 Modern Physics 现代物理, 2012, 2, 49-54 http://dx.doi.org/10.12677/mp.2012.23009 Published Online August 2012 (http://www.hanspub.org/journal/mp.html) Remote Preparation of Two Qubit State in Noisy Environments* Yanliang Zhang, Guodong Kang, Xiaobo Wang, Qingping Zhou# School of Software and Service Outsourcing, Jishou Universty, Zhangjiajie Email: #qingpingzhou2009@163.com Received: Mar. 11th, 2012; revised: Jul. 3rd, 2012; accepted: Jul. 17th, 2012 Abstract: A scheme is proposed for the remote preparation of a two qubit quantum state by using two nonmaximally entangled states as the quantum channel. The effects of the environment noise on the quantum channels are considered, in which the time-evolution is ruled by the master equations of the density matrices in the Lindblad form. We investi- gated the influence of environment noise on the fidelity of the remote state preparation based on three types of quantum channels. It is found that the output state of remote state preparation, as time goes on, has a higher fidelity in the case of the quantum channel consists of |01> and |10> basis than that of |00> and |11> basis. Furthermore, the results also demonstrate that the fidelity is proportional to the product of both situations above when the channel consists of the mixture basis, and its value is between of them. Keywords: Quantum Noise; Lindblad Master Equation; Remote State Preparation; Fidelity 噪声环境下二比特量子态远程制备* 张延亮，康国栋，王晓波，周清平# 吉首大学软件与服务外包学院，张家界 Email: #qingpingzhou2009@163.com 收稿日期：2012 年3月11日；修回日期：2012年7月3日；录用日期：2012 年7月17 日 摘 要：提出利用两对非最大纠缠态作为量子通信通道实现二比特量子态的远程态制备方案，并使用量子纠缠 态密度矩阵的 Lindblad 主方程推导了量子纠缠态的时间演化，研究了噪声条件下三种量子纠缠通道对二比特量 子态远程制备保真度的影响。结果表明，噪声条件下由|01>与|10>基构成的量子通道比由|00>与|11>基构成的量 子通道更具有保护远程制备量子态保真度的能力，由这两组基构成的混合量子通道得到的保真度正比于上述两 种情况保真度之积，其保真度的值介于两者之间。 关键词：量子噪声；Lindblad主方程；量子态远程制备；保真度 1. 引言 量子纠缠现象是量子力学中最为奇妙的特征之 一，量子纠缠态被认为是实现量子信息处理的一种重 要的物理资源，已经广泛应用于量子隐形传态、量子 密集编码、量子密码通信以及量子计算等量子信息任 务。量子远程态制备(Remote State Preparation，RSP) 是量子信息传送重要方式之一，相比量子隐形传态 (Quantum Teleportation)，量子远程态制备是对已知量 子态的远程传送，其方案比量子隐形传态所需的经典 资源与量子资源相对较少[1,2]。