ABSTRACT

This paper is concerned with a system of doubly nonlinear degenerate parabolic equations with p-Laplacian. We prove that, under suitable conditions on the nonlinearity and certain initial datum, the lower bound for the blowup time is given if blowup does occur by using a modification of Levine’s concavity method.

Keywords:Blowup of Solution, Doubly Nonlinear Parabolic Equations, Levine’s Concavity Method

多重非线性退化的p-Laplacian抛物方程组解的爆破

齐龙飞，苏璟，呼青英

河南工业大学理学院，河南 郑州

Email: slxhqy@163.com

收稿日期：2015年4月24日；录用日期：2015年5月7日；发布日期：2015年5月13日

摘 要

本文研究了一类多重非线性退化的p-Laplacian抛物方程组解的爆破，利用修正的Levine凸性方法，在非线性项和初始条件的适当条件下，给出了解爆破时间的下界。

关键词 :爆破，多重非线性抛物方程组，Levine凸性方法

1. 引言

本文研究如下非线性抛物方程组解的爆破性

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

其中是上的有界区域且有光滑边界，，，为以后给定的函数，为正的初始函数。

近几十年来，非线性抛物方程解的爆破问题引起人们的极大兴趣，考虑爆破性自然要研究解是否会爆破以及解的爆破时间，在这方面已经有大量的文献，如文献[1] -[5] 。问题(1.1)~(1.4)可以描述诸多化学反应、热传导过程和种群动力学过程(见文献 [6] - [17] 及其参考文献)，它有多个非线性项，处理难度较大。对型如(1.1)的单个多重非线性抛物方程

(1.5)

已有许多结果，如文献 [6] - [10] 给出了方程(1.5)的初边值问题和初值问题局部和整体解的存在性，文献 [11] - [14] 则研究了其整体吸引子的存在性和正则性，类似方程(1.1)，(1.2)的方程组问题的整体吸引子的存在性和正则性也有一些研究 [15] - [17] 。但关于该类问题解的爆破性研究则相对较少，Iami和Mochizuki [18] 给出了Neumann初边值条件下方程(1.5)的爆破条件，Levine [19] - [21] 则用凸性方法证明了单个方程(1.1)及其等价的如下问题解的爆破性

Korpusov和Sveshnikov [22] [23] 及Polat [24] 则对如下方程的初边值问题

在负初始能量时得到解的爆破条件。Wang和Ge [25] 及其参考文献则利用比较原理讨论了非线性边界时方程(1.1)，(1.2)中非线性项为时解的爆破问题。

本文利用修正的Levine凸性方法讨论问题(1.1)~(1.4)解的爆破条件，推广了文献 [22] - [25] 的结果。在第二节将给出一些假设和基本引理，第三节给出主要结果和证明。

2. 假设和引理

本文所用符号均同文献 [6] ，记和为通常的Soblev空间，其范数分别记为和，特别是当时，记。

本文始终假设。关于非线性项的假设如下：

(A1)，存在函数使得

且存在常数使得

,

其中，当时，当时。

注：满足条件(A1)的函数是存在的。事实上，一个典型的例子是取

且，即

这时, ,其中，。该例的详细情况可见文献 [26] 。

利用Galerkin方法，结合单调性理论和紧性方法 [2] ，类似文献 [27] 可得问题(1.1)~(1.4)解的局部存在性。

定理2.1. 假设条件(A1)成立且，，，则问题(1.1)~(1.4)存在弱解，即，存在使得

且对任意和任意分别的(或)成立：

以及。

下面给出本文的基本引理。

引理2.2. [5] [27] 设是R上非负二次连续可导函数且满足不等式

其中为常数。若，，则必存在时刻，使当时有，其中

3. 主要结果及证明

首先引入泛函

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

现给出主要引理。

引理3.1. 对任意，下面不等式成立

(3.5)

证明 注意到

(3.6)

注意到由Holder不等式得下列不等式

(3.7)

(3.8)

考虑到(3.7)~(3.8)，则由(3.6)得

再利用不等式

得

于是，引理得证。

下面，给出主要定理。

定理3.2. 设定理2.1的条件成立，且

(3.9)

则问题(1.1)~(1.4)的弱解必在某有限时刻爆破，即

证明 注意到

由(3.1)，得

把(1.1)，(1.2)代入得

(3.10)

利用

由(3.2)及方程(1.1)，(1.2)得

即

(3.11)

(3.11)关于t积分得

(3.12)

再利用条件(A1)得

(3.13)

(3.10)结合(3.13)，并用到得

即

， (3.14)

注意到得

(3.15)

利用引理3.1，得

其中。

如果，由(3.1)，(3.6)和(3.9)知，，于是，由引理2.2得结论。如果，取，则(3.15)变为

(3.16)

于是，由(3.16)和标准的凸性引理得结论。综合两种情况即得。

文章引用

齐龙飞,苏 璟,呼青英, (2015) 多重非线性退化的p-Laplacian抛物方程组解的爆破
Blowup of Solutions for a System of Doubly Nonlinear Degenerate Parabolic Equations with p-Laplacian. 应用数学进展,02,129-135. doi: 10.12677/AAM.2015.42018

参考文献 (References)