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Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 156-163
http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.23025 Published Online July 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)
The Relation between Solutions of Higher Order Linear
Differential Equations and Functions of Small Growth*
Jin Jin
Mathematics Department, Bijie University, Bijie
Email: jinjin62530@163.com
Received: Apr. 14th, 2012; revised: May 21st, 2012; accepted: May 29th, 2012
Abstract: In this paper, the growth of solutions of higher order linear differential equation is investigates,
in the





 
12
12 210
0
kk kaz bz
kk
fAzfAzfAzfAzefAzef

  
 

0
j
Az were
entire functions,


10,1,2,,1
j
Aj k


,ab
, are non-zero constant obtains their 1st, 2nd derivatives,
differential polynomial of differential equations with function of small growth.
Keywords: Linear Differential Equations; Entire Function; Small Function; Exponent of Convergence
高阶线性微分方程解与其小函数的关系*
金 瑾
毕节学院数学系，毕节
Email: jinjin62530@163.com
收稿日期：2012 年4月14日；修回日期：2012 年5月21 日；录用日期：2012年5月29 日
摘 要：本文研究了高阶线性齐次微分方程
解的增长性，其中





 
12
12 210
0
kk kaz bz
kk
fAzfAzfAzfAzef Azef

  
 


0
j
Az是整函数，



10,1,2,,1
j
Aj k

 

， 为非零复常数，得到了方程解的一阶导数，二
阶导数，微分多项式与小函数之间的关系。
,ab
关键词：线性微分方程；整函数；小函数；收敛指数
1. 引言与主要结果
本文采用Nevanlinna 值分布理论的标准记号[1-24]，用


f

、


f

和


f

表示亚纯函数

f
z的增长级、
零点收敛指数和不同零点收敛指数，用

f


和


f



表示亚纯函数


f
z取小函数的零点收敛指数和取小
函数的不同零点收敛指数。设二阶线性微分方程




0
1
10
0
az
az
fA zefAzef
 

1
, (1.1)
其中 是整函数，且
 
00,
j
Az j


1
j
A


，




00,
j
aC j 1。陈宗煊[1]研究了微分方程(1.1)的解的增
长性问题，大大推广和完善了Frei M.[2]，Ozawa M.[3,4]，Gundersen G.[5]，Langley J. K.[6]关于二阶线性微分方程
(其中 为有限级整函数)解的增长性的结果。徐俊峰和仪洪勋在文[7]中进一步研究了

0
z
fefQzf

 


Qz
*资助信息：贵州省科学技术基金资助项目： 复微 分方程解的 复振 荡研究 (2010GZ43286)；贵州省科学技术基金资助项目：微分方程解的理
论及应用研究(2012GZ10526)；贵州省教育厅科研基金资助项目：高阶线性复微分方程解的不动点的研究(2007079)；贵州省毕节地区科研基
金资助项目：喀斯特地区石漠化时空格局及其评价体系的模型研究([2011]02)。
Copyright © 2012 Hanspub
156
金瑾  高阶线性微分方程解与其小函数的关系
二阶微分方程 的超越解与其小函数的关系。
 
10
0
az bz
fA zefAzef
 




kk
kk
fA zfA




本文在此基础上研究了高阶线性复微分方程


 
12
12 210
0
kaz bz
zfAzfAzef Azef
  
 (1.2)
的解


f
z与其小函数


z


的关系。得到了下述结论。
 
00,1,2,,1
j
Az jk 定理 设 是整函数，且


1
j
A


，是复常数，且和和 2b。如
果 是不恒为零的整函数且，则微分方程(1.2 )的任意超越解
,ab 0abab

z


1




f
z都满足





ff f


 
.
2. 证明定理所需的引理
引理 1[8] 假设 ，其中
 
0,1,2,,1
j
az
jj
Ahze jk




0
j
hz


为整函数且级小于1，
j
a为互不相同的复
常数。则





 
12
12 10
0
kk k
kk
fAzfAzfAzfAzf

 
 

