一类新的脉冲积分不等式及其应用 A Class of New Impulsive Integral Inequality and Its Application

doi:10.12677/PM.2013.31007

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Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 41-45

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.31007 Published Online January 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html)

A Class of New Impulsive Integral Inequality and Its

Application*

Zizun Li, Yong Huang

Department of Mathematics and Computer Science, Baise University, Baise

Email: zzlqfnu@qq.com, huangyong861@sohu.com

Received: Nov. 21st, 2012; revised: Dec. 6th, 2012; accepted: Dec. 25th, 2012

Abstract: In this paper, we establish a class of new integro-sum inequality for discontinuous function, and the

left hand of the inequality is a nonlinear factor of unknown function , and the sum-ter m of the right hand of the

inequality for the unknown function is also a nonlinear factor. We obtain the estimation of bound of the un-

known function. Finally, we apply our result to present estimation of the solution of impulsive differential

equation.

Keywords: Impulsive Integral Inequality; Impulsive Differential Equation; Estimation of Solution

一类新的脉冲积分不等式及其应用*

李自尊，黄勇

百色学院数学与计算机信息工程系，百色

Email: zzlqfnu@qq.com, huangyong861@sohu.com

收稿日期：2012 年11 月21 日；修回日期：2012 年12 月6日；录用日期：2012 年12 月25 日

摘要：本文建立了一类新的非连续函数积分和不等式，其不等式左端为未知函数的非线性因子，右

端和项中也为未知函数的非线性因子。我们给出了未知函数的界的估计。最后，我们用求得的结果给

出了脉冲微分方程解的估计。

关键词：脉冲积分不等式；脉冲微分方程；解的估计

1. 引言

众所周知，著名的 Gronwall-Bellman-Bihari 型不等式和它们的各种推广形式，已成为研究微分方程与积分

方程解的存在性、唯一性、有界性和其它定性性质的重要工具，例如近期工作有[1-8]。对非连续函数主要研究

具有脉冲扰动的微分方程，积分方程和泛函微分方程解的定性性质，例如解的有界性，吸引性，Lyapunov 稳定

性等。由于某些实际应用方面的需要，许多新的非连续函数积分不等式已经建立，这方面的工作见[9-16]。

对研究某些具有脉冲的积分方程的定性分析，早期的不等式对上界的估计有一些不足之处，所以有必要寻

求一些新的积分和不等式来达到结果的多样性，以及作为研究积分方程的工具。本文，我们建立了一类新的非

连续函数积分和不等式，研究了不等式左端为未知函数的非线性项的类型。并给出未知函数的上界估计。我们

的结果可作为研究某些积分方程定性理论的重要工具。

2. 主要结果

*基金项目：资助广西自然科学基金项目(2012GXNSFAA053009)；广西教育厅科研项目(201204LX423, 200911MS223)；百色学院一般科研项

目(2011KB08)；百色学院教改项目(2012JG09, 2010JG13)。

李自尊，黄勇  一类新的脉冲积分不等式及其应用

本文主要研究了具有下面形式的脉冲积分不等式



 



tttt

utcf sussuttt





 



,， (2.1)

和



 









tttt

utcf swussuttt





 



,， (2.2)

其中：，

01 ,tti

lim i

  0,



1, 2,i，是常数。在本文中， R表示全体实数的集合，令





:0,R



，

函数对的导数记为



zt t





zt 。

我们对不等式(2.1)，(2.2)中的函数做如下假设：





是上严格增的连续函数，在R







上取正值，并且满足





lim







；





0c为常数；





是



的非递减的函数，并且满足







,,tt 









，





0,tt



，；





0



w是上不减的连续函数； R







t是



上的非负连续函数；



0,t



ut是



上只有第一类不连续点



0,t





012

:,lim

ttt tt

 i



 的非负逐段连续函数。

定理 1. 假设非负逐段连续函数





ut满足积分和不等式(2.1)，则下面的估计式成立：

 











11 1

d,, ,

utGf ssttt









i



(2.3)







tfs s DomG





.

