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Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2012, 1, 18-27
http://dx.doi.org/10.12677/aam.2012.11003 Published Online August 2012 (http://www.hanspub.org/journal/aam.html)
On the Quadratic Inverse Eigen-Problem for the Special
Triple (M, C, K) of Symmetric Matrix*
Xiantong Huang, Shenhai Yan
College of Mathematics & Computer S cience, Gannan Normal University, Ganzhou
Email: hxt826@sohu. com
Received: Jul. 13th, 2012; revised: Jul. 26th, 2012; accepted: Aug. 3rd, 2012
Abstract: The quadratic inverse eigen-problem was studied for the special triple (M, C, K) of symmetric ma-
trix. The existence and expression of the solution was given by the generation inverse matrix and linear alge-
bra theorem. The numerical experiment shows that the algorithm is effective.
Keywords: Quadratic Eigenvalue Problem; Quadratic Inverse Eigen-Problem; Quadratic Inverse Eigenpairs
Problem
一类特殊结构对称矩阵三元组(M
、
C
、
K)的逆二次
特征问题*
黄贤通,严深海
赣南师范学院数学与计算机科学学院,赣州
Email: hxt826@sohu. com
收稿日期:2012 年7月13 日;修回日期:2012 年7月26 日;录用日期:2012 年8月3日
摘 要:应用广义逆矩阵理论和线性代数基本理论研究了一类特殊结构对称矩阵三元组(M、C、K)的
逆二次特征值问题和逆二次特征对问题,给出了解的存在性和解的表达式,数值算例说明了算法的有
效性。
关键词:二次特征问题;逆二次特征问题;逆二次特征对问题
1. 引言


0

二次特征问题,是指已知矩阵三元组(M、C、K),求数

和向量 满足xQ

x

2
Q

,这里 ,
此时称满足 的

MCK

0

detQ

为二次特征值,满足


0Q


x的 称为对应于x

的特征向量,称

,
x

为特征对。
这类问题来源于带阻尼的弹簧质点系统[1-3](此时,M对应质量矩阵,C对应阻尼矩阵,K对应刚度矩阵)和二阶
电路系统[2](此时,M对应电感矩阵, 对应电阻矩阵,C
K
对应电容矩阵)。二次逆特征问题,是指根据矩阵三
元组(M、C、K)的部分信息,寻找M、C、K的全部信息,使得具有事先给定的特征值,或具有事先给定的特征
对,前者被称为逆二次特征值问题,后者被称为逆二次特征对问题。
围绕逆二次特征值问题和逆二次特征对问题,文献[1]讨论了 M为正定阵,C、K为半正定阵的情形,文献
[2]讨论了(M、C、K)为非对称阵的情形,文献[3-9]讨论了 M为单位阵(对角阵),C为对角阵(对称三对角阵)、K
为对称三对角阵的情形,文献[10]讨论了由不足2n个特征对信息构造(M、C、K)矩阵的情形,文献[11]讨论了
*项目来源:江西省教育厅科技项目(GJJ10585)。
Copyright © 2012 Hanspub
18
黄贤通,严深海  一类特殊结构对称矩阵三元组(M、C、K)的逆二次特征问题
M为Hermitian 正定阵,C、K为对称阵的情形,文献[12]讨论了由2n个特征对信息构造含参数的M、C、K矩
阵(没有特殊结构的约束)的情形,文献[13]讨论了二次特征系统的修正问题,文献[14]给出了求解二次特征值问
题多个特征对的一种并行方法。
本文研究以下特殊结构对称矩阵三元组(M、C、K)的逆二次特征值问题和逆二次特征对问题:
44
R

问题 QIEP-I:已知矩阵 和六个非零数
44 44
,R

C1,2,3,4R
,
iiM,5,6

K
,使得

,求矩阵


det 0
i
Qi

,1,2,3,4,5,6.
问题 QIEP-II:已知矩阵 44
R

K
和数

,

及向量 4
c,

xy 44
,R
MC,求矩阵 ,使得




00Qy

Qx

,
33
334
0
0 0
dd
ddd
.
这里
2
222 2
2214 4
3223
444
00000 0
0000 00
,=, 0000 000
00
000 00
dllr r
llrrr
lrrr
lrr



 


 



 




 




 

 


