 Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 46-50 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.31008 Published Online January 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) The Littlewood-Paley Function Associated to Self-Adjoint Operators on Variable Exponent Spaces* Ruming Gong1,2, Peizhu Xie1,2# 1School of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangzhou 2Key Laboratory of Mathematics and Interdisciplinary Sciences of Guangdong Higher Education Institutes, Guangzhou University, Guangzhou Email: gongruming@163.com, #xiepeizhu82@163.com Received: Nov. 26th, 2012; revised: Dec. 12th, 2012; accepted: Dec. 21st, 2012 Abstract: In this article, we prove norm inequalities for the Littlewood-Paley function associated to a non- negative self-adjoint operator satisfying a pointwise Gaussian estimate for its heat kernel on generalized p L spaces with variable exponent. Keywords: Littlewood-Paley Function; Self-Adjoint Operators; Variable Exponent Spaces 变指数空间上的与自伴算子相联的 Littlewood-Paley 函数* 龚汝明 1,2，谢佩珠 1,2# 1广州大学数学与信息科学学院，广州 2广州大学数学与交叉科学广东普通高校重点实验室，广州 Email: gongruming@163.com, #xiepeizhu82@163.com 收稿日期：2012 年11 月26 日；修回日期：2012 年12 月12 日；录用日期：2012 年12 月21 日 摘 要：本文研究了与非负自伴且热核满足 Gaussian 上界的算子相联系的 Littlewood-Paley 函数在一般 的变指数 空间上的有界性。 p L 关键词：Littlewood-Paley 函数；自伴算子；变指数空间 1. 引言 对给定的可测函数 ，变指数Lebesgue空间 :1, n pR pn LR 表示为由满足以下条件的 上的可测函数 所组成的空间 n R f d, n px R fx x 其中 0 。定义 的范数为 f inf0: d1, pn px LR fx fx *资助信息：国家自然科学基金数学天元基金资助(No. 11226100)。 #通讯作者。 Copyright © 2013 Hanspub 46  龚汝明，谢佩珠 变指数空间上的与自伴算子相联的 Littlewood-Paley函数 则是一个 Banach 空间。若 是一个常数，则 pn LR px p pn LR 就是 p n LR。 与经典的 pn LR p L空间 有很多共同之处。变指数 p L空间在 PDE 中有着广泛的应用，见[1,2]。在应用过程中，经典算子在变指数 p L空 间上的有界性起着至关重要的作用。许多学者研究了极大函数、奇异积分算子及分数次积分算子在变指数 p L空 间上有界的充分条件，见[1,3-8]。在本文中，我们研究与非负自伴且热核满足 Gaussian 上界的算子相联系的 Littlewood-Paley 函数在变指数 p L空间上的有界性。 假设算子 是上的非负自伴算子，且其生成的半群 L 2n LR etL 的核 , t pxy满足Gaussian上界 2 2 ,exp tn xy C pxy ct t , (1) 对所有的 及 0t,n x yR，其中和 是正的常数。 Cc 对 n f R，定义 Littlewood-Paley 面积函数 L S为 212 2 2 1 dd e tL Ln xyt yt SfxtLfyt . (2) 有关 L S在 p n LR空间上的有界性，见[9-11]。 Hardy-Littlewood极大函数 M f定义为 : 1 sup d B BxB M fxfy y B ，其中上确界取遍所有包含 x 的球。 Fefferman-Stein的#极大函数 # M fx定义为 # : 1 supd , B B BxB M fxfyf y B 其中 1d BB f xx B 。我们称一个非负局部可积的函数 为权函数。若存在常数 使得对所有的球 有 wCB 1 1 11 dd p p BB wxw xC BB , 其中11 ，则称 。当1pp n 1p ,1 p wARp 时，若存在常数 使得对所有的球 有CB 1d Bwy Cwx B 几乎处处成立，则称 。记 1 wA p n 1p n A R AR 。有关上述的定义，见[12]。 下面给出几个有用的结果。 引理1.1 设 是一个偶函数且 0 CR supp 1,1 。记 为 的Fourier变换。则对任意的 ， 0,1,2,k 及所有的 ，算子0t 2 tLt L k的核 2, k tLt L K xy 满足： 2 supp ,,: knn tLt L K xyxyRRx yt (3) 及 2, kn tLt L K xy Ct (4) 其中 ,n x yR。 关于该引理的证明，见[11]。 记 为满足以下条件的可测函数 n R :1, n pR所组成的集合 ess inf:1, ess sup:. nn ppxxRppxxR 记 为满足以下条件的可测函数 0n R :1, n pR所组成的集合 Copyright © 2013 Hanspub 47  龚汝明，谢佩珠 变指数空间上的与自伴算子相联的 Littlewood-Paley函数 ess inf:0, ess sup:. nn ppxxRppxxR 记 为使得 n R M 在 上有界的 pn LR n pR 所组成的集合。 令 表示由非负可测函数对 , f g所组成的集合。不等式 0 d nn p RR 0 d p f x wxxC gx wxx (5) 对任意的及成立是指常数 仅依赖于及 的 ,fgq wAC0 pwq A 权常数。 引理1.2 对给定的集合 ，假设存在某个00 ,1pp ，使得对所有的 0 p wA 有 00 0 dd, nn pp RR fx wxxCgx wxxfg ,. R (6) 若，存在 使得 0n p0 pp 0n pp R 。则对所有的 ,fg ，只要 pn f LR ，就有 p L fCg p L (7) 关于该引理的证明，见[4]。 2. 主要结果及证明 本文的主要结果是如下的定理： 定理2.1 设且设 是一个非负自伴算子且热核满足Gaussian上界(1)。则对任意的 n p RL p f L ， p L Sf L ，有 p LL SfCf p L . (8) 为了证明定理2.1，我们需要如下的辅助函数。设 0 CR 是一个偶函数且 ，d1x supp110,110 。 记 为 的Fourier变换，且令 223n s s s。定义算子, g 为 1 12 2 ,1 dd ,1 n n n R ty gfx tLfy txy t . t (9) 命题2.2 设是一个非负自伴算子且热核满足条件(1)。则存在常数 使得对所有的LC n f R，有以下的 逐点估计： ,. L SfxCgf x (10) 关于该命题的证明，见[11]。 