ABSTRACT

In this paper, we study stochastic Volterra-Levin equations driven by α-stable noise. We have a try to deal with the stability conditions in distribution of the segment process of the solutions to the stochastic systems.

Keywords:α-Stable Noise, Stochastic Volterra-Levin Equation, Stability

α-稳定噪声驱动的随机Volterra-Levin方程解的稳定性

饶维亚，蔺焕泉，姜童

长春大学理学院，吉林 长春

收稿日期：2019年12月3日；录用日期：2019年12月16日；发布日期：2019年12月23日

摘 要

本文研究了α-稳定噪声驱动的随机Volterra-Levin方程。在一定条件下，得到了该类方程的解部分过程的依分布稳定性。

关键词 :α-稳定噪声，随机Volterra-Levin方程，依分布稳定性

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1. 引言

1928年，Volterra [1] 研究了如下微分方程

$\frac{\text{d}x\left(t\right)}{\text{d}t}=-{\displaystyle {\int }_{t-L}^{t}q\left(s-t\right)f\left(x\left(s\right)\right)\text{d}s}\mathrm{,}$

其中 $q\mathrm{,}f\mathrm{,}L$ 满足下文中的假设。Volterra尝试利用Laypunov方法研究该类微分方程的稳定性。1963年，Levin [2] 利用Laypunov方程得到该类微分方程的稳定性，所以该类方程被称为Volterra-Levin方程。该方面更一步的结果可以参考MacCamy，Wong [3] 和Burton [4] 的工作及参考文献。最近许多学者开始研究随机型Volterra-Levin方程(参见Gushchin和Küchler [5] ；Liu [6] ；Reiß [7]，Li和Xu [8] 等及相关文献)。许多学者研究了随机Volterra-Levin方程的稳定性。Appleby [9] 和Burton [10] 在一定条件下，利用不动点定理研究了随机Volterra-Levin方程在概率1意义下的稳定性。Luo [11] 和Zhao等 [12] 进一步得到了均方意义下的指数稳定性，在更弱的条件下得到概率1意义下的指数稳定性。Guo和Zhu [13] 研究了带Poisson跳的Volterra-Levin方程解的存在唯一性，并得到p-阶矩意义下的稳定性。Yin等 [14] 研究了带Poisson跳和变时滞的Volterra-Levin方程p-阶矩意义下的稳定性。

许多学者尝试着讨论比概率1更弱的稳定性，随机微分方程的解收敛到某一分布，一个值得研究的课题。该种稳定称为解依分布渐近稳定。1996年，Basak等 [15] 首次研究了漂移项为线性的随机微分方程的依分布稳定性。在此基础上 [15]，Bao等 [16] [17] [18] [19]，Hu和Wang [20] 以及Yuan和Mao [21]，Li和Zhang [22] 研究了随机Volterra-Levin方程解的依分布稳定性。

近年来，Lévy噪声驱动的随机微分方程受到学者们的广泛关注。α-稳定噪声是特殊的Lévy噪声，它可以展现重尾现象，因此研究α-稳定噪声驱动的随机微分方程非常有意义，成为一个重要的研究课题，Priola和Zabczyk [23] 研究了α-稳定噪声驱动的随机微分方程解的渐近行为，Zang和Li [24] 研究了α-稳定噪声驱动的随机微分方程解的依分布稳定性。

2. 预备知识

设 $\left\{\Omega \mathrm{,}F\mathrm{,}{\left\{F_t\right\}}_{t\ge 0}\mathrm{,}P\right\}$ 是完备的概率空间，其中 ${\left\{F_t\right\}}_{t\ge 0}$ 是滤流，满足通有条件，即滤流是右连续的并且 $F_0$ 包含所有零集。令 $\left\{Z\left(t\right)\mathrm{,}t\ge 0\right\}$ 为定义在 $\left\{\Omega \mathrm{,}F\mathrm{,}{\left\{F_t\right\}}_{t\ge 0}\mathrm{,}P\right\}$ 上的α-稳定过程。对于给定的常数 $L>0$，$C\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}=C\left(\left[-L\mathrm{,0}\right]\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}ℝ\right)$ 记为连续函数 $\phi \mathrm{<mo>\; :\; </mo>}\left[-L\mathrm{,0}\right]\to ℝ$ 构成的空间，其范数为 $\Vert \phi \Vert ={\sup }_{t\in \left[-L\mathrm{,0}\right]}\left|\phi \left(t\right)\right|$。

