Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 164-167 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.23026 Published Online July 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm) The Degrees of Characters for Finite Groups* π Yueming Zhang, Ping Jin School of Mathematical Sciences, Shanxi University, Taiyuan Email: jinping@sxu.edu.cn Received: May 3rd, 2012; revised: May 21st, 2012; accepted: May 27th, 2012 Abstract: Let G be a finite group, N a subgroup of G and  an irreducible complex character of G. Write    ππ 1    to denote the set of prime divisors of   1  . The present paper gives a sufficient condition to guarantee that every irreducible constituent of N  has π  degree, which generalizes the corresponding Dolfi’s theorem. Some applications are given. Keywords: Irreducible Character; Degree; Subnormal Subgroup π 有限群特征标的π  次数* 张月明，靳 平 山西大学数学科学学院，太原 Email: jinping@sxu.edu.cn 收稿日期：2012 年5月3日；修回日期：2012年5月21日；录用日期：2012年5月27 日 摘 要：设G为任意有限群，N为G的子群，  是G的一个不可约复特征标。记 为   ππ 1     1  的素因子集合。本文给出了 N  的每个不可约分量均有π  次数的一个条件，推广了 Dolfi 的相关定理， 并给出了若干应用。 关键词：不可约特征标；π次数；次正规子群  1. 引言 设G为任意有限群，为 G的一个不可约复特征标。给定 G的一个子群 N，则  Irr G    在N上的限制 N  可表为 11 N rr kk     其中 i  均为 N的不可约特征标，称为 N  的不可约分量，诸 均为正整数。有限群表示论和特征标理论的一个 重要问题是：如何控制这些不可约分量 i k i  的次数   1 i  ，特别是探讨诸   1 i  和   1  之间可能存在的整除关系。 具体讲，何时每个 能整除  1 i    1  ？或一般地，是否   1 i  的每个素因子均可整除 ？  1  当N为G的正规子群时，著名的 Clifford 定理(见[1]中定理 6.2)断言 N  的诸不可约分量 i  的次数均相等， 此时显然有整除 。然 而 ，当N在G中不正规时，则上述整除关系一般不成立。例如，Isaacs在文献[2] 中构造了一个可解群 G，其阶  1 i   1  3 235G 3 ，存在一个 5次不可约特征标   Irr G  和一个 24 阶子群NG  ， 使得 = N    ，其中 满足  ,IrrN    12   及   13   ，由此表明   1  和   1  的每个素因子，均不能整除 。  1   *资助信息：国家自然科学基金资助(11171194)。 Copyright © 2012 Hanspub 164 张月明, 靳平  有限群特征标的 π  次数 本文研究的主要问题是：给定不可约特征标   Irr G  及子群 NG  ，任取 在  Irr G    的下方，即  为 N  的一个不可约分量，探讨何时 的每个素因子均可整除  1    1  。 方便起见，我们记    ππ 1  为   1  的所有素因子集合，则本文所探讨的问题可等价地表述为：何时 N  的 每个不可约分量  都具有 π  次数，亦即 为一个  1  π  数(指的是   1  的每个素因子均在集合 中，从而整除π   1  )。 该问题与群G的结构有关。沿此方向的最新结果是Dolfi 于2002 年证明的下述结论(见文献[3]中定理 B)，其中表示群 G的最大正规 子群，而 π  π OG π   π OG表示最小的正规子群K使得 GK为群，即π   π GO G 为群 G的最大 商群。 