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Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 138-143
http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.23022 Published Online July 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)
Smooth Solutions of an Iterative Functional Differential
Equation*
Houy u Zhao
School of Mathematics, Chongqing Normal University, Chongqing
Email: houyu19@gmail.com
Received: Feb. 8th, 2012; revised: Feb. 26th, 2012; accepted: Mar. 4th, 2012
Abstract: By Faà di Bruno’s formula, using Schauder fixed point theorem, we study the existence and
uniqueness of smooth solutions of an iterative functional differential equation





01
xtfct cxt

.



m
m
cx t
Keywords: Iterative Functional Differential Equation; Smooth Solutions; Faà di Bruno’s Formula; Fixed
Point Theorem
一类迭代泛函微分方程的光滑解*
赵侯宇
重庆师范大学数学学院,重庆
Email: houyu19@gmail.com
收稿日期:2012年2月8日;修回日期:2012 年2月26 日;录用日期:2012年3月4日
摘 要:本文利用 Faà di Bruno公式及Schauder不动点定理,证明了一类迭代泛函微分方程


0
x
tfct

的光滑解的存在性和唯一性。




1m
m
cx tcxt
关键词:迭代泛函微分方程;光滑解;Faà di Bruno公式;不动点定理
1. 引言
自Jack Hale的工作[1]发表后,关于泛函微分方程解的研究已有许多工作。其中形如









01
,,,
m
x
tHxtxtxt

的迭代泛函微分方程,被许多人讨论过,这里



 
01
,,xttxt xt,






1kk
x
txx t

,。确
切的说,Eder[2]考虑了泛函微分方程
2, ,km

2


x
tx
t,证明了该方程的每一个解或者恒为零或者严格单调。后来,
Feckan 与王克[3-5]分别在不同的条件下研究了方程





2
x
tfxt
 (1.1)
此外,Stanek[6]考虑了方程
 


2
x
txtxt
 ,得到了与[2]类似的结果。最近,司建国与其合作者[7,8]讨论了以
下方程:
*基金项目:重庆师范大学基金项目资助,项目批准号(12XLB003)。
Copyright © 2012 Hanspub
138
赵侯宇  一类迭代泛函微分方程的光滑解



m
x
txt
,



1
m
xt
x
t
,


 


0
01
1
m
m
xt cx t cxtcxt

,
给出了解析解存在性的充分条件。特别是在[9]和[10]中,作者利用不动点定理,研究了方程:


 
1
mj
j
j
x
taxtF


t,
 

 
1
mj
j
j
x
tatxtF


t光滑解的存在性、唯一性及稳定性。
本文中,我们考虑迭代泛函微分方程
 




01 m
m
x
tfctcxt cxt
  (1.2)
光滑解的存在性。主要利用 Schauder不动点定理完成本论文的证明。在证明过程中,由于复合函数特别是迭代
函数的求导涉及复杂的运算,因此,我们通过 Faà di Bruno 公式将复杂的运算简化,进一步得到本论文的主要
结论。显然,上述几类方程都是(1.2)的特殊形式。那么,对于上面几类方程的光滑解的研究便可以看成是本文
结论的特例或推广。
我们可以证明方程(1.2)的局部光滑解的存在性连续依赖于光滑函数


f
t。光滑函数是指一个函数有多次的
连续导数且最高次的导数满足 Lipschitz 条件。若

,,
n
x
x
在区间I是连续的,我们记

,
n

x
CIR。如果

,

n
x
CIR且映闭区间 I到I,我们记


,
n
x
CII。显 然


,R
n
CI 以范数

0
,
nk
nk
xx




max
tI

x
xt

构成
Banach 空间。对给定的常数 记

01,2,,n1,
i
Mi








 
11 1211212
,,;,:, 1,2,,;,,,.
inn
n
ni n
M
MI xCIIxtMinxtxtMtttttI
 
 
为了便于书写,记






ji
ij
x
txxt,






*
k
j
jk
xt xt,
其中 是非负整数。为了寻找(1.2)在 中的解,,ijk

,
n
CII



x
t,使 得


x



,自然会想到在区间


,

 
中
考虑,其中 0

。定义





011 1
;,,;,, ;,, ;:,0,1,,1
i
nnn i
NNIf NNIfin
 

 ,





02121 0
;,,;1,,,;1,,,;:,,1,,.
i
nn ni
X
MMIx MMIxxin
  

  
其中 0


。
由数学归纳法,对 ,我们可以证明
0, ,kn









*101,10,1
,,;;,,,
jkjkjkkj
x
tPxt xt xt xt



(1.3)
 






,, ;;,,,
j
j
kk
jk jk
tPxxx x

  





  (1.4)
 

