 Statistical and Application 统计学与应用, 2012, 1, 11-15 http://dx.doi.org/10.12677/sa.2012.12003 Published Online December 2012 (http://www.hanspub.org/journal/sa.html) The Estimation and Pr operties of Reliability for Complex System under Constant-Stress Accelerated Life Tests Junli Yang*, Guozhi Zhang Department of Applied Science, Harbin University of Science and Technology, Harbin Email: *yangjunli1986@sina.com Received: Oct. 26th, 2012; revised: Nov. 5th, 2012; accepted: Nov. 19th, 2012 Abstract: This paper studies estimation of the complex system described by minimal paths under the con- stant-stress accelerated life tests. Assuming that the product life time from each subsystem in the exponential distribution are type II censoring date under the constant-stress accelerated life tests. Under this condition, this paper gives the estimation an d its asymptotic distribution of reliability of a complex system. Keywords: Constant-Stress Accelerated Life Test; Exponential Distribution; Minimal Paths; Reliability; Asymptotic Distribution 恒加试验下复杂系统可靠度的估计与性质 杨俊丽*，张国志 哈尔滨理工大学应用科学学院，哈尔滨 Email: *yangjunli1986@sina.com 收稿日期：2012 年10 月26 日；修回日期：2012 年11 月5日；录用日期：2012 年11 月19 日 摘 要：本文研究了恒加试验下，基于最小路径描述的复杂系统可靠度的估计问题。假设每个子系统 的寿命分布为指数分布，且在恒加试验下，得到的每个子系统的寿命样本为定数截尾样本，在此条件 下，本文给出了复杂系统的可靠度的估计及其渐近分布。 关键词：恒加试验；指数分布；最小路径；可靠度；渐近分布 1. 引言 恒定应力加速寿命试验(简称恒加试验)是一种常 用的评价高可靠性长寿命产品的各种可靠性特征的 寿命试验方法。通过在加速试验条件下获得的样本来 推断正常条件下产品的可靠性指标。这是非常有意义 的课题。关于恒加试验的统计推断问题已经有很多成 果，1982 年，A. P. Basu、N. Ebrahim i [1]将Shaked 和Sing- purwalla 的非参数统计方法延伸到两个方面，首先解 决了删失数据的问题，其次把这种方法应用在竞争失 效加速寿命试验中；1990 年，N. Balakrishnan[2]用极大 似然方法讨论了指数分布加速寿命试验逐步 II型截尾 样本下的刻度参数的估计问题；1996 年，张志华、罗 旭[3]给出了指数分布恒加试验下广义线性模型的极大 似然估计；2000 年，B. Dimitri等[4]给出了加速寿命试 验对数线性模型下数据分析的改进方法；2002 年，王 乃生、王玲玲[5]研究了指数分布恒加试验中试验数据 缺失时的统计分析方法，给出了加速模型参数的极大 似然估计与线性估计，证明了极大似然估计的存在性 和唯一性；2008 年，A. J. Watkins、A. M. John[6]研究 了威布尔分布恒加试验II 型截尾样本下，当参数与应 力满足对数线性模型时参数的极大似然估计问题； 2009 年，S. Voiculescu等[7]对于指数分布加速寿 命 *通讯作者。 Copyright © 2012 Hanspub 11  恒加试验下复杂系统可靠度的估计与性质 试验下，加速模型为阿伦尼斯模型的参数给出了极大 似然估计及贝叶斯估计，并用 Monte Carlo 模拟表明 此方法优于以前的结论；同年H. Alaa、A. Hamid[8]研 究了 Burr II分布加速寿命试验逐步 II型删失数据下的 双参数极大似然估计问题。以上结论都是针对元件进 行研究的结果，对于系统的研究较少，特别是对于基 于最小路径、最小割集描述的复杂系统还没有相应的 研究成果。对于系统可靠性，一般都是在正常试验条 件下，基于完全或不完全数据下的研究。