Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 9-13 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.31003 Published Online January 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) Further Improvement of Van der Corput’s Inequality Jing Hong1, Yong Hong2 1College of Biology, Hunan University, Changsha 2College of Mathematics and Computing Science, Guangdong Business College, Guangzhou Email: hongyonggdcc@yeah.net Received: Oct. 10th, 2012; revised: Dec. 2nd, 2012; accepted: Dec. 19th, 2012 Abstract: On the basis of Hu Ke’s result, by reforming the estimate inequality of Euler constant, the im- proved Van der Corput’s inequality is obtained. Our resu lt is:  1 11 11 1 13 elog 4321 n nS k kn nn k ann n      a                 where  is Euler constant, ,  01,2, n an 1 1 n nm Sm    . Keywords: Van der Corput’s Inequality; Euler Constant; Convex Function ; Weighted Mean Inequality Van der Corput不等式的进一步改进 洪 静1，洪 勇2 1湖南大学生物学院，长沙 2广东商学院数学与计算科学学院，广州 Email: hongyonggdcc@yeah.net 收稿日期：2012 年10 月10 日；修回日期：2012 年12 月2日；录用日期：2012 年12 月19 日 摘 要：本文首先改进对 Euler 常数的估计式，在胡克已改进的 Van der Corput不等式的基础上进一步 改进 Van der Corput不等式，得到  1 11 11 1 13 elog 4321 n nS k kn nn k ann n      a                ，其中  是Euler 常数， ，  01,2, n an 1 1 n nm Sm  。 关键词：Van der Corput不等式；Euler 常数；凸函数；加权平均值不等式 1. 引言 设 ，0a n1 1 n nm Sm  ，是 Euler 常数，则有 Van der Corput不等式[1]  lim log k kS   k  1 1 n1 11 1 e1 n S k kn nn k ana            ， (1) 其中 1 e  是最佳的。胡克在文[2]中将它改进为 1 11 11 1 1 elog 4 n nS k k nn k an               n na   ， (2) Copyright © 2013 Hanspub 9 洪静，洪勇  Van der Corput不等式的进一步改进 (该文中误将 1log 4 nn写为 1log 4 n n n )其证明主要依赖于对 Euler 常数的估计式[3]  11 ,1,2, 21 2 n Dn nn     (3) 其中 1 1log n nk Dn k   。 本文将在改进这个估计式的基础上，进一步改进 Van der Corput不等式，得到更加精确的结果。 2. 预备引理 引理 1 设 1 1log n nk D k   n ，  是Euler 常数，则    21 10 21 1112 1 21 22 12 n kk kk nnDn nknk n               12 。 (4) 证明：令   1 log1 log1 1 fx xxx x     ，则   1 1 11 11 1 log 1logloglog 1 1 kk kk ii f kk kkkDD ki i            ， 于是可得   1nkk kn kn DDDf        k。 由于 ，  0fx    3 2 31 0 1 x fx x xx      1  。故   f x是   1,  上的正值下凸函数，由 Hardmard不等式，有   1 11d,, 2 k k fkfkfx xknn       1, 对k求和得到   1 1d 2n kn f nfkfx    x， 故有        1111 dloglog1logd 221 111 1 loglimlog1log dd 21 1 11111 1 loglimlog1logd 21 11 nn kn AA nn A AA n n A n1 1 f kfn fxxxx nn x nxxx x nn x nxxxxx nnx xx           x                                   1 d 1111 1 loglimlog1logdd 21 11 1111 1 loglim log1log 21 11 12111 1log1 21 2121 21 A n AAA nn n A A A k k x nxx xxx nnx x nn n nnA n n nn nnn kn                                      。 