一类特殊结构对称矩阵三元组(M、C、K)的逆二次特征问题 On the Quadratic Inverse Eigen-Problem for the Special Triple (M, C, K) of Symmetric Matrix

doi:10.12677/AAM.2012.11003

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Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2012, 1, 18-27

http://dx.doi.org/10.12677/aam.2012.11003 Published Online August 2012 (http://www.hanspub.org/journal/aam.html)

On the Quadratic Inverse Eigen-Problem for the Special

Triple (M, C, K) of Symmetric Matrix*

Xiantong Huang, Shenhai Yan

College of Mathematics & Computer S cience, Gannan Normal University, Ganzhou

Email: hxt826@sohu. com

Received: Jul. 13th, 2012; revised: Jul. 26th, 2012; accepted: Aug. 3rd, 2012

Abstract: The quadratic inverse eigen-problem was studied for the special triple (M, C, K) of symmetric ma-

trix. The existence and expression of the solution was given by the generation inverse matrix and linear alge-

bra theorem. The numerical experiment shows that the algorithm is effective.

Keywords: Quadratic Eigenvalue Problem; Quadratic Inverse Eigen-Problem; Quadratic Inverse Eigenpairs

Problem

一类特殊结构对称矩阵三元组(M

、

K)的逆二次

特征问题*

黄贤通，严深海

赣南师范学院数学与计算机科学学院，赣州

Email: hxt826@sohu. com

收稿日期：2012 年7月13 日；修回日期：2012 年7月26 日；录用日期：2012 年8月3日

摘要：应用广义逆矩阵理论和线性代数基本理论研究了一类特殊结构对称矩阵三元组(M、C、K)的

逆二次特征值问题和逆二次特征对问题，给出了解的存在性和解的表达式，数值算例说明了算法的有

效性。

关键词：二次特征问题；逆二次特征问题；逆二次特征对问题

1. 引言







二次特征问题，是指已知矩阵三元组(M、C、K)，求数



和向量满足xQ







，这里，

此时称满足的



MCK





detQ



为二次特征值，满足









x的称为对应于x



的特征向量，称





为特征对。

这类问题来源于带阻尼的弹簧质点系统[1-3](此时，M对应质量矩阵，C对应阻尼矩阵，K对应刚度矩阵)和二阶

电路系统[2](此时，M对应电感矩阵，对应电阻矩阵，C

对应电容矩阵)。二次逆特征问题，是指根据矩阵三

元组(M、C、K)的部分信息，寻找M、C、K的全部信息，使得具有事先给定的特征值，或具有事先给定的特征

对，前者被称为逆二次特征值问题，后者被称为逆二次特征对问题。

围绕逆二次特征值问题和逆二次特征对问题，文献[1]讨论了 M为正定阵，C、K为半正定阵的情形，文献

[2]讨论了(M、C、K)为非对称阵的情形，文献[3-9]讨论了 M为单位阵(对角阵)，C为对角阵(对称三对角阵)、K

为对称三对角阵的情形，文献[10]讨论了由不足2n个特征对信息构造(M、C、K)矩阵的情形，文献[11]讨论了

*项目来源：江西省教育厅科技项目(GJJ10585)。

黄贤通，严深海  一类特殊结构对称矩阵三元组(M、C、K)的逆二次特征问题

M为Hermitian 正定阵，C、K为对称阵的情形，文献[12]讨论了由2n个特征对信息构造含参数的M、C、K矩

阵(没有特殊结构的约束)的情形，文献[13]讨论了二次特征系统的修正问题，文献[14]给出了求解二次特征值问

题多个特征对的一种并行方法。

本文研究以下特殊结构对称矩阵三元组(M、C、K)的逆二次特征值问题和逆二次特征对问题：

R



问题 QIEP-I：已知矩阵和六个非零数

44 44



C1,2,3,4R

,

iiM,5,6



，使得



，求矩阵





det 0



，1,2,3,4,5,6.

