Pure Mathematics
Vol.06 No.01(2016), Article ID:16854,9
pages
10.12677/PM.2016.61009
Exploration on the Nature of Solutions for a Differential Equation of Fractional Order
Shiyou Lin1, Jie Ren2
1School of Mathematics and Statistics, Hainan Normal University, Haikou Hainan
2Li’an Junior High School, Lingshui Hainan
Received: Dec. 30th, 2015; accepted: Jan. 24th, 2016; published: Jan. 29th, 2016
Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
ABSTRACT
We prove existence and uniqueness of the solution of a nonlinear differential equation of fractional order. The differential operator is the Caputo fractional derivative. For the solvability of the equation is equivalent to a class of Volterra integral equation, we study the existence and uniqueness of the integral equation. We prove the existence of the solution of integral equation by Schau- der fixed point theorem and the uniqueness of the solution by contraction mapping principle.
Keywords:Differential Equation of Fractional Order, Caputo Derivative, Schauder Fixed Point Theorem, Contraction Mapping Principle
一类分数阶微分方程解的性质探讨
林诗游1,任洁2
1海南师范大学数学与统计学院,海南 海口
2黎安初级中学,海南 陵水
收稿日期:2015年12月30日;录用日期:2016年1月24日;发布日期:2016年1月29日
摘 要
本文主要证明了一类分数阶非线性微分方程解的存在性和唯一性。文中用到的微分算子是Caputo分数阶微分算子。因这类方程的可解性是与一类Volterra型的积分方程的可解性等价,所以我们主要研究了与之等价的积分方程解的存在性和唯一性。我们通过Schauder不动点定理证明了积分方程解的存在性,用压缩映象原理证明了解的唯一性。
关键词 :分数阶微分方程,Caputo微分,Schauder不动点定理,压缩映象原理
1. 背景介绍
尽管分数阶微积分的概念几乎是与整数阶微积分同时出现的,但在过去很长时间内,由于缺乏实际应用背景的促进而发展缓慢。直至近年,由于在物理,化学,生物等领域的广泛应用(参看[1] -[4] ),分数阶微分方程已成为数学领域中值得深入研究的重要方程之一。许多学者(参看 [5] - [8] )都研究过分数阶微分方程的性质,并取得了可观的收获。例如,Delbosco和Rodino [7] 以及El-Sayed [8] 证明了下面这个非线性分数阶微分方程的解的存在性和唯一性定理:
这里的是黎曼–刘维尔分数阶微分。
Diethelm和Ford [6] 深入研究过下面的分数阶微分方程:
同样的,这里的表示黎曼–刘维尔分数阶微分。
Kosmatov [9] 进一步证明了
这里是指Caputo分数阶微分算子(参看 [10] ),这也是本文所用到的微分算子。
本文主要讨论的是一个分数阶非线性微分方程解的存在性和唯一性,研究方法主要是首先证明这个方程的可解性是与一个Volterra型的积分方程的可解性等价。文中用到的主要定理和Caputo微分算子的运算规则将在第2部分给出。第3部分和第4部分是关于方程的解的存在性和唯一性。
2. 预备知识和记号
首先给出本文用到的一个主要定理:
定理2.1. (Schauder不动点定理)设X是赋范线性空间,是非空的有界闭凸集。映射是连续的紧映射,那么在中有一个不动点。
设函数。如果,这里,那么阶的Caputo分数阶微分定义为
(2.1)
的逆算子定义为
(2.2)
本文的目的是考察非线性微分方程
(2.3)
其中,此方程满足初值条件
(2.4)
我们的目标为研究分数阶的问题,因此的情况不在我们的考虑范围内。
在下面的定理中,我们给出了(2.1)和(2.2)这两个算子的关系和它们的一些性质。
定理2.2. 设,那么对于,成立
(a);
(b);
(c);
(d) 如果,满足,并且对于任一,存在满足,则下面的复合法则成立:
.