近几年，人们对量子态 远程制备投入了广泛关注，包括多体远程态制备、连 *基金项目：湖南省教育厅科学研究重点资助项目(No. 11A096)；中 国科学院波谱原子分子重点实验室基金(No. T152908)；吉首大学校 级科研项目(No. 11JD050)。 #通讯作者。 Copyright © 2012 Hanspub 49  噪声环境下二比特量子态远程制备 续变量远程态制备、联合远程态制备等[3-7]。 然而，在实际的物理环境中，量子系统不可避免 受到外界环境的影响，量子通道与环境发生相互作用 导致量子纠缠退化与耗散，甚至退相干，使得远程制 备量子与初始量子态存在一定偏差。因此，环境耗散 成为实现量子信息传输的主要障碍，讨论噪声环境下 量子远程态制备的保真度与成功概率是研究量子通 信一项重要任务。最近梁华秋等人研究了量子噪声对 单比特态远程制备[6]，指出在 x，y，z方向的噪声对 保真度的影响各不相同。陈爱喜等人研究了噪声条件 下利用 W态作为量子通道的单比特远程态制备[8]，指 出量子远程态制备迹距离不仅与初始待传量子态有 密切关系，而且受通道系统幅值阻尼和相位阻尼影 响，出现量子信息失真。然而，他们的研究仅针对于 单比特量子态的远程制备。在量子信息传输协议中， 借助 N对纠缠态作为量子通信通道是远程传送 N比 特量子态重要方式之一，本文提出利用两对非最大纠 缠态作为量子通信通道实现任意二比特量子态的远 程制备方案，根据纠缠态基矢特征的构建了三种不同 量子通道，并从量子纠缠态密度矩阵的Lindblad 主方 程出发推导了在噪声条件下量子纠缠通道的时间演 化，讨论了三种量子纠缠通道对任意二比特量子态远 程制备保真度的影响。 2. 理论模型与方程 假设发送者 Alice 要将如下二比特量子态发送给 远方的接收者Bob 0001 1011T (1) 式中 ， ， ， 均为实数且满足归一化条件 。Alice 和Bob 共享两对纠缠态作 为量子通信通道，根据纠缠态基矢构成，其量子通道 有以下三中情况： 22 21 2 112 12 234 34 01 10 I: 01 10 uv wz 112 12 234 34 00 11 II : 00 11 uv wz (2) 12 12 34 34 01 10 III : 00 11 uv wz 12 cosuw ， 12 12 sin i vz e 2和4属于 Bob，由 了解的，因此， 式中 ，其 中粒子1 和3子于Alice 对 Alice 入 属于 Alice，粒 特量子态(1)是完全 正交基 二比 可以引 1, 2,3, 4对量子通道进 13 i Mi 作。具体表达式如下： 行局域操 113 13 213 00 M M 13 313 13 413 13 01 10 11 M M (3) 经过 Alice 用正交基 13 1, 2,3, 4 i Mi对她拥有的 粒子 1和3作投影测量，此刻，原来粒子 1和2，3 之 纠新的纠缠通过纠缠 4 和4间的 缠消失，交换的方式 在粒子 2和 之间建立。Alice利用经典通信方式告诉 她的测量结果，Bob 根据得知消息对他拥有的粒子 2 和4作相应的幺正变换(对应变换见表 1)，分别得到粒 子状态为：根据(2)、(3)、(4)和(5)式，Alice 和Bob 共 享的三种不同的量子通道可写为 24 313 24 413 24 10 11 000110 11 0001 1011 uw Mvwvzuwuz Muzuwvzvw (4) 由于量子通道的两对纠缠态并非最大纠缠，为了构建 初始待传量子态(1)，Bob 引入一个处于基态 113 24 213 00011011 00 01 Muwuzvwvz Mvzvwuz 0a 作三比特 的辅 助量子位，然后对粒子 2、4和辅助粒子 的 . 远 的变换操作 Result Case I CaseCase III AqubitUi 联合幺正操作 i U(见表1)。表中 ,, kkxyz 为泡利 矩阵，I为单位矩阵，且 Table 1. The corres p on d i n g o p e r at ions in R S P 表1程态制备过程相应 II 13 M y y 24 i i yz i 22 zz 22 0aU1 13 M zI 4 2 24 xz z 24 zx 0aU1 13 M 4 2 y iI 24 xz 24 z I 0aU3 13 M 24 xI 24 x I 24 xx 0aU4 Copyright © 2012 Hanspub 50  噪声环境下二比特量子态远程制备 Copyright © 2012 Hanspub 51 , ) 其中 12 34 , ,. UICBAU ABCI UBAICUCI AB (5 2 2 1 1 