 Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 138-143 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.23022 Published Online July 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm) Smooth Solutions of an Iterative Functional Differential Equation* Houy u Zhao School of Mathematics, Chongqing Normal University, Chongqing Email: houyu19@gmail.com Received: Feb. 8th, 2012; revised: Feb. 26th, 2012; accepted: Mar. 4th, 2012 Abstract: By Faà di Bruno’s formula, using Schauder fixed point theorem, we study the existence and uniqueness of smooth solutions of an iterative functional differential equation 01 xtfct cxt . m m cx t Keywords: Iterative Functional Differential Equation; Smooth Solutions; Faà di Bruno’s Formula; Fixed Point Theorem 一类迭代泛函微分方程的光滑解* 赵侯宇 重庆师范大学数学学院，重庆 Email: houyu19@gmail.com 收稿日期：2012年2月8日；修回日期：2012 年2月26 日；录用日期：2012年3月4日 摘 要：本文利用 Faà di Bruno公式及Schauder不动点定理，证明了一类迭代泛函微分方程 0 x tfct 的光滑解的存在性和唯一性。 1m m cx tcxt 关键词：迭代泛函微分方程；光滑解；Faà di Bruno公式；不动点定理 1. 引言 自Jack Hale的工作[1]发表后，关于泛函微分方程解的研究已有许多工作。其中形如 01 ,,, m x tHxtxtxt 的迭代泛函微分方程，被许多人讨论过，这里 01 ,,xttxt xt, 1kk x txx t ，。确 切的说，Eder[2]考虑了泛函微分方程 2, ,km 2 x tx t，证明了该方程的每一个解或者恒为零或者严格单调。后来， Feckan 与王克[3-5]分别在不同的条件下研究了方程 2 x tfxt (1.1) 此外，Stanek[6]考虑了方程 2 x txtxt ，得到了与[2]类似的结果。最近，司建国与其合作者[7,8]讨论了以 下方程： *基金项目：重庆师范大学基金项目资助，项目批准号(12XLB003)。 Copyright © 2012 Hanspub 138  赵侯宇 一类迭代泛函微分方程的光滑解 m x txt , 1 m xt x t , 0 01 1 m m xt cx t cxtcxt , 给出了解析解存在性的充分条件。特别是在[9]和[10]中，作者利用不动点定理，研究了方程： 1 mj j j x taxtF t， 1 mj j j x tatxtF t光滑解的存在性、唯一性及稳定性。 本文中，我们考虑迭代泛函微分方程 01 m m x tfctcxt cxt (1.2) 光滑解的存在性。主要利用 Schauder不动点定理完成本论文的证明。在证明过程中，由于复合函数特别是迭代 函数的求导涉及复杂的运算，因此，我们通过 Faà di Bruno 公式将复杂的运算简化，进一步得到本论文的主要 结论。显然，上述几类方程都是(1.2)的特殊形式。那么，对于上面几类方程的光滑解的研究便可以看成是本文 结论的特例或推广。 我们可以证明方程(1.2)的局部光滑解的存在性连续依赖于光滑函数 f t。光滑函数是指一个函数有多次的 连续导数且最高次的导数满足 Lipschitz 条件。若 ,, n x x 在区间I是连续的，我们记 , n x CIR。如果 , n x CIR且映闭区间 I到I，我们记 , n x CII。显 然 ,R n CI 以范数 0 , nk nk xx max tI x xt 构成 Banach 空间。对给定的常数 记 01,2,,n1, i Mi 11 1211212 ,,;,:, 1,2,,;,,,. inn n ni n M MI xCIIxtMinxtxtMtttttI 为了便于书写，记 ji ij x txxt, * k j jk xt xt, 其中 是非负整数。为了寻找(1.2)在 中的解,,ijk , n CII x t，使 得 x ，自然会想到在区间 , 中 考虑，其中 0 。