本文将研究下述α-稳定噪声驱动的随机Volterra-Levin方程解的依分布稳定性。

$\text{d}x\left(t\right)=-\left({\displaystyle {\int }_{t-L}^{t}q\left(s-t\right)f\left(x\left(s\right)\right)\text{d}s}\right)\text{d}t+\text{d}{Z}_t\mathrm{,}$ (1)

初始条件，

$x(\cdot )=\psi (\cdot )\in C\left(\left[-L\mathrm{,0}\right]\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}R\right)\mathrm{,\; <mi>\; </mi>\; <mi>\; </mi>}-L\le s\le 0$ (2)

其中，映射 $q\in C\left(\left[-L\mathrm{,0}\right]\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}R\right)\mathrm{,}f\in C\left(R\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}R\right)$，$Z_t$ 是概率空间 $\left\{\Omega \mathrm{,}F\mathrm{,}{\left\{F_t\right\}}_{t\ge 0}\mathrm{,}P\right\}$ 上的α-稳定噪声。对任意 $\psi \in C\left(\left[-L\mathrm{,0}\right]\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}R\right)$，定义 ${\psi }_t\left(s\right)=\psi \left(t+s\right)\mathrm{,}s\in \left[-L\mathrm{,0}\right]$。

参见Appleby [9] 和Burton [10]，本文给出如下假设：

(H1) $f\left(0\right)=0$，且存在一个常数 $\lambda >0$，使得 $\frac{f\left(x\right)}{x}\ge 2\lambda$ ；

(H2) $\mu ={\lim }_{x\to 0}\frac{f\left(x\right)}{x}$ ；

(H3) 存在一个常数 $K>0$，使得对于任意的 $x\mathrm{,}y\in R$，$\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\le K\left|x-y\right|$ ；

(H4) 存在一个常数 $m>0$，使得 ${\displaystyle {\int }_{-L}^{0}q\left(s\right)\text{d}s}=m$ ；

(H5) $2K{\displaystyle {\int }_{-L}^0\left|q\left(s\right)\right|\text{d}s}<1$。

3. 主要结果

令 $x\left(t\mathrm{,}\psi \right)$ 为方程(1)满足初始条件 $\psi (\cdot )\in C\left(\left[-L\mathrm{,0}\right]\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}R\right)$ 的解，则(1)的相应部分解过程为 $x_t\left(\psi \right)=x\left(t+\theta \mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}\psi \right)\mathrm{,}-L\le \theta \le 0,t\ge 0$。于是 $x_t\left(\psi \right)\mathrm{,}t\ge 0$ 的转移概率 $P\left(\psi \mathrm{,}t\mathrm{,}\cdot \right)\mathrm{,}\psi \in C\left(\left[-L\mathrm{,0}\right]\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}R\right)$ 是一个齐次的马尔科夫过程(参考Mohammed Mohammed [25] )。在本节中，将研究方程(1)的部分解过程 $x_t\left(\psi \right)$ 的分布稳定性。

定义1. 如果存在一个 $C\left(\left[-L\mathrm{,0}\right]\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}R\right)$ 上的概率测度 $\pi (\cdot )$，使得对任意的 $\psi \in C\left(\left[-L\mathrm{,0}\right]\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}R\right)$，当 $t\to \infty$ 时， $x_t\left(\psi \right)$ 的概率转移函数 $P\left(\psi \mathrm{,}t\mathrm{,}\cdot \right)$ 弱收敛到 $\pi (\cdot )$。则方程(1)的部分解过程 $x_t\left(\psi \right)\mathrm{,}t\ge 0$ 为依分布意义下渐近稳定的分布。