问题 QIEP-II：已知矩阵 44

R



和数



，



及向量 4



xy 44

,R

MC，求矩阵，使得









00Qy





，

334

0 0

ddd

这里

222 2

2214 4

3223

444

00000 0

0000 00

,=, 0000 000

000 00

dllr r

llrrr

lrrr

lrr







 





 







 









 









 



 





MC K

本文应用广义逆矩阵理论和线性代数理论研究上述问题，将运用以下结论：

引理[15] 设I是中单位阵，

nn,

mn m

Cbc





为

的Moore-penrose 广义逆，矩阵

A，那么，非齐次线性

方程组

xb成立以下结论：





Ab Ab



n

是极小范数解，

IAA y



是通解，其中1) 当

xb相容时，即

b成立时，



为任意向量。





AbIAAy



n

是最小二乘解的通解，Ab



是一个最小二乘解，

xb不相容时，

c2) 当



为

任意向量。

2. 对称矩阵三元组(M

、

K)的特征值和特征向量

首先，通过直接展开



detQ

 

MCK，容易得到：





tQde定理 1 特殊结构对称矩阵三元组(M、C、K)的二次特征多项式



只有 7个根，其中，必含一个根为

0，且有以下表达式：



12 345

detQ aaaaa



456

6 7













14 234

;rddd

这里，











314 24

;rrd d



24 423

24 2243

;

d ldd

r rrrd



21 42341213 24 343422

arrrd drrrrrrrrdddld 



 

31 4 234233234 223 3

2323241422324

ar rlddrrdrrdlddld

rrldld rrdldrd d

  

 

 









3 44 3

24 34

ldl d

rr rr







4234 12 133423214 33

14 2332232424223343

42231213 2434;

alddrr rrrr rrrrrld

rr ldldrrldrrlddldl

ld ldrrrrrrrr

 

 









 

2 2 3

234232

;

r r

rl lld







423 23

;rrrdl



24234

rrlll



  

51 4233234 342 243214 42

232342423 314223 134

arrlldlld lld lldlrrldl

llrddrrlr lrlrldrrrr

 



 

62312434142241213243

a llrrrllrrrllrrrrrrr

ar .

其次，对称矩阵三元组(M、C、K)的特征向量有如下性质：



1234

,,, T

定理 2 设









是二次特征问题 Qx

xxxx具有如下表达式：



的特征对，则特征向量

黄贤通，严深海  一类特殊结构对称矩阵三元组(M、C、K)的逆二次特征问题

1) 当0







1234

,,,T

xxxx 

时，；



0,1,0,0 T

2) 当0



，且 0 时，



1234 1234

,,, ,,,

xxx tbbbb



1, 2, 3, 4bi



0Qx



；

这里，t是任意非零数，和的含义在证明中。 i



可记为证明：特征方程

11 12

21 22





































 

 



 

434

rdd













(1)

这里， ,

11 12 222

11 22

21 2222

lrd



 













12 24









2





 

 



 

21 42













33 342233

22 2

43 4434

lrrd

 







 



,



112

234

xxxX

42 3443

注意到： 1221 133124



 



 

，容易得出：

1) 0







1234

,,, T

xxxx 时，；



0,1,0,0

2) 0



时，当时，0,

dr 1111

1221 22

,,,0, 0

l11







 存在。





122 2



的情形，此时式(1)等价于：下面讨论

11 112221

, 

XX X

212111

=

 

综合上述两式有

X (2)

和





12 1110



21 22



 X



11 22

ij 

 

(3)

当记，则

2122 12



 

11 3424211131 3313





 

 



12 33 13

, 1

12342422







 



,

114424212143 13











22 4243 13

, 11

12442422





 





,

且









4434 43

1111

3142431231 44 2422331311421324112212 2133



 

 

 ，可以注意到：

当0 1=0X时，由方程(3)可知，进而由(2)知，从而

2=0X





1234

,,,

xxx是零向量。

当0

112220xx

时，方程(3)有无穷多个解，且满足：

1112 20xx 21

或



 .

于是可设 112

t 211

t t

112



12 12

为非零数。

当记时，有

2 11

,bb

xbbt

424

，代入(2)中有：

13 1113 12

24 2124 22

xbb

 

 

 





21 1222

 



 











 





这里，。



31311 1122424

,bbbb

 

 

黄贤通，严深海  一类特殊结构对称矩阵三元组(M、C、K)的逆二次特征问题

综合上述有：



1234

,,,



234

,,,



xxx t，t为非零数。 bbbb ，当 0





3. 问题 QIEP-I 的解

为了求解 QIEP-I，可整理成：















 



112 1213

21 22

3133 3

42 34

det 0

ada a

Qaa





 



 

MCK 24

434

add













这里，











323

lrr





1122 2221433

,,alralrra

  

 ,















312,al

442412212 13

,,alraa la



 

 







24 4



。



进一步展开，容易整理得到



 

MCK的另一表达式。

定理 3 特殊结构对称矩阵三元组(M、C、K)的特征多项式为：

 













 

0122334

423 524634

aadadad

add addadd

 



 





7 234

a ddd



 (4)

这里，

 











 



 

0112221123344

31 13113324423113

aaaaa

aaaa aaaa



 

2244 ;aa



 



 



 













;aaa

1223344 24

a aaa4233



 



















 



 

2 112212213344

4221 13112431122413

aaaaa

aaa aaaaa



 



22 ;aa



 

 





























1322

311223312213331

aaaaaaa a



 



 

;

  









4 2233224

aaaaa

42442



 





;



 

233





 















2112

;aa

61122

aaa

















722



.