的所有超越解的级都为无穷。
引理 2[9-12] 设

f
z是超越亚纯函数且
 




112 2
,,,,,,
qq
f
Hkjkj kj

 
0
是不同的整数对的有
限集合，满足 。假设

01,2,i q
ii
kj

是个给定常数，则存在一集合


0, 2πE，其线性测度为零，
使得如果 [0, 2π)E

，则存在常数


00 1RR

 arg z，对满足


及0
zR的所有 都有

H,kj




 
1
kkj
j
fz z
fz



。
引理 3[13-15] 设



12
,,,
n
fzfz fzn

2为亚纯函数，






12
,,,
n
g
zgz gz为整函数，满足下列条件：
1) ；

10
j
n
j
jfze




gz
2) 当1时，jkn
 
jk
g
zgz是非常数；
3) 当0，1时，jn hkn






,, ,
hk
gg
j
TrfoTrerr E

。那么
 
01,2,,
j
f
zjn。
在定理的证明中我们只需要如下形式：
引理 4 设
 
12 1
,,,,
nn
f
zfzfzf z

为亚纯函数，






12
,,,
n
g
zgz gz为整函数，满足下列条件：
1)
 
1
1
j
n
jn
j

gz
f
zef z




；
2) 当11，
1时，jn kn

j
f
z的级小于

k
g
z
e的级。在 的情形，当2n01jn

，
1时，
hkn

j
f
z的级也小于
 
kh
g
zgz
e的级。那么



2,,fz n01,j1
j

。
证明 因为条件 1)中的恒等式可以改写为



ngz


1
1
10
jn
gz
jn
jfzef ze





，，故 由 引理3即可
得出 。

10
n
gz

 
01,2,,1
j
fz jn 
引理 5[16] 设 都是有限级亚纯函数，如果
01 1
,,, ,0
k
AAA F





f
z是方程



 
1
110
kk
k
f
AzfAzfAzfFz




的一个无穷级亚纯函数解，那么


f
z满足






fff


。
3. 定理的证明
证明 设

f
z是方程(1.2)的任意超越解，则由已知和引理 1可知


f


。故 。

f


下面我们证明

f


和


f

 
。
1) 首先我们证明

f


。设






g
zfz z



，则






gff f
 


 ，
 
gf




。
Copyright © 2012 Hanspub 157
金瑾  高阶线性微分方程解与其小函数的关系
对微分方程(1.2)两边求导并整理得
 


 
3
1
112110
10
k
kkkj azaz bzbz
kkjkj
j
fAfAAfAAefAeAefAef







  


0

, (3.1)
由微分方程(1.2)得
 
3
21
1
0
1k
kkj az
kj
bz j
f
fAfAfAe
Ae




f


 




, (3.2)
将(3.2)式代入(3.1)式并整理得





  
3
00
1
11
1
00
00
21 2101
00
0
bz bz
k
kk
kkjkjkj
bz bz
j
bz bz
azazbz az
bz bz
Ae Ae
fAf AAAf
Ae Ae
Ae Ae
AAe AfAeAe Aef
Ae Ae

 






 








 



kj






. (3.3)
又由
 
g
zfz z



可得
fg

,


11
1, 2,,2
kj kjkj
fgjk




 
11kk k
fg

,


,
 
1kk
fgk

.
将这 个等式代入(3.3)并整理得 1k





  


3
00
11
11
1
00
00
21210 1
00
0
1
0
bz bz
k
kk kj
kkjkjkj
bz bz
j
bz bz
azazbz az
bz bz
bz
kkbz
Ae Ae
gAgAA Ag
Ae Ae
Ae Ae
AAe AgAeAe Aeg
Ae Ae
Ae
AAe










 



 

 


 
 
 
 


 








  
30
11
1
10
00
21210 1
00
bz
k
kk
kj kjkjbz
j
bz bz
azazbz az
bz bz
Ae
AA AAe
Ae Ae
A AeAAeAeAe
Ae Ae


j




 

 


 
 
 








 









. (3.4)
假设

0
1
0
bz
kk bz
Ae
hA
A
e


 ,


0
1
0
bz
kjkjkjkjbz
Ae
hzA AA
A
e



 


1, 2,,3jk

,


0
2212
0
bz
az
bz
Ae
hzA AeA
A
e


 ,

 
0
1101
0
bz
azbz az
bz
Ae
h zAeAeAe
A
e


.
则(3.4)变为






3
11
21
1
k
kk kj
kkj
j
g
hzghzghzghzghz





 
. (3.5)
其中
Copyright © 2012 Hanspub
158
金瑾  高阶线性微分方程解与其小函数的关系






 
3
11
21
1
k
kk kj
kkj
j
hzhzhzhzh z








 