引理 1 假设(H1)-(H5)成立，则对于任意 $\psi \in C\left(\left[-L\mathrm{,0}\right]\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}R\right)$，有

$\underset{0\le t<\infty }{\sup }E\Vert x_t\left(\psi \right)\Vert <\infty .$ (3)

证明：利用文献 [22] 的方法，定义连续函数 $a\left(t\right)\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}\left[\mathrm{0,}\infty \right]\to \left[\mathrm{0,}\infty \right]$，

$a\left(t\right)=\{\begin{array}{l}\frac{f\left(x\left(t\right)\right)}{x\left(t\right)},\mathrm{<mi>\; </mi>\; <mi>\; </mi>}x\left(t\right)\ne 0,\\ \mu ,\mathrm{<mi>\; </mi>\; <mi>\; </mi>\; <mi>\; </mi>\; <mi>\; </mi>\; <mi>\; </mi>\; <mi>\; </mi>\; <mi>\; </mi>\; <mi>\; </mi>\; <mi>\; </mi>\; <mi>\; </mi>\; <mi>\; </mi>\; <mi>\; </mi>}x\left(t\right)=0.\end{array}$

由假设(H4)，则方程(1)满足：

$\text{d}x\left(t\right)=-ma\left(t\right)x\left(t\right)\text{d}t+\text{d}\left({\displaystyle {\int }_{-L}^{0}q\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_{t+s}^{t}f\left(x\left(u\right)\right)\text{d}u\text{d}s}\right)+\text{d}{Z}_t,t\ge 0.$ (4)

利用变量替换以及分步积分，则方程(1)可写成如下形式：

$\begin{array}{c}x\left(t\right)={\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_0^{t}ma\left(u\right)\text{d}u}}\left(\psi \left(0\right)-{\displaystyle {\int }_{-L}^{0}q\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_{t+s}^{t}f\left(\psi \left(u\right)\right)\text{d}u\text{d}s}\right)\\ +{\displaystyle {\int }_{-L}^{0}q\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_{t+s}^{t}f\left(x\left(u\right)\right)\text{d}u\text{d}s}\\ -{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_v^{t}ma\left(s\right)\text{d}s}}ma\left(v\right)}{\displaystyle {\int }_{-L}^{0}q\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_{v+s}^{v}f\left(x\left(u\right)\right)\text{d}u\text{d}s\text{d}v}\\ +{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_s^{t}ma\left(u\right)\text{d}u}}\text{d}Z\left(s\right)}.\end{array}$

于是

$\begin{array}{c}E\left|x\left(t\right)\right|\le E\left|{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_0^{t}ma\left(u\right)\text{d}u}}\left(\psi \left(0\right)-{\displaystyle {\int }_{-L}^{0}q\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_{t+s}^{t}f\left(\psi \left(u\right)\right)\text{d}u\text{d}s}\right)\right|\\ +E\left|{\displaystyle {\int }_{-L}^{0}q\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_{t+s}^{t}f\left(x\left(u\right)\right)\text{d}u\text{d}s}\right|\\ +E\left|{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_v^{t}ma\left(s\right)\text{d}s}}ma\left(v\right)}{\displaystyle {\int }_{-L}^{0}q\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_{v+s}^{v}f\left(x\left(u\right)\right)\text{d}u\text{d}s\text{d}v}\right|\\ +{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_s^{t}ma\left(u\right)\text{d}u}}\text{d}Z\left(s\right)}\\ :=I_1\left(t\right)+I_2\left(t\right)+I_3\left(t\right)+I_4\left(t\right).\end{array}$ (5)

对于 $I_1\left(t\right)$ 有：

$I_1\left(t\right)\le {\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_0^{t}ma\left(u\right)\text{d}u}}\left(1+KLm\right)\Vert {\psi }_0\Vert ,$ (6)