定义 011 1 ;,,;,, ;,, ;:,0,1,,1 i nnn i NNIf NNIfin , 02121 0 ;,,;1,,,;1,,,;:,,1,,. i nn ni X MMIx MMIxxin 其中 0 。 由数学归纳法，对 ，我们可以证明 0, ,kn *101,10,1 ,,;;,,, jkjkjkkj x tPxt xt xt xt (1.3) ,, ;;,,, j j kk jk jk tPxxx x (1.4) 22 1,,1;,; ;,, j jj jkjkk k Ht PMMMM (1.5) 其中 j k P是系数为非负数的唯一多项式，上式的证明可在[9]中找到。I是R上的闭区间。 Copyright © 2012 Hanspub 139  赵侯宇 一类迭代泛函微分方程的光滑解 2. 主要定理 这一部分，我们证明方程(1.2)光滑解的存在性定理，其间我们需要用到下面的事实：对 , x tyt X ，我 们有 121212 ,,,0,1, ,, jj x txtttttIjm (2.1) ,1,, jj , x yjxyj m (2.2) , nn n xyx y (2.3) 上述不等式的证明可在[10]中找到。 定理 1 设 ,I ， 这里 , 满足 1, 01 , (2.4) 假定 ， 0 1 m i i c 011 ;,,;,, ; nn f NNI ;, 。则(1.2)式在 02 ,;1, ,,; nn X 1 MMI 中有解，其中 1) 10 , (2.5) 12 1 12 12 1 00 0 12 1 1! , !!!1!2!( 1)! k k ss mm m s kiiii s ss ii i k kcc c ss sk 1 s iik (2.6) 2, ,kn， 12 1 21 k1 s sksk ，12 k1 s ss s . 2) 12 1 1 12 12 1 00 0 12 1 1! ,2,, !! !1!2!1! k k ss s mm m sii iiiikk s ss ii i k kNcH cHcHMk ss sk ,n (2.7) 12 1 21 k1 s sksk ，12 k1 s ss s . 3) 1 12 12 1 12 1112 0000 1 121 1 11 211 00 00 1! 1+ !! !1!2!1! n n nn mmm m niiin iiiis ss iiiisn n ss s mm mm sii iiiinsii ii ii n NccHnNcHcHss sn NcHcHcH sNcH 12 1121 11 12 00 1 1112 1 00000 + nnn ss mm ii ii ii ssss mmmmm i innsiii iniini inn iiiii cH cH cHs NcHcHcHcHM 3 3 1 s , (2.8) 12 1 21 n1 s sksn , 12 n1 s ss s . 证明：我们利用 Schauder 不动点定理来完成证明。定义算子 0 d tmi i i Txtfc xss (2.9) 先证对 , x X 有Tx 。考虑到 X 0 d, tmi i i Txtfcxsst (2.10) 因此，。由 Faà di Bruno公式易知 Tx II Copyright © 2012 Hanspub 140  赵侯宇 一类迭代泛函微分方程的光滑解 0 mi i i Txtfcxt , 1 12 11 1 0 0 121 *1* 1 00 1! !! !1!2!1! k k k m m ki i s i i s ss i i k ss mm ii iik ii k Txtfcx tfcx t ss sn cx tcxt , , 2, ,kn 其中 12 1 21 k1 s sksk ，12 k1 s ss s 。再注意到 Tx ，及(2.5)、(2.6)，有 0 0 mi i i Txfc xf1 , 11 1 12 12 1 12 *1* 1 000 12 1 12 1 00 12 1 1! !! !1!2!1! 1! !! !1!2!1! k k k ss mm m ki siii iik s ss ii i k ss mm sii iiiik s ss iii k k Txfc xc xc x ss sk kcc c ss sk 1 0 k s m k 2, ,kn, , 其中 12 1 21 k1 s sksk ，12 k1 s ss s 。 因此， 。又因为 ,0,1,, k Txkn k 1 0 1 mi i i Txtfc xtM 由(2.7)、(2.8 )有 11 1 12 11 00 12 1 1! , !! !1!2!1! k k ss mm k s iiiikk s ss ii k k Tx tNcHcHM ss sk 2, ,kn, 其中 12 1 21 k1 s sksk ，12 k1 s ss s 。 