一类新的非连续函数积分不等式及其应用 A New Class of Integral Inequality for Discontinuous Function and Its Application

doi:10.12677/PM.2013.31002

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Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 4-8

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.31002 Published Online January 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html)

A New Class of Integral Inequality for Discontinuous

Function and Its Application*

Changqing Liu, Zizun Li

Department of Mathematics and Computer Science, Baise University, Baise

Email: lcqing619@foxmail.com, zzlqfnu@qq.com

Received: Nov. 3rd, 2012; revised: Nov. 27th, 2012; accepted: Dec. 8th, 2012

Abstract: Being an important tool of Gronwall integral inequality in the study of existence, uniqueness,

boundedness, stability, Invariant manifolds and other qualitative properties of solutions of differential equa-

tions and integral equation. In this paper, we give the upper bounds estimation of unknown function of a new

class of integral inequality for discontinuous function. Our result can be important tools to study qualitative

theory of some impulsive differential equations and impulsive integral equations.

Keywords: Integral Inequality for Discontinuous Function; Estimation of Unknown Function; Impulsive

Differential System

一类新的非连续函数积分不等式及其应用*

柳长青，李自尊

百色学院数学与计算信息工程系，百色

Email: lcqing619@foxmail.com, zzlqfnu@qq.com

收稿日期：2012 年11 月3日；修回日期：2012 年11 月27 日；录用日期：2012 年12 月8日

摘要：Gronwall 型积分不等式是研究微分方程和积分方程解的存在性、有界性、唯一性、稳定性和

不变流型等定性性质的重要工具。本文建立了一类新的非连续函数积分不等式，并给出未知函数的上

界估计。我们的结果可作为研究某些脉冲微分方程和积分方程定性理论的重要工具。

关键词：非连续函数积分不等式；未知函数估计；脉冲微分系统

1. 引言

积分不等式是研究微分方程和积分方程的重要工具。通过对积分不等式中未知函数的估计，可以研究某些

微分方程解的存在性、有界性、唯一性和稳定性等定性性质(例如，文献[1-13])。通过对非连续函数积分不等式

中未知函数进行估计，可以研究某些脉冲微分系统和脉冲积分系统解的一些重要性质。

Borysenko[2]在1983 年研究了下面的积分不等式

 



d0,

tmii

ttt

utcf sussuttt







 





01m

并得到了下面的结果

当时，





11d

ttt

utcmf ss









 





，

*基金项目：广西自然科学基金项目(2012GXNSFAA053009)；广西教育厅科研项目(201204LX423)；百色学院一般科研项目(2011KB08)；百

色学院教改项目(2012JG09)。

柳长青，李自尊  一类新的非连续函数积分不等式及其应用

2004 年Borysenko[3]研究了积分不等式

 



d0,

tmm

tttt

uttgsus suttt





 





可得估计式

 



 

111 d,0

ii t

ttt

utttmsgssm

 









 





1



，

2007 年Iovane[6]在文献中研究了下面的非连续函数积分不等式

 



d0,

tmm

tttt

utatqtf sussuttt





 





当时，得到下面的估计式

0m

 







111

mmm m

iii t

ttt

utttqtms fsqss



 



















 















2009 年孟东沅[10]研究了不连续函数积分不等式

  



d0,

mnm

tttt

utatfsuswus suttt





 



 ，

2010 年罗日才，王五生等[7]用分析技巧给出了下面积分不等式中未知函数的估计



 



 









000 0

ddd

ttt m

ttt ttt

utatqtussf sghusuttt

 





 







 0,

本文在上述研究成果的基础上，研究了一类新的非连续函数积分不等式

 



00 0

dd0,

mii

tt ttt

utktqtfsussgsussutt t

















 

， (1.1)

其中，是



上只有第一类不连续点







0,t012

: ,lim

ttt tt





 的非负逐段连续函数，01,



 ，

是给定的常数，，是连续不减函数，











:1,qt R















tgtRR



。

注：文中，表示实数集，，





0,R





,CMS表示定义域为

，值域为的连续函数集合。 S

2. 主要结论

定理 2.1. 具有第一类不连续点



的非负逐段连续函数



i012

: ,lim

ttt tt



 





ut，满足不等

式(1.1)，则函数有下面的估计式：

00tt



 



  



expd1exp 1d

ii i

tt t

utktqtf sqssemgsksqsmf sqss





 





 

。





ttt



 ，，

01e



 



 



:1 0expd

1exp1d

iii t

itt

eqt fsqss

emgsksqsmfsqssi









 



 











,1,2,.

