动力边界条件的阻尼波动方程解的爆破性和渐近性 Blow-Up and Asymptotic Behavior of Global Solution of Damped Wave Equation with Dynamic Boundary Conditions

doi:10.12677/PM.2012.23023

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Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 144-151

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.23023 Published Online July 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)

Blow-Up and Asymptotic Behavior of Global Solution

of Damped Wave Equation with Dynamic Boundary

Conditions

Niu Jin, Hongwei Zhang*, Qingying Hu

Department of Mathematics, Henan University of Technology, Zhengzhou

Email: *wei661@yahoo.com.cn

Received: Apr. 10th, 2012; revised: Apr. 27th, 2012; accepted: May 8th, 2012

Abstract: In this paper, the blow-up and asymptotic behavior of global solution of damped wave equation

with dynamic boundary condition are discussed. By the convexity lemma and unstable set, the sufficient con-

dition of the solutio n of the wave equation with n egative and positive initial en ergy respectively are obtain ed.

With the help of Nakao and stable set, the energy decay of the solution is given.

Keywords: Wave Equation; Dynamic Boundary Condition; Convexity Lemma; Blow -Up of Solution;

Energy Decay

动力边界条件的阻尼波动方程解的爆破性和渐近性

靳妞，张宏伟*，呼青英

河南工业大学数学系，郑州

Email: *wei661@yahoo.com.cn

收稿日期：2012 年4月10 日；修回日期：2012 年4月27 日；录用日期：2012 年5月8日

摘要：本文讨论动力边界条件的阻尼波动方程解的爆破性和渐近性。利用凸性分析和不稳定集，分

别给出了初始能量为负和正时，解爆破的充分条件；借助 Nakao 不等式和位势井理论得到了解的衰减

估计。

关键词：波动方程；动力边界条件；凸性引理；解的爆破；衰减估计

1. 引言

本文讨论如下初边值问题整体解的爆破性和渐近性：

0,01, 0,

tt xxxxt

uuux t



  (1.1)

  

1,1, 1,1, 1,1,,

tt xtxt

ututu tututut

 



  (1.2)



0, 0,ut



(1.3)















,0, ,0,

ux uxuxux

(1.4)

其中下标字母表示对该变量的偏导数，x表示位置变量，t为时间变量，，为给定的初始函数，，

u2p0



，



，0



，0



为常数。

问题(1.1)~(1.4)描述的是粘弹性弹簧–质量–阻尼器系统，各个方程和参数的物理意义见[1]。该模型已有许

*通讯作者。

144

靳妞等  动力边界条件的阻尼波动方程解的爆破性和渐近性

多结果，但大都从控制论的可控性和稳定性角度去研究，当 1







而0







时，M. Grobbelaar-Van Dalsen[2]

给出了研究该问题的泛函框架及其半群理论的适定性。当 0







时，Morgul 等[3]，Zhu 和Guo[4]，Mifdal[5]，

Baicu 等[6]，Guo 和Xu[7]，Conrad 等[8]分别从不同角度研究了该问题的渐近性和稳定性。当 0





，而边界阻

尼项换为更一般的











ut时，Rao[9]，Feireisl 等[10]，d’Andrea-Novel[11]，Vancostenoble[12]给出了问

题的适定性和反馈稳定性。

当0



时，Shahruz[13]，Pellicer 和Sola-Morales[14]，呼青英和张宏伟[15]用不同方法给出了稳定性，Burns

和King[16]给出了问题(1.1)~(1.4)的多项式衰减。Ackleh和Banks 等[17]和Pellicer[18]还讨论了如下非线性系统的适

定性和流形













1, ,1,0,

tt xxxxxt

uuu futut



  (1.5)





0, 0,ut



(1.6)























1,1,1, ,1,.

ttxxt tt

utu uutfutut



  (1.7)

Gerbi 和Said-Houari[19-21]利用 Galerkin 方法和压缩映射原理给出了如下问题

2,,

tt t

uuuuuxt





 0,

(1.8)



,0, ,0uxtx t (1.9)







,,,

ttt

ttx t

uxt

uxt uuxtx

















,0,t

(1.10)

的局部适定性和能量的指数增长阶。

还应当提及的是已有大量文献研究了类似问题。例如 Littman 和Markus[22]，Andrews 和Kuttler[23]和Hu 等[24]

研究了如下问题

0, 01,0,

tt xxxxxxxxt

uuuluuxt



 (1.11)











0,0,1, 0,0,

xxx

utu tutt (1.12)

 

1,1,1,1,1,1, .

xxxxxxttttt t

ututmutautbutut



 (1.13)

最近 Autuori和Pucci[25]还讨论了动力边界的 Kirchhoff系统。

本文讨论问题(1.1)~(1.4)的整体解的不存在性和衰减性。据作者所知，整体解的不存在性是该类问题的首次

讨论，而引入位势井得到其衰减性与文献[19]的指数增长性完全不同。本文第二节，我们用经典的凸性引理[26]