.
若 ，即

0hz





 
3
11
21
1
0
k
kk kj
kkj
j
hzh zhzhz
 





 
.
又


00
0
0
bz
bz
Ae Ab
A
Ae


，

111
azaz az
A
eAeaAe

 故
  
11
3
00
112
1
00
0
11111 0
0
0
kk kj
k
kkjkjkjkj
j
az bz
AA
Ab AAAbAAAb
AA
A
AaAAAbAeAe
A
0
2
0
A
A



















 










 



. (3.6)
因为

0
j
Az是整函数，



10,1,2,,1
j
Aj k

 

，是相互不同的复常数， 是不恒为零的整函数
且，所以由引理 2知
,ab

z


1


0
11111
0
az
A
A
aAAAbA e
A






 


,
和
  
11
3
00
112
1
00
kk kj
k
kkjkjkjkj
j
AA
Ab AAAbAAAb
AA
0
2
0
A
A
















 








.
的级都小于 1，由引理 4和(3.6)式可知 ，这与定理的条件矛盾，因而
00A


0hz


。
对于方程(3.5)来说，由于

0hz

及

g


和引理5可知







gf gf


 
.
2) 其次我们证明

f



。对方程(3.1)两边求导并整理得
 





 
4
21
111 12321
1
21 0100
22 2
220
k
kkkkj az
kkk kjkjkj
j
azbzazbzaz
f
AfAAfAAAfAA Aef
AAeAefAe AefAef

 


 
 



 
  



(3.7)
将(3.2)式代入(3.7)式并整理得
 




  
4
0 0
21
111 12
1
0 0
00
32132 102
00
22
22
bz bz
k
kk kkj
kkk kjkjkjkj
bz bz
j
bz bz
azaz bz
bz bz
Ae Ae
fAf AAfAAAAf
Ae Ae
Ae Ae
AAAeAf AAeAeA
Ae Ae

 
  


 







 


  





 





0
101
0
20
bz
azbz az
bz
f
Ae
AeAe Aef
Ae









 
 



. (3.8)
Copyright © 2012 Hanspub 159
金瑾  高阶线性微分方程解与其小函数的关系
令

 


0
11 01
0
22
00
11100 1
00
22
00
1111 1 100
00
2
222
222()
bz
azbz az
bz
azbz az
az bz
Ae
zAeAe Ae
Ae
AA
A
aAa AeAbAeAebb
AA
AA
A
aAa AAbAbAeAbAe
AA


 
 
 

 
 


 

 
  


 
00
21011 101
0
0
0
111 10
0
()
bz
azbz azazazbzaz
bz
az bz
Ae A
zAeAe AeAeaAe Ae Aeb
A
Ae
A
AaAAbAe Ae
A




 





 


.
由引理 4易知

20z



，且 和都是亚纯函数，

1z


2z



11


，


21


。由(3.3)可得





 
4
00
1
11
1
200
00
323212
00
1
bz bz
k
kk
kkjkjkj
bz bz
j
bz bz
az
bz bz
Ae Ae
ffAfAAA f
Ae Ae
Ae Ae
AAAfAAe A
Ae Ae


 






 




 

 
 

 
 
 
kj





. (3.9)
将(3.9)式代入(3.8)式并整理得
 
 

 
00
21
11
1111
22
00
400
1
12 1
12
00
2
2
bz bz
kk k
kkkk
bz bz
bz bz
k
kjkjkjkjkj kjkj
bz bz
j
Ae Ae
fAf AAAf
Ae Ae
Ae Ae
AAA AAAA
Ae Ae





 















 









 
 








 
  
00
1
3213323
2
00
00
1
210221 2
2
00
2
20
kj
bz bz
az
bz bz
bz bz
az bzaz
bz bz
f
Ae Ae
AAAeAAAA f
Ae Ae
Ae Ae
AAeAeAAAeA f
Ae Ae











 














 
 






. (3.10)
令
1
11
2
kk
HA



, (3.11)
2
00 0
1
211 1
00 2 0
22
kkk k
AA A
H
AAb bAb
AA A


 
 


 





, (3.12)
Copyright © 2012 Hanspub
160
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
2
00
112
00
0
1
1
20
22
1,2,,3
kjkj kjkjkj
kj kjkj
AA
HAAAA bb
AA
A
AA Abjk
A


 


 

 



















, (3.13)
2
00 0
1
13 213323
00 20
22
az AA A
H
AAAeAb bAAAb
AA A



 
 
 
 

 

 






, (3.14)

2
00 0
1
02 102212
00 20
22
azbzaz
AA A
H
AAeAeAbbAAeAb
AA A



 
 

 
 

 

 




. (3.15)
则

01 11
,,1,2,, 3,,
kjk k
H
HHjkH H
 
都是亚函数，并且

01H

, ,

11H





111,2,,3
kj
Hjk



,


11
k
H



, .

