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Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 18-30
http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.31005 Published Online January 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html)
The Series of Reciprocals of Binomial Coefficients
Constructing by Splitting Terms
Wanhui Ji, Baoli Hei
Department of Basic, Yinchuan Energy Institute, Yinchuan
Email: jiwanhui2008@163.com
Received: Nov. 17th, 2012; revised: Nov. 29th, 2012; accepted: Dec. 11th, 2012
Abstract: Using one known series, we can structure several new series of reciprocals of binominal coeffi-
cients by splitting items. These denominators of series contains different the multiplication of one to five odd
factors and binominal coefficients. And some identities of series of numbers values of reciprocals of binomi-
nal coefficients are given. The method of split items offered in this paper is a new combinatorial analysis way
and a elementary method to construct new series.
Keywords: Binomial Coefficients; Reciprocals; Split Terms; Series; Form Closed
裂项法导出二项式系数倒数级数
及万会，黑宝骊
银川能源学院基础部，银川
Email: jiwanhui2008@163.com
收稿日期：2012 年11月17 日；修回日期：2012 年11月29 日；录用日期：2012 年12月11 日
摘 要：根据一个已知级数，使用裂项方法得到分母含有 1到5个奇因子的二项式系数倒数级数，所
给出二项式系数倒数级数的和式是封闭形的。并给出二项式系数数倒数值级数恒等式。裂项方法研究
二项式系数变换是组合分析的新手段，也是产生新级数的一个初等方法。
关键词：二项式系数；倒数；裂项；级数；封闭型
1. 引言
二项式系数在数论，图论，统计和概率等数学分支扮演重要角色。二项式系数变换问题在组合数学，解析
数学等学科研究领域极为重要，引起了很多组合专家更多的注意，有大量文献[1-6]。一些作者用各种数学工具得
到一系列二项式系数倒数级数重要结果。简述所列文献主要结果：
文[1]利用白塔伽马函数 给出了有限和：

11
0
11 d
nk
k
nntt
k


  

 t
 

0
11
11 2
r
nn
r
n
nn
r


 



，
 



1
0
2111
2
1221
pn k
k
pn
pn pn
kk pn



 

 
 

m
等，
利用级数

2
2
1
22arcsin
21
m
m
x
x
x
m
x
mm


 


，给出了数值级数：
Copyright © 2013 Hanspub
18
及万会，黑宝骊  裂项法导出二项式系数倒数级数
1
1π3
29
mm
mm





；
1
112π
2393
mm
m





；
2
12
1π
218
mm
mm





等。
文[2]设整数 ，二项式系数倒数数值级数用积分表示并给出递推公式：
2k
 
 

1
1
1
10
ln 111
112 1π3
d2
23
1
ki
i
ik
k
n
ttt ti
k
Sk t
nkk
tt
nn kn


 

 

 


 




；
 

  

1
1
2
10
ln 1111
1112 251
d5ln
22
1
kii
i
nk
ik
k
n
ttt ti
k
Sk t
nkk
tt
nn kn


 

 
 
 


 



1
；

1
Sk与 的递推公式：

2
Sk
 
  
11
2
22 11π3
113
1
k
Sk Sk
kk
k

 1


；
 
 

22
2
22 11255
1l
11
1
k
Sk Sk
kk
k
1
n
2

 

；
初始值

2
1
13 7π3π
2463
S ；

2
2
11 5151
255ln12ln
42
S
2


 


。
文[3]给出非封闭型二项式系数倒数数值级数用反三角函数表示的计算公式

  
 

22 1
2
2
11
2
1
21
22
(A) arctan
2
22
1arcsinsin2 arcsincos2arcsin
2
1;
mk j
k
mj
kj
j
tkk
t
mkkj
j
mmk m
tjtjt
k
kj jj





 

 

  




 







 







22 1
2
2
2
11
22
22
2
1
22
22
2
1
12 122
(B) ln1
2
22
11
2
1l
11
2
1;
2
mkm kj
k
mj
jj
kj
j
jj
kj
j
tkk
tt
mkkj
j
mmk m
tt tt
ktt
kj j
tt tt
k
kj j
 