给出了整体解不存在的充分条件。在第三节，我们利用文献[27]的思路引入位势井[28]，利用 Nakao 不等式[29]给

出了整体解的衰减性。

为了方便，我们取问题(1.1)~(1.4)中常数 ,,,





均为 1。本文所用符号同文[19]，我们记为通常的

Sobolev 空间。



10,1H







10,1 ,00VuuH u ，



为空间



uv 



,du xv xx





20, 1L的内积，并记其范数为



。

2. 初始能量为负时解的爆破

利用[18]中半群方法，对和

uV





10,1uL并满足相容性条件，则问题(1.1)~(1.4)有唯一解。记问

题(1.1)~(1.4) 的相应能量函数和初始能量为

uH

  

111 1

1, 1,

222

txt

Etuuutu t

, (2.1)

 

22 2

101 0

111 1

22 21

Euuuu

 . (2.2)

靳妞等  动力边界条件的阻尼波动方程解的爆破性和渐近性

从而有

 

221,

dxt t

dEtuu t

t . (2.3)

因此有



0d1,

xs s

EtEusus s 



d. (2.4)

引理 2.1[26] 设



t是上的非负二次连续可导函数，且满足，



0,R



 

10HtHt Ht



 

 





为常数。若，，则必存在时刻



00H



00H







TT H







使当时有。 tT



Ht



其中

定理 2.2 设问题(1.1)~(1.4)存在局部解，，2p





00E



，则必存在有限时刻 T，使问题(1.1)~(1.4)的解爆

破。

证明记

  









22222

000 0

1, dd1,1

tu ussusutTtuutt



 

 , (2.5)

其中，



，为非负常数，并在后面确定，则







 



2,21,1,d 2,d 21,1,2

tt xxst



tuuusussuussututtt



 

 , (2.6)

  

21,1,

txt

Ftuuutut





  









. (2.7)

对(2.7)利用能量等式(2.4)以及有 2p

   



 

21,d1,d 2

202d21,d

ttxs sx

xs s

tpuutususspu

pEp uspuss





  





 



. (2.8)

取并注意到，则(2.8)可写成



02E



 02p

  

222

21,d1,d

ttxs s

Ftpuu tususs







 









 . (2.9)

又由不等式知， Holder



 







222 22

22 0

00 00

41,d1,ddd1,1,

tt tt

ttxxst

Ftuuu ssu ssususututtt



 

 

 

 

  

 

 

 

 (2.10)

则由(2.6)，(2.9)，(2.10)以及 Cauchy-Schwartz 不等式得

 

FtFtF t



 







。又取充分大，使



 

010 10

02,21120Fuuuut



 

。又注意到





00F，则由引理 2.1知，必存在有限时刻使问题

(1.1)~(1.4)的解在有限时刻爆破。

3. 解的衰减估计

记





inf ,





 (3.1)







11 .











146

靳妞等  动力边界条件的阻尼波动方程解的爆破性和渐近性

易见正是[27]中定义的位势井的井深。这时位势井定义为







,0,0ER EE









. (3.2)

为得到能量衰减，我们引入如下集合









,0,0ER EE





1

, (3.3)

其中



10 1

pC Ep1











显然包含于中。类似于[27]可以证明：

0



引理 3.1 设u为问题(1.1)~(1.4)在





max

0,T上的局部解，若









uE 



，则总有



uEt



，

。





max

0,tT

引理 3.2 若



uE 1

，则问题(1.1)~(1.4)的解满足



221,

uut, (3.4)

从而

 

Etuu t



 . (3.5)

证明由的定义(2.1)和的定义(3.1 )知



Et 0



EtuCuG u x

其中









。易知





在







 处取得极大值









，且当 1



时，







严格

递减。当



时，。从而对任意的 t有





 1x





且





Gu (因1





)。又注意到

 



222 2

11 1

1, 1,

22 2

xxx x

uutuuutuGu



 







, (3.6)

而这时



Gu ，故由(3.6)知，(3.4)成立。由此进一步得

 

11 1

Etuu tu



 ,

即(3.5)成立。

引理 3.3[29] 设





是上非负有理函数，且存在正常数使得



0,R



0k









sup( )1

tt kt t



 



，

则存在正常数和



使得



tle







t，。 0

定理 3.4 设



2,, 0

puE1



，u是问题(1.1)~(1.4)的整体解，则存在正常数 l和



，使得





Etle t





，

。 0t

证明由(2.3)知

   

1221,d1

xs s

tusus sEtEt











, (3.7)

由中值定理必存在 11

ttt









，23,1

ttt









使得



  



xt i

utCEt Et, 1, 2i



. (3.8)