22
1,,1;,; ;,,
j
jj
jkjkk k
Ht PMMMM

 
  

(1.5)
其中
j
k
P是系数为非负数的唯一多项式,上式的证明可在[9]中找到。I是R上的闭区间。
Copyright © 2012 Hanspub 139
赵侯宇  一类迭代泛函微分方程的光滑解
2. 主要定理
这一部分,我们证明方程(1.2)光滑解的存在性定理,其间我们需要用到下面的事实:对
 
,
x
tyt X

,我
们有




121212
,,,0,1, ,,
jj
x
txtttttIjm (2.1)
 
,1,,
jj ,
x
yjxyj m (2.2)
 
,
nn
n
xyx y

 (2.3)
上述不等式的证明可在[10]中找到。
定理 1 设


,I

 
 ,
这里 ,


满足
1,


01



 , (2.4)
假定 ,
0
1
m
i
i
c




011
;,,;,, ;
nn
f
NNI
 

 
;,
。则(1.2)式在

02
,;1, ,,;
nn
X
1
MMI




中有解,其中
1) 10



, (2.5)

12
1
12 12 1
00 0
12 1
1! ,
!!!1!2!( 1)!
k
k
ss
mm m
s
kiiii
s
ss ii i
k
kcc c
ss sk




 

 
 
 



1
s
iik


(2.6)
2, ,kn,

12 1
21
k1
s
sksk

,12 k1
s
ss s


.
2)


12 1
1
12 12 1
00 0
12 1
1! ,2,,
!! !1!2!1!
k
k
ss s
mm m
sii iiiikk
s
ss ii i
k
kNcH cHcHMk
ss sk


 

 

 
 


 ,n
(2.7)


12 1
21
k1
s
sksk

,12 k1
s
ss s

.
3)




1
12
12 1
12
1112
0000 1
121
1
11 211
00 00
1!
1+
!! !1!2!1!
n
n
nn
mmm m
niiin iiiis
ss
iiiisn n
ss s
mm mm
sii iiiinsii
ii ii
n
NccHnNcHcHss sn
NcHcHcH sNcH




  


 

 

 
 
 

 
 


 
 


12
1121
11
12
00
1
1112 1
00000
+
nnn
ss
mm
ii ii
ii
ssss
mmmmm
i innsiii iniini inn
iiiii
cH cH
cHs NcHcHcHcHM




 





 


 
 




 
3
3
1
s

, (2.8)

12 1
21
n1
s
sksn

, 12 n1
s
ss s

.
证明:我们利用 Schauder 不动点定理来完成证明。定义算子



0
d
tmi
i
i
Txtfc xss




 




(2.9)
先证对 ,
x
X 有Tx 。考虑到 X



 
0
d,
tmi
i
i
Txtfcxsst


 


  



 (2.10)
因此,。由 Faà di Bruno公式易知

Tx II
Copyright © 2012 Hanspub
140
赵侯宇  一类迭代泛函微分方程的光滑解



0
mi
i
i
Txtfcxt




,











 
1
12
11
1
0 0
121
*1* 1
00
1!
!! !1!2!1!
k
k
k
m m
ki i
s
i i
s
ss
i i
k
ss
mm
ii iik
ii
k
Txtfcx tfcx t
ss sn
cx tcxt



 





 


 

 

 
 
 
 



, ,
2, ,kn
其中

12 1
21
k1
s
sksk

,12 k1
s
ss s

。再注意到




Tx



,及(2.5)、(2.6),有


 
0
0
mi
i
i
Txfc xf1










,








 


11
1
12
12
1
12
*1* 1
000
12 1
12 1
00
12 1
1!
!! !1!2!1!
1!
!! !1!2!1!
k
k
k
ss
mm m
ki
siii iik
s
ss ii i
k
ss
mm
sii iiiik
s
ss iii
k
k
Txfc xc xc x
ss sk
kcc c
ss sk

 




 
















1
0
k
s
m
k













2, ,kn, ,

其中


12 1
21
k1
s
sksk

,12 k1
s
ss s

。
因此, 。又因为

,0,1,,
k
Txkn



k




1
0
1
mi
i
i
Txtfc xtM







由(2.7)、(2.8 )有


 

11
1
12 11
00
12 1
1! ,
!! !1!2!1!
k
k
ss
mm
k
s
iiiikk
s
ss ii
k
k
Tx tNcHcHM
ss sk




 

 
 


 2, ,kn,
其中


12 1
21
k1
s
sksk

,12 k1
s
ss s

。


 

 



 


1
12
11
12
12 1
1*11*11
00 0
0
1!
!! !1!2!1!
n
n
nn
s
ss
n
ss
mm m
i
siiiiin
ii i
mi
si
i
n
Tx tTx tss sn
fcxtcxtcxt
fcx




