Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 56-67 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.31010 Published Online January 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) Area Integral Operator on the Real Unit Ball* Dongfang Wang1,2, Bolin Ma2, Dangui Shen2 1College of Mathematics and Econometrics, Hunan University, Changsha 2College of Mathematics Physics and Information Engineering, Jiaxing University, Jiaxing Email: eastking001@126.com, blma@mail.zjxu.edu.cn Received: Oct. 14th, 2012; revised: Oct. 24th, 2012; accepted: Nov. 11th, 2012 Abstract: In this paper, we introduce Carleson measures on the real unit ball in terms of Carleson boxes or tents, and establish relations among the non-tangential maximal function, Poisson integral and Carleson measures on the real unit ball. As an application, we introduce a certain area integral operator involving a nonnegative measure  on the unit ball and characterize the measure in terms of Carleson measure and other forms such that A  maps from p L to or from q L p H to . q L Keywords: Area Integral Operator; Carleson Measure; The Unit Ball; The Unit Sphere 实单位球上的面积积分算子* 王东方 1,2，马柏林 2，沈丹桂 2 1湖南大学数学与计量经济学院，长沙 2嘉兴学院数理与信息工程学院，嘉兴 Email: eastking001@126.com, blma@mail.zjxu.edu.cn 收稿日期：2012 年10 月14 日；修回日期：2012 年10 月24 日；录用日期：2012 年11 月11 日 摘 要：本文通过 Carleson bo xes或者 Tents 的方式定义了实单位球上的 Carleson测度，并建立了单位 球上非切极大函数、Poisson 积分和 Carleson 测度之间的联系。作为一个应用，我们引入一种与 1n R  中 单位球体上非负测度  相关的面积积分算子 A  ，并用 Carleson 测度和其他方式刻画了这种使得 A  从 p L到 或从 q L p H 到 有界的非负测度 q L  。 关键词：面积积分算子；Carleson 测度；单位球；单位球面 1. 引言 记复平面中的单位圆盘为 ，为它的边界。对于任意DDD   ，集合    2 :1zD zz   表示 上一个以 D  为顶点的锥。 当0  时，面积积分算子       12 2 2 2 d 1, 1 Az A fzDfz z            D  是从  p H D到 有界的算子，  p LD  d A 是上的 Lebesgue 测度，见[1]。但 当 D0   时，此结论不成立，为此， *资助信息：本文得到浙江自然基金(y6100810, y6110824)和国家自然基金(11271162)的资助。 Copyright © 2013 Hanspub 56 王东方 等  实单位球上的面积积分算子 Cohn 在[2]中引入了一类广义面积积分算子 G  ，即：      d, 1 z Gf fzD z      ，  并得到一个主要结果： G  从  p H D到 有界当且仅当  D  p L  是上的一个 Carleson 测度，其中D0p  。 在[3]中，Z. Wu用上的Carleson 测度和其他方式刻画了这种使得D G  从上的 Bergman 空间D  p  A D  到   p LD  的有界性，这里 。文献[4]进一步推广了 Cohn 在文献[2]中的结论，其主要结论是：当 时，0,pq 0pq G  从  p H D到 有界当且仅当    D p L  是复圆盘 上的D   1p11 q -Carleson 测度；当1时，Gqp  从  p H D到 有界当且仅当  p LD      pq pq zLD z      d 1  。 