靳妞等  动力边界条件的阻尼波动方程解的爆破性和渐近性

这里以及后面的 C表示不同的正常数，但均不依赖于 t。

方程(1.1)两边同乘 u，并在









,0,tt 1上积分得



 

  

1, d1,1,

1, d1,1,d

xtiiti

sssx xs

uuss utututut

uuss usususus



 i





 















 













. (3.9)

下面估计(3.9)右边的各项。因为







0,0,0

utu t

。则

uCu t

uCuxt

. (3.10)

由(3.8)，(3.10) ，(3.5)和关于t的递减性及 Youn 不等式知



Et g

  

  



 



22 2

111 1

tiixti xixi

ii i

ututututCEtEtutCEtEtEt



 

 

 , (3.11)

其中



为任意的正常数，并在后面确定，







为依赖于



的正常数，注意到

     



1,0,, d1

t txtxt

ututuxtxCutCEtEt 





, (3.12)

  

1,0,, d

utu tuxtxCutCEt 

2

, (3.13)

则由不等式得， Young



 



 



222

1, 1,11

iti

ututCEtEt EtCEt EtEt







. (3.14)

由(3.7)和(3.10) ，易知

   



31, d1, d1

ssxss

IuussCuussCEtEt

 

   

 





. (3.15)

利用(3.7)，(3.13) ，的单调递减性和 Youn 不等式有



Et g

 





 



41,1,d1,1,d1

usussu sCu ssCEtEtEt

 



 . (3.16)

再由不等式和(3.7)及Young





Et的单调递减性知

  



5d1

xxs

u sussCEtEtEt









. (3.17)

把(3.11)，(3.14)~(3.17)代入到(3.9)知



 



21,d1

tuussCEtEt E





t



. (3.18)

另一方面，由引理 3.2 的(3.5)

 





 





 



22 22

2 2

1112111

1, 1,1,1, 1,

22222222

ppp

xtt xtt

Etuutu ututuutuutEt



  



移项并整理得

 



















222

1,1, 1,1,

xttxt

Etuutuut uutuu





, (3.19)

(3.19)式关于t在





,tt 上积分后再利用(3.15)和(3.18)及





Et的单调性得

148

靳妞等  动力边界条件的阻尼波动方程解的爆破性和渐近性

  

 



 



22 2

11 1

d1,d1,d

11sup

tt t

xss

tt t

tst

Es suussuuss

C EtEtEtC EtEtEs







 







 , (3.20)

因单调减，可取到







312

,ttt使



EtCEs s,

则由于和的单调性及(3.7)有

31tt







 

122

11,d

d1,d

xs sxs s

xs s

Et Etuus sEtuus s

CEssuus s





 



 









1,d



. (3.21)

由的单调性，(3.20)和(3.7)有



























sup sup11

tst tst

EsEsCEt Et



 

.

取



充分小，则

















sup 1

tstEsCEt Et







由引理 3.3 得结论。

4. 初始能量为正时解的爆破

本节给出初始能量为正时解爆破的充分条件。

引理 4.1 设，2p00x



且，则必有



0EE



,





Et E



其中 0



，同第三节。

证明由的单调性知，成立。类似于引理 3.2 的证明，我们有



 

0Et EE

 



111

xxx

Etuutuugu





, (4.1)

其中







 ，0



。易知





在2





 处取得极大值









，且当 0



时







严

格递减，当



 时，。因









0EE



，则必存在 20



使得









20gE



。由





的单调性，若

有



使



0gE

 



 ，则必有 2



。由此我们断言对必有 0t



. (4.2)

事实上，若存在某一时刻使

00t





ut 2





. (4.3)

由于 20



，



ut关于 t连续，由假设应有







。但利用(4.1 )及







关于 0



时的单调递减性和(4.3)

知

 





 

Etg utgE



,

此与









0Et E矛盾。因此，(4.2)成立。进一步有结论成立。

靳妞等  动力边界条件的阻尼波动方程解的爆破性和渐近性

定理 4.2 设，2p00x



且，则问题(1.1)~(1.4)的解必在有限时刻爆破。



00EE

证明类似于定理 2.2，构造辅助函数





t如(2.5)。则(2.6)，(2.7) 仍成立。对 (2.7 )用的表达式则



  

21,222

tt x

tpuutp upEt





  

 , (4.4)

由引理 4.1 知，

 

pu ppE



2

又结合(2.4)及已知，则(4.4)变为



0E

  



  





220

21,2

21,202

2d21,d

xs s

FtpuutpE Et

puutpEE

pusspuss





 





 







(4.5)

取，这时



2EE



0







202pEEp 2



，并注意到时，

2p2p2





，则(4.5)成为

 

21,d1,

ttxss

tp uutusus





  





s. (4.6)

余下同定理 2.2 的证明过程，不再重复，证毕。

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