 
 
 

  



  


 







  


 








n1
文[4]用白塔伽马函数给出二项式系数倒数数值级数和式：

1
2
0
24 41
1221
nk
k
nn n
kk n


 

 

；
Copyright © 2013 Hanspub 19
及万会，黑宝骊  裂项法导出二项式系数倒数级数
 
11
0
1
1
11

2
nkn
k
mn mn
mn
nk m
mn




 

 
 


 

；
1
2
0
42 1
1221
nk
k
nn
kk n







等。
文[5]给出二项式系数倒数数值级数用积分表示


1
120
ln 11d
1
221
m
m
n
ttt

m
mn tt
nmn





 



；


1
120
ln 11d
1
221
m
m
n
n
tt
m
mn tt
nmn


t






 



；



 

11
1
1
1200
ln 11d1ln 11d
1
221 21
1
mm
mmm
m
m
n
ttttttt
mm
mn tt tt
nn mn




 
 
 
 

 



m
t


；




 

11
1
1
1200
ln 11d1ln 11d
1
221 21
1
mm
mmm
n
m
m
n
ttttttt
mm
mn tt tt
nn mn




 
 
 
 

 



m
t


等。
文[6]给出 7个中心型二项式系数倒数序列，设
1
2
4n
n
n
Zn




；
1
2
4n
n
n
Wn
n




;
1
2
2
4n
n
n
Tn
n




；
1
2
4
21
n
n
n
An
n




；
1
2
4
1
n
n
n
Pn
n




；
1
2n
n
4
1
n
n
Mn




；

1
2
2
4
1
n
n
Nn

n
n



。
序列

n
Z
发生函数，

1
211
4arctan
1111
nntt
Zt Gntt t






 t




 
；
序列


n
W发生函数

1
2
4arctan
11
nntt
Wt Gn
nt






 t




；
序列

发生函数

Tn

2
1
2
2
42arctan 1
nnt
Tt Gnt
n







 
 
 

；
序列

n
A
发生函数

1
2
41
arctan
211 1
nntt
At Gn
ntt









 t


P
；
序列

发生函数
n

2
1
2
42 1
arctan arctan
111
nntt
Pt Gn
ntttt

 


 

 


 
 1
t
t


M
；
序列

发生函数
n
 
1
2
422 1arctan2
11
nntt
1
M
tG t
n
nt










t
t



N
；
序列

发生函数
n
 
2
1
2
2
44 1arctan4arctan4
11 1
(1)
nntt t
Nt Gttt
ntt t
n

 


 

 

 
 


。
由上述发生函数易得数值级数恒等式：如在


Tt，


M
t令1t

，在


Z
t令1
2
t

，依次得到
12
2
0
2
4π
2
n
n
n
n
n







；
1
2
2
2
2
4π4
(1)
n
n
n
n
n







；
1
n
n


0
n
n


2π
2
22




等等。
上述文献作者们用各种方法给出不同类型的二项式系数倒数数值级数的计算公式。
Copyright © 2013 Hanspub
20
及万会，黑宝骊  裂项法导出二项式系数倒数级数
文[7]根据一个已知级数用裂项法得到正负相间二项式系数倒数级数封闭型表达式。我们利用文献[8]级数
 


222
22
0
4!
arcsin, 1
21! 1
nn
n
nx
x
nn







x
。通过对这个级数裂项构造出一批新的二项式系数的倒数级数。它们的
分母含有 1到5个奇因子与二项式系数的乘积表达式。所给出的级数和式是封闭型的。若对这个级数继续使用
裂项方法，可以得到分母含有 1到6个，1到7个，……，1到 个奇因子的二项式系数的倒数级数。因此，裂
项法解决了构造分母含有 个因子的二项式系数倒数级数问题，并且所给出的级数公式是封闭型的。由此得出
裂项方法研究二项式系数倒数变换是组合分析的新手段，也是产生新级数的一个初等方法。并给出了一些二项
式系数倒数值级数恒等式。
p
p
2. 主要结论和证明
定理 二项式系数倒数级数如下：
1) 分母含有 1个奇因子二项式系数倒数级数

