时标上三阶带脉冲的P-Laplacian动力方程边值问题 Three Order Impulsive Boundary Value Problem with P-Laplacian on Time Scales

doi:10.12677/AAM.2012.11004

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Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2012, 1, 28-33

http://dx.doi.org/10.12677/aam.2012.11004 Published Online August 2012 (http://www.hanspub.org/journal/aam.html)

Three Order Impulsive Boundary Value Problem with

P-Laplacian on Time Scales*

Shuzhen Qi1, Jun Yang1,2, Liyang Qi3, Meng Cheng4

1College of Science, Y a ns h a n U n i ve r s i ty, Qinhuangdao

2Mathematic Research Center in Hebei Province, Shijiazhuang

3Elementary School of Xinzhai, Gaocun, Shahe

4College of Electrical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao

Email: qishuzhen230@163.com

Received: Jun. 29th, 2012; revised: Jul. 16th, 2012; accepted: Jul. 18th, 2012

Abstract: This paper uses Avery-Peterson fixed point theorem on cone to study existence of positive solu-

tions for a class of mixed impulsive boundary value problem with P-Laplacian. Some new results for the ex-

istence of at least three positive solution s of the bound ary value problem are obtained, thus our results make a

theoretical foundation for the further study of the impulsive boundary value problem with P-Laplacian. Fi-

nally, an example is worked out to demonstrate o ur results.

Keywords: Boundary Value Problem; Impulsive; Fixed Point Theorem; Time Scale

时标上三阶带脉冲的 P-Laplacian 动力方程边值问题*

齐淑珍 1，杨军1,2，齐黎阳 3，程猛4

1燕山大学理学院，秦皇岛

2河北省数学研究中心，石家庄

3沙河市高村学区辛寨小学，沙河

4燕山大学电气工程学院，秦皇岛

Email: qishuzhen230@163.com

收稿日期：2012 年6月29 日；修回日期：2012 年7月16 日；录用日期：2012 年7月18 日

摘要：本文利用 Avery-peterson 不动点定理得到了时标上一类带脉冲的 P-Laplacian 多点边值问题的

正解存在性，并且建立了至少存在三个正解的充分条件，为现有的相关结果作了进一步推广，同时为

含有带脉冲的 P-Laplacian 多点边值问题的研究奠定了理论基础，最后给出数字例子对主要结果进行了

证明。

关键词：边值问题；脉冲；不动点定理；时标

1. 引言

近年来，时标上P-Laplacian 动力方程的发展颇为迅速。随后，时标上 P-Laplacian 脉冲动力方程边值问题也

成为了广大学者关注的焦点之一，2005 年，何智敏[1]讨论了二阶 P-Laplacian 边值问题，利用 Banach 空间中锥

的twin 不动点定理，得到了存在两个正解的条件；2007 年，宋常修和肖存涛[2]研究了时标上 P-Laplacian 泛函动

力方程边值问题，应用 Anderson 不动点定理进而也得到了正解存在性的相关条件。

本文受文[3]的启示，研究如下一类受脉冲影响的 P-Laplacian 泛函动力方程多点边值问题正解的存在性：

*基金项目：国家自然科学基金(60604004)；河北省自然科学基金资助项目(07M005)；秦皇岛市科技支撑计划项目(201001A037、201101A168)。

齐淑珍等  时标上三阶带脉冲的 P-Laplacian 动力方程边值问题

 



 







 



 



,0,0,1,,1,2,

|,1,2,,

00, 11,00,

,,0.

p k

tt kk

ttk k

pt ytatfytyttJttkn

yIytk n

yayy yy

yttt r































 



 





 















(1)

其中为时标，

,0,1



12

tt t t且1,







，且

,1,2,

ti m,



1,2,,kn00,a







1,0r。







是一个 P-Laplacian 算子，且







 1,





111

，且















t

 

tt kk

yytyt





 



，其中







分别代表



t在时的右极限和左极限。且满足：

tt

(H1)

 

,, ,

CR RICR R

 



；

(H2)





R



连续的，







at CR



 且





at在





0, 1



的任意闭子集上不恒为零并保持左连续，其

中；



R



0,

(H3)











0,1 ,0,pt C





为单调增加函数；

(H4)









