拓扑空间偶范畴中的同伦正则态射 On Homotopy Regular Morphism in the Category of Topological Pairs

doi:10.12677/PM.2013.31004

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Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 14-17

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.31004 Published Online January 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html)

On Homotopy Regular Morphism in the Category of

Topological Pairs*

Youhua Qian#, Lin Ping, Shengmin Chen

College of Mathematics, Physics and Information Engineering, Zhejiang Normal University, Jinhua

Email: #zjjhqyh@yahoo.com

Received: Oct. 19th, 2012; revised: Oct. 29th, 2012; accepted: Nov. 13th, 2012

Abstract: In this paper, the concepts of homotopy monomorphism (epimorphism) and homotopy regular

morphism in the category of topological space with base point





TOP



are generalized to the category of

topological pairs . The paper studies the conditions and properties of homotopy regular morphism

and the relationships between homotopy monomorphism (epimorphism) and homotopy equivalent morphism

in .



TOP



TOP

Keywords: The Category of Topological Pairs; Homotopy Monomorphism (Epimorphism); Homotopy

Regular Morphism; Standard Decomposition

拓扑空间偶范畴中的同伦正则态射*

钱有华#，平麟，陈胜敏

浙江师范大学数理与信息工程学院，金华

Email: #zjjhqyh@yahoo.com

收稿日期：2012 年10月19 日；修回日期：2012 年10 月29 日；录用日期：2012年11 月13 日

摘要：本文将点标拓扑空间范畴



TOP



中的同伦单、同伦满和同伦正则态射等概念推广到拓扑空间

偶范畴的情形。研究了在中，同伦正则态射存在的条件、性质以及它与同伦单(满)态和

同伦等价之间的关系。



TOP



TOP

关键词：拓扑空间偶范畴；同伦单(满)态射；同伦正则态射；标准分解

1. 引言

同伦单态[1-4]、同伦满态[5-7]和同伦正则态射[8-12]是同伦论中的重要概念。拓扑空间偶范畴中的对象是

拓扑空间偶

TOP



A，这里

是拓扑空间

的子空间。在范畴中，从

TOP





A到的态射集，记作



,YB







Map,; ,

AY B，从



A到的态射



,YB











:, ,

XA YB是指 :

XY连续且



AB

。

2. 拓扑空间偶范畴中的同伦单(满)、同伦正则态射

以下总假设

是道路连通的CW 复形。

定义 1( 中的同伦单态射) 中的态射

TOP A

TOP









:, ,

XA YB称为同伦单态射，如果左消去律成立，即

*基金项目：国家自然科学基金资助项目(11202189)和浙江省自然科学基金资助项目(LY12A02002)。

#通讯作者。

钱有华等  拓扑空间偶范畴中的同伦正则态射





,Map,;,

hZCX A

，只要

gfh成立，就有

h。

对偶地，我们给出中同伦满态射的定义。

TOP

定义 2( 中的同伦满态射) 中的态射

TOP A

PTO









:, ,

XA YB称为同伦满态射，如果右消去律成立，即





,Map,;,

hYBZ C

fhf

h。，只要成立，就有

定义 3( 中的同伦正则态射) 中的态射

TOP









:, ,

XA YB称为同伦正则态射，如果存在

TOP

 

:, ,

YB XA的一个同伦





1-逆，把

的所有同伦



-逆记作1





。使得

gf f ，这时

称为





注：1) 显然 



当且仅当为同伦正则态射；2) 若





x，





By，则中的同伦正则态射

即为TO 中的同伦正则态射。

TOP

P

TOP定义 4( 中态射的标准分解) 设









:, ,

YB为中的态射，如果存在

TOP





C和同伦满态射XA

使得 21

ff，则称

有标准分解，记作



,, ,

ZC f





。



1:, ,

XA ZC和同伦单态射







:,ZC YB



称

的标准分解 1





f



为基本唯一是指，假如还存在

的另一组标准分解



,, ,

ZC f

 





，则有同

伦等价 :