R
MC K
本文应用广义逆矩阵理论和线性代数理论研究上述问题,将运用以下结论:
引理[15] 设I是 中单位阵,
nn,
mn m
Cbc


为
A
的Moore-penrose 广义逆,矩阵
A
A,那么,非齐次线性
方程组
A
xb成立以下结论:


x
Ab Ab

n
是极小范数解,
y
IAA y

是通解,其中1) 当
A
xb相容时,即
A
Ab
b成立时,
x
c

为任意向量。


x
AbIAAy

n
是最小二乘解的通解,Ab

是一个最小二乘解,
A
xb不相容时,
x
y
c2) 当

为
任意向量。
2. 对称矩阵三元组(M
、
C
、
K)的特征值和特征向量
首先,通过直接展开

2
detQ
 
MCK,容易得到:


tQde定理 1 特殊结构对称矩阵三元组(M、C、K)的二次特征多项式

只有 7个根,其中,必含一个根为
0,且有以下表达式:

23
12 345
detQ aaaaa

456
6 7
aa






14 234
;rddd
.
这里,
1
ar






314 24
;rrd d


24 423
24 2243
;
d ldd
r rrrd


21 42341213 24 343422
arrrd drrrrrrrrdddld 


 
31 4 234233234 223 3
2323241422324
ar rlddrrdrrdlddld
rrldld rrdldrd d
  
 
 





3 44 3
24 34
ldl d
rr rr




4234 12 133423214 33
14 2332232424223343
42231213 2434;
alddrr rrrr rrrrrld
rr ldldrrldrrlddldl
ld ldrrrrrrrr
 
 







 
2 2 3
234232
;
r r
rl lld



423 23
;rrrdl

24234
rrlll

,
  
51 4233234 342 243214 42
232342423 314223 134
arrlldlld lld lldlrrldl
llrddrrlr lrlrldrrrr
 

 
62312434142241213243
a llrrrllrrrllrrrrrrr
71
ar .
其次,对称矩阵三元组(M、C、K)的特征向量有如下性质:

1234
,,, T
定理 2 设

x


0

是二次特征问题 Qx
x
xxxx具有如下表达式:

的特征对,则特征向量
Copyright © 2012 Hanspub 19
黄贤通,严深海  一类特殊结构对称矩阵三元组(M、C、K)的逆二次特征问题
1) 当0



1234
,,,T
xxxx 
时, ;

0,1,0,0 T
t
2) 当0

,且 0 时,

1234 1234
,,, ,,,
TT
x
xxx tbbbb

1, 2, 3, 4bi

0Qx

;
这里,t是任意非零数, 和的含义在证明中。 i

可记为 证明:特征方程
11 12
21 22





1
2
0
0







X
X

22
2
24
l
rr








2
4
r
r



 
 

 
3
434
d
rdd






,
T
(1)
这里, ,
11 12 222
11 22
21 2222
lrd
ll


 






13
12 24




2
4
r
r



 
 

 
31
21 42





,,

2
33 342233
22 2
43 4434
lrrd
dl
 
 



 

,

112
,,
T
x
234
xxxX
42 3443
,
X.
注意到: 1221 133124
,,

 

 
,容易得出:
1) 0



1234
,,, T
xxxx 时, ;

0,1,0,0
T
t
2) 0

时,当 时,0,
ii
dr 1111
1221 22
,,,0, 0
i
l11



0
 存在。


122 2

的情形,此时式(1)等价于: 下面讨论
11 112221
, 
X
XX X
1
212111
=
 
综合上述两式有
X
X (2)
和


1
12 1110

21 22

 X

11 22
ij 
 
(3)
当记 ,则
1
2122 12

 
11
11 3424211131 3313


 
 

12 33 13
, 1
12342422



 

,
11
114424212143 13





22 4243 13
, 11
12442422


 


,
且




4434 43
1111
3142431231 44 2422331311421324112212 2133
2

 
 
 ,可以注意到:
当0 1=0X时,由方程(3)可知 ,进而由(2)知 ,从而
2=0X


1234
,,,
x
xxx是零向量。
当0
112220xx
时,方程(3)有无穷多个解,且满足:
1112 20xx 21
或

 .
于是可设 112
,
x
t 211
,
x
t t
112

12 12
,,
为非零数。
当记 时,有
2 11
,bb
x
xbbt
31
3
424
,代入(2)中有:
11
13 1113 12
11
24 2124 22
x
bb
tt
xbb
 
