 Smart Grid 智能电网, 2012, 2, 131-136 http://dx.doi.org/10.12677/sg.2012.24023 Published Online December 2012 (http://www.hanspub.org/journal/sg.html) A Survey of Software Optimization of Elliptic Curve Cryptosystem Algorithm Jialiang Wang1, Qifeng Qian1, Lei Wei2, Hong Zhu2 1Nanjing University of Posts & Telecommunications, Nanjing 2Nanjing Power Supply Company, Nanjing Email: wang_jia_l@126.com Received: Nov. 10th, 2012; revised: Nov. 22nd, 2012; accepted: Nov. 30th, 2012 Abstract: In distribution automation system, workable encryption techniques of elliptical encryption algorithm can be used to solve a security issue of stor ed in clear text and transmitted in the clear. But the efficiency is poor. Now software optimization of elliptic cu rve cryptosystem algorithms are classified, analyzed and compared. The result is that several algorithms optimization can be used to improve the speed of algorithm encryption. Therefore, three possible research directions are displayed in the future: firstly, for k coding; secondly, formu la can be rewritten; thirdly, the way of opti- mization algorithm of upper field and the way of optimization algorithm of underlying field can be used together. Keywords: Elliptic Curve Cryptosystem; Software Optimization Algorithm; Underlying Field; Upper Computing ECC 算法软件优化的研究综述 王家良 1，钱琦锋 1，韦 磊2，朱 红2 1南京邮电大学，南京 2南京供电公司，南京 Email: wang_jia_l@126.com 收稿日期：2012 年11 月10 日；修回日期：2012 年11 月22 日；录用日期：2012 年11 月30 日 摘 要：针对配电自动化系统中明文存储与明文传输的不安全性，ECC 是一种可行的加密算法，但其加密效率 较低。现对 ECC 算法软件优化进行分类、分析和对比，综合使用多种算法优化可以提高加密速度。鉴于此，本 文提出了关于 k的编码、公式改写、综合利用上下层算法软件优化这三个具有广大前景的研究方向。 关键词：ECC；软件优化算法；底层域；上层运算 1. 引言 随着国家智能电网的发展，配电自动化系统中信 息的安全性也受大了广泛的关注。其中最大的缺点在 于：1) 信息的存储没有进行加密处理；2) 信息的传 输没有进行加密处理，所以为了保证配电自动化系统 的安全性，必须使用加密技术对其安全防护。 对称加密和非对称加密是两类不同的加密方式。 对称加密就是同一个密钥被信息的发送者和接收者 使用，例如：数据加密标准(DES, Data Encryption Standard)。对称加密的优点：信息的加密在很短时间 内就可以完成，加密效率高；加密过程中所需的运算 量较小。对称加密的缺点[1]在于：1) 发信者将密钥传 送给接收者，其安全性得不到保障。2) 密钥的数量随 着通信人数的增多而增多，这就使得密钥的管理和分 发变得相当困难。非对称加密算法就是不同密钥被发 送方和接收方使用，譬如：公开密钥密码体制(RSA)。 