 Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 1-3 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.31001 Published Online January 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) Generalized Nakayama Conjecture for C-Orthogonal-Finite Algebras* Xiaojin Zhang Department of Mathematics, Nanjing University of Information Science and Technology, Nanjing Email: xjzhang@nuist.edu.cn Received: Oct. 12th, 2012; revised: Nov. 2nd, 2012; accepted: Nov. 14th, 2012 Abstract: In this paper, the C-orthogonal-finite algebras are defined. Moreover, the generalized Nakayama conjecture is proved to be true for C-orthogonal-finite algebras. As a result, Gorenstein CM-finite algebras satisfy the generalized Nakayama conjecture. Keywords: C-Orthogonal-Finite Algbras; Generalized Nakayama Conjecture; Gorenstein Projective Modules C-正交有限代数的广义 Nakayama 猜想* 张孝金 南京信息工程大学数学系，南京 Email: xjzhang@nuist.edu.cn 收稿日期：2012 年10 月12 日；修回日期：2012 年11 月2日；录用日期：2012 年11 月14 日 摘 要：给出了 C-正交有限代数的定义并证明了任意的 C-正交有限代数满足广义 Nakayama 猜想。由 此可得到 Gorenstein CM-有限代数满足广义 Nakayama 猜测。 关键词：C-正交有限代数；广义 Nakayama 猜想；Gorenstein 投射模 1. 引言 广义 Nakayama 猜想(也称 Auslander-Reiten 猜想)是由 Auslander-Reiten[1,2]上世纪 70 年代提出来的，它的 内容是一个有限生成的 A-模M是投射的如果 M满足 ,0, i A ExtM AMi1 。Auslander 与Reiten合作证 明了有限表示型代数上的正确性。许多学者，如 Yamagata, Fuller等在一些特殊的代数上做出了贡献[3-6]。现 在它仍然是代数学家们关心的重要公开问题。 2008年罗和黄[7]结合相对同调代数提出了广义Nakayama猜想的特殊形式也就是所谓的 Gorenstein投射猜 想如下：一个自正交的 Gorenstein 投射模M[8]是投射的。2010 年，本文作者证明了 Gorenstein 投射猜想对任 意一个 CM-有限代数[9-12]是成立的。一个代数 A是C-正交有限的如果在同构意义下只存在有限个不可分解模 M使得 。我们将联系这两个猜想并证明如下的定理： ,0, i A ExtMAMi1 定理：设 A为一个C-正交有限代数，则 A满足广义Nakayama 猜想。 本文组织如下： 第2部分，我们将回顾本文所要用到的概念、引理以及已知的结果，给出本文的主要结果。第 3部分我 们给出主要定理的证明并给出一定的应用。若无特殊声明，所有的代数都是 Artinian 代数，所有的模都是有 限生成的左模。 *资助项目：国家自然科学基金青年基金 11101217；江苏省高校自然科学基金 11KJB110007；南京信息工程大学科研启动基金。 Copyright © 2013 Hanspub 1  张孝金 C-正交有限代数的广义 Nakayama 猜想 2. 概念与主要结果 本节将回顾后文所用到的概念及引理。下面的定义由 Auslander, Reiten, Enochs和Jenda[8]给出。设 A为一个 代数，M为左 A-模。 定义 2.1. 模M称为Gorenstein 投射如果对任意 有 1i 1) ，(2)，其中 Tr 表示模 M的Auslander-Reiten 转置，也就是说，对M 的一个极小投射分解 作用函子 , i A ExtMA 0 0 , i A ExtTrM A 10 0M M PP , H om A，我们有正合列： 。 01 MPP 00MTr 我们声明 Enochs 和Jenda关于Gorenstein 投射的定义如下：模M是一个Gorenstein 模如果存在一个由投射 A-模组成的正合复形 (1)： 使得 M同构于态射 0 1101 f nn n PPPP PP 0 f 的核 且用函子 , H om A i 作用该复形(1)后仍然正合。