由(H3)得：

$I_2\left(t\right)\le K\left|{\displaystyle {\int }_{-L}^{0}q\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_{t+s}^{t}E\left|x\left(u\right)\right|\text{d}u\text{d}s}\right|\le \left(K{\displaystyle {\int }_{-L}^0\left|sq\left(s\right)\right|\text{d}s}\right)\cdot \underset{-L\le \theta \le 0}{\sup }E\left|x\left(t+\theta \right)\right|,$ (7)

类似地，

$\begin{array}{c}{I}_3\left(t\right)=E\left|{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_v^{t}ma\left(s\right)\text{d}s}}ma\left(v\right)}{\displaystyle {\int }_{-L}^{0}q\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_{v+s}^{v}f\left(x\left(u\right)\right)\text{d}u\text{d}s\text{d}v}\right|\\ \le KE\left({\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_v^{t}ma\left(s\right)\text{d}s}}ma\left(v\right)}{\displaystyle {\int }_{-L}^0\left|q\left(s\right)\right|}{\displaystyle {\int }_{v+s}^{v}E\left|x\left(u\right)\right|\text{d}u\text{d}s\text{d}v}\right)\\ \le \left(K{\displaystyle {\int }_{-L}^0\left|sq\left(s\right)\right|\text{d}s}\right)\cdot {\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_v^{t}ma\left(s\right)\text{d}s}}ma\left(v\right)}\underset{-L\le \theta \le 0}{\sup }E\left|x\left(v+\theta \right)\right|\text{d}v.\end{array}$ (8)

对于 $I_4$，令 ${\left\{{\xi }_k\right\}}_{k\in N}$ 为一个定义在某一个正态分布 $N\left(\mathrm{0,1}\right)$ 的概率空间 $\left\{{\Omega }^{\prime }\mathrm{,}{F}^{\prime }\mathrm{,}{P}^{\prime }\right\}$ 上的独立随机变量序列， ${\left\{C_k\right\}}_{k\in N}$ 是一个实数序列，则

$E^{\prime }{\left|{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}}{C}_k{\xi }_k\right|}^p=A_p{\left({\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}}{\left|C_k\right|}^2\right)}^{\frac{p}{2}},A_p:={\displaystyle {\int }_R\frac{{\left|x\right|}^p}{\sqrt{2\pi }{\text{e}}^{-\frac{x^2}{2}\text{d}x}}}.$

则

$\begin{array}{c}{I}_4\left(t\right)=E\left|{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_s^{t}ma\left(u\right)\text{d}u}}\text{d}Z\left(s\right)}\right|={\left(E{E}^{\prime }{\left|{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}}{\xi }_k{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_s^{t}ma\left(u\right)\text{d}u}}\text{d}{W}_{S_s}}\right|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}\\ ={\left(E^{\prime }E{\left|{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}}{\xi }_k{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_s^{t}ma\left(u\right)\text{d}u}}\text{d}{W}_{S_s}}\right|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}\le {\left(C{E}^{\prime }{\displaystyle {\int }_0^t{\left({\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}}{\xi }_k^2{\text{e}}^{-2{\displaystyle {\int }_s^{t}ma\left(u\right)\text{d}u}}\right)}^{\frac{\alpha }{2}}\text{d}s}\right)}^{\frac{p}{\alpha }}\\ \le {\left(C{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-\alpha {\displaystyle {\int }_s^{t}ma\left(u\right)\text{d}u}}\text{d}s}\right)}^{\frac{1}{\alpha }}\le {\left(C{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-\alpha \lambda \left(t-s\right)}\text{d}s}\right)}^{\frac{1}{\alpha }}\le {\left[\frac{C}{\alpha \lambda }\left(1-{\text{e}}^{-\alpha \lambda t}\right)\right]}^{\frac{1}{\alpha }}.\end{array}$ (9)