私钥由发送方自己保管，降低密钥泄露的可能性，也 就提高了信息加密技术的安全性，而且密钥的分发较 Copyright © 2012 Hanspub 131  ECC 算法软件优化的研究综述 为简单。但将其与对称加密相比，其缺点在于：加密 过程中运算量较大；整个加密处理的速度慢；当非对 称加密密钥位数多于对称加密时，才有可能保证有相 同的安全性。ECC 是一种广为人知的非对称加密算法 之一。 ECC 加密算法较 RSA 加密算法的优点在于：1) 存储空间小，2) 安全性能高，3) 所需带宽低。缺点 在于：对于底层域的求逆、乘法、平方等来说，其运 算量较大，其中一次模逆运算所耗时间约为一次模乘 的80 倍，所以要对 ECC 算法进行优化。 为了解决以上问题，对ECC 算法优化有两种方 式：硬件优化和软件优化。对于用硬件实现来说，存 在很多的弊端[2]，例如：需要复杂的硬件电路实现以 及当算法更新后，其硬件电路要重新设计，增加了资 源的消耗，更新过程复杂周期长。而软件实现 ECC 算法优化要求的基本程序存储空间小，所需的数据空 间可根据实际环境中的内存资源情况进行灵活调整， 做到时间效率和空间资源相对均衡。但其缺点在于底 层域运算中的乘法、平方和取模算法的实现效率对软 件实现 ECC 算法的效率影响较大，ECC 算法执行时 约有 70%的时间消耗在这三个运算上，因而影响了整 个ECC 算法的效率。本文针对配电自动化系统中存 在的安全隐患，目前使用ECC 算法对其进行加密处 理。由于 ECC 加密运算过程中计算的复杂性，使得 ECC 加密效率低。因此，本文的主要目的就是对国内 外现有的 ECC 算法软件优化方法进行分类、对比、 分析、总结，然后提出ECC 算法软件优化可能的研 究方向，例如：k的编码，公式改写等。 2. ECC算法的基本思想 椭圆曲线上离散对数问题 ECDLP 定义[3]如下：给 定素数 p和椭圆曲线 E，对 Q = kP，在已知 P，Q的 情况下求出小于 p的正整数 k。由 k和P计算 Q比较 容易，而由Q和P计算 k则比较困难。将椭圆曲线中 的加法运算与离散对数中的模乘运算相对应，将椭圆 曲线中的乘法运算与离散对数中的模幂运算相对应， 就可以建立基于椭圆曲线对应的密码体制。 ECC 的加密通信步骤一般可分为：1) 用户 A在 椭圆曲线选取一点P，并将其作为基点，2) 用户 A 通过公式 Q = kP计算生成公开密钥 Q，其中 k为用户 所选的私有密钥，3) 用户 A将椭圆曲线和点 Q，P 传给另外用户 B，4) 当信息被传送到用户 B时，用户 B将待传的明文信息编码到椭圆曲线上一点 N，同时 也会有一个 t生成，5) 用户 B计算点 C1 = N + rQ； C2 = rP，6) 用户 B将C1 ， C2传给用户 A。 在这加密过程中标量乘 Q = kP 的运算量远远大 于其他几步中的运算量。因为在标量乘中点加和倍点 操作需要不断被执行，而点加和倍点则需要多次的做 模加、模乘、模逆等模运算，其中一次模逆运算就相 当于若干次的模乘运算，这些都会使得计算量增多， 加密速度减缓。因此ECC 的加密效率很大程度上是 由这些复杂的运算的计算效率所决定的。例如：计算 Q = 314159P，其 中k = 314159。第一步，要将 k编码， 变为 或其他形式，此处表示 1 23, 1,0,1 ii mbt ii i ks s 为： ；第二步， 预计算可能用到的底层域运算，此处为： 、 15 211281410 0 31415923232 3232 3 2lP 30,1,2,3Pl l等值；第三步，计算 Q = kP。 3. ECC算法软件优化的分类研究 对ECC 算法执行速率的有影响因素一般有如下 几个：坐标的选取、标量乘、椭圆曲线的选取。其中 起到决定性的因素为标量乘的计算速率。 标量乘的运算可分为两个层次[4]：第一：上层运 算，在椭圆曲线上，点与点加运算构成的有限交换群 上的运算；第二：底层运算，在有限域上，通过一些 求逆，乘法、平方等算术操作来实现椭圆曲线上点加 和倍点运算，例如： 3、、 kP 的计算。 P2kPlQ 3.1. 上层运算 k的有效编码是上层运算的主要研究任务,即如何 使得 k的编码最短、非零元素最少，如何划分 k的编 码使得计算量最小，这也就是标量乘运算的第一步。 通过 k的有效编码可以减少点加或倍点的运算次数， 例如：基于进制的算法优化、基于双基数链的算法、 基于窗口的算法优化、基于重编码的算法优化等。 3.1.1. 基于进制的算法优化 近几年国内外提出了许多基于进制的算法优化 [5-7]。该类方法的共同思想就是减少非零元素的个数， 降低运算量。文献[5]提出了一种基于从左到右的编码 Copyright © 2012 Hanspub 132  ECC 算法软件优化的研究综述 方法的标量乘法算法，这种方法能够减少非零元。