于是，利用引理和定理3，根据广义逆矩阵可得问题QIEP-I 的解的表达式。

定理 4 问题 QIEP-I 有解的充分必要条件是：BB







，且解的表达式为向量中前

三个分量对应于和，这里的



7BB



uIZ

,dd





d,,B



u的含义见证明中，



为的Moore-penrose 广义逆，是B7

I77



中的

单位矩阵，为任意向量。

cZ

证明：问题QIEP-I 有解等价于成立：







1,2,3,4,5,6

基此，由定理3知，可以得到一个由6个方程求解 7个未知数的方程：



(5)



这里，

 



































u R

   

  

11213141 5161 7

1222324252 627

16 26 36 46 56 66 7

aaaaaa

aaaaaaa

aaaaaa





 ,



23 4 2324 34 234

,,, ,, ,ddddddddddddu,

黄贤通，严深海  一类特殊结构对称矩阵三元组(M、C、K)的逆二次特征问题

 



 



01 02 03 04 05 06

,,,,, T

aaaaaa









,

由广义逆矩阵理论，依引理知，方程(5)有解





,Bz



7

BBuI







为任意向量。

另一方面，考虑到方程(5)的特殊结构：

234

11 121314 151617

2122 232425 2627

3132 333435 3637

4142 434445 4647

5152 535455 5657

6162 636465 6667

bbbbbbb

bbbbbbb dd

































(6)

由线性代数基本理论，通过初等变换，可以化(6)为(7)

****

11 121314

****

21 222324

****

31 323334

*****

4142 4344 45

******

5152535455 56

*******

6162636465 66 67

000

bbbb

bbbbb

bbbbbb

bbbbbbb

































434234

,,ddddd

(7)

这里，是的某种置换。

,,uu *****

34567

,,,,uuuuu 234232

,,,,ddddddd

不失一般性，考虑(7)中前三个方程对应的矩阵形式

****

11 121314

****

21 222324

****

31 32 3334

bbbb















, 1,2,3,4F i











(8)

那么(8)通过初等变换可得到典型方程：







。

这里， ,t



23423 123

,,,,,, =

DdddddF fff





1 2



，，



，且

11 1211

1 21232

31 34

000

Tt tT









22 23

32 34

000







12 14

22 23

0 0

0 00







1F



f ct0bdc



11 14

3 21234

31 3231

00 0

00,

TttT

tt t











容易得到解的各种表达式。

定理 5 方程TD的求解策略或解的表达式为：

1) 设at ，由方程 ad

11 3412 3134

tbtt t，12 3

f，2

 2

解出 d；





2) 31



11212



dftdt ，42

 1223

21223

tdtdf ，当tt0



t12 23

0, 0tt

时。

证明：等价于。当时，有

1F11 2123121 223 4231 2

td tddf td ；；TD f tdt233

dd f

黄贤通，严深海  一类特殊结构对称矩阵三元组(M、C、K)的逆二次特征问题



3111212

dftdt



，



42212

dftdt 22 0bd c

，且成立求解的方程：







112 3

tfctf，

，这里，

。定理获证。

at34

t，



12 3134

btt 

TD

同理可得：

定理 6 方程求解策略或解的表达式为：

2111

dft

1) ，当；



0t

2) 3 3

df3234 2

ttd 3234 2





，当 tt ； 0d

3) 42 23

tdt 23 0

F



f，， 0

223

df ，当t。

定理 7 方程TD 的求解策略或解的表达式为：

143111 3214

t bttt

1) 设at 由方程

2 1

f，

adbd c



解出 d；



tdt



31232

df ，



42 223

df t

td32 23

0, 0tt



时。，当

定理 8 方程TD的求解策略或解的表达式为：

4F

1) 2331 31



dft0，当 t；

2) 3

12142

d



1214 2

ttd，当 tt； 0

3) 42 23

df t 23 0

 

124

223

td ，当 t。

4. 问题 QIEP-II 的解

假设



1234

,,, 3

xxxx y，yy yy，那么问题 QIEP-II的求解，等价于根据联立方程









0, 0Qy



Qx (9)



求解得到，，进而构造出矩阵。

,,lll

41234

,,,rrrr、M

整理(9)得以下矩阵形式



















1234

lrrrr，，，，



33 333

,yddxd 

(10)

这里，



212

221

221 21

244

000

00 0















24 87

yy c



































34 4

ddy

234

vll，， , 

x





212143444 33

, ,0,0,,,bdxdyxdydxdy .