 

22
1
2
0
! 2arcsin
2!211
m
m
mx x
D
mm xx




 (1)


2
1
2
0
21
2
2
2
3
m
m
xD2
2
x
x
m
m
m



 






 (2)


2
1
42 4
0
2841 84
3
33 39
25
2
m
mm
m
xD2
x
xx
m










x
(3)


2
1
6426 4
0
2168211686
5
5555 1525
227
m
m
xD
xxx
m2
x
m
xx
m










 (4)


2
1
86428 6 4
0
2128 64168 112864488
7
3535353535 10517549
29
2
m
m
xD2
x
xxxx xxx
mm
m



 








 (5)
2) 分母含有 2个奇因子的二项式系数倒数级数


2
1
2
0
21
1
212
23
m
m
xD2
1
x
x
mm
m
m



 







 (6)


2
1
42 4
0
2211 21
3
33 39
12 5
22
m
m
xD2
x
xx
mm
m
m




 




 
x
(7)


2
1
424
0
2451 47
3
33 39
32 5
22
m
m
xD2
x
xx
mm
m
m




 




 
x
(8)

 
2
1
6426 4
0
28411841
25
15 15 15154525
2127
m
m
xD
m2
x
xx xxx
mm
m



 

 



 (9)
Copyright © 2013 Hanspub 21
及万会，黑宝骊  裂项法导出二项式系数倒数级数


2
1
64264
0
242314 2 11
5
5555 1525
23 7
22
m
m
xD2
x
xxx xx
mm
m
m










 (10)

 
2
1
642 64
0
2832 7181623
15
5 15 155 1522
25
2527
m
m
xD
xx
m
x
m
m2
x
xx
m



   






 (11)


2
1
86428 6 4
0
216821 116861
7
3535353535 10517549
21
229
m
m
xD
xxxxx x
m
mm
m
2
x
x



 

 




 (12)


2
1
8642864
0
264328 13164 328 15
7
105 105 10535105315 17549
2329
2
m
mm
xD2
x
xxx xxx
m
mm



  







x
(13)


2
1
8642864
0
232 168229 1321631431
21
3535 105 10535105525441
2529
2
m
m
xD
m
m
2
x
xxx xxx
mm



 








x
(14)


2
1
8642864
0
264 8843 1641366847
35
353573535 1055251225
272
29
m
m
xD2
x
xx xxxxx
m
mm
m



 

 



. (15)
3) 分母含有 3个奇因子的二项式系数倒数级数


2
1
42 4
0
2121 12
3
33 39
21232
25
m
m
xD2
x
xx
m
mm
mm










x
(16)


2
1
6426 4
0
2214121 6
5
15 15 15154525
21
22327
m
m
xD2
x
xx xxx
m
mm
mm



 




 

 (17)


2
1
642 64
0
24721 48113
15
15 151515 15 150
212527
2
m
m
xD2
x
xxxx x
m
m
mmm









 
 (18)


2
1
642 64
0
2213 812338
15
515 1
25552
232527
m
m
xD2
25
x
xxxxx
mmmm
m





 



 (19)


2
1
8642 864
0
284161 84118
7
105 10510535105 105 17549
22 29
213
m
m
xD
x
m
m
2
x
xxxx x
mmm








 
x
(20)

 
2
1
86 428 64
0
242198 1428310
21
353510510535 105525441
21 529
22
m
m
xD2
x
xxx xxx
m
mmm
m




 






x
(21)
Copyright © 2013 Hanspub
22
及万会，黑宝骊  裂项法导出二项式系数倒数级数


2
1
864286 4
0
288112 18 14312
35
3521105105355 15751225
212729
2
m
m
xD2
x
xxxxxx
mm m
m
m



 





 
x
(22)


2
1
864286 4
0
21683734 116916918
21
105 105 105 10510535525 145
2325
229
m
m
xD2
x
xxx xxx
mm
m
mm









 



x
(23)


2
1
8642
0
86 42
23258174 1
35
105 10510535
232 729
32 222382
10563 525 12
2
25
m
m
xD
xxxx
mmm
xx x
m
m
x







