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Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 164-167
http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.23026 Published Online July 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)
The Degrees of Characters for Finite Groups* π
Yueming Zhang, Ping Jin
School of Mathematical Sciences, Shanxi University, Taiyuan
Email: jinping@sxu.edu.cn
Received: May 3rd, 2012; revised: May 21st, 2012; accepted: May 27th, 2012
Abstract: Let G be a finite group, N a subgroup of G and

an irreducible complex character of G. Write



ππ 1



to denote the set of prime divisors of


1

. The present paper gives a sufficient condition to
guarantee that every irreducible constituent of
N

has π

degree, which generalizes the corresponding
Dolfi’s theorem. Some applications are given.
Keywords: Irreducible Character; Degree; Subnormal Subgroup π
有限群特征标的π

次数*
张月明,靳 平
山西大学数学科学学院,太原
Email: jinping@sxu.edu.cn
收稿日期:2012 年5月3日;修回日期:2012年5月21日;录用日期:2012年5月27 日
摘 要:设G为任意有限群,N为G的子群,

是G的一个不可约复特征标。记 为


ππ 1




1

的素因子集合。本文给出了
N

的每个不可约分量均有π

次数的一个条件,推广了 Dolfi 的相关定理,
并给出了若干应用。
关键词:不可约特征标;π次数;次正规子群 
1. 引言
设G为任意有限群,为 G的一个不可约复特征标。给定 G的一个子群 N,则

Irr G



在N上的限制
N

可表为
11
N
rr
kk
 


其中 i

均为 N的不可约特征标,称为
N

的不可约分量,诸 均为正整数。有限群表示论和特征标理论的一个
重要问题是:如何控制这些不可约分量
i
k
i

的次数


1
i

,特别是探讨诸


1
i

和


1

之间可能存在的整除关系。
具体讲,何时每个 能整除

1
i



1

?或一般地,是否


1
i

的每个素因子均可整除 ?

1

当N为G的正规子群时,著名的 Clifford 定理(见[1]中定理 6.2)断言
N

的诸不可约分量 i

的次数均相等,
此时显然有整除 。然 而 ,当N在G中不正规时,则上述整除关系一般不成立。例如,Isaacs在文献[2]
中构造了一个可解群 G,其阶

1
i


1

3
235G
3
,存在一个 5次不可约特征标


Irr G

和一个 24 阶子群NG

,
使得 =
N



,其中 满足

,IrrN



12


及


13


,由此表明


1

和


1

的每个素因子,均不能整除
。

1


*资助信息:国家自然科学基金资助(11171194)。
Copyright © 2012 Hanspub
164
张月明, 靳平  有限群特征标的 π

次数
本文研究的主要问题是:给定不可约特征标


Irr G

及子群 NG

,任取 在

Irr G



的下方,即

为
N

的一个不可约分量,探讨何时 的每个素因子均可整除

1



1

。
方便起见,我们记



ππ 1

为


1

的所有素因子集合,则本文所探讨的问题可等价地表述为:何时
N

的
每个不可约分量

都具有 π

次数,亦即 为一个

1

π

数(指的是


1

的每个素因子均在集合 中,从而整除π


1

)。
该问题与群G的结构有关。沿此方向的最新结果是Dolfi 于2002 年证明的下述结论(见文献[3]中定理
B),其中表示群 G的最大正规 子群,而
π

π
OG π


π
OG表示最小的正规子群K使得 GK为群,即π


π
GO G
为群 G的最大 商群。 π
Dolfi定理:设 G为有限群, ,NG


Irr G

且




ππ 1

。如果存在一个子群 ,满足下述三个
条件:
LG
1) ,即N是L的一个次正规子群; N L
2)

π:OGLL
为 数; π
3)