使得 11





，22





f。

根据上述定义，我们很容易得到下一定理。

定理 1若

也是同伦正则态射。为同伦等价，则

为同伦等价，即存在态射









:, ,

YB A

使得



，，则



1YB

fg



1XA

gfX

证明：若





1XA

gf f f，即

为同伦正则态射。

因为同胚映射一定是同伦等价，故有下面的推论。

推论 1若

为同伦正则态射。为同胚映射，则

注：定理 1说明在拓扑空间偶范畴中，同伦正则态射弱于同伦等价，也弱于同胚映射。

定理 2[13] 对于







XA YB，若 :

XY和:

AB都是同伦等价，则对任何整数，相对同

调函子的诱导同态







HXA H



YB均为同构。



例1 考虑包含映射







fV RR



，其中是维闭球体，



是维球面。显然1nn

f和



f都是同伦等价，但

不是同伦等价(证明详见文[13])。

由例 1，我们得到下面的推论。





推论 2 存在映射:,

XA YB，使得 :

XY

和:

AB均同伦等价，但







:, ,

XA YB不

是同伦正则态射。

证明：考虑，



,,XA V



1nn

S









R,,YB R0。













:, ,\0

nn nn

fVS RR

为包含映射，则 n

f和

f都是同伦等价，并且对任意













:,\

gRR V0n，有









1nn

fV S



，于是 0gf





。但是

与整数加群同构，可知，于是



HVS





0f

gf f





。故









:, ,

XA YB不是同伦正则态射。



注：推论 2说明同伦等价在限制的意义下无法保证同伦正则性。

3. 主要定理及其证明

定理 3 设







,:,

XA YBTO为中的态射，则下列条件彼此等价：

是同伦正则态射；

有同伦右单位，

有左逆元，即存在









,:,

XA XA和









:, ,hYB XA使得 ,

gfhfg；









,YB



和









:, ,YB XA



使得 ,fff





。 3)

有同伦左单位，

有右逆元，即存在:,YB

证明：我们仅证 1)2)，类似地，我们可以证明 1)3)。

1)2) 设







,:,

XAYB是同伦正则态射，则存在









:, ,YB XA



使得



 。我们令



,:,



A XA，







:, ,hYBXA



，这表明，

有同伦右单位

，

有左逆元； h

2)1) 若

有同伦右单位，及其左逆元，即存在态射









:, ,

XA XA和，使得



:, ,hYB XA



钱有华等  拓扑空间偶范畴中的同伦正则态射

gf ，，则hfg

fg fhf，因此

是一个同伦正则态射。

定理4 设



,:,

XA YBA

TOP在中具有标准分解





,, ,

ZC f







，那么下列条件两两等价：

1) 为同伦正则态射； f

2) 存在态射







:,YBXA，使得



fgf ； 



A，



和，,BB





:,iAA





,XA









:, ,YB BB



，使得 1

i和2

均为同伦等价； 3) 存在 π

同伦左可逆。 4) 同伦右可逆，

为同伦正则态射，则有









:, ,

证明：1)2) 若XA，使得

gf f 。因为









:, ,

XA YB为

中具有标准分解

TOP



,, ,

ZC f



的态射，所以 2121 21

fgf f f f，由于 2

同伦单， 1

同伦满，左消

去2



fgf 

 

:, ,

；，右消去，得到

2)3) 若存在态射

YB XA使得



1。取









AZC

，



，



,,BB ZC





igf



，

fgf



g，则有 11

gffif ，





21 2





ffgf。从而1

iπ和2

均为同伦等价； π

3)4) 设有



A，



及,BB









,A:,A



iA ，X









π:,,YB BB



使得 1

i和2

均为同伦等价，并设其

同伦逆分别为和。则由







111

1ZC

ih 1

f ih1

可知

同伦右可逆，而由

可知



1ZC



hf



f2

ππh同伦左可逆；

同伦左可逆，则存在









:, ,

ZC XA使得



11 ,

fg ，存在

4)1) 同伦右可逆，



2:,



YB ZC



22 ,

gf

，使得。取 1

g，则有 122112 21

gffggfffggff



 





ff，即

gf f

为同伦正则态射。，故

定理5 设



,:,

XA YBA

TOP为中的态射，则

同伦正则态射且为同伦单态射当且仅当

为同伦左可逆； 1)