 




(24)

 
2
1
86 42
0
864 2
216367121
105
3535 10521
252729
16 7629176
35 105 14011025
2
m
m
xD
xx xx
mmm
xxx
m
m
x







 






(25)
4) 分母含有 4个奇因子的二项式系数倒数级数


2
1
6426 4
0
211111723
15
15 551545 225
2123252
27
m
m
xD2
x
xxx xx
mmm
m
mm



 






 (26)

  
2
1
8642
0
8642
2213131
21
105 10535 105
21232529
2143 31
1053155254 1
2
4
m
m
xD
xxx
mx
mmmm
xxx
m
x









  

(27)

 
2
1
8642
0
86 4 2
24 3111
35
105 35 3521
21232729
4213 47
10571575 122
2
5
m
m
xD
xxxx
mmmm
x
m
xx
m
x







 


 


(28)

 
2
1
8642
0
86 42
2217111
105
35 105735
21252729
2 1310371
35 105157511025
2
m
m
xD
xxxx
mmmm
xx xx
m
m



 







 

(29)


2
1
864 2
0
864 2
2859111
105
10521 35 105
23252729
85973281
105315525 110
2
25
m
m
xD
x
mxxx
mmmm
xxx x
m



  










(30)
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及万会，黑宝骊  裂项法导出二项式系数倒数级数
5) 分母含有 5个奇因子的二项式系数倒数级数

 
2
1
8642
0
86 42
214241
105
105 10535105
2123252729
1258 176
1056315751 5
2
102
m
m
xD
xxx
m
m
x
mmmm m
xx xx











(31)
2.1. 定理证明
文献[8]级数




222
22
0
4! arcsin ,1
21! 1
nn
n
nx xx
nn








。两端对
x
求导数，再乘以 1
x
，得到：



 

22 22
2
00
! 2! 2arcsin
21!2!211
nn
nn
nx nxx
nnn
x
x





 ，整理得(1)式，右端为 。
1
D
1) 对(1)式左端裂项，

 
 

22
22 2
1
00
1! 2
!2 1
2!2122!212 21
n
n
nn
nnx
nx D
nnnn nn





 

 ，令 ，化成， 1nm


 
22
2
1
0
!122
12!2123
m
m
mm xxD
mm m





两端同乘以 2
1
x
，


 
22
1
2 2
0
!2
111
2!23 2123
m
m
mx D
mmmm
xx








1


， (0.1)
对(0.1)式实行下列运算，得到分母含 1个因子，2个因子的二项式系数恒等式。
① (0.1)式所有分式化成部分分式



22
1
22
0
!2
11212
2!2123
m
m
mx D
mmm
xx







1

，化简得(2)式，令(2)式右端
设为 。
3
D
② 在(0.1)式中，由于 已求出，化简得(6)式。
3
D
2) 对(1)式左端裂项




222
2
2
1
0
2!1 2
2
1324!232221221
n
n
nnnx
xD
nnnnnn



 
 
，令 ，化成， 2nm


 
22
4
2
1
0
!2 22 42
2
132!212325
m
m
mm mxx
xD
mm mm



 

，两端同乘以 4
1
x
，


  
22
1
42 4
0
!2
121 111
2!252125
1
2325 212325
3
m
m
mx D
mmmm mm mmm
xx x



 






. (0.2)
对(0.2)式实行下列运算，得到分母含 1个，2个，3个因子的二项式系数恒等式。
① (0.2)式所有分式化成部分分式



22
1
42 4
0
!2
1 23814381
2!212325
3
m
m
mx D
mmmm
xx x



 



.
由于 、已知，化简得到(3)式，并令(3)式右端为 。
1
D3
D5
D
② 在(0.2)式首先将 3个因子的分式化成部分分式，然后对这些 2个因子的分式每次保留 1个，另1个化成
部分分式，得到：
15 11
4
5
23
111
84 8
2
3DDD
x
D
x  4
51
D
x
(A)
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24
及万会，黑宝骊  裂项法导出二项式系数倒数级数
35 11
4
5
23
312
848
4
3DDD
xx
D
x  4
71
D
. (B)
由于、、已知，由(A)、(B)计算得到(7)、(8)式。
1
D3
D5
D
③ 在(0.2)式保留 3个因子的分式，其他分式化成部分分式， 13511
42 4
35
111
2
3
1
4
1
4
2DDD
xx x
DD  ，由
于 、、已知，化简得到(16)式。
1
D3
D5
D
3) 对(1)式左端裂项