 


 
 
 
 


 



 

11
2*12 *12
00
12
1112
000 0
1
n
ss
mm
ii iin
ii
nn
mmm m
niiin iiii
iii i
tcxtcxt
NccHn NcHcH





 



 


 
 



 



12
1
12
1
1
11 21
100
12 1
1
112
00
1!
!!!1!2!1!
n
n
ss
mm m
sii iiiin
s
ss
sni ii
n
s
mm
siiii
ii
nNcHcHcH
ss sn
sN cHcH
1
0
s




 




















23 1
121
1
31
00
1
112 112
00 00
+
n
nn
sss
mm
ii iin
ii
sss
mm mm
n siiiiniiniin
ii ii
cH cH
s NcHcHcHcHtt







 
 













 


112
n
Mtt

 .
Copyright © 2012 Hanspub 141
赵侯宇  一类迭代泛函微分方程的光滑解
到此,我们证明了 T是一个将 X映到自身的算子。
现在证明 T的连续性。设 ,
x
yX,则
 












2
00
00
12
maxd
max
1!
max!!
nkk
nk
tmm
ii
ii
tI ii
mm
ii
ii
tI ii
tI k
Tx TyTx TyTxTyTxTy
fcxsfcyss
fcxtfcyt
k
ss s






 





















 


 
1
12
11
11
21
*1*1
00 0
*1* 11
00 0
!1!2!1 !
1
k
k
k
n
s
ss
k
ss
mm m
i
siii iik
ii i
ss
mm m
i
siii iik
ii i
k
fcxtcxt cxt
fcytcyt cytNc






 

 

 
 
 


 


 
 



 
 





 
11
1
12
01
11 1
210 0
11
1
11 2
000
1!
!!1! 1!
k
k
m
i
i
ss
nmm
sii iik
s
ksni i
k
ss
mmm
ii
isiiii
iii
icx y
kNcH cH
ss k
cx ysNcHcH













 
 
 







 



 
 
1
12
1
1
0
1
112 1
0000
00
k
kk
s
m
iik
i
sss
mmmm
ii
iksiiiikiik
iiii
mm
ii
iik i
ii
cH
cx ysNcHcHcH
cHcxy




























1


 
2
01112
10 00
1
n
mmmmnn
niii niinii
ii ii
ciccHNcHnNcHxy



 

 


 
 

 
经过计算,我们可以找到一列正数使得
k
P


 
 
11
1
12 1
11 1
210 0
11
11
11 21
0000
1
0
1!
!!1! 1!
k
k
k
ss
nmm
sii iik
s
ksni i
k
ss s
mmmm
ii
isiiiiiik
iiii
mii
iks
i
kNcH cH
ss k
cx ysNcHcHcH
cx ysNc












 
 
 

















 

 
12
1
12
00 0
1
,
00 1
,,
kk
ij
ss
mm m
ii iikiik
ii i
mm n
ii kk
iikiki jH
ii k
HcH cH
cHcxyPc Nxy



 

 
 
 
 







 
 

1
1
s
因此


 

 
1
10 ,
11
2
01112
10 00
1,
1
,
ij
mn kk
ikijH
nik
n
mmmmnn
niii niinii
ii ii
n
TxTyNci cxyPcNxy
ciccHNcHn NcHxy
xy






 





 
 

 
 



 
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142
赵侯宇  一类迭代泛函微分方程的光滑解
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其中



1
10 ,
11
2
0111
10 00
max 1,,,
1
ij
mn
ikijH
ik
n
mm mm
niii niinii
ii ii
Nc ic PcN
cic cHNcHnNcH






 

 




2


  





 
 





 
这里 ,1, ,1kn12 1
2(1)
k1
s
sksk

 ,12 k1
s
ss s


。这就证明了 T的连续性。类似[9,10]易
知X是凸闭集,进一步还可证明X在中一致有界,在 I上等度连续,根据 Arzela-Ascoli定理知 X是

,
n
CII


,
n
CII
的相对紧子集。由 Schauder 不动点定理知,存在


x
tX

使得



0
d
tmi
i
i
x
tfcxs




 


s
1
1
1
对上式两端求导即可看出 x是(1.2)的解。定理证毕。
我们注意到,如果上面定理中有 0,则表明 T是一个压缩算子。因此,上面证明中的不动点 x必
是唯一的。进一步可证这个唯一解关于给定的函数 f是连续依赖的,即有下面定理。
q
定理 2 在定理 1的条件下,且 ,则方程(1.2)在 0q 

02
;,,;1,,,;
nn
X
MMI
 


中的唯一解连续依赖于给定的 f。
参考文献 (References)
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