π Dolfi定理：设 G为有限群， ，NG   Irr G  且     ππ 1  。如果存在一个子群 ，满足下述三个 条件： LG 1) ，即N是L的一个次正规子群； N L 2)  π:OGLL 为 数； π 3)  π :NN OG亦为 数。 π 则 N  的每个不可约分量  都具有 次数。 π 需要指出的是，在上述 Dolfi定理中，如果能证明 L  的不可约分量均有π  次数，由于 N是L的次正规子 群，使用 Clifford 定理，则不难推出此时 N  的不可约分量亦有π  次数。但该结论一般不成立，即一般而言 Dolfi 定理不能保证 L  的每个不可约分量均有 次数。例如，考虑可解群π4 GS  ，取 3 LS  且 ，再取1N   Irr G   使得 ，则  1  3   π3。此时容易验证 Dolfi 定理的条件均成立，但 L     ，其中   ,IrrL  满足 ，故   11,1  2  没有次数。再考虑单群 Gπ5 A  ，取 4 AL  且1N  ，则 存 在满足  Irr G     14   ， 此时 ，并且 Dolfi 定理的条件也成立，但  π2L     ，其 中   rL,Ir  满足 ，表 明   111,  3  亦 没有 次数。 π 本文主要结果是得到了上述Dolfi 定理的一个推广，进一步建立了不可约特征标的 次数问题与群的ππ  结构之间的密切联系。 定理 1：设G为有限群， 且NG   Irr G  。令     ππ 1  。如果存在G的三个子群 满足下述 四个条件： ,, ,LKM 1) ，NL M G ， K LM且 K M； 2) :NN M为 数； π 3) : M ML为 数； π 4) : M NK N 为π   数。 则 N  的每个不可约分量均有 次数。  Irr N  π 在定理 1中，取   π M OG，    π π K OG OG，我们将证明该定理即可推出上述 Dolfi 定理，故为后者 的一个推广。 作为定理 1的一个应用，我们将证明当子群N充分大时，例如，当 N包含了 G的特征子群 时，则特征标的 次数极好控制。    πππ π :OGOOG    π 定理 2：设 G为任意有限群， ，任取NG   Irr G  ，令     ππ 1  。如果 ，则  ππ OG N  N  的每个 不可约分量  均具有 次数。 π 在上述定理 2中，即使 ，一般也不能断言  ππ 1OG    1  总能整除   1  。我们引用 Dolfi 在文献[3]中给出 的例子 2，其中 6 25G， 满足  Irr G     110   ，此时   2, 5π，并且   π1OG  ，更有  ππ 1OG   。但 G 有子群 N，其阶 2 25N，并且 N  存在一个不可约分量  ，使得   14   ，从而 不能整除。  1    1  如无特别说明，本文所使用的群论和特征标理论的符号和术语都是标准的，例如，可参考[1]。 Copyright © 2012 Hanspub 165 张月明, 靳平  有限群特征标的 π  次数 2. 预备 我们首先需要关于次正规子群的特征标次数的一个整除关系。 引理 1：设 G为有限群，SG果。如   Irr G  且为S  的一个不可约分量，则  1  整，并   SIrr  除   1  ，  1  整除并且  :S  1G。 证明：因为 S是G的次正规子群，按定义，存在子群列 12 r SS SS G  , 我们将对r做归纳法。当 时，即，结论显然成立。以下设 ，令1rSG1r1r NS   ，则 N是G的正规子群。 注意到 ，并且 SNG   Irr  S在   Irr  G的下方，故存在某个   Irr  N既在  的上方，同时又在  的下 方。根据 Clifford 定理(见文献[1]中的定理6.3)，则   1  整除   1  ，再由[1]中的定理 11.29，则   1  可整除   :GN 1  。又因为 ，根据归纳假设，则S N   1  可整除   1  ，并 且   1  整除   :1  NS 。最后，综合上述 整除关系即得所证结论。证毕。 其次，在定理 1的证明中，我们需借助Dolfi 的另一个主要结果。 引理 2：设 G为有限群，   Irr G  ，NLG  ， K L  。如果    1, ::1GLNN K   , 则 N  的每个不可约分量  的次数   1  均可整除   1  。 证明：即文献[3]中定理 A的特例，从其结论中 N  所有不可约分量的共轭性显然可推出相应的特征标次数 的整除性。证毕。 3. 主要结果及证明 本节将给出引言中提及的定理 1和定理 2的证明。 