此 算法的思想是将 k从高位开始编码，与传统的从右到 左的编码方式不同在于：在编码过程中就对编码进行 了处理，使得海明重量达到最小。文献[6]也是将 k从 高位开始编码，但是它是利用混合坐标系来减少计算 复杂度，因此在用于标量乘法算法时，需要另外存储 空间来存储编码的结果和相关的信息。文献[7]方法相 对于文献[6]中的方法不依赖于辅助变量，降低了存储 要求。文献[7]提出了对称三进制标量乘法算法，此算 法的思想在于将 k用三进制表示减少了倍点次数，然 后再表示成对称三进制的形式即只有–1, 1, 0，从而简 化计算。相对于二进制标量乘算法，对称三进制标量 的运算平均运算效率提升 5.4%。当进行预计算时，相 对于二进制算法和二进制预计算算法，平均效率分别 提升 73.18%、15.58%，并且能减少需要存储的点数。 3.1.2. 基于双基数链的算法 双基数系统[8](Double-Based Nu mber Syst em, DB NS ) 是一种数字表示方法，在该系统中，给定一个数 ，这个数可以用 0ll且为整数 1 23, 1,0,1 ii mbt ii i ls s 来表示，在标量乘法中使用 这种表示方法可以使得点加的操作次数在很大程度 上得到减少，因为一个数 M能在 log loglog l Ol 的时 间复杂度内被表示出来[9,10]。对于给定的 ，存在 n个正整数的序列 ，满足 其中 则叫做 的双基数链 [8]。基于双基数链的算法思想是：将整数 按上述方 式进行改写，然后求出其双基数链 ，那么再由 可以得 到lP 而每个 LP 是运算 23 v 0l l n LP便 u QP 0 nn L , , mm Lt 12 LL ,, n L LP 1ii L 11 1,2 31 vu n LL L 1,1,,0tvu ,,, n L 12 1 ,,,, ii LL LL 12 1ii LPLPLP ：， P都 l (初始 QP过程。 )的 3.1.3. 基于窗口的算法优化 基于窗口优化算法的共同思想是将直接影响点 加和倍点的运算次数的标量k进行编码分段处理，全 为零的那一段就不需要计算了。基于窗口的优化算法 是一类使用较为广泛的方法，由于它将 k编码按窗口 进行划分从而减少了倍点运算，提高了标量乘的计算 速度，因而受到广泛的关注。长度k可变的无符号滑 动窗口法，划分窗口的原理是：用窗口法对 k进行从 左到右的划分，确定窗口大小w，确保窗口的开始和 结尾为非零元，从非零元开始启动窗口，计算的第一 步是预计算窗口的模幂值。 文献[11]提出的无符号滑动窗 口算法的基本 思想 是：通过对 k进行二进制编码，将编码中首尾为 1的 数据段作为一个窗口划分，以便降低窗口个数，从而 来降低乘法运算的次数和预计算量。文献[12]对传统 滑动窗口算法[9,13]进行改进，其思想是 ：首先将 划分 好的窗口值和窗口权的指数存储在预处理栈中，然后 利用预计算表和计算 2kP + Q算法加快标量乘算法的 执行效率。该算法在赋值阶段的效率得到了提升，但 也消耗了更多的存储空间。文献[10]提出了一种自适 应的滑动窗口标量乘算法，其算法以牺牲存储空间为 代价，降低了运行时所需要的时间，计算点加的时间 复杂度为：8A + I + 2M + S，而计算倍点的时间复杂 度为：3A + I + 2M + S；并给出实验结果：k 、 P的选 择很大程度上决定了标量乘的运算速率，因此k和P 的选择不同，其算法的效率提高的程度也不同。文献 [10]所提出的算法的思想是：将 k进行编码，根据 k 的编码中“0”、“1”的分布情况，程序自动设定滑动 窗口 w的值，不需要预先设定好。 3.1.4. 基于重编码的算法优化 基于重编码的算法优化的思想[14]是：首先产生一 个新的序列，该序列是由具有倍数关系的两个数进行 逐位相与而得到，然后对新产生的序列进行调整，在 调整过程中有可能会有借位。其调整步骤为：第一， 如果有借位，先将当前位减去两倍的借位。没有借位， 则不需要这一步的操作；第二，如果当前位和下一位 为11 时，就把当前位和前一位改写为 10 并使借位标 志为 1。若按以上方式进行编码，将会减低海明重量， 使运算量得到降低。计算 时应用该算法，与 JSF(Joint Spare Form)[15]算法效果相比，没有很大的提 升，效果相当。 kP lQ 3.2. 底层域的快速运算 减少模乘，模逆，模方的计算量是底层域快速算 法优化的共同目标，也是标量乘运算第二步研究的主 Copyright © 2012 Hanspub 133  ECC 算法软件优化的研究综述 要内容。例如：计算 kP + lQ的算法、基于基转换的 正规基快速求逆以及其他相关算法。 3.2.1. 