2222
2
24
1
0
3!21 2
28
131526!2524 221
n
n
nnnnx
xx D
nnn nn




 

，令 ， 3nm


 
22
6
24
1
0
!2 22 42 62
28
1315 2!21232527
m
m
mmmmxx
xx D
mm mmm




 
，两端同乘以 6
1
x
，得


  
  
 
22
642
0
1
6
!2
12 8111
2!2721272327
315
11
2527 212327 212527
11
23252721232527
1
m
m
mx
mmmm mm
xx x
mm mmm mmm
D
mmmmmmm x




 

1

 



  

 

 



. (0.3)
对(0.3)式实行下列运算，得到分母含 1个，2个，3个，4个因子的二项式系数恒等式。
① (0.3)式所有分式化成部分分式，得到：



22
1
64 26
0
!2
1285 163 163 165 161
2! 21232527
315
m
m
mx D
mmmmm
xx xx



 




由于、、化简得到(4)式，并令(4)式右端为。
1
D3
D5
D7
D
② 在(0.3)式保留 2个因子的分式，其他分式成部分分式，然后对 2个因子的分式每次保留 1个，其余化成
部分分式得到：
17131
657
42 6
73323
48 161648
12 81
315 D
xx xx
DDDDD   (A)
1
64 37 1 357
26
51 3 9
1
1
6161
28 1
315 648
DDD x
D
xx D
x  D (B)
57 1 31
657
42 6
53513
16 161616
12 81
315 D
xx xx
DDDDD  (C)
由于、、、已知，由(A)、(B)、(C)计算得出(9)、(10)、(11)式。
1
D3
D5
D7
D
③ 在(0.3)式保留 3个因子的分式，其他分式项化成部分分式，然后对 3个因子的分式每次保留 1个，其余
化成部分分式得到：
13713 5
4 6
7
62
11 53 1312 81
348 18
561 4
16
DD
xx DD
x
D
xD1
(A)
15713 5
4 6
7
62
13 35111281
348 18
561 4
16
DD
xx DD
x
D
xD1
(B)
357 1 3 5 71
64 26
5173
16 1616
128
516
1
31 D
xx DDDD
xx
D  
(C)
由于、、、已知，由(A)、(B)、(C)计算得出(17)、(18)、(19)式。
1
D3
D5
D7
D
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④ 在(0.3)式保留 4个因子的分式，其他分式项化成部分分式，得到：
13571 3 5 71
64 26
7111
24 4 8
12 81
315 3
DDDD
xx xx
D D
由于、、、已知，计算得出(26)式。
1
D3
D5
D7
D
4) 对(1)式左端裂项




2222 2
2
246
1
0
4!3212
2816
13 15 3528!272625221
n
n
nnnnnx
xx xD
nnnnnn




 

，令
，4nm


 
22
8
246
1
0
!222426282
2816
131535 2!2123252729
m
m
mmmmmxx
xx xD
mm mmmm





两端同乘以 8
1
x
，得：


  
 
  
   
 
22
86 42
0
!2
12 8 16111
2!2921292329
31535
111
2729 212329 212529
111
212729 232529232729
11
25272921232529
11
21232729 2
m
m
mx
mmmm mm
xx xx
mm mmm mmm
mm mmmmmmm
mmm mmmm
mmm mm



 
 



 

 

 

 


  

1
8
12 52 72 9
11
232527292123252729
mmm
D
mmmmmmmmm x


 
1

. (0.4)
对(0.4)式实行下列运算，得到分母含 1个、2个、3个、4个、5个因子的二项式系数恒等式。
① 对(0.4)式所有分式化成部分分式，得到：



22
1
86 428
0
!2
1281635128 532964532351281
2! 2123252729
31535
m
m
mx D
mmmmmm
xx xxx