式(10)是一个由 8个方程求解7个未知数的方程组，由引理利用广义逆理论知。

定理 9 问题 QIEP-II 有解的充分必要条件是：





A，且解的表达式为，这里，





IAvAb A



为

的Moore-Penrose 广义逆，为任意向量，是

I77



cz中的单位矩阵。

另一方面，考虑到(10)的特殊结构，可以通过求解以下问题来获得问题QIEP-II 的解：

问题 QIEP-II. 1:

求和，满足。



212 3

yy y















221

ldx

rdy



 

 



 









黄贤通，严深海  一类特殊结构对称矩阵三元组(M、C、K)的逆二次特征问题

问题 QIEP-II. 2:







122

2241

2244

xx r

yyyr



xxl

yyl





当是QIEP-II. 1的解时，求和满足：

r 





















 。

问题 QIEP-II. 3:

当是QIEP-II. 1的解时，求和满足：











3312

312



2343

23433

ryyd





 







 



x xr

yyr

















42 4

。

问题 QIEP-II. 4:

当是QIEP-II. 2的解时，求满足:



2443 3344

24433344

ldx ddx

yldyddy













xxr

yy r





 

 。

引入以下记号：



211 3

12 13

211 3

12 13

dxx x

xx xx12 21

12 21

xdx

yy dy







dy y y

yy yy



 



 







 ,













22 41222 42

2241 22242

1 22

xxxxl xxx

DE F

yyyyylyyy







xxl

y yl













 



2433312 33433

33 3

2433312 33433

xxdxxr x312

312

xxd

DE F

yydyyr y

xxr

yyd







 

 

 yyr







10D

由线性代数基本理论，容易求解问题 QIEP-II. 1/2/3/4，得计算表达式。

定理 10 问题 QIEP-II. 1有唯一解的条件是



，且解的表达式为：。

12 11

,ErDF





20D

lD

定理 11 问题 QIEP-II. 2有唯一解的条件是



，且解的表达式为：。

2422

,ErDF





30D

rD

定理 12 问题 QIEP-II. 3有唯一解的条件是



，且解的表达式为：。

3333

,ErDF





0, 0xy

lD

定理 13 问题 QIEP-II. 4有唯一解的条件是： 45

0,DD44



1



，，且解的表达式为：

，这里，，

4455



1

444

lDE

2



2













433 3

Edx d

4442

x xx



 



yyr

，

。





 

533

Edy d

综合上述定理可知：

定理 14 问题 QIEP-II 有唯一解的条件是：





0,

Di，2) ，3) 1,2,3,4,5 44 0xy



，4) ，且解的表达式为：

。

4455

DE DE







4 4

,DE



2 3 4

1dd ，，

1000

000

011

012



14334 1

,,,,rrlrl D111

1 12

,FDE

111

2333 3

, ,FDEDF



22 12 2

,,, ,lrED D



5. 数值算例

本节给出利用线性方程组理论和广义逆矩阵理论分别求解问题QIEP-I/II 的算例，且指出利用广义逆矩阵不

适合求解问题QIEP- I。

例1 给定构造出矩阵：

234 1234

11lllrrrr d ，

11001010

11000 2 010

,= ,

0010 10200

00010 1010





 



 







 







 





 





 



试求三元组(M、C、K)的二次特征值和相应的特征向量。

解：由Mathlab根据定理 1、２可计算出三元组(M、C、K)的二次特征值：

黄贤通，严深海  一类特殊结构对称矩阵三元组(M、C、K)的逆二次特征问题

–1.5167408;

1=2=



–0.2427297; 3=0



;

–0.4307451 + 1.3538889i; 67



,=,

–0.3561863 + 0.8 776197i。

对应的特征向量如下：

0.0782576 1.6180749

0.3140298 1.9282758

=,=

0.5683367 5.9088893

0.03306132.9957469



























 

t为任意实数，

1.5900283 0

0.1323282 1.3530377

0.3664942 1

3.6169834 3











XX .4823433

.5538619

.6716132





, 67

0.0259959

==0.4939962

0.1869430

0.7787648 0.1629252

0.3146707

0.0510636

0.0853530

































XX .