2008 年，张 国志等[9]对于基于最小路径、最小割集矩阵描述的复 杂系统给出了系统可靠度的解析表达式及算法实现； 2010 年，张国志、张伟[10]研究了基于最小路径描述的 多源点多汇点网络系统可靠性问题；2012 年，张学玲 [11]等研究了子系统寿命数据为区间型数据，各子系统 是相互独立的基于最小路径描述的复杂系统的可靠 度估计及性质。但在加速寿命试验条件下，对复杂系 统可靠性的研究目前并不多见。 本文所研究的问题是在假设恒加试验下复杂系 统的最小路径矩阵已知的条件下，给出了当每个元件 寿命服从不同参数的指数分布时，定数截尾样本下系 统的可靠度的估计及其渐近分布。 2. 研究问题 复杂系统的描述见文献[9]： 设系统 S是由 m个独立子系统 构成， 子系统寿命变量分别记为 12 ,,, m SS S , m12 ,, X X A X 12 ,,, k ，系统的寿命 变量记为X。记 阶矩阵 mk 0i k 12 ,,, ii ik VV V ,1,2,, ik i m i ni k 1,2,, i i m ij i k 下 12 1,2,,; 1,2,, ij ij ijijri tt timjk 为系统 S的最小路径矩阵。 系统的第 i个元件寿命服从指数分布，恒加试验 的实施如文献[12]描述如下： 1) 确定 正常应力水平V和个加速应力水平 ，这些应力水平满足： i 012 i ii VVVV 2) 从该批产品中随机选出 个样品，并分为 组，其样本容量分别为 121 2 ,,, ii iiik iiik nnn nnnn , 将第 j组样品安排在应力水平V下进行加速 寿命试验。 3) 在个加速应力水平下分别进行定数截尾加 速寿命试验。设在应力水平 ij Vij n样品中有 ij r个失 效，其失效数据满足： 个 0 12 ,,, i ii ik VV V 恒加试验的统计推断是在下面两个假定下进行 的： A1：在正常应力水平V和加速应力水平 下产品寿命均服从指数分布。其分布函 数为： 1 0; 1,2,,; 0,1,2, ij t ij i teti mjk ij F 为产品在应力水平V下的平均寿命。当 ij 0j 式中 时， 0ij i F tFt0 ，为第i个元件在正常应力水平V 下的分布函数。 A2：产品的平均寿命ij 与 之 所施加的加速应力水平 ij V间有如下加速模型，即： ln 1,2,,; 0,1,2, iji iiji abV imjk , ii b V 0j 式中 a为待估参数； 是V的已知函数，当 0ij VV 。 时， 3. 恒加试验下复杂系统可靠度的估计 及渐近分布 指数分布定数截尾样本下平均寿命的极大似然 估计有很多好的统计性质，如渐近正态性，为了研究 系统估计的性质，本文首先以下面引理形式给出。 引理 1 设产品的寿命服从指数分布，分布函数为 1t F te ，式中 为产品的平均寿命。取 n个产 品进行寿命试验，设是截尾数为 d的定数截 12 ,, , d tt t 1 d ii i ndt 尾样本，总试验时间为 T，且Tt 。在 此条件下平均寿命 的极大似然估计为ˆT d ，则有： 2 ˆ0, L dN 证明：因为 2 22 Td [13]，且 22 T Ed ， 24 T Var d 。则 2T22 1 d i i 可以表示成 12 2 ,,,d ，其中 0,1 ,1,2,,2 iNi d 相互独立，且 。 由中心极限定理得： 22 22 11 22 1 01 dd ii ii d i i E N Var 近 ，，即 Copyright © 2012 Hanspub 12  恒加试验下复杂系统可靠度的估计与性质 0,1 LN 22 4 Td d 。 1 1, i k iijiji j i 则 10,1 L dN d T 。 又因为 ˆT d ，所以 ˆ10,1 L dN ，即： ˆ 2 0, L dN ij ij 定理证明完毕。 3.1. 第i个元件可靠度的估计及性质 假如恒加试验如上文中(1 ) ，(2)，(3)所述，并且 满足两个基本假定，此时文献[12]得到应力水平V下 的极大似然估计： ˆ, 1,2,, ij ij ij Tim r ; 1,2,, i jk ijij ijr nrij V 式中为应力水平 下的总试 验时间。 ij t 1 ij r ij ijp p Tt 由引理 1有 ˆ ij ij ij r 2 0, Lij N ，由独立 性有 ˆ ii i r 1 0, LN 12 ,,, i T i ik ，其中， ,。记 ，设 12 ˆ ˆ ,,, i T i ik ii iij rr ˆˆ ii 1 mini jk 2 lim i ij ij ri r r ， 22 2 22 , , ii iik ik 222 11 1 diag , i ii ˆij 。 利用估计 就可以写出加速模型 ln,1,2, , iji iij abVi ; 1,2, i mj k 2 i iij a bV 。 