计算 kP + lQ 的算法 文献[16]利用了非相邻形式算法提出了计算kP + lQ 的算法即用非相邻形式表示 k和l，并预计算 。基于此算法，对组成的矩阵序列 k 、 l 的加减法链进行观察可以得出： ,PQPQ 00 1001 1001 ,,, , 001001011 0 是相邻 两列全部的取值情况，因此可以把每两列作为一个单 位进行处理，通过预计算 P + Q 、 P – Q 、 2P + Q 、 2P – Q 、 2Q + P 、 2Q – P并存储其结果，计算部分可以 通过查询预存储表来完成，这样可以进一步的减少运 算量，提高运算效率。 算法运行所需要的时间基本与选取的e的长度呈 线性关系，其中 e为密钥长度。当选取的 e的长度为 180 比特时，对于此算法的运行时间为：27.47 ms[16]。 此算法极大地提高了算法效率，并且所需的预运算较 小，但该算法主要是针对二进制域的椭圆曲线的 Kp + lQ 运算进行研究。 3.2.2. 基于基转换的正规基快速求逆 一般的求逆过程为，对于 ，求满足 的b(最高次数小于 m)，Almost Inverse 算法[17]得到 2m GF 1modab pt mod pt 1k abt 是将问题转 化为求解满足 t ,bk mod k t pab 2 Om 的 对。用正规 基表示被 ECC 选用以后，接着用多项式基取代正规 基，这可以通过利用两者的转换模块实现，最后基于 正规基的 AI 算法进行求逆变为基于多项式基的AI 算 法进行求逆，这样做是由于在多项式基上的 AI算法 进行求逆比在正规基上的 AI算法进行求逆效率要高。 在多项式基上的 AI求逆算法可以减少运算量，提高 运算效率，这是基于基转换的求逆算法的优点。该算 法需要预计算和存储转换矩阵及逆矩阵，其中预计算 对求逆算法的效率影响甚微以及其所需存储空间为 。 3.2.3. 其他算法 1997 年Guajardo 和Paar[18]提出了计算 4P、8P 的 算法，其思想是利用过渡变量将一次求逆操作转化为 多次的乘法操作。1999 年，这一“有偿代换”的思想 被Han 和Tan[19]利用给出了 2m F 域上直接计算 3P、5P、 6P和7P的算法和Lp e z、Dahab[20]对文献[18 ]的改进 上， 2003 年Ciet、Joye 和Lauter[21]将这一“有偿代换” 思想变得更加明确，并提出了其他的快速计算算法， 例如： 2P + Q、3P、3P + Q、4P等。另一方面，合并、 简化一些过渡变量在计算过程中以减少乘法的计算 量，从某种程度上来说也就加快了点乘操作的运算速 率[22,23]。2001年计算 2kP的被 Sakai和Sakurai[4,25] 所提出，通过对公式进行改写，合并、简化。国内也 有此类文章[26,27]。 算法 2 4. ECC算法优化的比较分析 4.1. 上层域与底层域算法优化的比较 标量乘主要分为上层运算和底层运算，上层运算 集中研究了 k的有效表示，尽可能的减少海明重量和 倍点次数，而底层运算集中研究了底层域的快速算 法。上层域通过多进制，窗口法，重编码等方法将k 进行有效编码，其时间复杂度和空间复杂度对于底层 域快速运算来说要小得多。基于重编码的算法优化与 基于进制算法优化的目标有相似之处，不过其优化思 想不同，基于重编码的优化思想是通过将两个数进行 相与，然后进行调整从而减少海明重量。 4.2. 各类上层算法优化之间的比较 降低点加和倍点的操作频率是各类上层算法优 化的共同目标。基于进制的算法优化主要改进点在 于，第一：通过其他进制进行表示或者多种进制交叉 利用以减少倍点次数；第二：用非相邻形式减少非零 元素的个数以降低点加的操作频率。而对于基于窗口 的算法优化的改进点则不同于基于进制的算法优化， 基于窗口的算法优化是将 k的有效编码进行了划分， 分成若干段，对于全是零的小段就免去了计算，减少 了运算量。基于折半的算法优化主要在于将 k表示成 二分之一的倍数，用折半运算代替倍点运算，因为折 半运算的效率高于倍点运算。以上相关的时间复杂度 如表 1。 表格中 A代表点加运算，D代表倍点运算，DDA 代表直接计算 2kPQ ，DD 代表直接计算 2kw为 滑动窗口的宽度，M代表一次乘法的运算时间，I代 表一次模逆运算的时间，其他字符为各运算的次数。 P， Copyright © 2012 Hanspub 134  ECC 算法软件优化的研究综述 Copyright © 2012 Hanspub 135 Table 1. Time complexity of upper field algorithms 上层域算法 时间复杂度 4.4. 分析与结论 表1. 