面积积分算子在调和分析中有很有用，它可以反映非切极大函数、Poisson 积分、Tent 空间、乘子以及许多 算子之间的关联。在以上研究成果的启发下，本文关注于 1n R  中单位球 上的情形。本文中，我们先定义了 上的一系列概念，比如：上的 Carleson 测度、锥、帐篷等；然后在此基础上，我们引入一类与 上非负测度 B B B B  相关的面积积分算子 A  ；最后，我们用 Carleson 测度和其他方式刻画了这种使得 A  从到 或者从 p Lq Lp H 到 有界的 q L  。本文反映了定义在单位球面上的函数空间与 Poisson 积分、面积积分算子 A  等之间的密切关系，丰 富了 上的理论基础，并推广了复分析和实分析中许多经典的技术和结论，具体读者参见文献[5-7]。 B 在本文中， 表示 n S1n R  中单位球上 的球面。对于任意球冠， n S    表示它的 Lebesgue 测度， B    1n1n n rS  R  ，x表示一般的欧氏向量模。当 n x S时，记  , x r  为 上一 n S x 表示它的半径。对于 个以 x 为中心、以为半径的球冠，而对于任意常数c，r   ,cxr  表示和   , x r  同心但半径为其 倍的球冠。这 里显然，当时，。和 表示正常数，在不同的地方可能表示不同的值。对于任意球冠，定 义集合 c 1cr   ,n cxr S  Cc   :,1 z1B rz z  Sz            为基于  的Carleson bo x。 [8]定义了单位球上的 s-Carleson测度，在这里，为了本文研究方便，我们通过 Carleson box 给出下面这 种定义形式，即：对于， 上的一个非负测度 B s0B  被称为 s-Carleson 测度，如果存在常数 C使得    s SC    对任意球冠 都成立。 n S   对于任意 n x S， 中以B x 为顶点的锥是集合  :,1 z x zBx z z                  。 众所周知，对于任意定义在 上的可测函数 n S f ，其 Poisson 扩张到 zB  记做   2 1 1 ,d d nn n SSn z F zfxpxzxfx x Sxz      ， 这里  2 1 1 ,n n z pxz Sxz   是单位球上的 Poisson 核。 B 对于定义在 上的可测函数 n S f 和 上的一个非负测度B  ，一类 上的广义面积积分算子B A  可以定义为 Copyright © 2013 Hanspub 57 王东方 等  实单位球上的面积积分算子       d, 1 n n x z A fx FzxS z       。 本文有如下主要结论： 定理 1.1 设1，pq  是单位球 上的一个非负测度。那么，B  是单位球 上的一个B  11 1pq - Carleson 测度当且仅当      dpn n qq p n LS S A fx xCffLS   。 (1.1) 定理 1.2  是单位球 上的一个非负测度。 B (a) 当1时，p  是单位球上的一个 Carleson 测度当且仅当 B      d, pn n pp p n LS S A fx xCffLS   。 (1.2) (b) 对于 0  ，如果  是单位球上的一个 Carleson 测度，则有 B     11 :, n nn LS C x SAfxf fLS   。 定理 1.3 设 ，0pq  是单位球 上的一个非负测度。B  是单位球 上一个B  11 1pq -Carleson 测度，则有      d, pn n qq p n HS S A fx xCffHS   。 定理 1.4 设1，qp  是单位球 上的一个非负测度。那么， B      d, pn n qq p n LS S A fx xCffLS    当且仅当  pq n pq LS   ，这里      d 1n x z xz      。 2. 预备知识和若干引理 对于任意球冠 ，集合 n S    :,1 z TzB z z                  是基于球冠  的帐蓬。 对于， 上的一个非负测度0sB  也被称为 s-Carleson 测度，如果存在常数C使得    s TC    对任意球冠 都成立。不难看出，对于任意球冠，必存在正常数使得 n S  n S  C     TSTC    ，则 这种通过帐蓬来定义和通过Carleson box来定义的 s-Carleson 测度是等价的。 对于任意 ，记zB     : n zxSz x   。不难看出，   z  是 中的一个球冠，且这个球冠是以 n Szz 为中心、以为1z半径的球冠，我们可以称   z   z 是由点 确定的球冠。同时，不难发现，对任意球冠， 必存在一点 使得 zn S   zB    。从而，对任意   z  ，有下面有用估计     d1 n n x S zzx      z 。 (2.1) 对于任意 和zB   1n g LS， Copyright © 2013 Hanspub 58 王东方 等  实单位球上的面积积分算子    1d z Tg zgxx z    可以看做是 g 的另一种在单位球 上的扩张。 