令，可以得到 的最小二乘估计如下： 1 ,ln i k ij j Qab , ii ab ˆ ˆ, ii ab ˆ ˆ ˆ ii ii xy ixx iiii l bl aybx 其中 1 1i k j i kˆ ,l n ii jijij yyy ; j xx V k x 111 1 iii ii kkk x yijij ijij jjj i lxy xy k 2 2 11 1 ii ii kk x xijij jj i lx x k 这样可以得到如下的加速模型： ˆ ˆ ln abV 当0 VV iii 时，就可以得到正常应力水平下对数平 均寿命 0 ln i 的估计 0 ln i ，记 00 x V 。由加速模型 及估 ˆ ˆ, ii ab 得计 ：0 0 ln i iix xx yl ii ii y xx l ，则 0 ln i 为 12 ˆˆˆˆ ,,, i T iii ik 的函数，可得： 00 ln 0, L i iN 2 0 ˆ ln i i r 其中 2 0iji i xxxx 22 01 1 i ii k iij jixx kl 。 为了研究系统可靠度的估计及性质，首先需要获 可靠度的估计及性质。 第i个元件可靠度的估计为： 得元件 0i e t i Rt (1) 0i 由式(1)及ln 的渐近正态性可得第 i个元件可 靠度估计的渐近正态性，以下面引理 形式给出。 ln t t t 引理 2 0 0i ie i Re e 是0 ln i 的函数，则 元件的可靠度估计 i Rt具有渐近正态性，即： 02 0 2 ˆ, ii i t rR 2 2 0, i t L i t RtNe 证明：令 0 ˆ ln i 0 1, 2, , i im ，00 ln i ， 则 0 ˆ ˆi tt e i Rt ee 。 令 t e g e 其 ，对 求导得： t et e e g 所以 0 0 0 t L it rg geZ e ，其中 Z为 正态变量标准 。 Copyright © 2012 Hanspub 13  恒加试验下复杂系统可靠度的估计与性质 则对于给定的t，有： 0 2 02 21 0 ˆ 0, 1, 2,, i ii L ij ii ij jixx i t xxx Ne kl im 3.2. 系统可靠度的估计及性质 为了得到系统的可靠度的估计，将文献[9]的定理 引理 3[9] 独立子系统 S的寿命分布函数为 2 21 i tkx t ii i rRtR 以下面引理形式给出。 设i i F t，记 1Rt Ft ，1, 2,im。系统 S的最 小路径矩阵为 ii mk A ，寿命分布函数为 1, A F t，可靠度 函数 11,1,,1 T， 为： 1, 1, 1 AA Ft 记C Rt 12 ,,, k ccc这里 1T A j C 为 1k mj 阶矩阵 1, AA Rt , ,T m R t 。 由式(1)及引理 3自然可得到系统可靠度 然估计为 ˆˆ ˆˆ , ,T m R t, ，则有 1, j kC Rt Rt 1 j 其中 12 1, ,RtRtRt 的极大似 1, 1, ˆj AA Rt RtRt (2) 1 kC j 其中 12 ˆˆ 1, ,RtRtRt 0i t i Rt e , 1,2,im, 0i ixy ii xx ii xx yl l e 。 由式(2)及引理 2可以计算出系统可 度估计的渐 近分布，本文以下面定理的形式给出。 定理 1系统由相互独立的子系i S， 1,imk 0 ˆi 靠 设复杂 统 2,, m组成，系统的最小路径矩阵是 A ，系 统 可靠度估计 1, 1, ˆˆ j kC AA t RtRt 1 ˆ j R 具有渐近正态性，即： 1, 1, 0, L AA rRtRtNt 1i im 2 其中：记 minrr ，设 2 mii r ra r 令 li 1, 1,1, 12 ,,, AA A T m uRRR 10 0 22 22 2 2 110 0 22 10 0 diag, ,m mm m tt aea e 则 22tt 2T tuu 是 Rt 的函数。 证明：由引理 2知，对于给定的 t，有： 0 2 22 0 2 0 ˆ, i t L ii i t rRtRte 由独立性有： 0, i i N 1, 2, ,im ˆ0, L rRt RtN 其中： 2 1 2 1 ˆˆ ,, , ,,, T m m RtRtRtRt RtRtRtRt 因为 ˆˆ T 1, ARt为 Rt 的函数，有一阶全微分，那么 有： 2 1, 1, 2 0, L AA T rRtRtNt tuu 定理证明完毕。 4. 结论 数都是以元件为研究对象，而对系 但却很重要。通常构成系统的元件往往 靠性，在加速寿命试验下，获得元件的结 尾样 中给予指导和帮助的老师 以前的结论多 统的研究很少 也具有高可 本数据也是常用的办法之一。本文通过在恒加试 验下获得的元件寿命截尾样本，给出了复杂系统可靠 度的估计及性质。这为恒加试验下系统可靠性统计分 析，如可靠度置信区间，MTTF 估计及性质等的研究 提供了一个有效的工具。 5. 致谢 本人对书写论文过程 Copyright © 2012 Hanspub 14  恒加试验下复杂系统可靠度的估计与性质 Copyright © 2012 Hanspub 15 衷心的感谢，同时感谢提供参考文献的 位作者。 (References) [1] A. 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