 



，
由于、、、已知，计算得到(5)式。并令(5)式右端为。
1
D3
D5
D7
D9
D
② 在(0.4)式保留 2个因子的分式，其他分式化成部分分式。然后对这些 2个因子的分式每次保留 1个，其
余化成部分分式，得到：
1
86 19 1 38
7
459
2
19 59551
32 32
12 8 1
64 3
61
315 22
35 18 D
xx xxDDD D
x
DD   (A)
391 351
86 49
278
35195169
1
12 8 161
28 96643238
15 354
3D
xx xxDDD D
x
DD   (B)
591 3 51
86 428
79
3557567
128 3264
12816 1
332 28
15 1
53 D
xx xx
DD
x
DDDD   (C)
791 3 51
86 49
278
355911 99
1
12 8 161
28 32643212
15 358
3D
xx xxDDDD
x
DD   (D)
由于、、、、D9已知由(A)、(B)、(C)、(D)计算得出(12)~( 15)式。
1
D3
D5
D7
D
③ 在(0.4)式保留 3个因子的分式，其他分式化成部分分式.然后对这些 3个因子的分式每次保留 1个，其余
化成部分分式，得到：
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及万会，黑宝骊  裂项法导出二项式系数倒数级数
1391 351
86 428
79
27 239597
128 9664
12 8 161
32 3
31535 84 D
xx xxx
DDDDDD   (A)
1591 351
86 428
79
31513531
128 3264
12 8 161
31535 32 128D
xx xxx
DDDDDD   (B)
17913 51
86 428
79
975923 27
384326
12 8 161
31535 496 128
DDDD
xx xxDx
D D
(C)
3591 351
86 428
79
357 17589
128 9664
12 8 161
31535 32 384D
xx xxx
DDDDDD   (D)
3791 3 51
86 428
79
35 119973
128 9664
12 8 161
32 3
31535 84 D
xx xxx
DDDDDD   (E)
5791 351
86 428
79
355113 19
128 326
12 8 161
31535 432128
DDDD
xx xxDx
D D
(F)
由于、 、 、 、D9已知，由(A)、(B)、(C)、(D)、(E)、(F)计算得出(20)~(25)式。
1
D3
D5
D7
D
④ 在(0.4)式保留 4个因子的分式，其他分式化成部分分式。然后对这些 4个因子的分式每次保留 1个，其
余化成部分分式，得到：
13591 351
86 4278
9
33 1975107
128 966
12
4323
816 1
184
3535
DDDDD
xx xxx
D  D
(A)
1379131
86 4257 9
8
101 17913109
384 9664
12 8 161
96 38
31 34
55
DDDD
xD
xD
xx x
 D
(B)
157913 51
86 4278
9
103511 1137
384 326
12 8 161
3153 96
54128D
xx xDD D
xDx
DD   (C)
357913 5 791
86 428
3513 133113
128 9
12 8 161
3153 6643
52384D
xx xDDDDDD
xx
  (D)
由于、 、 、 、D9已知，由(A)、(B)、(C)、(D)计算得到(27)~(30)式。
1
D3
D5
D7
D
⑤ 在(0.4)式，保留 5个因子的分式，其他分式化成部分分式。
1
86 42
1357913 58
79
13 1 1113
4
12 8 161
386
15 358648
DDDD D
xx DD
xx
 
