)

因为





,log,

mrC rTrg











，除去一个线测度为有穷的集合





0,E

。所以有

 





,,3,2log,,,TrgTrNrCrTrgmrP mrQ C

PQ g











 



 (2.5)

 

故： 22



。所以







。即：











 。

又令







,fzzdzfz z





 

，那么













222



f，

 









， hz

 









。对方程(1.3)两边微分，由 fh





 



,,,

fPf

fh fh



 

 fQ

 



得到：

QPQ QP

hP hPQhPPQ

QQ Q







 

 

  

  



 

 





。

下面验证 0

QPQ

PPQ

 





 

 





。令 QP

FP PQ

 





 

 





，由于









，

我们分以下三种情况讨论。

1) 当时，ns











dnz

Fnsaze





 



 。若





+0ns







，则。所以就有

，与矛盾。故



snz





c











1



+0ns





。又 0



，所以 0F



。

2) 当n时，s









nd sm

Fazbz e







 



。若 0

nd sm

az bz







，则

罗雪琴, 陈宗煊  二阶微分方程的解的不动点及与小函数的关系



sms

ndss

sms

ndn

bz c

amd

csn

emd

ezm d

























那么有或，与矛盾。所以

















10

nd sm

az bz







。于是 0F。

3) 当n时，。因为s





Fbze







nz 0, 0





，所以 0F



。

综上而得： 0

QPQ

PPQ

 





 

 





。故有

11hQhP

PPQ

hhQ

QPQ

PPQ

 

















 



 

 









(2.6)

又



,,fd fdf d



 

 



。用上面类似的方法可以验证 32

0PQQQP Q







。再由方程(1.3)得







22 22

PQd PQPQQdPQPQPQQ

fPQQQPQ



 





 , (2.7)







QdPQQdQPQQ

fPQQP Q





 



 . (2.8)

对方程(1.3)两边进行两次微分得





422fPfPQfPQfQf

 

 0 (2.9)

将



,,, ,

fff f

 代入(2.9)式中得到





ddd





 





(2.10)

其中

232 2

2PQQ PQPPQPQQPQQQ

PQQQPQ



 

 





32222 222

22222PP QQP QPQPPQPQQPQQQQPQQP QQQQ

PQQQP Q



  







接下来验证 0



 

 



。令 I



 

 

 ，分以下三种情况：

情况 1：时，此时ns



211

dnz

sn ns

Iaze









 







。若

sn ns











，则

s2snn

c







。那么有







，与







矛盾。所以

sn ns











。又，所以

a0I



。

情况 2：时，此时ns



22 11

nzsn

nd dmdnz

Inszaze









 





。若



22 0

nzs

nd dm

ansz









，

则







ndn

sm n s

ndn

sms

anszc

bdm

ans

cns

ezd m













m















126

罗雪琴, 陈宗煊  二阶微分方程的解的不动点及与小函数的关系

于是有或，均与矛盾。所以





















22 0

nzs

nd dm

ansz







。又，所以0

a0I



。



情况 3：n时，此时

s











dnz

Insaze





 

1。若





20ns







，则



nzc





。故有

，与矛盾。所以











1



20ns



 

。而 0



，于是有 0I



。

综上而得： 0



 

 



。于是我们得到：

11dd

ddd







 







 











(2.11)

对(2.6)，(2.11) 式运用类似于(2.2)~(2 .5)式的方法，可以得到：





,, 3,2,

2log,2,,,2,

TrhTrNrNr1

QPQ

PPQ

CrTrh mrPmrQmrPmrC

 

















 

 

 





























(2.12)

 





,, 3,2log,,,TrdTrNrCrTrdTrTrC













 

 

 



(2.13)

其中均为常数。所以



,,, 1,,7

CC cci

















2222

,hhd



d。故



 





2222

,hhd



d。即：







222





 。

特别地，当时，由引理 2.2 可以得到ns













22 22

1ff ff

 





。

4. 定理 1.2 的证明

考虑方程(1.3)，







PeQe中至少有一个是超越亚纯函数，故由引理 2.3，方程(1.3)至少有一个无穷级解。

假设 f是方程(1.3)的一个无穷级解。

情况 1：假设 20d。令

 





210

zgz zdfdfdf





 





。由于







，故由引理 2.4，

。要证明

  

 







，只要证明









。由方程(1.3) 得到：

Pf Qf

 

 ，代

入得到：





 



12 02

zddPfddQf







 

(3.1)

对(3.1)式两边微分得到：

 







1212 202022

zddP fddPdPddQfddQdQf





 

  



将

 代入上式中即有：







12 202 1202212

zddP dPddQ dP dPfddQ dQdQ dPQf

 

 

 



(3.2)

令

012002112 20212

,,ddPddQ ddPdPddQdPdP



 

 ,

102212100

,ddQdQdQdPQH



 

 

.