1 12 11 12 12 1 1*11*11 00 0 0 1! !! !1!2!1! n n nn s ss n ss mm m i siiiiin ii i mi si i n Tx tTx tss sn fcxtcxtcxt fcx 11 2*12 *12 00 12 1112 000 0 1 n ss mm ii iin ii nn mmm m niiin iiii iii i tcxtcxt NccHn NcHcH 12 1 12 1 1 11 21 100 12 1 1 112 00 1! !!!1!2!1! n n ss mm m sii iiiin s ss sni ii n s mm siiii ii nNcHcHcH ss sn sN cHcH 1 0 s 23 1 121 1 31 00 1 112 112 00 00 + n nn sss mm ii iin ii sss mm mm n siiiiniiniin ii ii cH cH s NcHcHcHcHtt 112 n Mtt . Copyright © 2012 Hanspub 141  赵侯宇 一类迭代泛函微分方程的光滑解 到此，我们证明了 T是一个将 X映到自身的算子。 现在证明 T的连续性。设 , x yX，则 2 00 00 12 maxd max 1! max!! nkk nk tmm ii ii tI ii mm ii ii tI ii tI k Tx TyTx TyTxTyTxTy fcxsfcyss fcxtfcyt k ss s 1 12 11 11 21 *1*1 00 0 *1* 11 00 0 !1!2!1 ! 1 k k k n s ss k ss mm m i siii iik ii i ss mm m i siii iik ii i k fcxtcxt cxt fcytcyt cytNc 11 1 12 01 11 1 210 0 11 1 11 2 000 1! !!1! 1! k k m i i ss nmm sii iik s ksni i k ss mmm ii isiiii iii icx y kNcH cH ss k cx ysNcHcH 1 12 1 1 0 1 112 1 0000 00 k kk s m iik i sss mmmm ii iksiiiikiik iiii mm ii iik i ii cH cx ysNcHcHcH cHcxy 1 2 01112 10 00 1 n mmmmnn niii niinii ii ii ciccHNcHnNcHxy 经过计算，我们可以找到一列正数使得 k P 11 1 12 1 11 1 210 0 11 11 11 21 0000 1 0 1! !!1! 1! k k k ss nmm sii iik s ksni i k ss s mmmm ii isiiiiiik iiii mii iks i kNcH cH ss k cx ysNcHcHcH cx ysNc 12 1 12 00 0 1 , 00 1 ,, kk ij ss mm m ii iikiik ii i mm n ii kk iikiki jH ii k HcH cH cHcxyPc Nxy 1 1 s 因此 1 10 , 11 2 01112 10 00 1, 1 , ij mn kk ikijH nik n mmmmnn niii niinii ii ii n TxTyNci cxyPcNxy ciccHNcHn NcHxy xy Copyright © 2012 Hanspub 142  赵侯宇 一类迭代泛函微分方程的光滑解 Copyright © 2012 Hanspub 143 其中 1 10 , 11 2 0111 10 00 max 1,,, 1 ij mn ikijH ik n mm mm niii niinii ii ii Nc ic PcN cic cHNcHnNcH 2 这里 ，1, ,1kn12 1 2(1) k1 s sksk ，12 k1 s ss s 。这就证明了 T的连续性。类似[9,10]易 知X是凸闭集，进一步还可证明X在中一致有界，在 I上等度连续，根据 Arzela-Ascoli定理知 X是 , n CII , n CII 的相对紧子集。由 Schauder 不动点定理知，存在 x tX 使得 0 d tmi i i x tfcxs s 1 1 1 对上式两端求导即可看出 x是(1.2)的解。定理证毕。 我们注意到，如果上面定理中有 0，则表明 T是一个压缩算子。因此，上面证明中的不动点 x必 是唯一的。进一步可证这个唯一解关于给定的函数 f是连续依赖的，即有下面定理。 q 定理 2 在定理 1的条件下，且 ，则方程(1.2)在 0q 02 ;,,;1,,,; nn X MMI 中的唯一解连续依赖于给定的 f。 参考文献 (References) [1] J. 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