uw vzuw vz A uw vzuw vz 2 22* 12 2* 2 00MN 0 00 00 00 00 Nu Nuv t NvuN v (9) 2 2 1 1 uv uv B uv uv 2t 对于纠 (6) 的表达式为(9)式中 换成，换成 ，同理，uw vz 缠态 ，量子通道初始条件为(2：)式，从 (8)式求得系 时间的演化算符用密度矩阵的形式 表示为： II 统随 2 2 1 1 wz wz C wz wz 2 22 2* 2 2 1 2 2 2* 4 00 00 00 00 M uv Nu N MN v t MN v NvuN v 0 0 v (10) 最后，Bob 对辅助量子位进行后选择测量，当测量结 果为 0a时，远程态制备失败；当测量结果为 1a时， 远程态制备成功，即在接收处完全得到目标量子态 (1)，其保真度为1，并且从(4)式可以看出三种量子通 为 子 程描述，在旋波近似条件 下， 密度算符 道对任意二粒子纠缠态远程制备是等价的，即，在量 子通道 纯态情况下，通过一定的幺正变换粒2和 4状态具有相同的结果。 然而，量子通道的建立或者纠缠传输过程中纯态 量子体系将不可避免地域环境发生相互作用，从而引 发量子退相干。对于开放量子系统，其动力学性质通 常用系统随时间演化的主方 2t 的表达式为(10)式中 换成，换成 。式中uw vz 2 2sinh M Ntt， xp 2Nt 。我们假设两对 态制备的量子通 道仍为两纠缠态的密度算符直积。根据上述远程制备 任意二粒子量子态的过程，其接收端粒子 2和4的量 子态表示为： e 纠缠态之间不发生相互作用，则远程 13 12 24 2413 12 Tr Tr Tr ORt tRO E ORttRO 系统的Hamilton 量可表示为[9] 1,2 1,2 .. pe pe x i i klklklil ikl iklikl HHHH bb gbhc (7) 相互作用绘景中，粒子和环境总的 (11) Tr 表示求部分迹运算，引入辅助量子位以及对其三量 子比特的幺正操纵表示为： 2424 00 aaU (12) 对辅助量子位的后选择测量，放弃测量结果为 DUE t 满足 运动方程 1a , I pe tt iHtt ，其中 exp exp I pep epep e H tiHHtHiHH t 阵的 力学过程表示为Lindblad ： 。 时 的量子态，保留测量结果为0a时，2和4粒子的远 程态制备的输出态密度算符为 Rt。 在对环境自由度求部分迹后，粒子约化密度矩 动 形式主方程 1,2 2i iii 3. 远程态制备保真度讨论 不失为一般，我们讨论当 Alice 测量结果为 213 Mii i i tt (8) 时的 的保情况，三种量子通道量子噪声对远程态制备 真度的影响。在这种情况下，三种量子通道得到的输 出态密度算符分布为 I Rt 、 II Rt 、 III Rt ，其 密度矩阵元分别为： i 为纠缠粒子的衰变因子。对于纠缠态，量子通 道的初始条件为(2：I)式，从 (8 ) 式求得系统随时间的 演化用密度矩阵的形式分别表示为： I IIII IIII 21 31 1222 41 3242 23 RRRR RRRR II IIIII 24 3 11 22 32 13 33 4 43 41 42 43 44 4 4 R RR RRRRR MNv v NMNvNv N (13) 22 4N  噪声环境下二比特量子态远程制备 II II II II II II II II II II II II II II II II 2 23 11 222 322 32 22 22 222 223 24 44 33 1221 31 13 222 223 42 24 43 34 4 41 44 32 23 4 4 4|| 4 4 4 R RR R RRRR RRRR RRRR NMN 2 2 M NNuMvMvNv NuMvMvNv NMN Nu Mv Mvv N (14) III III III III III III III III III III III III III III III III 22 33 11 22 3 12 21 33 1331 33 22 22 32 233 22 22 2 22 3 24 4244 23 32 43 341141 4 4 4 4 4 R RR RRR R RRR RRRRRR MN MNvv NMN vv NMN 2 M Nv Nu Mv MNvNv Nu Mv MNv 44N (15) 虽然选用正交测量基(3)对量子通道的联合测量出现 四种测量结果，但前面讨论的结果已经表明，在量子 纠缠通道为纠缠纯态时，经过相应的幺正变换后，得 相同的输出，因此在有损耗量子通道条件下，选择到 任何一测量结果都反应出非理想量子通道对量子通 信保真度的影响。 