由0101

,,,





的表达式可得：







222 22

2202212

11HdPQd Qdd PdPQdd PQ



。下面验证 0H



。

分以下三种情况：

1) 当n时，若

s00d，则









02 11HddP0。若 00d



，则：

罗雪琴, 陈宗煊  二阶微分方程的解的不动点及与小函数的关系















2212

222 212

nsz

ns ndsm

HdPQdPQddPQ

ddndzdmsdzdzdabze 





 

 



由于 20d，，所以

0, 0

nd sm

ab 0H。故当时，ns0H



。

2) 当n时，则

s









222 22

2202212

20 1

222 212

snns

sn ns

md dm

sm ndnsz

nsndsm

nd sm

HdPQdQddPdPQddPQ

db zdaz

d dnzdd mszddzdabze

 







 



 







同样地，由于 20d，0, 0

nd sm



，所以 0H



。

3) 当n时，则。显然，s





211HdQ





。综上而得： 0H



。

由(3.1)，(3.2) 式得：







 











 (3.3)







 













 (3.4)

对(3.4)式两边微分得到：



 

010011

fHHHH HH







  



 



(3.5)

将(3.3)，(3.4) ，(3.5) 式代入方程(1.3)中得到：

01000

111

01000

111

HHH PHHH HQ

HHH

HHH PHHH HQ

HHH



 

























 



 

 



 

 





(3.6)

下面证明 01000

111

HHHPHHHHQ

HHH













 

 



。也就是证明







01000111

0HHHHPH HHHQ

 

 

 

(3.7)

考虑(3.7)式不等号左边

e次数的最高项。

1) 时，

ns

e次数的最高项为：



PH QH





。此式中

e的最高次数为，最高次数项的系数为：

4nz



42 442

4232 424242

222

nsnsns

nsns ns

dmdmdm

sz szsz

nd smnd smnd sm

abdz eabdzeabdz e









(3.8)

即：。



42 2

222

nss s

dmm m

szsz sz

nd smsmsm

abdzebdze bdze







因为，

0, 0

nd sm

ab

20d，0



，所以(3.8)式不恒等于零，故(3.7)式不恒等于零。

2) 时，

ns

e次数的最高项为： 2





。此式中

e的最高次数为 4

e，最高次数项的系数为：





ss s

sm smsm

bdzbdz bz



 (3.9)

即： 4

bdz



。因为 0



，20d，0





，所以(3.9)式不恒等于零，故(3.7)式不恒等于零。

3) 时，

ns

e次数的最高项为：



PH QH





。此式中

e的最高次数为，最高次数项的系数为：

4nz



42 442

4232 424242

222

nsnsns

nsns ns

dmdmdm

sz szsz

nd smnd smnd sm

abdz eabdzeabdz e









(3.10)

即：。



42 2

222

nss s

dmm m

szsz sz

nd smsmsm

abdzebdze bdze







128

罗雪琴, 陈宗煊  二阶微分方程的解的不动点及与小函数的关系

因为，

0, 0

nd sm

ab

20d，0



，所以(3.10)式不恒等于零，故(3.7)式不恒等于零。综上可得(3.7)式

不恒等于零。

情况 2：假设，

20d10d，00d。此时， 01111 00010

,,,dddPd dd









 。采用上述类

似方法也可以证得(3.7)式不恒等于零。

情况 3：假设，

20d10d



，00d。或者20d



，00d



，10d



。同样采用上述类似方法即可证明(3.7)

式不恒等于零。

令01000

111

HHH PHHH HQ

GHHH







 

 



 

 







，由(3.6)式可以得到：

01000

1HHH PH1

HHQ

HG HG HG







 





 

 

 (3.11)

对(3.11)式运用类似于(2.2)~(2 .5)式的方法可以得到：

 



10 00111

,3, 2log,,

TrNrCrTrTrHG

HHHPHHH HQ

TrTr c

HG HG







 





 

 

 

 

 











(3.12)

其中均为常数。所以,Cc

 





。故













。也就是





222





 f。自然地，











。

5. 推论 1.3 的证明

若小函数 z



，则转化为不动点问题。

假设 f是方程(1.3)的一个无穷级解，令









zfzz



，那么















fg f



。(1.3)式则化为下

式：

PgQgPQz

 

 (4.1)

对于(4.1)式我们只需证明 0PQz



。由(1.4)~(1.7)式得



110

dd nz

ndn n

dd z

sm s

PQzazazazae

azazae

bzbzbze

bzb zbze











 

 





(4.2)

对(4.2)式考虑

e次数的最高项。

当时，我们分以下三种情况： 0z

1) 时，(4.2)式中ns

e次数的最高项为







110

dd nz

ndn n

azazaza e







。由于

，故



,2,,

jd 01aj n



110

dd nz

n n

azazazae





nd 。所以 0PQz



。

2) 时，(4.2)式中ns

e次数的最高项为







sm s

bzbzbze





。由于，故



01,2,,

bis



1sm

0s

b

mm sz

bzz ze



 。所以 0PQz



。

3) 时，(4.2)式中ns

e次数的最高项为

 



10 0

nns s

ddmm

ndn sms

azzzabzbzbze







a。由于，



01,2,,

ajn

罗雪琴, 陈宗煊  二阶微分方程的解的不动点及与小函数的关系

130



01,2,,

bi，所以

 





10 0

nns s

ddmmsz

ndnn sms

nd sm

azazazabzbzbze





。故

0PQz。当时，0z0PQzP



。

综上可得 0PQz。由引理2.1 得









。即













。又由定理1.1 可知









。

特别地，当时，有[7-11]。 n



1ff



s

6. 致谢

本人衷心感谢陈宗煊老师的悉心指导，同时感谢提供参考论文的各位作者。

参考文献 (References)

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