定理 1的证明：按条件 1)，从N是L的次正规子群，可知 M N也是 M L的次正规子群，即 M NMLM 。设为  Irr N     Irr G  在N上限制 N  的任意一个不可约分量，在  的下方选取一个 不可约特征标  Irr M N  ，则  显然也在  的下方，即特征标的内积,0 MN       。注意到 M NMG  ， 故存在某个不可约特征标  Irr M  ，使得  既在  的下方，同时又在  的上方。 根据条件1)，从 M G 可知 M NN。使用引理 1，则   1  整除   1  ，并且 整除  1    :1NM N  。 但条件 2)给出 :NN M为 数，据此推出 π   1  为π  数当且仅当   π 1  为  数。 类似地，从条件 M G 和引理 1，可知   1  整除   1  ，故从   1  为π  数的条件，推出 亦为  1  π  数， 即  也有 次数。 π 仍按条件1)，由 K LM且 ，得KM K LM，故有商群   M LK，我们令   π  KO ML  K，即 H K为该商群的最大正规π   子群。因为 M N在商群  M LK中的像为 H         M NKKM NM NKMNKN, 并且条件4)断言 : M NK N为数，再从条件1)中的 可知πN L M N也是 M L的次正规子群，所以  M NKK为  M LK的一个次正规的π   子群，据此导出 M NH  。进而，由 M NM L 及 H ML，可知 M N也是 H的一个次正规子群。 根据第一段关于特征标的选取，即   Irr M N  在   Irr M  的下方，故存在某个不可约特征标  Irr H  ，使得  既在  的上方，同时又在  的下方。因为 H在 M L中正规，而也在 M中正规(由条 件(1))，并且 KH : M ML为π   数，根据引理2，则从   1  为π  数可推出   1  亦为 数。 π 最后，从 M NH 及引理 1，可知   1  整除   1  ，故   1  亦为 π  数。按第二段的说明，此时   1  也 Copyright © 2012 Hanspub 166 张月明, 靳平  有限群特征标的 π  次数 Copyright © 2012 Hanspub 167 是 数。证毕。 π 现在说明从本文定理 1可推出Dolfi 定理。事实上，假设 Dolfi 定理的条件成立，即  π:OGLL 和  π均为 数，则从记号和 π  π OG   π OG的含义不难得出下述两个基本性质： :NN OG 1) 设H为G的子群，如果 :GH为π  数，则   π OG H； 2) 如果 N是G的正规子群，则    ππ ONOG N。 据此即可证明：当   ππ π :OGOGLOGLL:为π   数时，我们有        ππ ππ OG OGOOGL  . 令  π ππ , M OGK OGOG，则 K MG且KL  。再从    π π ONOGNM N N   :NM N为数，我们有 π可知            ππ M NKNMNNOG NOGNNM  为 群，所以π: M NK N 亦为数，表明定理 1中的四个条件均满足，故定理 1推广了Dolfi 定理。 π 最后，使用本文定理 1即可证明定理 2。 定理 2的证明：令      ππππ , M OGKOMOG  ，则 K MG，并且按定义，则 :GM为π  数而 : M K为 数。又因为 π   NMNNMM GM, 故:NM N亦为数。同理，我们有 π      M NKN MNKKMK , 故: M NK N为 数。但已知，所以π  ππ OG N  K MNM  ，表明 : M MN亦为 数。最后， 在定理 1中取 ，可知其所有的条件均满足，故所证结论成立。证毕。 π LN 4. 致谢 本文作者衷心感谢国家自然科学基金(11171194)的资 助。 参考文献 (References) [1] I. M. Isaacs. Character theory of finite groups. New York: Academic Press, 1994. [2] I. M. Isaacs. Constituents of restricted and induced characters in odd order groups. Journal of Algebra, 1995, 178(3): 991-1001. [3] S. Dolfi. A note on character restrictions. Communications in Algebra, 2002, 30(7): 3429-3434.

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