 
 


21 1222
bb
 

 
 






 


.
这里, 。

11
31311 1122424
,bbbb
 
 
Copyright © 2012 Hanspub 20
黄贤通,严深海  一类特殊结构对称矩阵三元组(M、C、K)的逆二次特征问题
综合上述有:

1234
,,,

234
,,,

1
TT
x
xxx t,t为非零数。 bbbb ,当 0


3. 问题 QIEP-I 的解
为了求解 QIEP-I,可整理成:







 
 



112 1213
21 22
2
3133 3
42 34
0
det 0
0
ada a
aa
Qaa
ad


 

 
MCK 24
3
434
0
a
dd
add





,

这里,






2
323
lrr


22
1122 2221433
,,alralrra
  
 ,







312,al
22
442412212 13
,,alraa la

 
 



l

42
aa
24 4

。

进一步展开,容易整理得到

2
 
MCK的另一表达式。
定理 3 特殊结构对称矩阵三元组(M、C、K)的特征多项式为:
 






 
0122334
423 524634
aadadad
add addadd
 

 


7 234
.
a ddd

 (4)
这里,
 





 

 
0112221123344
31 13113324423113
aa
aaaaa
aaaa aaaa

 
2244 ;aa

 

 

 






;aaa
1223344 24
a aaa4233

 









 

 
2 112212213344
4221 13112431122413
aa
aaaaa
aaa aaaaa

 

22 ;aa

 
 














1322
aa
311223312213331
aaaaaaa a

 

 
;
  




aa
4 2233224
aaaaa
42442

 


;

52
aa
 
233
;a


 







2112
;aa
61122
aaa








722
aa

.

于是,利用引理和定理3,根据广义逆矩阵可得问题QIEP-I 的解的表达式。
定理 4 问题 QIEP-I 有解的充分必要条件是:BB




,且解的表达式为向量 中前
三个分量对应于和 ,这里的

7BB

uIZ
23
,dd
B


4
d,,B

u的含义见证明中,

为的Moore-penrose 广义逆, 是B7
I77
RB

中的
单位矩阵, 为任意向量。
7
cZ
证明:问题QIEP-I 有解等价于成立:


0,
ii

1,2,3,4,5,6
B
.
基此,由定理3知,可以得到一个由6个方程求解 7个未知数的方程:
u

(5)

这里,
 











1
2
67
6
ij
a
Bb
a













7
T
i
u R
   
  
11213141 5161 7
1222324252 627
16 26 36 46 56 66 7
aaaaaa
aaaaaaa
aaaaaa



 ,

23 4 2324 34 234
,,, ,, ,ddddddddddddu,
Copyright © 2012 Hanspub 21
黄贤通,严深海  一类特殊结构对称矩阵三元组(M、C、K)的逆二次特征问题
 


 

01 02 03 04 05 06
,,,,, T
aaaaaa



6
T
ic

,
由广义逆矩阵理论,依引理知,方程(5)有解


,Bz

7
zc
7
BBuI



为任意向量。
另一方面,考虑到方程(5)的特殊结构:
21
32
43
23
24
34
234
d
d
d
dd
dd
dd
d
11 121314 151617
2122 232425 2627
3132 333435 3637
4142 434445 4647
5152 535455 5657
6162 636465 6667
bbbbbbb
bbbbbbb
bbbbbbb
bbbbbbb
bbbbbbb
bbbbbbb dd

















4
5
6






















*
1*
1
*
2
*
3
*
4
*
5
*
6
*
7
u
u
u
u
u
u
u
(6)
由线性代数基本理论,通过初等变换,可以化(6)为(7)
****
11 121314
****
21 222324
****
31 323334
*****
4142 4344 45
******
5152535455 56
*******
6162636465 66 67
000
000
000
00
0
bbbb
bbbb
bbbb
bbbbb
bbbbbb
bbbbbbb















*
2
*
3
*
4
*
5
*
6
























434234
,,ddddd
2*
1
3*
2
4*
3
23
d
d
d
dd
(7)
这里, 是的某种置换。
**
12
,,uu *****
34567
,,,,uuuuu 234232
,,,,ddddddd
不失一般性,考虑(7)中前三个方程对应的矩阵形式
****
11 121314
****
21 222324
****
31 32 3334
bbbb
bbbb
bbbb