对于 $t\ge 0$，将(6)~(9)代入(5)，可以得到：

$\begin{array}{c}E\left|x\left(t\right)\right|\le {\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_0^{t}ma\left(u\right)\text{d}u}}\left(1+KLm\right)\Vert {\psi }_0\Vert +\left(K{\displaystyle {\int }_{-L}^0\left|sq\left(s\right)\right|\text{d}s}\right)\cdot \underset{-L\le \theta \le 0}{\sup }E\left|x\left(t+\theta \right)\right|\\ +\left(K{\displaystyle {\int }_{-L}^0\left|sq\left(s\right)\right|\text{d}s}\right)\cdot {\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_v^{t}ma\left(s\right)\text{d}s}}ma\left(v\right)}\underset{-L\le \theta \le 0}{\sup }E\left|x\left(v+\theta \right)\right|\text{d}v\\ +{\left[\frac{C}{\alpha \lambda }\left(1-{\text{e}}^{-\alpha \lambda t}\right)\right]}^{\frac{1}{\alpha }}.\end{array}$ (10)

令 ${\eta }_1:=\left(1+KLm\right)\Vert {\psi }_0\Vert ,{\eta }_2={\eta }_3:=K{\displaystyle {\int }_{-L}^0\left|sq\left(s\right)\right|\text{d}s},{\eta }_4={\left(C{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-\alpha {\displaystyle {\int }_s^{t}ma\left(u\right)\text{d}u}}\text{d}s}\right)}^{\frac{1}{\alpha }}$。

由假设(H5)可知 $\rho ={\eta }_2+{\eta }_3=K{\displaystyle {\int }_{-L}^0\left|sq\left(s\right)\right|\text{d}s}<1$。

另一方面，由(H1)和(H3)有， $H:={\sup }_{t\ge 0}{\displaystyle {\int }_{t-L}^{t}a\left(s\right)\text{d}s}\ge 2\lambda L$ 存在，并且 ${\lim }_{t\to \infty }{\displaystyle {\int }_0^{t}a\left(s\right)\text{d}s}=\infty$。则对 $\forall \psi \in C\left(\left[-L\mathrm{,0}\right]\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}R\right)$，存在 $N>0,{\lambda }_1\in \left(0,1\right)$，使得 $\Vert {\psi }_0\Vert <N$ 以及 $\frac{{\eta }_1}{N}+{\text{e}}^{{\eta }_{1}2\lambda L}{\eta }_2+{\text{e}}^{2{\lambda }^{2}L}\frac{{\eta }_3}{1-{\lambda }_1}<1$ 成立。

由文献 [22] 中的引理3.1，可得

$E\left|x\left(t\right)\right|\le N{\text{e}}^{-{\lambda }_1{\displaystyle {\int }_0^{t}ma\left(v\right)\text{d}v}}+{\left(1-\rho \right)}^{-1}{\eta }_4,\mathrm{<mi>\; </mi>\; <mi>\; </mi>}t\ge 0.$ (11)

这说明 $x\left(t\right)$ 是有界的。

接下来我们还需要证明部分解过程 $x_t\left(\psi \right)$ 的有界性。由α-稳定过程的自相似性，对于任意 $n\ge 1$。

$\begin{array}{c}E\Vert x_{nL}\left(\psi \right)\Vert \le E\underset{-L\le \theta \le 0}{\sup }\left|{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_{\left(n-1\right)L}^{nL+\theta }ma\left(u\right)\text{d}u}}\left(x\left(n-1\right)L\right)-{\displaystyle {\int }_{-L}^{0}q\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_{s+\left(n-1\right)L}^{\left(n-1\right)L}f\left(x\left(u\right)\right)\text{d}u\text{d}s}\right|\\ +E\underset{-L\le \theta \le 0}{\sup }\left|{\displaystyle {\int }_{-L}^{0}q\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_{nL+\theta +s}^{nL+\theta }f\left(x\left(u\right)\right)\text{d}u\text{d}s}\right|\\ +E\underset{-L\le \theta \le 0}{\sup }\left|{\displaystyle {\int }_{\left(n-1\right)L}^{nL+\theta }{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_v^{nL+\theta }ma\left(s\right)\text{d}s}}ma\left(v\right)}{\displaystyle {\int }_{-L}^{0}q\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_{v+s}^{v}f\left(x\left(u\right)\right)\text{d}u\text{d}s\text{d}v}\right|\\ +E\underset{-L\le \theta \le 0}{\sup }\left|{\displaystyle {\int }_{\left(n-1\right)L}^{nL+\theta }{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_s^{nL+\theta }ma\left(u\right)\text{d}u}}\text{d}Z\left(s\right)}\right|\\ \le \left(K{\displaystyle {\int }_{-L}^0\left|sq\left(s\right)\right|\text{d}s}\right)E\Vert x_{\left(n-1\right)L}\left(\psi \right)\Vert +C(1+\underset{\left(n-2\right)L\le t\le nL}{\sup }E\left|x\left(t,\psi \right)\right|\\ +E\underset{\left(n-2\right)L\le t\le nL}{\sup }\left|{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_{s+\left(n-1\right)L}^{t}ma\left(u\right)\text{d}u}}\text{d}\tilde{Z}\left(s\right)}\right|),\end{array}$ (12)