B 设是单位球 上的一个可测函数，那么定义  z  B      sup zx x z     是  在n x S的非切极大函数。而对于 上的可测函数 n S f ，它的 Hardy-Littlewood 极大函数记做    , 01 1 supd , , n xr r M fxfyy xS xr      。 下面几个引理是关于单位球 上非切极大函数、上Bn S p L函数空间、Hardy-Littlewood极大函数和Carleson 测度之间的关系。 引理 2.1 设 是单位球面中的一个非空开集，那么必然可以找到一列两两互不相交的球冠 En S 12 3 ,,,, m   ，使得 1 m k k cE    和 1 m k k E    ， 这里的 是一个正常数， ck  表示与 k  同心但半径是其3倍的球冠。 引理 2.2 设 f 是单位球面 上可测函数。那么 n S (a) 当  p n f LS和1时，p  M f是几乎处处有界的； (b) 当  1n f LS时，对于任意 0  ，有    1 :n n L S c xSMfxf  ； (c) 当  p n f LS且1时，那么有p     p n M fLS和     p n pn p L S LS MfAf。 引理 2.1和引理 2.2的证明可参见[7, p. 79]中在上半空间的证明方法，这里省略。 引理 2.3 设 f 是单位球面 上可测函数， n S   F z是其在单位球 上的Poisson 扩张。则有 B      ,n F xCMfx xS 。 证明：对于任意 ，必存在一个球冠zB   ,1zz z  。 表示非负整数，表示比jN  11 log z 小的最大 正整数。 j  表示与  同心但半径为其 2 j 倍的球冠，则有 01 ,n S  N    。此时，对于任意 1\ j j x    ，有估 计   21 j x zC z 。 使用上面的估计，我们有             1 1 1 11 \ 0 1 \ 0 11 ,dd d 11 dd 1221 njj jj N nn Sj N nn jj j fx zfxz fxpxz xCxx xz xz CfxxC f zz                        xx  。 根据上面 Hardy-Littlewood 极大函数的定义，上式可得   ,d , n S z f xpxzxCM fzB z       。 Copyright © 2013 Hanspub 59 王东方 等  实单位球上的面积积分算子 对于任意 ，当zB  zz   且z  时，可推得   1xxzzxzCzxzCx     对于任意 n x S均成立。换句话说，当   zz   且z   时， ,n Cxx zxS  。 根据上面估计，可得当  zz   且z   时，       F CMfzz  。不难看出，对于任意 zB  ，当  zz    时，则有    F CMfzz  ，即：      ,n F xCMfx xS 。 定理证明完毕。 下面引理是[9,10]中关于复圆盘 上解析函数结论的推广。 D 引理 2.4  是单位球 上的一个非负测度。那么 B (a) 设 ，0pq  是单位球 上的一个可测函数，B   是  的非切极大函数。若  是单位球 上的B q p-Carleson 测度，则有    d p n q q B L S zzC     ； (2.2) (b) 设1。pq  是单位球 上的Bq p-Carleson 测度当且仅当      d, pn qq p n LS B F zzCf fLS   。 (2.3) 这里  F z表示函数  p n f LS在单位球 上的 Poisson 扩张。 B 证明：要想证明(2.2)成立，只需证明，对于单位球 上的任意可测函数B  有     dq n p BLS zzC      (2.4) 成立即可，这里  是  的非切极大函数。事实上，令 q  ，若不等式(2.4)成立，则有     dd qq ppp qd p q BB B zzCxxCxx          ， 即不等式(2.3)成立。 假设  是单位球 上的B   qp-Carleson 测度。记     : n xS x     ，则由 Whitney 覆盖引理，可知存 在一个两两互不相交的球冠族   j  使得 j j   ，这里 j   表示和 j  同心但半径为其三倍的球冠 。那么， 可 以断言      : j j zB zT     。 事实上，若 且zB   z   ，根据  的定义，则有对于任意   ,1 x zz z  ，  x   。进而，  ,1 j zz z j      ，则有  j j zT   。  根据上面的断言和假设，不难看出        :qq p p jjj jjj zBFzTT CC     。 Copyright © 2013 Hanspub 60 王东方 等  实单位球上的面积积分算子 于是，有         000 d:d:d n q q np p B S zzzBzxS xxx  dd              ， 对上面式子最右边使用Minkowski 不等式，可得   dd n q p p q BS zzCxx       。 