Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 9-13 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.31003 Published Online January 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) Further Improvement of Van der Corput’s Inequality Jing Hong1, Yong Hong2 1College of Biology, Hunan University, Changsha 2College of Mathematics and Computing Science, Guangdong Business College, Guangzhou Email: hongyonggdcc@yeah.net Received: Oct. 10th, 2012; revised: Dec. 2nd, 2012; accepted: Dec. 19th, 2012 Abstract: On the basis of Hu Ke’s result, by reforming the estimate inequality of Euler constant, the im- proved Van der Corput’s inequality is obtained. Our resu lt is: 1 11 11 1 13 elog 4321 n nS k kn nn k ann n a where is Euler constant, , 01,2, n an 1 1 n nm Sm . Keywords: Van der Corput’s Inequality; Euler Constant; Convex Function ; Weighted Mean Inequality Van der Corput不等式的进一步改进 洪 静1,洪 勇2 1湖南大学生物学院,长沙 2广东商学院数学与计算科学学院,广州 Email: hongyonggdcc@yeah.net 收稿日期:2012 年10 月10 日;修回日期:2012 年12 月2日;录用日期:2012 年12 月19 日 摘 要:本文首先改进对 Euler 常数的估计式,在胡克已改进的 Van der Corput不等式的基础上进一步 改进 Van der Corput不等式,得到 1 11 11 1 13 elog 4321 n nS k kn nn k ann n a ,其中 是Euler 常数, , 01,2, n an 1 1 n nm Sm 。 关键词:Van der Corput不等式;Euler 常数;凸函数;加权平均值不等式 1. 引言 设 ,0a n1 1 n nm Sm ,是 Euler 常数,则有 Van der Corput不等式[1] lim log k kS k 1 1 n1 11 1 e1 n S k kn nn k ana , (1) 其中 1 e 是最佳的。胡克在文[2]中将它改进为 1 11 11 1 1 elog 4 n nS k k nn k an n na , (2) Copyright © 2013 Hanspub 9 洪静,洪勇 Van der Corput不等式的进一步改进 (该文中误将 1log 4 nn写为 1log 4 n n n )其证明主要依赖于对 Euler 常数的估计式[3] 11 ,1,2, 21 2 n Dn nn (3) 其中 1 1log n nk Dn k 。 本文将在改进这个估计式的基础上,进一步改进 Van der Corput不等式,得到更加精确的结果。 2. 预备引理 引理 1 设 1 1log n nk D k n , 是Euler 常数,则 21 10 21 1112 1 21 22 12 n kk kk nnDn nknk n 12 。 (4) 证明:令 1 log1 log1 1 fx xxx x ,则 1 1 11 11 1 log 1logloglog 1 1 kk kk ii f kk kkkDD ki i , 于是可得 1nkk kn kn DDDf k。 由于 , 0fx 3 2 31 0 1 x fx x xx 1 。故 f x是 1, 上的正值下凸函数,由 Hardmard不等式,有 1 11d,, 2 k k fkfkfx xknn 1, 对k求和得到 1 1d 2n kn f nfkfx x, 故有 1111 dloglog1logd 221 111 1 loglimlog1log dd 21 1 11111 1 loglimlog1logd 21 11 nn kn AA nn A AA n n A n1 1 f kfn fxxxx nn x nxxx x nn x nxxxxx nnx xx x 1 d 1111 1 loglimlog1logdd 21 11 1111 1 loglim log1log 21 11 12111 1log1 21 2121 21 A n AAA nn n A A A k k x nxx xxx nnx x nn n nnA n n nn nnn kn 。 Copyright © 2013 Hanspub 10 洪静,洪勇 Van der Corput不等式的进一步改进 另一方面 1 21 1 12 2 2 1 11 21 0 ddlog1 log 11 1 1log 1log 1 22 2 111 11 222 12 12212 k n n k kn kn k kk kk k k fkfx xfx xxxx nnn nkn kn nkn 。 结合以上两方面,知(4)成立。 注:利用(4)式,可以得到 333 112211212111 11 222 2424 24 32 nnn Dn nnn nn n 2 2n n , 由此得到: 2 1 11 log 224 n nk Sn kn n 1 。 (5) 引理 2[4] 若 ,则有 0x 1 1e1 21 x xx 1 。 (6) 引理 3 设 1 1 n nk Sk ,则 11 113 elog 4321 n nS n nn nS Bnn nS n 。 (7) 证明:显然 时结论成立,故只需考虑 。因为 1n2n 1 1 1 11 11 n nn nS nS nS n nn nnn nS nS S n BnS nSnS n , 由引理 2,又有 1 11 1 1e1e1 21 121 nn nS S nn nn SS nSnSn 。 于是,得到 1 11 e1 21 n n S S n Bn 利用(5),有 2 2 2 2 11 11 1log 1log 11 11 22 1log 24 24 1 22 24 24 11 e1 ee1 21 21 nn nn nnn nn nn n Bn nn , (8) Copyright © 2013 Hanspub 11 洪静,洪勇 Van der Corput不等式的进一步改进 因为 时,有 2n 111 21 2 1 1e 21 nn n e , (9) log 2 log 21 1log1log 1e1 1 2121221 4 nn nnn n nnn 1 log n , (10) 而且 222 222 2 22 11 111 141 11 11 221 24 41 48 12448 1 224 24 24 2 1 24 22 11 24 24 22 1 1eeee 21 14 1114 1 e1 2 48 148 1 14 114 e1 e1 96 196 1 n nn nnn nn nnn nnnn n nn n nn nnnn nn nn nn 2 e 2 1 24 1 e1 81 nnn , (11) 由(8)、(9)、(10) 、(11)便得到 11 11 1 11 111 elog 1eloglog 4814814 11log111 elog elog 481321 481321 13 elog 4321 n Bnnnn nn nn nn n nn nn nnnnn nn n 。 3. 主要结果与证明 定理 设 , 01,2, n an 1 1 n nm Sm , 是Euler 常数。则有 1 11 11 1 13 elog 4321 n nS k kn nn k ann n a , (12) 其中的常数 1 e 是最佳的。 证明:记 , 00S 1 11 1 n n nS nS nn n cnSnS ,利用加权的平均值不等式,有 1 111 1 1 11 n nnnn kS kk kkmm kkm knn n ca caca kSkS mS , 于是有 111 1 111 1 11 11 11 111 11 11 nnn n n nnn nn SSS S kkk k kS kkkk kmmmmn nnnmnmnm kkk kk m acac ccacaSc mS m k , Copyright © 2013 Hanspub 12 洪静,洪勇 Van der Corput不等式的进一步改进 Copyright © 2013 Hanspub 13 又因为 1 1 11 1 11 11 1 n nS k nk nn nmnm nm knn m Sc SS SS nS 1 , 所以 1 11 11 1 1111 1 1 1 11 1 1 n n nn nS nS nSnS n n k kmmn nn nm nnn kmnn n nS c aca anSa m SnSnSnS n a 。 由引理 3便知(12)成立。 显然,(12)式是(2)式的进一步改进。 参考文献 (References) [1] J. G. Ven der Corput. Gene rat io ns of C arl eman’s inequality. Koninklijke, Akademie Van Wetenschappen to Amsterdam, 1936, 39(8). [2] 胡克. 关于 Van der Corput 不等式[J]. 数学杂志, 2003, 23(1): 126-128. [3] 包那. Euler常数与 Euler 公式[J]. 数学的实践与认识, 1988, 18(4): 55-64. [4] B. C. Yang. Note on Hardy’s inequality. Jour nal of M athematical Analysis and Applications, 1999, 234: 717-722. |