, 1,2,3,4F i





(8)
那么(8)通过初等变换可得到典型方程:
i
TD



*
3
T

0
ij
。
这里, ,t

23423 123
,,,,,, =
TT
DdddddF fff


**
1 2

,,

,且
11 1211
1 21232
31 34
00
,0
000
t
Tt tT
tt





22 23
32 34
000
0,
0
tt
tt





12 14
22 23
0
0 0
0 00
tt
tt





1F

1
f ct0bdc
00

tt
11 14
3 21234
31 3231
00 0
00,
00
tt
TttT
tt t






.
容易得到解的各种表达式。
定理 5 方程TD的求解策略或解的表达式为:
1) 设at ,由方程 ad
11 3412 3134
tbtt t,12 3
f,2
22
 2
解出 d;


2) 31

11212

dftdt ,42
 1223
0,
21223
tdtdf ,当tt0


34
t12 23
0, 0tt
时。
证明: 等价于。当 时,有
1F11 2123121 223 4231 2
td tddf td ;;TD f tdt233
dd f
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
3111212
dftdt

,

42212
dftdt 22 0bd c
23
,且成立求解 的方程:
2
d2
ad



112 3
tfctf,
F
,这里,
。定理获证。
11
at34
t,

12 3134
btt 
2
TD
同理可得:
定理 6 方程 求解策略或解的表达式为:
2111
dft
1) ,当 ;
11

0t
2) 3 3
df3234 2
ttd 3234 2


,当 tt ; 0d
3) 42 23
tdt 23 0
F

3
f,, 0
223
df ,当t。
定理 7 方程TD 的求解策略或解的表达式为:
3
143111 3214
t bttt
1) 设at 由方程
3
ct
2 1
f,
2
22
adbd c

解出 d;
2
2)

33
tdt

31232
df ,

42 223
df t
21
td32 23
0, 0tt

时。 ,当
定理 8 方程TD的求解策略或解的表达式为:
4F
1) 2331 31

dft0,当 t;
2) 3
df
1
12142
d

1214 2
ttd,当 tt; 0
3) 42 23
df t 23 0
 
124
,,
T
223
td ,当 t。
4. 问题 QIEP-II 的解
假设

1234
,,, 3
,T
x
xxxx y,yy yy,那么问题 QIEP-II的求解,等价于根据联立方程




0, 0Qy

Qx (9)


C
vb
求解得到 ,,进而构造出矩阵 。
23
,,lll
41234
,,,rrrr、M
整理(9)得以下矩阵形式

A




13
13
2
2
33
33
0
0
0
0
0
0
00
00
xx
yy
x
y
xx
yy









1234
T
lrrrr,, , ,

33 333
,yddxd 
(10)
这里,




212
212
221
221 21
21
244
244
000
000
000
000
00
00
00 0
00 0
xx
yy
xx
yy
x
y
xx
yy






A




24
24 87
3
3
2
2
0
0
0
0
xx
yy c
x
y
x
y























34 4
T
ddy
,
234
vll,, , 
3
x


212143444 33
, ,0,0,,,bdxdyxdydxdy .
式(10)是一个由 8个方程求解7个未知数的方程组,由引理利用广义逆理论知。
定理 9 问题 QIEP-II 有解的充分必要条件是:
A
bb


A,且解的表达式为 ,这里,

7z

IAvAb A
A

为
A
的Moore-Penrose 广义逆,为任意向量, 是
7
I77
R

7
cz中的单位矩阵。
另一方面,考虑到(10)的特殊结构,可以通过求解以下问题来获得问题QIEP-II 的解:
问题 QIEP-II. 1:
求 和 ,满足 。
2
l2
r



212 3
212 3
xx
yy y







1
1
xx
y


22
1
221
ldx
rdy

 
 

 




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问题 QIEP-II. 2:



122
122
2241
2244
x
xx r
yyyr

xxl
yyl


当是QIEP-II. 1的解时,求 和满足:
2
l1
r4
r 






2
r




 。
问题 QIEP-II. 3:
当是QIEP-II. 1的解时,求 和满足:
3
l3
r





3312
312

2343
33
23433
33
l
x
xd
xx
ryyd
yy


 