由上，即得证(2.4)式，从而(a)得证。 下面证明(b)。假若  是单位球 上的B  qp  -Carleson 测度。因为 ，对于任意1p  p n f LS，结合引理 2.2 和引理 2.3，我们有      p n pn pn L S LS LS FCMfCf ， 进而由(a)的结论，推得    d p n qq L S BFzz Cf   。 反之，若是对于任意  p n f LS，有    d p n qq L S BFzz Cf   成立。对于任意球冠 和 n S     zT  ， 有  z   。当  x z  时，不难看出有   1 x zC z 成立。应用估计式(2.1)，令函数 f   ，则可得     1 ,dd , 1 nn Sz FzxpxzxCxC zT z       。 (2.5) 于是        dd n qq pp p p TS TCFzzCxxC        ， 上面不等式即说明  是单位球 上的一个B  qp  -Carleson 测度。至此，(b)得证。 下面是众所周知的 Calderón-Zygmund 分解引理。 引理 2.5 设0  , 。对于1p   1n f LS，存在函数 g 和 j h，使得      ,n j j f xgxhxxS    ， 且有 1) 对于任意 n x S,   g xC  且有   1 1 p nn pp L SL gCf   S ； 2) j h支在两两互不相交的球冠  ,  j jj x r  上，    ,d0 jjj j xr hxx   和    ,d, jjj j jjj xr hxxCxr    ； 3)   1 ,n jjj j L S C xr f   。 引理 2.6 (Fubini 定理)假设  ,A  和  ,B   是两个完备的测度空间，   , f xy是   ,AB   上的可测函数且 可积的。则有            ,dd,d d AB BA f xyyx fxyxy     。 3. 主要定理证明 设  1n g LS且， 表示0gG g 在单位球 B上的 Poisson 扩张， G  表示 的非切极大函数，而 G     1d z Tg zgxx z   则是 g 的另外一种在单位球B上扩张形式。那么，我们有下面两个估计，反映了  Tg和分别是的下估计和上估计。  TG   G Copyright © 2013 Hanspub 61 王东方 等  实单位球上的面积积分算子 引理 3.1 设  1n g LS且 ，则 0g       ,Tg zCGzzB   证明：显然，只要证明对于任意 有 zB    2 1 1 1,n zn z x Cx zxz     S    事实上，当  x z  时，有1zCxz   成立，结合估计式(2.1)，则得证上面不等式。引理得证。 引理 3.2 设  1n g LS且 ，则 0g      ,GzCTGzz B    。 证明：根据 和单位球 B上锥的定义直接可证明。只需注意，当  TG     x z  时，有 ，从而  GGz         11 dd, |()| zz TGzG x x Gzxz B z z        ， 。 上面不等式结合估计式(2.1)即可证得引理。 ，则不难看出，   p n f LS定理 1.1 的证明：假若不等式(1.1)成立。对于任意球冠 取 函 数f n S      且  1 pn p LS f  。对于任意 z  T  可知，   z   。此时，结合估计式(2.1)，则有     dd , 11 nn z xx CCz zz  T     。 从而，使用上面的这个估计，可得                dd 11dd dd 11 z nn TTz TTx zz d 1 n x xx zCzC xC zz      z            。 因为1，使用估计式(2.5)和Jensen 不等式，可推得 q             11 1 111 dd 1d d d 11 n pn qq qq q nn TTx Sx qpq LS zz x zC FzCFz x zz Cf C                                ， 上面即证得  是单位球 上的一个 B  11 1pq  -Carleson 测度。定理的充分性得证。 下面证明定理的必要性。假设  是单位球 上的一个B   11 1pq -Carleson 测度。设  qn g LS  且 ， 这里是的共轭指数。由Fubini 定理，可得 0g qq             dd dd 11 nn xnn SBS Bz zz gxAfxxzgxFzxgxFzx zz         d 。 结合估计式(2.1)、引理 3.1 和   Tg的定义，则有             dd n SB B d g xAfxxTgzFzzC GzFzz      。 (3.1) 此时记 111 11 1 rpqpq   ，根 据假设  是单位球 上的一个 B1 r-Carleson 测度，用引理 2.4 作用于不等式 (3.1)的最右边，那么 Copyright © 2013 Hanspub 62 王东方 等  实单位球上的面积积分算子       d nrn S L S gxAfxxCGF    。 最后注意到1rr pq  ，应用Hölder 不等式和引理 2.4，则得        11 ddd qn pn nnn qp qp L SLS SSS gxAfxx CGxxF xxCgf      ， 根据对偶理论，可以推得(1.1)式成立。定理必要性得证。 定理 1.2 的证明：关于此定理中的证明，显然是定理1.1 的推论，令  apq  时，则得证。 下证定理中   b。假 设  是单位球上一个 Carleson 测度，B   1n f LS。由引理2.5，可以把函数 分解为 f          j j fxgxhx gxhx   。 对任意 0  ，我们有     ::: 22 nnn xS AfxxS AgxxSAhx             。 因为  是单位球上一个 Carleson 测度，则由此定理中B   a，对于任意，可得 1p    1 1 d p nn n ppp L SL SAgx xCgCf     S ， 从而，     1 :2n pn p n p L S LS CC xS AgxAgf          。 记  3,  j jjj x r  ，根据引理 2.5 有  1n j L S j Cf   。令 j j E    ，我们有              * 22 11 \\ \, 21 \, 11 d dd d 1 d dd 1 nn n jjjjj njjjj j j nn SESSx xr jj j jj nn Sxxr j zz zd n A hx xAhx xChyyx yz z xz rz Chyyx yz z                              。 因为当   zx，   , j jj yxr  和\ n j xS   时，有 j yz Cxx  。此时令 j  表示以 \ n j xS   为中心且 使得 j x 正好在其边界上的球冠，那么由假设  是单位球上一个 Carleson 测度和引理 2.5，可推得 B                      1 21 \\, 21 \\ , 1 \, , d dd 1 ddd 11 dd d, nn jj jj j nn jj jj j njjj j n j jj j jj nn SES xSxr jj jj nn SxSS xr j jj n Sxr jj jjj LS xr jj rz Ahx xCxhy y z xx rz Cx zz r Cxhyy xx ChyyCxrCf                                 d hyy ， Copyright © 2013 Hanspub 63 王东方 等  实单位球上的面积积分算子 进而，上面可以推得   1 \: 2n n L S C xS EAhxf         。 结合  1n j L S j Cf   ，可断言   1 :2n n L S C xS Ahxf        。 至此，定理的 部分得证。定理完毕。  b 定理 1.3 的证明：当时，显然根据引理 2.2、引理 2.3 和定理 1.1 可得证。下面考虑 时候的情 形。 1p0p1 不难看出，对于任意 n x S，有       111 , pp qq qq F zFxFzzx    。 根据 Fubini 定理和 Hölder 不等式，有                    111 11 dd 1 dd 1 d dd 1 n qn n nn q q n Sx LS q p qp qqn Sx q p q ppqn SSx z AfFz x z z Fx Fzx z z CFxx Fzx z                              。 因为  是单位球 上的一个B   11 1pq -Carleson 测度，应用引理 2.4 和估计式(2.1)，则有                 1 1 1 1 11 dd 1 d npn qn p n pnpn p q p qp pq q xn BSHS LS qp ppq p pqpq q q q H S B HSHS L x Af CfzFzz z CfFzzCfFCf                        ， 即是所证结论。 在证明定理 1.4 之前，我们先引入下面一个引理。 引理 3.3：设1，qp  是单位球 上的一个非负测度。那么， B      d, pn qq p n LS B F zzCf fLS    (3.2) 当且仅当  p n pq LS   ，这里      d 1n x z xz      。 证明：先证明充分性，假若  p n pq LS   。如同引理2.4，只需证明      d, p qn pq n LS B F zzCf fLS   。 