其中 $C>0$ 时，由自相似性知 $\tilde{Z}=Z\left(s+\left(n-1\right)L\right)-Z\left(\left(n-1\right)L\right)$ 仍然是一个α-稳定过程。

对于 $\forall n\in N$，由(11)式，对于某些常数 $K_1>0$，都有

$\underset{\left(n-2\right)L\le t\le nL}{\sup }E\left|x\left(t,\psi \right)\right|\le {\tilde{K}}_1<\infty ,$

并且对于某些常数 ${\tilde{K}}_2>0$，都有

$E\underset{0\le t\le L}{\sup }\left|{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_{s+\left(n-1\right)L}^{t}ma\left(u\right)\text{d}u}}\text{d}\tilde{Z}\left(s\right)}\right|\le C\left(\alpha \right)=C_2<\infty .$

从而有

$E\Vert x_{nL}\left(\psi \right)\Vert \le \left(K{\displaystyle {\int }_{-L}^0\left|sq\left(s\right)\right|\text{d}s}\right)E\Vert x_{\left(n-1\right)L}\left(\psi \right)\Vert +{\tilde{K}}_2\mathrm{,}$

${\tilde{K}}_2=C\left(1+\underset{\left(n-2\right)L\le t\le nL}{\sup }E\left|x\left(t\mathrm{,}\psi \right)\right|\right)+C_2\mathrm{.}$

所以，由条件(H5)，有

$K{\displaystyle {\int }_{-L}^0\left|sq\left(s\right)\right|\text{d}s}=:\mu <1.$

于是，对任意的整数 $n\ge 1$，根据迭代法可得

$\begin{array}{c}E\Vert x_{nL}\left(\psi \right)\Vert \le \mu E\Vert x_{\left(n-1\right)L}\left(\psi \right)\Vert +{\tilde{K}}_2\\ \le \mu \left(\mu E\Vert x_{\left(n-1\right)L}\left(\psi \right)\Vert +{\tilde{K}}_2\right)\\ \le {\mu }^n\underset{-L\le \theta \le 0}{\sup }\left|\psi \left(\theta \right)\right|+{\tilde{K}}_2\left(1+\mu +{\mu }^2+\cdot \cdot \cdot +{\mu }^{n-1}\right)\\ \le \underset{-L\le \theta \le 0}{\sup }\left|\psi \left(\theta \right)\right|+\frac{{\tilde{K}}_2}{1-\mu }\mathrm{.}\end{array}$ (13)

对于任意的 $t\ge 0$，存在 $n\ge 0$，使得，当 $t\in \left[nL\mathrm{,}\left(n+1\right)L\right]$ 时，

$E\Vert x_t\left(\psi \right)\Vert \le E\Vert x_{\left(n+1\right)L}\left(\psi \right)\Vert +E\Vert x_{nL}\left(\psi \right)\Vert \mathrm{.}$