Copyright © 2013 Hanspub 10 洪静，洪勇  Van der Corput不等式的进一步改进 另一方面        1 21 1 12 2 2 1 11 21 0 ddlog1 log 11 1 1log 1log 1 22 2 111 11 222 12 12212 k n n k kn kn k kk kk k k fkfx xfx xxxx nnn nkn kn nkn                                               。 结合以上两方面，知(4)成立。 注：利用(4)式，可以得到  333 112211212111 11 222 2424 24 32 nnn Dn nnn nn n              2 2n n ， 由此得到： 2 1 11 log 224 n nk Sn kn n    1 。 (5) 引理 2[4] 若 ，则有 0x  1 1e1 21 x xx 1              。 (6) 引理 3 设 1 1 n nk Sk  ，则   11 113 elog 4321 n nS n nn nS Bnn nS n                 。 (7) 证明：显然 时结论成立，故只需考虑 。因为 1n2n   1 1 1 11 11 n nn nS nS nS n nn nnn nS nS S n BnS nSnS                       n ， 由引理 2，又有    1 11 1 1e1e1 21 121 nn nS S nn nn SS nSnSn                     。 于是，得到  1 11 e1 21 n n S S n Bn             利用(5)，有   2 2 2 2 11 11 1log 1log 11 11 22 1log 24 24 1 22 24 24 11 e1 ee1 21 21 nn nn nnn nn nn n Bn nn                    ， (8) Copyright © 2013 Hanspub 11 洪静，洪勇  Van der Corput不等式的进一步改进 因为 时，有 2n   111 21 2 1 1e 21 nn n           e ， (9)     log 2 log 21 1log1log 1e1 1 2121221 4 nn nnn n nnn            1 log n ， (10) 而且          222 222 2 22 11 111 141 11 11 221 24 41 48 12448 1 224 24 24 2 1 24 22 11 24 24 22 1 1eeee 21 14 1114 1 e1 2 48 148 1 14 114 e1 e1 96 196 1 n nn nnn nn nnn nnnn n nn n nn nnnn nn nn nn   2 e                                     2 1 24 1 e1 81 nnn           ， (11) 由(8)、(9)、(10) 、(11)便得到       11 11 1 11 111 elog 1eloglog 4814814 11log111 elog elog 481321 481321 13 elog 4321 n Bnnnn nn nn nn n nn nn nnnnn nn n                                           。 3. 主要结果与证明 定理 设 ，  01,2, n an 1 1 n nm Sm  ，  是Euler 常数。则有  1 11 11 1 13 elog 4321 n nS k kn nn k ann n      a                ， (12) 其中的常数 1 e  是最佳的。 证明：记 ， 00S  1 11 1 n n nS nS nn n cnSnS        ，利用加权的平均值不等式，有   1 111 1 1 11 n nnnn kS kk kkmm kkm knn n ca caca kSkS mS     ， 于是有   111 1 111 1 11 11 11 111 11 11 nnn n n nnn nn SSS S kkk k kS kkkk kmmmmn nnnmnmnm kkk kk m acac ccacaSc mS m                                k      ， Copyright © 2013 Hanspub 12 洪静，洪勇  Van der Corput不等式的进一步改进 Copyright © 2013 Hanspub 13 又因为   1 1 11 1 11 11 1 n nS k nk nn nmnm nm knn m Sc SS SS nS             1   ， 所以   1 11 11 1 1111 1 1 1 11 1 1 n n nn nS nS nSnS n n k kmmn nn nm nnn kmnn n nS c aca anSa m SnSnSnS                        n a 。 由引理 3便知(12)成立。 显然，(12)式是(2)式的进一步改进。 参考文献 (References) [1] J. G. Ven der Corput. Gene rat io ns of C arl eman’s inequality. Koninklijke, Akademie Van Wetenschappen to Amsterdam, 1936, 39(8). [2] 胡克. 关于 Van der Corput 不等式[J]. 数学杂志, 2003, 23(1): 126-128. [3] 包那. Euler常数与 Euler 公式[J]. 数学的实践与认识, 1988, 18(4): 55-64. [4] B. C. Yang. Note on Hardy’s inequality. Jour nal of M athematical Analysis and Applications, 1999, 234: 717-722.

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