同伦正则态射且为同伦满态射当且仅当

为同伦右可逆； 2)

既为同伦单态射又为同伦满态射当且仅当为同伦等价。 f3) 同伦正则态射且









:, ,证明：1) 若为同伦正则态射，则有f

YB XA，使得

gf f ，又因为

为同伦单态射，所

以满足左消去律。因此由

gf f 可得，即



,XA



1gf

为同伦左可逆；反之，当

为同伦左可逆时，即

存在态射



 

YBXA



1XA

gf

，使得，所以



gf f，即

是是同伦正则态射。同时，



CTOP

及









, ,



fg

gfh 

hZC XA

，若，则g h

ghgfh ，因此

也是同

伦单态射；







,:,

2) 若

为同伦正则态射，则有 XA，使得

gf f ，又因为

为同伦满态射，所以满足

右消去律。因此由

gf f



1fg 可得，即为同伦右可逆；反之，当



YB f

为同伦右可逆时，即存在态

射





YB XA，使得，所以



1YB

fg

gf f，即

同伦正则态射。同时，



CTOP及





,: ,

hZC XA，若

fhf，则







,YB







fg gghhhfg ，因此

也是同伦

满态射；

3) 若

同伦正则态射且

既为同伦单态射又为同伦满态射，则由1)和2)可知，

为同伦左可逆并且也是同

伦右可逆，所以

是同伦等价。反之，若为同伦等价，则由定义可得既是同伦单、同伦满态射也是同伦正

则态射。

注：定理5给出了同伦正则态射、同伦单(满)态射与同伦左(右)可逆的关系，也告诉我们这样一个事实：虽

然由

为同伦单态射和同伦满态射不能保证是同伦等价，但再加上同伦正则性条件，就可以构成

为同伦等

价的一个充要条件。

同胚一定是同伦等价。一个态射既是单态射又是满态射，但是它不一定是同伦等价。为了保证同伦等价，

我们找到了一个充分条件，即该态射还是同伦正则的。

下面给出中的一个等价关系。

TOP

钱有华等  拓扑空间偶范畴中的同伦正则态射

定义5 设







,: ,,

gXA YB都是同伦正则态射，则~

g当且仅当存在同伦等价使得



:, ,uXA XA



ug 或

uf。

定理6 定义5中给出的关系“~”是





,;,

AY B 上的一个等价关系。

证明：1) 自反性：取



1XA



，即得 ~

f。

2) 对称性：若 ~

g，则存在同伦等价









:, ,uXA XA，有

ug 或者

uf ，于是 ~

f；

3) 传递性：若 ~

g，~

h，则存在同伦等价









:, ,uXA XA使得

ug 或者

uf，且存在同

伦等价使得



:,vXA



,XA



vh或者。 hvg

下面分分四种情形考虑：

情形1 若存在同伦等价







:, ,uXA XA使得

ug ，且存在同伦等价









:, ,vXAXA使得

vh，则



uvf u vgv h，其中









,uv XA:,XA是同伦等价，这表明 ~

h；

情形2 若存在同伦等价







:, ,uXA XA使得

ug ，且存在同伦等价使得

，则



:, ,vXAXA



hv g



uv f  u vgvh



  

，其中









:, ,XA XA



是同伦等价，这表明 ~

h；

情形3 若存在同伦等价







:, ,uXA XA使得

uf，且存在同伦等价使得



:, ,vXAXA



vh，则

 

uv f u vgvh



 ，其中









,XA

1:,uv XA

是同伦等价，这表明~

h；

情形 4 若存在同伦等价使得



:, ,uXA XA



uf，且存在同伦等价









:, ,vXA XA使得

，则hvg



11 1





vu h



 fuvf u



  v gv

 

 ，其中是同伦等价，

这表明



vu





1:,,XA XA

h。证完。

参考文献 (References)

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