这样，根据(13)可以得到如下结论：

$\underset{0\le t<\infty }{\sup }E\Vert x_t\left(\psi \right)\Vert <\infty .$

引理2. 假设(H1)-(H5)成立，则对于任意有界子集 $S\subset C\left(\left[-L\mathrm{,0}\right]\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}R\right)$，并且 $\varphi \mathrm{,}\psi \in S$，下述结论成立

$\underset{t\to \infty }{\lim }E\left|x\left(t\mathrm{,}\varphi \right)-x\left(t\mathrm{,}\psi \right)\right|=0.$ (14)

证明. 类似于引理1的证明，首先证明：

$\underset{t\to \infty }{\lim }E\left|x_t\left(\varphi \right)-x_t\left(\psi \right)\right|=0,$ (15)

其中 $\varphi \mathrm{,}\psi \in S$。

对任意的 $t\ge 0$，可以得到

$\begin{array}{l}E\left|x\left(t,\varphi \right)-x\left(t,\psi \right)\right|\\ \le E\left|{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_0^{t}ma\left(u\right)\text{d}u}}}\left(\left(\varphi \left(0\right)-\psi \left(0\right)\right)-{\displaystyle {\int }_{-L}^{0}q\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_s^0\left[f\left(\varphi \left(u\right)\right)-f\left(\psi \left(u\right)\right)\right]\text{d}u\text{d}s}\right)\right|\\ +E\left|{\displaystyle {\int }_{-L}^{0}q\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_{t+s}^t\left[f\left(x\left(u,\varphi \right)\right)-f\left(x\left(u,\psi \right)\right)\right]\text{d}u\text{d}s}\right|\\ +E\left|{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_v^{t}ma\left(s\right)\text{d}s}}ma}\left(v\right){\displaystyle {\int }_{-L}^{0}q\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_{t+s}^t\left[f\left(x\left(u,\varphi \right)\right)-f\left(x\left(u,\psi \right)\right)\right]\text{d}u\text{d}s\text{d}v}\right|\\ \le {\tilde{b}}_1{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_0^{t}ma\left(u\right)\text{d}u}}+{\tilde{b}}_2\underset{-L\le \theta \le 0}{\sup }E\left|x\left(t+\theta ,\varphi \right)-x\left(t+\theta ,\psi \right)\right|\\ +{\tilde{b}}_3{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_v^{t}ma\left(s\right)\text{d}s}}ma\left(v\right)}\underset{-L\le \theta \le 0}{\sup }E\left|x\left(v+\theta ,\varphi \right)-x\left(v+\theta ,\psi \right)\right|\text{d}v,\end{array}$

其中 ${\tilde{b}}_1=\left(1+KLm\right)\left|\varphi \left(0\right)-\psi \left(0\right)\right|$，${\tilde{b}}_2={\tilde{b}}_3=K{\displaystyle {\int }_{-L}^0\left|sq\left(s\right)\right|\text{d}s}$。因此，根据引理1，即可得到(15)。

令 $t\ge 2L$，根据假设(H1)-(H3)得：

$\begin{array}{l}E\underset{-L\le \theta \le 0}{\sup }\left|x\left(t+\theta ,\varphi \right)-x\left(t+\theta ,\psi \right)\right|\\ \le E\underset{-L\le \theta \le 0}{\sup }|{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_{t-L}^{t+\theta }ma\left(u\right)\text{d}u}}\left(x\left(t-L,\varphi \right)-x\left(t-L,\psi \right)\right)\\ -{\displaystyle {\int }_{-L}^{0}q\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_{t-L+s}^{t-L}\left[f\left(x\left(u,\varphi \right)\right)-f\left(x\left(u,\psi \right)\right)\right]\text{d}u\text{d}s}|\\ +E\underset{-L\le \theta \le 0}{\sup }\left|-{\displaystyle {\int }_{t-L}^{t+\theta }{\displaystyle {\int }_{t+\theta +s}^{t+\theta }\left[f\left(x\left(u,\varphi \right)\right)-f\left(x\left(u,\psi \right)\right)\right]\text{d}u\text{d}s}}\right|\\ +E\underset{-L\le \theta \le 0}{\sup }\left|{\displaystyle {\int }_{t-L}^{t+\theta }}{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_v^{t+\theta }ma\left(s\right)\text{d}s}}ma\left(v\right)\cdot {\displaystyle {\int }_{-L}^{0}q\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_{v+s}^v\left[f\left(x\left(u,\varphi \right)\right)-f\left(x\left(u,\psi \right)\right)\right]\text{d}u\text{dsd}v}\right|\end{array}$