利用命题 2.2，为了证明定理 2.1，只需证明如下结论即可。 定理2.3 设且设 是一个非负自伴算子且热核满足Gaussian上界(1)。设 n p RL3 。则对任意的 p f L , , p g fL ，有 ,p pL L gf Cf . (11) 证明 我们首先来证明若 3 ，则对任意的 01 ，都存在常数 使得 C #,. M gfxCMfx (12) 记 ,: ,0 B TByty Btr，其中 B r表示球 的半径。若B , y tTB，由引理1.1的(4)可得 3. B tLfytL fy (13) 设3 及01 。为了证明(12)，我们只需证明对任意包含 x 的球 及某个数B B c有 Copyright © 2013 Hanspub 48  龚汝明，谢佩珠 变指数空间上的与自伴算子相联的 Littlewood-Paley函数 1 , 1d. B B g fzc zCMfx B 给定一个包含 x 的球 。记。对任意的B 10, nn RR zB ，将 2 , g fz 分解为以下两式之和： 2 11 2 dd n n TB ty IztLfy tzy t t 及 1 2 21 2 dd. n n n RTB ty IztLfy tzy t t 选取 12 2 BB cIz，其中 B z为 的球心。因为当B01 s 时， s s ab ab s 。所以， 2 12 12 12 ,2122122 2 2 122 . BB B gfz IzIzIzIzIzIzIz IzIzIz B 由此可得 11 1 2 22 ,2122 1 111 dd d B B BBB 2 :. g fzIz zIzzIzIz zIIII BBB 众所周知，若 3 ，则, g 是弱(1,1)的(见[11])。所以， 1 1 61 11 6 6 1 1 ,6 ,6 00 1 6 11 6 0 d: dmin, dd BL BL BL BB B fBL tfBL t fd . g fzztzBgfzttC Bt t f BttCttCfB t t 由此以及式(13)可得 1 1,6 6 1dd B BB C. I Igfzz fzzCMf BB x (14) 另外，由均值定理可知，若 且zB ,2 y tTB，则存在 01 s 使得 . nn s BB tzytz yCrtzy ns 因此，联合式(13)，引理 1.1，Holder不等式及 3 可得 1 1 1 1 2 22 1 2 2 1 22 1 2 2 31 02 62 1 2 162 1 1d 1d 22 1dd d 22 11 d 22 n kk B kB kk B k ns sn BB n RTB nn TBTB sk k k r nnn BB sk k k sk kB k yt Iz IzCrttLfytzy t yt CtL t r yt Cf t r Cfyy B 2 CMfx d d n fy yy Copyright © 2013 Hanspub 49  龚汝明，谢佩珠 变指数空间上的与自伴算子相联的 Littlewood-Paley函数 Copyright © 2013 Hanspub 50 对所有的 都成立。由此以及式(14)可知 zB 1 2 ,2 1d. B B g fz IzzCMfx B 式(12)得证。对任意的1及 p p wA，由(12)可得 ,. p p L w Lw gf Cf (15) 由式(15)及引理1.2可知定理2.3的结论成 立。 利用定理 2.3 及命题 2.2，我们可以得到定理 2.1的结论。 参考文献 (References) [1] L. Diening. Maximal functions on generalized px L spaces. Mathematical Inequalities and Applications, 2004, 7(2): 245-253. [2] D. Edmunds and J. Rakosnik. Sobolev embeddings with variable exponent. Studia Mathematica, 2000, 143(3): 267-293. [3] D. Cruz-Uribe, A. Fiorenza and C. Neugebauer. The maximal function on variable p L spaces. Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ Mathematica, 2003, 28(1): 223-238. [4] D. Cruz-Uribe, A. Fiorenza, J. Martell, et al. The boundedness of classical operators on variable p L spaces. Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ Mathematica, 2006, 31(1): 239-264. [5] L. Diening. Riesz potentials and Sobolev embeddings on generalized Lebesgue and Sobolev spaces px L and ,kpx W. Mathematische Nachrichten, 2004, 268(1): 31-43. [6] A. Karlovich, A. Lerner. Commutators of singular integrals on generalized p L spaces with variable exponen. Publicacions Matemàtiques, 2005, 49(1): 111-125. [7] V. Kokilashvili, S. Samko. Singular integrals in weighted Lebesgue spaces with variable exponent. Georgian Mathematical Journal, 2003, 10(1): 145-156. [8] A. Nekvinda. Hardy-Littlewood maximal operator on px n L R. Mathematical Inequalities and Applications, 2004, 7(2): 255-265. [9] P. Auscher. On necessary and sufficient conditions for p L -estimates of Riesz transforms associated to elliptic operators on R and related estimates. Memoirs of the American Mathematical Society, 2007, 186(871). [10] T. Coulhon, X. Duong and X. Li. Littlewood-Paley-Stein functions on complete Riemannian manifolds for 12p. Studia Mathematica, 2003, 154(1): 37-57. [11] R. Gong, P. Xie. Weighted p L estimates for the area integral associated to self-adjoint operators on homogeneous space. Journal of Mathe- matical Analysis and Applications, 2012, 393(2): 590-604. [12] E. Stein. Harmonic analysis: Real variable methods, orthogonality and oscillatory integrals. Princeton: Princeton University Press, 1993. |