其中：

 

Gt t



0





, (2.4)

 

:,1,2,,

Gti t







0

(2.5)











:1d ,1,2,,

iii

cGfssi





 

tt

. (2.6)

G表示函数的逆函数，

G0,1,2,i



。

证明：考虑，则不等式(2.1)变成





,ttt



 



utcf suss









. (2.7)

令







表示不等式(2.7)的右边，即

 



tcfsu s





s



， (2.8)

则是单调不减函数，满足，且























ut t





. (2.9)

(2.8)的两边关于求导，并利用关系式(2.9)和假设

可得

 





 









 





tftutftt ftt





 





(2.10)

李自尊，黄勇  一类新的脉冲积分不等式及其应用

由(2.10)可得











, (2.11)

改变(2.11)中的变量，令

t，然后两边关于

从到积分，我们得到

t t















由的定义(2.4)可得



000 d

GtGt fs





s,

即为

 





tG fss





. (2.12)

由(2.9)和(2.12)我们可得定理的估计式(2.3)。

当时，则不等式(2.1)变成





,ttt



 



 



 



utcf sussut

cfsussfsuss ut





 

 



 0.

(2.13)

令表示(2.13)的右边，则是单调不减函数，且由



t



t





,ttt的估计式可得



 



 







11 11

010

10 01

1d,,.

uttcf sussut

GfssGfss

Gfssttt









 



 











(2.14)



t两边关于求导，并利用和假设t

 



ut t





 3

可得













, (2.15)

改变(2.15)中的变量，令

t，然后两边关于

从到 t积分可得

















由的定义(2.5)我们得



111 d

GtGt fs 

s, (2.16)

由(2.5)以及 (2.6)、(2.14)和(2.16)我们推出

 





tG fss



 , (2.17)

则我们利用关系式

 





ut t





和(2.17)可得

 











111

uttGf ss





 .

李自尊，黄勇  一类新的脉冲积分不等式及其应用

同理，对任意自然数，当时，我们可以得到未知函数的估计式





ttt





 













11 1

(d,,

utGf ssttt









k

综上定理被证明。

定理 2. 假设非负逐段连续函数满足积分和不等式(2.2)，则下面的估计式成立：



 







11 1

d, ,

utWf ssttt









i









tfs s DomG





.

其中：

 



Wt t







0

 



:,1,2,

Wtit







,0

,









:1d ,1,2,,

iii

cWfssi





 

tt

W表示函数的逆函数，。

W0,1,2,i

证明：作适当的改变，定理2的证明和定理1类似，这里不给出详细证明过程。

3. 脉冲微分方程解的估计

考虑下列脉冲微分系统





d,,

txtt





,





tt i



 , (3.18)













其中：，0c2

R，2

R，



xR





1, 2,i，01



，lim i





，



是上连续的严格增函数，

且在上取正值，

R



0,





，当时，

t





t



。

假设





tx和



x的定义域为





10,

,:, ,RtxttTT xM





 ，且满足下面的条件：













txf tx



, (3.19)











x, (3.20)

其中：



t是



上的非负连续函数，



0,t0



为常数。

推论 1. 满足条件(3.19)和(3.20)的脉冲微分系统(3.18)的所有解





t有估计式

 













11 1

d, ,

tii

tGfssttt











, (3.21)







tfs s DomG





.

其中：

 

Gt t



0





,

李自尊，黄勇  一类新的脉冲积分不等式及其应用

 

:,1,2,

Gti t







0











:1d ,1,2,,

iii

cGfssi





 

tt

G表示的逆函数，。

G0,1,2,i

证明：脉冲微分系统(3.18)等价于积分方程



,d 0,

tttt

tFsxsIxtt









t. (3.22)

利用条件(3.19)和(3.20)，由(3.22)我们可得







 







tttt

txtcfsxssxt t

 



 



t, (3.23)

令

 

ut xt，则(3.23)可以写为



 



tttt

utcf sussuttt





 



,, (3.24)

我们可以看出积分和不等式(3.24)具有(2.1)的形式，且积分和不等式(3.24)中的函数满足定理 1的条件，由定理 1

我们可以推出估计式(3.21)，推论得证。

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