$\begin{array}{l}\le E\left|x\left(t-L,\varphi \right)-x\left(t-L,\psi \right)\right|+mK{\displaystyle {\int }_{t-2L}^{t-L}E\left|x\left(s,\varphi \right)-x\left(s,\psi \right)\right|\text{d}s}\\ +mK{\displaystyle {\int }_{t-2L}^{t-L}E\left|x\left(s,\varphi \right)-x\left(s,\psi \right)\right|\text{d}s}+KmL{\displaystyle {\int }_{t-2L}^{t-L}E\left|x\left(u,\varphi \right)-x\left(u,\psi \right)\right|\text{d}u}.\end{array}$

于是利用(15)，可得

$\underset{t\to \infty }{\lim }\underset{-L\le \theta \le 0}{\sup }\left|x\left(t+\theta \mathrm{,}\varphi \right)-x\left(t+\theta \mathrm{,}\psi \right)\right|=0.$ (16)

因此, (14)式必定成立，引理证毕。

接下来，讨论方程(1)的部分解过程的分布稳定性。

令 $P\left(C\left(\left[-L\mathrm{,0}\right]\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}R\right)\right)$ 为在 $C\left(\left[-L\mathrm{,0}\right]\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}R\right)$ 上的概率测度空间。当 $p_1\mathrm{,}{p}_2\in P\left(C\left(\left[-L\mathrm{,0}\right]\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}R\right)\right)$ 时，定义：

$d_L\left(p_1\mathrm{,}{p}_2\right)=\underset{f\in L}{\sup }\left|{\displaystyle {\int }_{e}f\left(\Phi \right)p_1\left(d\varphi \right)}-{\displaystyle {\int }_{e}f\left(\psi \right)p_2\left(\text{d}\Psi \right)}\right|\mathrm{,}$

其中，对于任意的 $\varphi \mathrm{,}\psi \in C\left(\left[-L\mathrm{,0}\right]\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}R\right)$，有

$L=\left\{f\mathrm{<mo>\; |\; </mo>}C\left(\left[-L\mathrm{,0}\right]\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}R\right)\to R\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}\left|f\left(\varphi \right)-f\left(\psi \right)\right|\le \Vert \varphi -\psi \Vert \mathrm{,}\left|f(\cdot )\right|\le 1\right\}\mathrm{.}$

参考文献 [22]，有如下的结果：

引理 3 ( [22] ) 假设(H1)-(H5)成立，则对于任意的初值 $\varphi \in C\left(\left[-L\mathrm{,0}\right]\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}R\right)$，$P\left(\varphi \mathrm{,}t\mathrm{,}\cdot \right)\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}t\ge 0$ 是空间 $P\left(C\left(\left[-L\mathrm{,0}\right]\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}R\right)\right)$ 上具有度量 $d_L$ 的柯西列。

本文的主要结果如下：

定理1 假设(H1)-(H5)成立，则α-稳定噪声驱动的随机方程(1)的部分解过程 $x_t\left(\psi \right)\mathrm{,}t\ge 0$ 是分布稳定的。

证明. 类似于文献 [22] 中定理3.1的证明，可以很类似地得到该定理的证明。证明从略。

文章引用

饶维亚,蔺焕泉,姜 童. α-稳定噪声驱动的随机Volterra-Levin方程解的稳定性
Stability of Solutions for Stochastic Volterra-Levin Equations Driven by α-Stable Noise[J]. 理论数学, 2019, 09(10): 1187-1194. https://doi.org/10.12677/PM.2019.910145

参考文献