,0 ,sCr R



 ，













0,1 ,,1tC r





且









,0,1ttt



 。



II递增且连续，且定义Banach 空间，锥，算 E P在给出主要结果之前，先介绍一些预备知识。假设

。令







 



: 0,1|,,0,1,,

,=,0,1,,

kk kk

yRyCJRkn

Eytytyt ytkn



 

















存在

且定义其上的范数为





0,1

sup



。子





,,0,1,

kkk

tt kn



，定义









01 1

0, ,1

JtJ







。定义锥为

PE



0, 1,

yEyJ

Pyytk



















在每一个上均为非增非负凹泛函，

0 =0,且Imp0,

因而对于任意的 ,

P



 

0,1

sup= 1

yt y



。

引理 1 如果

P，那么

 





0, 1yttyt1- ，其中







0,1

sup



。

引理 2[4] 是实 Banach 空间中的锥，假设存在实数和，锥上的非负连续凸泛函

P E4



和



，锥上

的非负连续凹泛函



以及锥非负连续泛函P



满足









 

01





且

















yeyyP e。

 

:,Pe



Pe



是全连续的且存在正常数 e和，其中

，满足

，2ee3

ee

(A1)







234 2

,,, , ,:yPeeey e

 

且





234

,,, , ,

Pee



e有











；

(A2)



,, ,

Pee



且





有











；

(A3)



0,,,Qee



,



,,,

Qee



且









有













。则

至少存在三个不动点



123 4

,, ,yyy Pe



使得和



4,1,2,3,

yei









，





,ey









e



，







。

2. 主要结果

易得边值问题(1)有解的充分必要条件为





yt

齐淑珍等  时标上三阶带脉冲的 P-Laplacian 动力方程边值问题



  



  



  









11 ,

,, 0,1

ar fyryrrs

aps

ar fyryrrs

aps

yttsarfyryrrs

Wtytt





 













 













 























其中









,,0

kk kkkk

kk k

IytIytttt

Wtyt

yt ttt















定义算子 :

PE为

   



  



  





00 1

11 ,

1,,,

Ay tsa rfy ryrrs

aps

ar fyryrrs

aps

tsarfyryrr sWtytT





 















 







 0,1.

假设固定



且满足 1





 。在锥中定义非负连续凹泛函P



，非负连续的凸泛函



和



及非负连续泛



为











min

yyty







，

 











max

yy yty



 



 ，











max

yyty







，对于函

 

Pyyyyy



 

，由引理 1得

















111

max 1

yyty







y



即







。记



























123

0,1: 0,0,1: 0,0,MttMtt MM





 ，

 



larr





 



 





 





210

=1 1









 rr









。

贯穿全文假定 3



且。



Mar r



定理 1 假设条件(H1)~(H4)成立，









122

01 1eeee



 

1412 24

le le，



且

满足以下条件

(H5)



fy sl









若





yte sr



 

,0;



12 1

fyy l









若



ytei



 

1,2;

(H6)



fy sl









若

 



1,,

eytes r



 

0;

(H7)



fy sl









若





yte sr



 

,0;

齐淑珍等  时标上三阶带脉冲的 P-Laplacian 动力方程边值问题



12 1

fyyl









若



ytei



 

1,2;

则边值问题(1)至少存在三个解















,,0

,0,1,1,

ttr

yt yt ti











2,3

(2)

其中

 

tyt和



t满足





max, 1,2,3;

tyt ei











min ;





t







max ;





t







min ;

tyt e



 .





max

tyt e





证明由假设(H1)~(H4)和引理1可知 :

PP是全连续映射。选



,yP e



，则







max

yyty









e，其中











有













0,1t.

由(H5)，当





0, 1t可得



Ay Ay







  



  



  



00 1

11 ,

1,,

sarfyryrrs

aps

ar fyryrrs

aps

ar fyryrrsWtyt





 

 





















 

 



ar fyryrrs

aps













 



10q

earre

alp











 .

从而



PeP e



，，

。

先验证引理 2中的(A1)成立，选取 2











则

 

yy e









 









 

yy e









.

则









234 2

,,, , ,:,yPeeeye



 



对





234

,,, , ,

Pee



e

满足











min ,

yyty







e















113

max

yyty





e



.