π
:NN OG亦为 数。 π
则
N

的每个不可约分量

都具有 次数。 π
需要指出的是,在上述 Dolfi定理中,如果能证明
L

的不可约分量均有π

次数,由于 N是L的次正规子
群,使用 Clifford 定理,则不难推出此时
N

的不可约分量亦有π

次数。但该结论一般不成立,即一般而言 Dolfi
定理不能保证
L

的每个不可约分量均有 次数。例如,考虑可解群π4
GS

,取 3
LS

且 ,再取1N


Irr G


使得 ,则

1

3


π3。此时容易验证 Dolfi 定理的条件均成立,但 L




,其中


,IrrL

满足
,故
 
11,1

2

没有次数。再考虑单群 Gπ5
A

,取 4
AL

且1N

,则 存 在满足

Irr G




14


,
此时 ,并且 Dolfi 定理的条件也成立,但

π2L




,其 中


rL,Ir

满足 ,表 明
 
111,

3

亦
没有 次数。 π
本文主要结果是得到了上述Dolfi 定理的一个推广,进一步建立了不可约特征标的 次数问题与群的ππ

结构之间的密切联系。
定理 1:设G为有限群, 且NG


Irr G

。令




ππ 1

。如果存在G的三个子群 满足下述
四个条件:
,, ,LKM
1) ,NL
M
G ,
K
LM且
K
M;
2) :NN M为 数; π
3) :
M
ML为 数; π
4) :
M
NK N
为π


数。
则
N

的每个不可约分量均有 次数。

Irr N

π
在定理 1中,取


π
M
OG,



π
π
K
OG OG,我们将证明该定理即可推出上述 Dolfi 定理,故为后者
的一个推广。
作为定理 1的一个应用,我们将证明当子群N充分大时,例如,当 N包含了 G的特征子群
时,则特征标的 次数极好控制。
 

πππ π
:OGOOG



π
定理 2:设 G为任意有限群, ,任取NG


Irr G

,令




ππ 1

。如果 ,则

ππ
OG N

N

的每个
不可约分量

均具有 次数。 π
在上述定理 2中,即使 ,一般也不能断言

ππ 1OG



1

总能整除


1

。我们引用 Dolfi 在文献[3]中给出
的例子 2,其中 6
25G, 满足

Irr G




110


,此时


2, 5π,并且


π1OG

,更有

ππ 1OG


。但 G
有子群 N,其阶 2
25N,并且
N

存在一个不可约分量

,使得


14


,从而 不能整除。

1



1

如无特别说明,本文所使用的群论和特征标理论的符号和术语都是标准的,例如,可参考[1]。
Copyright © 2012 Hanspub 165
张月明, 靳平  有限群特征标的 π

次数
2. 预备
我们首先需要关于次正规子群的特征标次数的一个整除关系。
引理 1:设 G为有限群,SG果。如


Irr G

且为S

的一个不可约分量,则

1

整,并


SIrr

除


1

,

1

整除并且

:S

1G。
证明:因为 S是G的次正规子群,按定义,存在子群列
12 r
SS SS G

,
我们将对r做归纳法。当 时,即,结论显然成立。以下设 ,令1rSG1r1r
NS


,则 N是G的正规子群。
注意到 ,并且
SNG


Irr

S在


Irr

G的下方,故存在某个


Irr

N既在

的上方,同时又在

的下
方。根据 Clifford 定理(见文献[1]中的定理6.3),则


1

整除


1

,再由[1]中的定理 11.29,则


1

可整除


:GN 1

。又因为 ,根据归纳假设,则S N


1

可整除


1

,并 且


1

整除


:1

NS 。最后,综合上述
整除关系即得所证结论。证毕。
其次,在定理 1的证明中,我们需借助Dolfi 的另一个主要结果。
引理 2:设 G为有限群,


Irr G

,NLG

,
K
L

。如果



1, ::1GLNN K


,
则
N

的每个不可约分量

的次数


1

均可整除


1

。
证明:即文献[3]中定理 A的特例,从其结论中
N

所有不可约分量的共轭性显然可推出相应的特征标次数
的整除性。证毕。
3. 主要结果及证明
本节将给出引言中提及的定理 1和定理 2的证明。
定理 1的证明:按条件 1),从N是L的次正规子群,可知
M
N也是
M
L的次正规子群,即
M
NMLM 。设为