(2.1)

证明：由(1.1)以及，的性质，我们得到



柳长青，李自尊  一类新的非连续函数积分不等式及其应用



  

  









00 0

1dd 0

tt i

tt ttt i

utusu s

qtfssgss

ktks ks kt









  











令

 





 













00 0

1d d 0

tt i

tt ttt i

usu s

tfssgss

ks kskt







 





 。 (2.2)



  









iii

ut qt tqtt

kt kt



 





(2.3)

由(2.2)，(2.3)，可得

 



00 0

1d d0

mmm ii i

tt ttt

tfsqss sgsksqsssqtt







 



 (2.4)

首先，我们考虑情况





,ttt，由(2.4)我们得到

 

mmm

tf sqsssgsksqsss



 

 d

令



mmm

vtfsqsssgsksqsss



 



 



exp d

Ntvtf sqss



那么

 

1vt Nt，





























1mmm

vtftqttgtktqtt



 



(2.5)

由(2.5)，我们可得













 



 











0 0

exp dexp d

exp d

exp 1d

t t

mmm

t t

mmm

Ntvtfsqs sftqtvtfsqs s

tqttf sqssgtktqttf sqss

ftqtvtfsqs s

gtktqttmf sqss





 

 









即



  





1exp 1d

tktqtmf sqss





 (2.6)

从到积分(2.6)的两边，我们得到

 



11exp 1d

Ntmgsksqtmfsqss





 







(2.7)

由，从(2.7)，可得

 



exp d

tvtNt fsqss 





  



00 0

expd1 1exp1d

tt t

tf sqssmgsksqsmfsqss





 





 

由





ut，之间的关系式(2.3)，我们得到



t

柳长青，李自尊  一类新的非连续函数积分不等式及其应用

   





 



exp d

11exp 1d

utf tqttktqtf tqts

mgsksqsmfsqss







 









其次，我们考虑





,ttt，可得

 

 



 



 



 

 

111 1

1d d00

10exp d

11exp 1d

exp d

mmm

tfsqss sgsksqss sqtt

fsqss sgsksqss s

qtfsqss

mgsk sqsmfsqss

fsqss sgsksqss s

fsqss





 







 

















  



11exp1

tt t

emgsksqsmfsqss





 





 



 



  



00 0

111

10 expd11exp1d

tt t

eqtf sqssmgsksqsmfsqss



















 

那么我们就可得，

  



 



11 1

expd1exp 1d

tt t

utktqtf sqssemgsksqsmf sqss





 





 

任意的，同理，当，得





,ttt





ttt





 



  



expd1exp 1d

ii i

tt t

utktqtf sqssemgsksqsmf sqss





 





 

其中由(2.1)定义。综上所述定理得证。

3. 在脉冲微分方程中的应用

本节我们用得到的结果给出脉冲微分系统解的上界估计。考虑脉冲微分系统解的上界估计。考虑脉冲微分

系统











d,,, ,

xt Ftxt ttt



 (3.8)







xxt





， (3.9)





其中：，，是常数，

012

0tttlim i

  1c





tx关于，

在









0,,t



上连续。假设(3.8)中





tx满足



















txf txtgsxs (3.10)

其中



t，



s是



上连续的非负函数，



0,t01m



。

推论 1在条件(3.10)成立的情况下，系统(3.8)，(3.9)所有的解





t满足估计式：

柳长青，李自尊  一类新的非连续函数积分不等式及其应用

 







110

expd1exp 1d

ttt

tfssdmgsmfss





 











(3.11)





ttt



 ，其中，

dc



 



:1expd1()exp1d,1,2,

iii

ttt

ii i

ttt

dfssdmgsmfssi







 







。

证明：脉冲微分方程(3.8)与(3.9)等价于积分方程：

 







,d0, ,

tttt

xtcFsxssxtt t









 (3.12)

利用条件(3.10)，从(3.12)，可得

   



00 0

mii

tt ttt

xtcf s xssgs xssxt









 0 (3.13)

令

 

ut xt，由(3.13)，我们可得不等式

 



00 0

mii

tt ttt

utcf sussgsussut









 0 (3.14)

首先考虑，可得





,ttt

 

utcfsussgsus s 



，

可得估计式

 







110

expd1exp 1d

ttt

tftscmgsmfss







 











，

我们看出(3.14)是(1.1)的特殊形式，且(3.14)中的函数满足定理 2.1 的条件，所以当时，由定理2.1，

我们可以推出





ttt







t的估计式(3.11)。

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