由引理 1可得









1-1- ，因此

 



1,0,eyt et





 

1- ，由(H6)，当





0,t



可得



Ay Ay









 



120

lap











 





2

arre

，即引理2中的(A1)成立。接着验证引理 2中的(A2)

成立。选取



,, ,

Pee



并且使

 

Ay Ay









，可得



















=min 1

AyAy tAyAy















1Ay



















.

最后验证引理 2中的(A3)成立。由于



00e





，因此





0,,,Qee



。选取



,,,

Qee



并且

齐淑珍等  时标上三阶带脉冲的 P-Laplacian 动力方程边值问题





，从而有引理 1可得

 







0,0,1



yt yt t





 

 ，即



yt t



 





0,1。由(H7)，当





0, 1t可得



Ay Ay







  



 



1,,

0qMM

arf yrrrarf yrrr

 

 

 

 



 

 

earr e

alp





 



 .

引理 2中的(A3)成立。

因此，由引理 2可知

至少存在三个不动点

 

12 3,yt ytytPe



，， 4

使





max, 1,2,3;

tyt ei











min ;





t







max ;





t







min ;yt e



t





max yt e



.

所以式(2)是边值问题(1)的三个正解。证毕。

3. 应用例子

例1



113

=0 :,,1

35 5

3nnN





















考虑如下边值问题







 

5000 0, 0,1

111

236

|=,1,2|= ,1,2

ti ti

yt t

yt yt

ytiyti

















;;



(3)

 

1212

00,11, 00,

 

yyyyyy



 

 

 

  01

0, ,0

yt tt















, (4)

其中

 

1, 2,1,ptp at 

01 2

1, ,,



 12



 1,







:0,1 ,1















，

并且





 , 1

r,



500

fy sy



,



12 55

500

fyy yy





。通过具体计算可得，

0, 3

M





,21,1 ,

M



 31

0, ,











12,l



24,

l选11,

e22,e



41050,e

那么利用定理 1，



  

4 4

412 4

111

1050110501

,500525,0,500525,0,1,2

212 1

fysytefyyyt ei







进一步



, 5006.4,

fy sl





 





 

eyt e







然后



, 0.017,

pee

fy sll













yt e









12 11

, 0.017,

pee

fyyll













ytei



 

1,2

则边值问题(3)~(4)至少存在三个解

齐淑珍等  时标上三阶带脉冲的 P-Laplacian 动力方程边值问题

 





1,0

0,1 ,1,2

yt ti

















 

其中 tytyt

１２３

满足



2,1

max1050, 1,2,

yt i













0,9

2max,











1,1

1max;

30 t











0,9

min 2;



















1,1

max

t

。

4. 说明

很多学者研究了时标上二阶边值问题的正解存在性，比如文献[3]研究的是时标上二阶带脉冲的动力方程两

点边值问题解的存在性，论文是通过利用 Schaefer’s不动点定理和 Leray-Schauder非线性迭代来证明解的存在性。

[5]研究了在时标上二阶带脉冲的两点边值问题的解存在性，论文主要是利用的是Krasnoselskill 和Zabreiko和

Leggett-Williams 不动点定理进行证明的，得到存在一个和三个解的存在性。本文研究的是在时标上三阶带脉冲

的P-Laplacian 混合型动力方程多点边值问题，利用Avery-peterson 不动点定理证明了存在三个正解的充分条件，

为高阶的动力方程边值问题提供了理论基础，拓宽了研究方向。

5. 结论

本论文的研究结果是新的，并且丰富了时标上动力方程边值问题的理论内容，为以后高阶的动力方程边值

问题奠定了一定的理论基础。

参考文献 (References)

[1] Z. M. He. Double positive solutions of three-point boundary value problems for P-Laplacian dynamic equations on time scales. Journal of

Computational and Applied Mathematics, 2005, 182(2): 304-315.

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1989-1998.

[3] M. Benchohra, S. K. Ntouyas and A. Ouahab. Existence results for second order boundary value problem of impulsive dynamic equations on

time scales. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2004, 296(1) : 65-73.

[4] R. I. Avery, A. C. Peterson. Three positive fixed points of nonlinear operators on ordered banach spaces. Computers & Mathematics with Ap-

plications, 2001, 42(3): 313-322.

[5] J. L. Li, J. H. Shen. Existence results for second-order impulsive boundary value problems on time scales. Nonlinear Analysis, 2009, 70: 1648-

1655.