x
由于、 、 、 、D9已知，计算得到(31)式。定理证毕。
1
D3
D5
D7
D
2.2. 结语
1) 定理证明过程是：通过逐次裂项，产生含有 1个，2个，3个，4个，5个因子的分式，将它们化成部分
分式，通过一定程序将这些分式转化成分母含有 1个，2个，3个，4个，5个因子的二项式系数倒数级数封闭
型公式。如果继续裂项可以到分母含有 1到6个因子，1到7个因子，，1到p的二项式系数倒数级数。所
得级数封闭型公式的个数为个。因此，裂项法解决了构造分母含有 个因子的二项式系数
倒数级数问题，并且所给出的级数公式是封闭型的。
67
21,21,,21
p
 p
2) 裂项法得出的是(函数)级数。所给公式，若令1111
,,,,
234
2
x。可给出一系列二项式系数倒数数值级
数恒等式。而参考文献中用积分形式表示的级数，用反三角函数表示的级数显然不是封闭型的。用积分递推公
式得出的级数，发生函数得出的级数也仅是数值级数。
3) 裂项法产生新的级数不仅适用于中心型(central binomial coefficients)二项式系数倒数级数，也适用非中心
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型二项式系数级数。不仅可选用已知级数进行裂项，也可根据需要构造一个级数对其进行裂项，因此裂项法在
级数变换方面有着较广泛应用。
3. 一些数值级数
在定理公式(1)~(15)中令 12x和12x，分别有
推伦 1 分子为1分母含有奇因子二项式系数倒数级数封闭型恒等式
1)

0
2π3
2
1
21 9
mmm
m







；
2)

0
1
23
14 π38
29
mm
mm








；
3)

0
74 π31
2
400
299
5
mm
mm







；
4)

0
1774 π3 16072
245 7
75
1
2
mm
m
m








；
5)

0
56758π3 3602528
2
1
315 675
29 3
mm
m
m










；
6)

0
1
2123
2π34
23
mmm
m
m


 





；
7)

0
100
2π3
1
29
2125
mmm
m
m








；
8)

0
1
2325
10 π3164
239
mm
mmm










；
9)

0
1
21
98
2
π3 8036
2152
725
mmm
m
m




 




；
10)

0
1
23
14
2
2π3 3868
15 5
7
27
mmm
m
m




 




；
11)
 
0
1
25
78
2
π3 19108
252
725
mmm
m
m




 




；
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及万会，黑宝骊  裂项法导出二项式系数倒数级数
12)

0
1
2129
2362 π3 450316
2105 3675
mmm
m
m


 


 
；
13)

0
1
2329
1042 π3 1786564
235 11025
mm
mmm


 




；
14)

0
1
2529
4514 π3 2579396
2105 11025
mm
mmm


 




；
15)

0
1
272
1478π35
9
6300
221 147
mmmm
m







 
；
推伦 2 分子为 ，分母含有奇因子二项式系数倒数级数封闭型恒等式 2m
1)

0
2
2
21
π
2
m
mm
m
m







；
2)

0
3π4
222
2
3
m
m
mm
m








；
3)

0
23π104
26
59
2
2
m
mm
mm








；
4)

0
91π2116
26
2
275
7
m
mmm
m








；
5)

0
2 1451π238192
27
29 03675
m
mm
mm







；
6)

0
2π2
2
2123
2
m
mm
mmm


 




；
7)

0
25
2
π8
63
2125
m
mmm
m
m










；
8)

0
27
2
π34
69
2325
m
mmm
m
m









；

0
243π1056
30 225
212
27
m
mmm
m
m







； 9)
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30

0
219π34
10 5
232
27
m
mm
m
mm


 





10) ；
 
0
279π1874
30 225
252
27
m
mmm
m
m








11) ；

0
2177π29774
70 3675
2129
2
m
mmm
m
m


 





12) ；

0
2 673π36782
210 3675
232
29
m
mmm
m
m


 




； 13)

0
2809π163174
210 11025
252
29
m
mmm
m
m


 





14) ；

0
2407π67254
70 3675
2729
2
m
mmm
m
m


 




。 15)
参考文献 (References)
[1] B. Sury, T. N. Wang and F.-Z. Zhao. Some identities involving of binomial coefficients. Journal of Integer Sequences, 2004, 7: Article ID:
04.2.8.
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Binomial coefficient. Journal of Integer Sequences, 2007, 10: Article ID: 07.2.1.
series involving inverses of binomial coefficients. Fibonacci Quarterly, 2000, 38(1): 79-84.
, 2006,
[3] S. Amghibech. On sum involving
[4] T. Trif. Combinatorial sums and
[5] F.-Z. Zhao, T. Wang. Some results for sums of the inverses of binomial coefficients, integers. The Electronic Journal of Combinatorial Number
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6: A27.
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