这两个定义是一致的。 记 M 是模 M的第 i个合冲模，记 G是代数A的所有有限生成的 Gorenstein 投射模组成的子范畴。记 G是 G模去投射模形成的稳定范畴。则我们有以下关于 Gorenstein 投射模的性质。 命题 2.2. 1) :GG是一个等价函子。也就是说，如果Ｎ是G中的不可分解模，则对任意正整数 i， 也是 iN G中的不可分解模。 2) 如果 N是G中的模且成立，则对任意 ,满足： 。 ,0, i A ExtN Ni 1 1 1 1jjN ,0, ij j A ExtNNi i 3) 若M使得 ,0, A ExtMAMi ，则对任意 ,满足： 1jjN ,0, ij j A ExtM AMi1 。 证明：1) 由Gorenstein 投射模的定义易知。 2) 根据 Auslander 和Bridger 的结果，我们有： 11 11 ,,, ,,0. ij jjijji ji AA ii AA Ext NNExtNNHomNNHomNN ExtN NExtN N , 3)与2)的证明类似，只需把 2)的证明中的 N用M代替即可。 为了证明本文的主要结果，我们先给出Ｃ-正交有限代数的定义。 定义 2.3. 一个代数 A称为 C-正交有限的，如果只存在有限个模 M使得 ,0, i A ExtM AMi1。 下面给出 C-正交有限代数的例子来说明我们定义的合理性。 例2.4. 1) 有限表示型代数是 C-正交有限代数[1]。 2) Gorenstein CM-finite代数(只有有限个互不同构的有限生成的不可分解Gorenstein 投射模)也是 C-正交代 数[9-11]。 3) 满足条件只有有限个不可分解模Ｍ使得 ,0, i A ExtMAi1 的代数Ａ是 C-正交有限代数[12]。 现在我们写出本文的主要结果如下： 定理 2.5. 若A为一个 C-正交有限代数，则 A满足广义 Nakayama 猜想。 3. 主要定理的证明 本节主要给出定理 2.5 的证明并给出它的两个应用。为此我们先给出 Gorenstein 投射猜想和定义Nakayama 猜想之间的联系如下： 引理 3.1. 设A是一个Artinian 代数，A满足广义Nakayama 猜想当且仅当 1) A满足 Gorenstein 投射猜想，并且 2) 任意的有限生成的 A-模M满足 ,0, i A ExtM AMi1 ，则 Ｍ 是Gorenstein投射的。 证明：由两猜想的定义可得。 Copyright © 2013 Hanspub 2  张孝金 C-正交有限代数的广义 Nakayama 猜想 Copyright © 2013 Hanspub 3 1 下面我们先证明 C-正交有限代数满足引理 3.1(1)，也就是该类代数满足Gorenstein 投射猜想。 命题 3.2. 若A是C-正交有限代数，则 A满足 Gorenstein 投射猜想。 证明：因为 A是C-正交有限代数，所以范畴 G中只有有限个不可分解模N的满足 ，记 为所有的 G中的满足上述条件的 N的互不同构的同构类的代表元。则必有 ,0, i A ExtN Ni 12 ,,, t NN N s NN其中1 s t 。 下证 N是投射的。反设N不是投射的。取模N的一个极小投射分解，记 0 i SNi 。由命题2.2可 知，S是不可分解的满足的模 N的集合。由上面的分析，我们声明必有 ,0, i A ExtN Ni1lm 使得 ，再由命题 2.2 可知，。注意到 N满足 lm NNN ml N ,0, i A ExtN Ni1 0 ，取以下正合序列 ，其中 0 mi NN Q 10 Q N mi j Q是投射 A-模。应用维数转移，结论已然。 命题 3.3. 若A是一个C-正交有限代数且 A-模M满足 ,0, i A ExtM AMi1 ，则 Ｍ 是Gorenstein投射 的。 证明：只需证明。不妨设M是不可分解的。由命题 2.2(3)，我们得到 ,0, i A ExtTrM Ai1j M 满足 对任意的 成立。 ij A ExtM A j ,0,1 j M i1j 下证 M 是不可分解的。由M的性质利用 Auslander-Bridger 公式注意到，对任意的有1j ,, jj AA H om MHomMMM。因 M不可分解，则有 , jj AA , H omM MHomMM是局部代数。 故有 j M 是不可分解的对任意成立。用类似于3.2 的证明可得1jt M M ，其中。取 M的极小投射 分解，我们得到如下具有周期性的正合列： 1t 01 01tt PP PP ,0,1 i AM AMi ，其中 是投射的并且是M的投射盖。注意到 M的性质 ，易知，该正合列应用函子 i P0 P Ext , H om A后依然正合，由此 M是一个 Gorenstein 投射模。 由引理 3.1，命题 3.2 和3.3，定理2.5得证。结合例2.4，可以给出定理的应用如下： 推论 3.4. 若A是有限表示型代数，则广义Nakayama 猜想成立。 推论 3.5. 若A是Gorenstein C M-有限代数，则广义 Nakayama 猜想成立。 参考文献 (References) [1] M. 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