对于任意  p qn f LS，使用估计式(2.1)和Fubini定理，可知 Copyright © 2013 Hanspub 64 王东方 等  实单位球上的面积积分算子            1d() dddd 11 nn n x nn BBSSx S zd F zzCFzzxzC FzxCFxx zz         x  注意到 1 p q，则有 Hölder 不等式和引理2.3 可得      dpp n qn pq LS B L S FzzCf     ， 即得证充分性。 下证引理的必要性。假设不等式(3.2)成立，我们分别讨论 p  和p  。 当 时，取p  f xC是上的常值函数。由Fubini 定理和估计(2.1)，可知 n S         1 d1 dd() 11 nn nx nn SxB S LS zd x zzxCB zz            ， 进而根据假设不等式(3.2)成立，则有 ，从而  BC    1n LS C    。 当 时，不等式(3.2)成立可推得 p     d, p qn p qn LS B F zzCf fLS    对于  pq n f LS且，由 Fubini 定理有 0f     d,dd p qn n L S BBS Fzzfxpxz xzCf    。 若记   ,d B x pxzz    ，则上式根据对偶理论可得  p n pq LS   。 n S，不难发现     1, 1x nzCpxz z   ，从而我们断言 x 对任意     ,n x Cx xS    ， 即得  p n pq LS   。必要性证明完毕。 定理 1.4 的证明：先证明充分性，假设  pq n pq LS   成立。我们分别讨论 p  和 。 p 当 时，假设即说明。显然，有 p  qn LS             dd dd 11 nn nn qn qq nn LS LS Sx Sx L S zz Fzx Cfx Cf zz             ， 上面即得证 时所需结论。 p 当 时。因为p 1qp，由Hölder 不等式和引理2.4，有       dpn pq pq n qn pn nn pq pq qqq qq qq LS S LS LS L SL AfFxxFCf        S ， 即所证结论。至此，定理充分性得证。 下面证明必要性，假设    p n qn qq L S LS Af Cf  对于任意   p n f LS恒成立。我们分下面几种情形来证明。 当 时，则由假设，有 p Copyright © 2013 Hanspub 65 王东方 等  实单位球上的面积积分算子      dd 1n n q q n L S Sx z Fzx Cf z           ， 取 f C是是 上的常值函数，即得 n S  qn LS C    。 当且 时，使用估计式(2.1)和假设，有 p 1q         1 1 ddd 1 p n nn x n L S BBS LS FzzCFzz xzAfCf z       ， 根据引理 3.3，则由上面不等式可得  1 p n p LS   。 当且 时，令p 1q  qn g LS  且。在证明定理1.1 中，我们有 0g            dd, n p n SB g xAfxxTgzFzzfL S     。 (3.3) 根据引理 2.4， 和 ，可得1q0g   qn qn L S LS GCg   。由引理3.2 可知，对于任意 zB  ，有 。因此，不等式(3.3)可推得    GzCTG z                dd n SB B GxAf xxTGzFzzGzFzz        d。 使用引理 2.4、假设和 Hölder 不等式，继续上面不等式，则有         dqn pn qn qn L SLS BLS LS GzFzzCGAfCgf       。 记111 rpq  ，有引理3.3 则上面不等式可断言  1 pq rnn pq r LSL S     。 定理证明完毕。 4. 小结 众所周知，Carleson 测度很多年来都一直是研究热门课题，它与众多诸如BMO 空间、Bloch 空间、Morrey 空间、Q空间都有着很重要的关系，但是这些工作主要是关于复圆盘、中单位球乃至上半空间上的，而本文 主要关注于实单位球上的Carleson 测度，丰富了实分析方法的应用。 n C 本文有很多有意义的工作。首先是一些单位球B上相关概念，比如：由 Carleson box 来定义的 Carleson 测 度、Tent、锥等，这些概念推广了复分析和实分析中的一些重要概念，为以后描述单位球B提供了工具。其次， 我们建立了关于单位球面上Hardy-Littlewood 极大函数、B上的 Poisson 积分、非切极大函数和 Carleson 测度的 一些理论基础，这些工作对以后关于单位球 B上调和分析问题的研究也有重要意义。除这些之外，通过面积积 分算子，我们揭示了单位球面上的函数空间和 Poisson 积分、Carleson 测度的关系，这些研究工作为以后更 深一步研究提供了帮助。当然，这些工作也只是一些初步工作，希望读者能更进一步丰富关于单位球体上 Carleson 测度、算子理论、函数空间等的研究。 n S 参考文献 (References) [1] P. 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