Irr N




Irr G

在N上限制
N

的任意一个不可约分量,在

的下方选取一个
不可约特征标

Irr
M
N

,则

显然也在

的下方,即特征标的内积,0
MN






。注意到
M
NMG

,
故存在某个不可约特征标

Irr
M

,使得

既在

的下方,同时又在

的上方。
根据条件1),从
M
G 可知
M
NN。使用引理 1,则


1

整除


1

,并且 整除

1



:1NM N

。
但条件 2)给出 :NN M为 数,据此推出
π


1

为π

数当且仅当


π
1

为

数。
类似地,从条件
M
G 和引理 1,可知


1

整除


1

,故从


1

为π

数的条件,推出 亦为

1

π

数,
即

也有 次数。
π
仍按条件1),由
K
LM且 ,得KM
K
LM,故有商群


M
LK,我们令


π

KO ML

K,即
H
K为该商群的最大正规π


子群。因为
M
N在商群

M
LK中的像为
H
 






M
NKKM NM NKMNKN,
并且条件4)断言 :
M
NK N为数,再从条件1)中的 可知πN L
M
N也是
M
L的次正规子群,所以

M
NKK为

M
LK的一个次正规的π


子群,据此导出
M
NH

。进而,由
M
NM L
及
H
ML,可知
M
N也是 H的一个次正规子群。
根据第一段关于特征标的选取,即


Irr
M
N

在


Irr
M

的下方,故存在某个不可约特征标

Irr
H

,使得

既在

的上方,同时又在

的下方。因为 H在
M
L中正规,而也在 M中正规(由条
件(1)),并且
KH
:
M
ML为π


数,根据引理2,则从


1

为π

数可推出


1

亦为 数。 π
最后,从
M
NH 及引理 1,可知


1

整除


1

,故


1

亦为 π

数。按第二段的说明,此时


1

也
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166
张月明, 靳平  有限群特征标的 π

次数
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是 数。证毕。 π
现在说明从本文定理 1可推出Dolfi 定理。事实上,假设 Dolfi 定理的条件成立,即

π:OGLL
和

π均为 数,则从记号和
π

π
OG


π
OG的含义不难得出下述两个基本性质: :NN OG
1) 设H为G的子群,如果 :GH为π

数,则


π
OG H;
2) 如果 N是G的正规子群,则



ππ
ONOG N。
据此即可证明:当
 
ππ π
:OGOGLOGLL:为π


数时,我们有







ππ
ππ
OG OGOOGL

.
令

π
ππ
,
M
OGK OGOG,则
K
MG且KL

。再从



π
π
ONOGNM N N


:NM N为数,我们有 π可知











ππ
M
NKNMNNOG NOGNNM 
为 群,所以π:
M
NK N
亦为数,表明定理 1中的四个条件均满足,故定理 1推广了Dolfi 定理。 π
最后,使用本文定理 1即可证明定理 2。
定理 2的证明:令





ππππ
,
M
OGKOMOG

,则
K
MG,并且按定义,则 :GM为π

数而
:
M
K为 数。又因为 π


NMNNMM GM,
故:NM N亦为数。同理,我们有 π





M
NKN MNKKMK ,
故:
M
NK N为 数。但已知,所以π

ππ
OG N

K
MNM

,表明 :
M
MN亦为 数。最后,
在定理 1中取 ,可知其所有的条件均满足,故所证结论成立。证毕。
π
LN
4. 致谢
本文作者衷心感谢国家自然科学基金(11171194)的资 助。
参考文献 (References)
[1] I. M. Isaacs. Character theory of finite groups. New York: Academic Press, 1994.
[2] I. M. Isaacs. Constituents of restricted and induced characters in odd order groups. Journal of Algebra, 1995, 178(3): 991-1001.
[3] S. Dolfi. A note on character restrictions. Communications in Algebra, 2002, 30(7): 3429-3434.

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