可以验证：

006 <10



max= 2.1668411e



 MCK 



;

max= 1.1437636e006 <10



17 2

ii i



  MCKX

，MC

11001010

2 01

020

101



 

 



 

 

例２给定矩阵如下：

11000

0010 1

0001 0















–0.4307451 + 1.3538889i，



–1.5167408，和６个非零数：



6=–0.3561863 + 0.8776197i,



–0.2427297.



求,构造矩阵K，使得

234

,d ,dd25

<10,2,3,4,5,6.





 MCK

234

0.9999999, = 1.0000000, =1.0000001ddd

i，

解：该问题属于 QIEP-I，根据定理 6可计算得：

(11)

进而可构造出K，且计算得：

max=1.8366724e006 <10



16i



  MCK

 

=0.9999999, 1.0995870, 0.8008262, 1.3129876, 0.8719601, 0.4736115, 1.0000001.uB







234

0.9999999, =1.0995870, = 0.8008262ddd

(12)

另一方面，根据定理４知，利用广义逆矩阵计算得：

从中取前三个分量为：

也可构造出K，且计算：

max =1.8393999>10



16 .



 MCK

-QIEP I

(13)

比较上述两解法的误差式(12)和(13)知，要以式(11)为问题的解。

黄贤通，严深海  一类特殊结构对称矩阵三元组(M、C、K)的逆二次特征问题

例３给定，且已知

dd =

1d



–1.5167408、=



–0.4307451 + 1.3538889i和对应的向量：

0.07825760.1323282

0.31402981.5900283

=,=

0.56833670.3664942 1

0.0330613 3.6169834 3















1.3530377

0.4823433 ,

.5538619

.6716132









,R

MC 44

R



如下求矩阵，且构造矩阵

222 2

2214 4

3223

444

00000 0

0000 00

,=, 0000000

000 00

dllr r

llrr r

lrrr

lrr



334

0 0

ddd





 





 







 









 









 



 





MCK ,

使得

 

=10





，

-QIEP II

D

1.17610 55

1.1370484

3.3621001

0.0000002

1.1761053

1.1370484

.3621016







XY，。

解：该问题属于，可以根据定理14 求解，即首先计算得：

0.4209543 1.17

1.0832722 1.13

0.4614018 3.3

0.0760576

1.6764553 10.267



 



 



 



61054

70491

620996

5991











0.4209536

1.0832727

0.4614015

0.0760577

0.4209536 +

1.0832727

0.4613996 + 3

















 

 

































0.0000005

0.0000001

0.0000007

0.0000030

进而计算出：

211

122

422

333

444

0.9999999

0.9999998

0.9999999

1.0000001

lDE

rDF

rDE

rDF

lDE

rDF

lDE



 

 

 



 

 



 



 



 

1.0000005

1.0000018



















































,, R

MCK

， (14)

从而可构造出矩阵，且验证得：



008<10 ;

005<10 .

= 7.1965928e

=3.5672547e







0.0000002

0.0000001

0.0000002

0.0000003

0.0000005

0.0



000002i



MCKX

MCKY (15)

另一方面，根据定理9，利用广义逆矩阵计算得：

1.0000001

0.9999999 +

1.0000000 +

= 1.0000001

1.0000000

0.9999999 +

1.0000001

vbr













 



 















































(16)

黄贤通，严深海  一类特殊结构对称矩阵三元组(M、C、K)的逆二次特征问题

R

、、K从而可构造出矩阵，且验证得： MC



00710;

00710 .



 

-P II

-P I

QIEP

= 1.6256575e

=5.8778227e







MCKX

MCKY (17)

根据上述误差式(15)和(17)知，式(14)、(16)均可为问题 QIE 的解。

6. 结语

本文研究了源自四网孔二阶电路系统设计[2]中的一类逆二次特征值问题和一类逆二次特征对问题，应用广

义逆矩阵理论给出了解的存在性和解的表达式，特别是考虑到M、C、K的特殊结构要求，利用线性代数基本

理论给出了两类问题求解的策略和解的表达式。通过数值实验知道，对于问题 QIE ，利用线性代数基本理论

所得解的精度优于应用广义逆矩阵理论所求解，对于问题则两种方法所得解的精度相当，数值算例说

明了算法的有效性。

-II

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