1
k
H


设

hz f



，则 和
 
hf f
 






hf





，且
fh

 ,


22
1, 2,,3
kj kjkj
fhj k



,

22kk k
fh


,
 
11kkk
fh

1


,
 
2kk
fh
k

.
将这 个等式代入(3.10)式并整理得 1k
 
 

4
12 2
12 110
1
4
12 2
12 11
1
k
kk kkj
kk kj
j
k
kk kkj
kk kj
j
hHh HhHhHhHh
HHHHH
0

 

 
 


 
 


 

 



. (3.16)
令
22
00
11 11111
00
22
AA
BA aAaAAbAbA
AA


 
 , 0
21 11
0
A
BAaAA bA
A1


 .
则 都是亚纯函数，且
12
,BB


12
1, 1BB


。由 1

和2

的表达式以及(11)~(15)式我们有
11
2
1
kk
H
F


, 22
2
1
kk
H
F


,

11
2
11, 2,,3
kj kj
HFjk

 

, 11
2
1
H
F

,

22
000
2
1bz
HFAe

 .
其中

0
11 1 111 11110100
0
22
az bz
kkkkkk
A
F
BAAaAAAAbAA eAAAbAe
A




 


,

2
00 0
21121 1
00 0
2
00 0
011100
00 0
22
222
az
kkk k
bz
kk k
AA A
FAAbbBAbBe
AA A
AA A
A
AAbbAbAbAe
AA A
 
 

 










 



 






2
00 0
11 12211
00 0
2
00
011 200
00
22
222
az
kjkkjkjkjkjkjkj kjkjkj
kkjkjkjkjkjkj
AA A
FAAAAbAbABA AAbABe
AA A
AA
AAAAAbAbAAbAA
AA
  
  
 
 

 
 
  
 

 

 
 

 
 





0
1
0
bz
kj kjkj
A
A
AbA
A
 
 


 
 
 

 

 e
,

1, 2,,3jk
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

2 2
00 00
132332323311111 1
00 00
2
00 0
010 32333003233
00 0
22
222
az az
abz
AA AA
F
AAbA bABAAAbABeAAaAAbAe
AA AA
AA A
AAeAAAAbAbA AbAAAAbA
AA A


 


 






 

 



bz
e











,





2
00 0
0222223233102011
00 0
2
00 0
2222000 3233112
00 0
22
222
abz
az
bz
AA A
FAA bAbABAAAbABeABAAaAe
AA A
AA A
A AbAbAAAbAAA AbAeAbABe
AA A


 


 
  






 


 
 





222
0
az bz
2
A
e
.
故 。令


10,1,2,,1
j
Fj k

 



3
122
12 11
1
k
kk kkj
kk kj
j
HHHH H
0
H

 

 
 

  



,
由方程(3.16)可知
 
4
12 2
12 110
1
k
kk kkj
kk kj
j
hHh HhHhHhHhH

 
 

 
. (3.17)
因此
   
   
12 2
3
12 110
1
12 2
322
2121100
1
2
1
kk kkj
k
kk kj
j
kkk kj
kbz
kk kj
j
HHH HH
FFF FFAe
  
 
 

 
 

 

 

 



 





 





.
由前面的分析，可将 H改写为如下形式
 






() 22
12345
azbzab zazbz
H
fzefzefzefzefze

 .
类似前面的方法可证明




11 5
j
fz j



满足引理 4的条件，如果 0H

，分两种情况：如果 2ab

，再由
定理的条件 或有。类似地，如果
ab2ab

50fz2ab

，同样也可以得到结论 。

50fz
另一方面，我们知道


2
50
0fz Az。从而得出矛盾。即证明了 0H

从而也有
 
3
12 2
12 110
10
k
kk kkj
kk kj
j
HHH HH
 

 
 


 
.
所以，对于方程(3.17)由及，由引理 5可知 0H


h


 






hff hf

 
 
.
由(I)和(II)可知，在定理条件下有






ff f


 
.
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fefQzf
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
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