 


x xr
yyr








4
r


42 4
42 4
。
问题 QIEP-II. 4:
当是QIEP-II. 2的解时,求 满足:
4
l


2443 3344
24433344
x
ldx ddx
yldyddy






xxr
yy r


 
 。
引入以下记号:








22
211 3
12 13
11
22
211 3
12 13
,,
dxx x
xx xx12 21
1
12 21
x
xdx
F
yy dy



DE
dy y y
yy yy

 

 




 ,






22 41222 42
22
2241 22242
,,
1 22
2
1 22
x
xxxxl xxx
DE F
yyyyylyyy



xxl
y yl





,

 



2
2433312 33433
33
33 3
2
2433312 33433
33
,,
xxdxxr x312
312
x
xxd
xx
DE F
yydyyr y
xxr
y
yyd
yy




 
 
 yyr




10D
.
由线性代数基本理论,容易求解问题 QIEP-II. 1/2/3/4,得计算表达式。
定理 10 问题 QIEP-II. 1有唯一解的条件是

,且解的表达式为: 。
11
12 11
,ErDF


20D
21
lD
定理 11 问题 QIEP-II. 2有唯一解的条件是

,且解的表达式为: 。
11
2422
,ErDF


30D
12
rD
定理 12 问题 QIEP-II. 3有唯一解的条件是

,且解的表达式为: 。
11
3333
,ErDF


33
0, 0xy
lD
定理 13 问题 QIEP-II. 4有唯一解的条件是: 45
0,DD44

1
DE

,,且解的表达式为:
,这里 , ,
1
4455
DE

1
444
lDE
2
44
Dx

2
54
Dy






433 3
Edx d
4
4442
x xx

 
4
rd

42
yyr
,
。

44
dy

 
533
Edy d
3
综合上述定理可知:
定理 14 问题 QIEP-II 有唯一解的条件是:
1)


0,
i
Di,2) ,3) 1,2,3,4,5 44 0xy

,4) ,且解的表达式为:
。
11
4455
DE DE



1
4 4
,DE

2 3 4
1dd ,,
1000
000
011
012

14334 1
,,,,rrlrl D111
1 12
,FDE
111
2333 3
, ,FDEDF

22 12 2
,,, ,lrED D

5. 数值算例
本节给出利用线性方程组理论和广义逆矩阵理论分别求解问题QIEP-I/II 的算例,且指出利用广义逆矩阵不
适合求解问题QIEP- I。
例1 给定 构造出矩阵:
234 1234
11lllrrrr d ,
11001010
11000 2 010
,= ,
0010 10200
00010 1010


 

 



 



 



 


 
MC

K
试求三元组(M、C、K)的二次特征值和相应的特征向量。
解:由Mathlab根据定理 1、2可计算出三元组(M、C、K)的二次特征值:
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黄贤通,严深海  一类特殊结构对称矩阵三元组(M、C、K)的逆二次特征问题
–1.5167408;
1=2=

–0.2427297; 3=0


;
45
==
–0.4307451 + 1.3538889i; 67
==




3
0
1
,=,
0
0
t
–0.3561863 + 0.8 776197i。
对应的特征向量如下:
12
0.0782576 1.6180749
0.3140298 1.9282758
=,=
0.5683367 5.9088893
0.03306132.9957469













XX
 
X
t为任意实数,
45
1.5900283 0
0.1323282 1.3530377
==
0.3664942 1
3.6169834 3
i





XX .4823433
.5538619
.6716132
i
i
i





, 67
0.0259959
==0.4939962
0.1869430
0.7787648 0.1629252
0.3146707
0.0510636
0.0853530
i
i
i
i
















XX .
可以验证:
25
006 <10

17
max= 2.1668411e
ii
i

 MCK 

;
25
max= 1.1437636e006 <10

17 2
ii i
i

  MCKX
,MC
11001010
2 01
,
020
101

 
 

 
 
 
 
1=
.
例2 给定矩阵 如下:
11000
,=
0010 1
0001 0







MC
23
==


–0.4307451 + 1.3538889i,

–1.5167408,和6个非零数:
45
==

6=–0.3561863 + 0.8776197i,

–0.2427297.