为了描述量子信息在传输过程中初、终两态的偏 差程度，人们引入了量子保真度[10]的概念，其定义式 为： 2 F (16) 式中 表示最终输出量子态，F的取值在 0~1 之间， 0F时信息完全失真，此时初始态与输出态完全相 13)~(15)式，可得到 态的保真度。为讨论量子通道的噪声对远程 同。由 假定 ( 二体纠缠 初 三种量子通道的远程制备 态制备保真度的影响，这里，为了讨论的方便，我们 始待传量子纠缠态(1)中α = β = γ = δ = 12，在 三种量子通道情况下，计算其保真度分别为： 2 2 3 I2 2 3 4 1 42 MNu F MNv (17) 2 2346 3 v IIII II 4 F FF (19) 在上述条件下，我们用三维图像表示了远程态制备保 真度与初始量子纠缠通道参数和时间参数之间的关 系。 通过数值计算，分别得到保真度随 和t 的变换 情况。从图 1、图2、图3可以看 真度均为1，说明初始时刻或者量子信道纠缠特性 出当 t时，量子保 2 II 22 23 6 3 2 1 4 NMN NNu MMN F NMNNu MMNv (18) Figure 1. The relation of fidelity againstFI and t when 12 图1. 12 ，保真度 I F的关系 与 和t Copyright © 2012 Hanspub 52  噪声环境下二比特量子态远程制备 Figure 2. The relation of fidelity against FII and t when 12 图2. 12 ，保真度 F II 与 和t 的关系 Figure 3.lation of f The reidelity FIIIagainst and t when 12 图3. 12 ，保真度 F III 与 和t 的关系。 没有退化时，远程态制备量子纠缠态信息无损耗传 输。噪声条件下，保真度的值随时间的推移逐渐而衰 减，并且|01>与|10>基构成的量子通道与|00>与|11>基 构成的量子通道制备得到目标态的保真度出现差别， 尤其是构成量子通道的量纠缠态为最大纠缠时(即 时)，远程态制备保真度的鲁棒性(robust)差异 最为明显。(19)式表明由这两组基构成的混合量子通 道得到的保真度则正比于上述两种情况保真度之积， 其保真度随时间的变化趋势及与初始通道状态的关 系也介于第I种和第II种通道情形之间。而当 t I种信道 III 种 种信道之 任意二体纠 种信道明显 随时 产生这种结 我们 ，并根 护远程 任意二比特 研究结论将 比特量子态 时，在远程制备任意二体纠缠态过程中，第 普遍地比第 II 种信道的信息传输保真度高，第 信道的传输效果则介于第 I种信道与第 II 间。此外，比较图 1与图2，在远程制备 缠态时，当量子信道为最大纠缠时，第I 比第 II 种信道的传输效果好，远程态制备保真度 间的衰减缓慢，最终趋于较高的稳定值， 果的主要原因是这两种纠缠态在量子噪声条件下的 退相干性质有明显的差别[9-11]。 基于两对非最大 作 通 出了远程制备任意二比特量子态的可行方案 通道对任 通道对 制备量子保真度的影响，这一 理的物理实现研究中，对多 传输 π2 4. 结论 纠缠态 为量子 信通道， 提 据纠缠态的基矢特征，将量子通道分为三种情况，通 过相应的局域操作有效地实现了任意二比特量子的 态远程制备，且其保证度均为1。此外，在噪声环境 下，利用 Lindblad 主方程方法推导了非最大纠缠通道 随时间的演化特征，研究了开放系统中三种量子纠缠 意二比特量子态远程制备保真度的影响。由 于量子噪声引发纠缠退化，导致组成量子通道的纠缠 态由纯态演化成混合态，而且三种量子通道对远程态 制备的保真度影响差别较大，从数值计算的结果来 看，由|01>与|10>基纠缠态构成的量子通道保 态制备保真度能力较强，由|00>与|11>基纠缠态构成 的量子通道抵御噪声干扰的能力较弱，而由这两组基 构成的混合量子通道得到的保真度则正比于上述两 种情况保真度之积，其信息保真度介于这两种情况之 间。相比以往有关噪声环境下量子态的传输协议性能 的讨论，仅关注了不同噪声(幅值阻尼、位相阻尼、退 极化等)对同一单量子通道的影响，从而分析单比特量 子态传输的保真度[6-8]。本文考虑了在相同噪声条件 下，不同纠缠态基矢构成的双量子 量子态远程 在量子信息处 及远程制备所需量子通信通道的构建提供重要 的理论依据。 Copyright © 2012 Hanspub 53  噪声环境下二比特量子态远程制备 Copyright © 2012 Hanspub 54 012313. 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