证明:(a) 令,将(2.1),(2.2)代入中得
设,在上式中我们首先计算。由
因此
所以
不妨设。则,即,结论得证。(b),(c),(d)可类似证明,过程略。
分数阶微分的降阶可以通过以下定理实现,这也是下文将微分方程转化为积分方程时的主要技巧。
定理2.3. 设函数。那么对于所有的及任意成立
, (2.5)
. (2.6)
3. 解的存在性
这里我们主要为了在中找到初值问题(2.3)和(2.4)的解。
设满足下面的条件:
(H1)是连续可微函数;
(H2) 存在非负函数,使得
(H3),存在的一个紧子区间,使得。
以下引理表明初值问题(2.3)和(2.4)解的存在性与Volterra型积分方程(3.2)解的存在性是等价的。
引理3.1.,满足(H1)和(H3)。函数是初值问题(2.3)和(2.4)的解的充要条件是
(3.1)
这里是下面这个积分方程的解
(3.2)
证明:(必要性)首先利用(2.5)式来对微分方程进行降阶。
作代换,在等式两边同时作用算子。由定理2.2(b)可得
由于,则上面的方程即为(3.2)。注意到,再应用积分公式即可得到(3.1)式。
(充分性)设是(3.2)的一个解。因为,函数
在上连续,因此
也在上连续。故,因此。而对(3.1)两边同求阶导,再考虑(3.2)可得
注意到,上边两式同时作用算子,由定理(2.2)和(2.3)可得
因此我们证得了是(2.3)的解。又因为(3.2)式中的第二项在时趋于0,因此。故。
综上所述,满足(2.3)和(2.4),充分性得证。
定理3.1. 设(H1),(H2),(H3)成立,如果下面两式成立:
,
那么积分方程(3.2)在中有解。
证明:在带有上确界范数的赋范线性空间中,我们定义映射为
容易验证有定义并且。
定义,其中。则是中有界闭凸集。
对于,我们有
因此,即。另外容易验证映射是连续的紧映射。
根据定理2.1,在中有一个不动点,此即积分方程(3.2)的解,证毕。
注:定理3.1中,要求满足不等式,即要求关于的增长不高于线性,这样满足解的存在性的方程就被限制在了一个很小的范围内。通过以下的定理我们将会看到,当关于满足任意的多项式估计时,解的存在性仍然成立。
(H4) 存在非负函数,使得
定理3.2. 设(H1),(H3),(H4)成立,定义
如果成立,并且,那么积分方程(3.2)在中有解。
证明:在带有上确界范数的赋范线性空间中,我们定义映射为
容易验证有定义并且。
定义,这里待定。对于有
由幂平均不等式,也即。
类似定理3.1的证明,需要求得合适的,使得成立。
考查函数,令,则,由于时;时,因此在时取到最小值,只需要,方程就有正根,也即时存在,使得。因此时,,即。
另外容易验证映射是连续的紧映射。根据定理2.1,在中有一个不动点,此即积分方程(3.2)的解,证毕。
注:定理3.2成功地把定理3.1的结论推广到了关于满足任意多次的多项式估计的情形。但是定理3.2中对于,的限制比定理3.1严格,并且随着多项式次数的提高,这个限制条件就越严格。因此在实际应用中,要根据具体情况选择这两个定理。
4. 解的唯一性
首先提出假设
(H5) 对于任意的,存在非负函数,使得
定理4.1. 如果(H1),(H3),(H5)成立,并且有
,
,
那么积分方程(3.2)有唯一解。
证明:在Banach空间中,我们定义为
其中半径
定义映射为
容易验证有定义并且。
如果,那么有
因此是到上的映射。
设,那么
由于,因此是一个压缩映射。根据压缩映像原理,有唯一的不动点,此即积分方程(3.2)的解。
注:定理4.1在证明唯一性的时候用到了压缩映像原理,事实上同时能够得到解的存在性,因此原方程在满足条件(H5)时,解的存在性仍然成立。
致谢
感谢编辑和审稿专家对本文所付出的劳动,本文受到海南省自然科学基金(项目名称:Gronwall不等式的推广及其在微分方程中的应用;项目编号:20151011)的资助,在此一并表示感谢。
文章引用
林诗游,任 洁. 一类分数阶微分方程解的性质探讨
Exploration on the Nature of Solutions for a Differential Equation of Fractional Order[J]. 理论数学, 2016, 06(01): 56-64. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.61009
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