上层域算法及其时间复杂度 NAF 算法 A kk 01l lD 传统滑动窗口算法 1 1211 w DAbwA bD 改进的滑动窗口标量乘算法 1 1211 w DADDA DD l 底层域的快速运算和 k的有效编码共同决定了标 量乘的实现速率。若k不能被有效的编码表示，底层 运算则会变得相当的复杂；反之，若 k被有效表示， 但是没有一个很好的底层算法优化，同样会使得运算 量大大增加，降低标量乘的计算效率。鉴于此，可以 将底层的算法优化和上层域的算法有机的结合在一 起，形成多元化的思想，提高计算效率。 4.3. 各类底层算法优化之间的比较 要减少运算 量， 了一些底层域快速算法所需的运算量。 中的 5. 总结与展望 各类底层算法优化的共同目标就是 尽可能少的占用存储空间，提高运算效率。底层 运算主要研究了求逆、平方、乘法三种运算，以上各 类算法优化分别针对不同的运算进行了优化，加快了 计算速度。 表2给出 通过研究分析 ECC算法软件优化的方法，给出 了现有研究方向的关系图(图1)。 Table 2. Computational complexity of fast algorithms of underly- ing field 表2. 底层域快速算法及其运算量 底层域快速算法 所需运算量 2P ± Q[21] 1I + 2S +9M P ± Q[21] I + S + 2M 4P[21] 1I + 5S + 8M 2kP[25] 1I + (4k + 2)S + (4k + 1)M 3kP[28] 1I + (5k + 1)S + 12 kM 表中的 I 、 S 、 M分别代表求逆、平方、乘法。表 数据分别是各类底层域算法在运算过程中所使 用的快速算法及其运算量。从表中可知，每个底层域 快速算法中求逆运算的次数远小于其他运算次数，这 样便可以尽可能的提高标量乘的运算速率。 ECC 算法软件优化 关键优化部分 标量乘Q=kP的优化 标量k的处理 底层运算 上层域 底层域 K用二进制或 其他进制编码 基于进制的算 法优化 将k的编码 位与nk的编码 基于重编码的 算法优化 用两种进制对 k进行混合编码 基于双基链的 算法优化 将编码k分段处理 基于窗口的算 法优化 有偿代换 其他 预计算 计算kP+lQ的 算法 基于基转换的 正规基快速求 逆 基转换 Figure 1. The relationship of the methods of ECC algorithm software optimizatio 图1. ECC算法软件优化方法关系图 n  ECC 算法软件优化的研究综述 使用 ECC 加密的 化运算过程，减少运算量，从而加快运算速率。但是 以上 ECC 算法优化只能在上层域或底层域中一个发 挥作用，如：基于进制的优化算法，只能对 k进行有 效地表示，从而减少海明重量，但是对于底层域的运 算考虑较少，而基于基转换的正规基快速求逆的优化 算法只能简化求逆的运算量，而对于k的有效表示则 未有考虑。因此根据以上分析对于ECC 优化算法可 以从以下三方面进行更深入的优化探索： 1) k的进制序列中，编码长度决定ECC 算法中倍 点运算的次数，进制序列中非零元素个数决定 ECC 算法中点加运算的次数。因此可以将k表示成高进制 的序列，从而减少了倍点的次数，综合利用 k和nk 逐位相与变换得到正则数，然后利用自适应窗口的思 想减少点加次数。 2) 将公式 改写成 。在椭圆 曲线上求 理 是为了当 k的进制序列中非零元素的个数大于零元素 的个数时，用取反的方法使得零元素个数增多，从而 减少海明重量。 3) 综合使用上层域的算法优化和底层域的算法 优化，使标量乘的计算速度得到提高。 参考文献 (References) [1] 郭庆瑞. 基于椭圆曲线密码体制的配电自动化系统信息安全 研究[D]. 华北电力大学, 2010. [2] 胡瑞元, 陈文宇, 甘骏人等. 椭圆曲线加密的硬件实现[J]. 电子设计应用, 2012, 33(2): 117-121. [3] 张志华, 周捷, 丁可. 非对称数字签名技术在配电自动化系 统的应用[J]. 计算机技术及其应用, 2012, 34(3): 39-41. [4] 王圆圆. 椭圆 曲 线标量乘法快速 实现研究[D]. 扬州大学, 2007. [5] 黄世中, 羊红光. NAF编码方法的分析与应用[J]. 计算机研 究, 2012, 5: 4-6. [6] K. Okeya, K. Schmidt-Samoa and S. Cetal. Signed binary rep- resentations revisited. Proceedings of Crypto’04, New York: Springer-Verlag, 2004: 123-139. 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