求,构造矩阵K,使得
234
,d ,dd25
<10,2,3,4,5,6.
ii


 MCK
234
0.9999999, = 1.0000000, =1.0000001ddd
1
i,
解:该问题属于 QIEP-I,根据定理 6可计算得:
(11)
进而可构造出K,且计算得:
25
max=1.8366724e006 <10
ii

16i

  MCK
 
=0.9999999, 1.0995870, 0.8008262, 1.3129876, 0.8719601, 0.4736115, 1.0000001.uB



234
0.9999999, =1.0995870, = 0.8008262ddd
(12)
另一方面,根据定理4知,利用广义逆矩阵计算得:
从中取前三个分量为:
.
也可构造出K,且计算:
25
max =1.8393999>10
ii
i

16 .

 MCK
-QIEP I
(13)
比较上述两解法的误差式(12)和(13)知,要以式(11)为问题 的解。
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例3 给定,且已知
23
dd =
4
1d

–1.5167408、=

–0.4307451 + 1.3538889i和对应的向量:
0.07825760.1323282
0.31402981.5900283
=,=
0.56833670.3664942 1
0.0330613 3.6169834 3







XY
1.3530377
0.4823433 ,
.5538619
.6716132
i
i
i
i







44
,R
MC 44
R

K
如下 求矩阵 ,且构造矩阵
2
222 2
2214 4
3223
444
00000 0
0000 00
,=, 0000000
00
000 00
dllr r
llrr r
lrrr
lrr

33
334
0
0 0
dd
ddd


 


 



 




 




 

 


MCK ,
使得
 
4
=10


,
-QIEP II
D
1.17610 55
1.1370484
3.3621001
0.0000002
1.1761053
1.1370484
.3621016
i
i
i
i
i
i
i




QQ

XY,。
解:该问题属于 ,可以根据定理14 求解,即首先计算得:
1
2
3
4
5
0.4209543 1.17
1.0832722 1.13
0.4614018 3.3
0.0760576
1.6764553 10.267
D
D
D
D

 

 


 

61054
70491
0,
620996
5991
i
i
i
i









1
2
3
4
1
2
3
0.4209536
1.0832727
0.4614015
0.0760577
0.4209536 +
1.0832727
0.4613996 + 3
E
E
E
E
F
F
F








 
 
















0.0000005
0.0000005
0.0000005
0.0000005
i
i
i
i
0.0000001
0.0000007
0.0000030
i
i
i
.
进而计算出:
1
211
1
211
1
122
1
422
1
333
1
333
1
444
0.9999999
0.9999998
0.9999999
0.9999999
1.0000001
lDE
rDF
rDE
rDF
lDE
rDF
lDE







 
 
 

 
 


 

 
 
 
 

 
1.0000005
1.0000018

























44
,, R
MCK
, (14)
从而可构造出矩阵 ,且验证得:


27
24
008<10 ;
005<10 .
2
2
= 7.1965928e
=3.5672547e






0.0000002
0.0000002
0.0000001
0.0000002
0.0000003
0.0000005
0.0
i
i
i
i
i
i

000002i


MCKX
MCKY (15)
另一方面,根据定理9,利用广义逆矩阵计算得:
2
3
4
1
2
3
4
1.0000001
0.9999999 +
1.0000000 +
= 1.0000001
1.0000000
0.9999999 +
1.0000001
l
l
l
vbr
r
r
r









 


 

A






















(16)
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黄贤通,严深海  一类特殊结构对称矩阵三元组(M、C、K)的逆二次特征问题
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44
R
、、K从而可构造出矩阵 ,且验证得: MC


26
26
00710;
00710 .


 
 
-P II
-P I
QIEP
= 1.6256575e
=5.8778227e




MCKX
MCKY (17)
根据上述误差式(15)和(17)知,式(14)、(16)均可为问题 QIE 的解。
6. 结语
本文研究了源自四网孔二阶电路系统设计[2]中的一类逆二次特征值问题和一类逆二次特征对问题,应用广
义逆矩阵理论给出了解的存在性和解的表达式,特别是考虑到M、C、K的特殊结构要求,利用线性代数基本
理论给出了两类问题求解的策略和解的表达式。通过数值实验知道,对于问题 QIE ,利用线性代数基本理论
所得解的精度优于应用广义逆矩阵理论所求解,对于问题 则两种方法所得解的精度相当,数值算例说
明了算法的有效性。
-II
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