设为首页 加入收藏 期刊导航 网站地图
  • 首页
  • 期刊
    • 数学与物理
    • 地球与环境
    • 信息通讯
    • 经济与管理
    • 生命科学
    • 工程技术
    • 医药卫生
    • 人文社科
    • 化学与材料
  • 会议
  • 合作
  • 新闻
  • 我们
  • 招聘
  • 千人智库
  • 我要投搞
  • 办刊

期刊菜单

  • ●领域
  • ●编委
  • ●投稿须知
  • ●最新文章
  • ●检索
  • ●投稿

文章导航

  • ●Abstract
  • ●Full-Text PDF
  • ●Full-Text HTML
  • ●Full-Text ePUB
  • ●Linked References
  • ●How to Cite this Article
Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 72-80
http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.31012 Published Online January 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html)
Initial Boundary Value Problem for a Class of Nonlinear
Evolution Systems*
Lijuan Ding, Liming Xiao#
School of Computer Science, Guangdong Polytechnic Normal University, Guangzhou
Email: xlmwhj@21cn.com
Received: Oct. 25th, 2012; revised: Nov. 11th, 2012; accepted: Nov. 26th, 2012
Abstract: In this paper, we study the initial boundary value problem for a class of fourth order nonlinear
wave equations the existence and uniqueness of global strong solution for the problem are obtained by means
of the Galerkin method.
Keywords: Nonlinear Evolution Equations; Initial Value Problem; Global Strong Solution
一类非线性发展方程组的初边值问题*
丁立娟,肖黎明#
广东技术师范学院计算机科学学院,广州
Email: xlmwhj@21cn.com
收稿日期:2012 年10 月25 日;修回日期:2012 年11 月11 日;录用日期:2012 年11 月26 日
摘 要:本文研究了一类四阶非线性波动方程组的初边值问题,用Glerkin 方法证明了其整体强解的存
在性和唯一性。
关键词:非线性波动方程组;初边值问题;整体强解
1. 引言
有三种因素影响弹性杆内波的传播:非线性,色散及耗散。非线性使波前变陡甚至破裂;色散与耗散可减
小波前斜率,制止波发生破裂,产生最终的稳态。
文[1]研究了在上述三种因素的影响下的细长弹性杆中纵向应变波的传播问题。提出并讨论了如下一类四阶
拟线性波动方程


n
tt xx xxt xxttx
x
uu uuau  (1)
其中 为任意实数, 和均为材料常数,0aa n0a

表示杆由软非线性材料(例如 多数 金属)构成; 表示杆
由硬非线性材料(例如橡胶、聚合物和少数金属)构成。文[1]在近似情况下,将(1)化为广义的KdV-Burgers方程,
讨论了在单纯色散、单纯耗散效应下,软硬两种非线性材料的应变孤波,但对(1)没有进行任何讨论。文[2]研究
了一类四阶非线性发展方程
0a


tt xxxxt xxtt
uu uufu 
的第一初边值问题
*资助信息:国家自然科学基金(NO. 11201086)资助。
#通讯作者。
Copyright © 2013 Hanspub
72
丁立娟 等  一类非线性发展方程组的初边值问题
 
0
,0 ,uxux



1
,0 ,
t
ux ux01x,






01
,,
xx
uxt uxt

0.


此方程描述了单个粘弹性杆的纵振动问题,这里外力密度为依赖于位移的情形。但还未见有人研究方程组
的情况。
本文考虑如下一类非线性发展方程组




01,0
ttxx xxt xxttt
x
tT uu uufu (1.1)
的第一初边值问题



0
,0 ,
x
xuu




1
,0 ,
t
x
xuu0x1,

 (1.2)



01
,,
xx
xt xt

.

0uu (1.3)
其中 表示零矢量, 0


T
12
,,,,
N
xtu uuuu ,
 

T
12
,,,
tttNt
ff ffuu uu,
 

T
00102 0
,,,
N
xuxux uxu,
 

T
11112 1
,,,
N
x
uxuxu xu
(这里“T”表示转置)。
本文所考虑的方程组(1.1)是多条粘弹性杆耦合在一起的振动情形,此方程组可看成线性粘弹性杆受依赖于
速度的外力
f
作用下纵向形变波的传播模型方程。无 论从理论上还是从 实际上比文[2]所讨论的单个 方程更复杂 。
首先对 Galerkin 方法加以介绍:
1) 在一个可分的函数空间中取一组基,本文是取负 Laplace 算子的特征函数作为一组基,这样作先验估计
更方便。
2) 构造原问题近似解并建立Galerkin 逼近格式,该逼近格式一般是关于近似解的非线性常微分方程组。
3) 对近似解及其关于空间变量,关于时间变量的导数作出相应的先验估计。
4) 在近似解相应先验估计的基础上,由列紧性原理取弱极限可得原问题的整体强解。
假设满足:,及 Jacobi 矩阵f

f00 1
Cf


f
u半有界,即 满足
00, n
cR


0
,c






f
u,.


(1.4)
记
 


2
2
0,1 ,,d,,,
L
x

 

uvuvuuu

 
0
,,d0
tttT

uv uv,


2
2,,
Luuu
1
2
2
1
,
N
i
i
u





u
本文用 Galerkin 方法研究问题(1.1)~(1.3)整体强解的存在性与唯一性。
2. 先验估计
设

1, 2,
jj

为问题



jjj
x
x


 ,




01
jj

0

的特征函数,则


j
x

在

中构成正
交完备系,

2
L



1
0
H

j
jxC


且

x

的线性组合在


1
0
H

中稠,




j
x

在中的闭线性扩张为
(见[3]),对初值作假设

2
H
 
21
0
HH
 


21
00
,xH H u






21
10
.xH H

u
设问题(1.1)~(1.3)的近似解为
Copyright © 2013 Hanspub 73
丁立娟 等  一类非线性发展方程组的初边值问题
 
 

1
11
,,
,0, ,0
1, 2,,1, 2,,
m
mi mimijj
j
mm
mimij jmitmij j
jj
uuxtat x
uxau xb
miN











由Galerkin 方法,该近似解应满足如下非线性常微分方程组的初值问题

 








,, ,,,
mitt smixx smixxt smixxtt si mts
uu uuf
 
 u,

(2.1)








0
,0,, 1,2,,;1,2,,
misis
uxux iNs m

 (2.2)









1
,0,, 1,2,,;1,2,
mits i s
uxux iNs m

. (2.3)
由 及

21
00
xH Hu
 


21
10
,xH Hu初值应这样选取,使在
,
mij mij
ab

0,
x
u

1
x
u各自所在的空
间里分别有









01
,0, ,0.
mmt
xxxxmuuu u
引理 1:设 ,条件(1.4 )成立并选取初值 使得当时,
 
1
00
,xHu
 
1
10
xHu,
mij mij
ab m


,0
m
x
u在
中强收敛于

1
0
H



,0
0,
mt
x
xuu 在 中强收敛于

1
0
H


1
x
u。则对任一及(2.1)~(2.3)的任意解0T


,
m
x
tu均
有估计:
 
222 2
222 2
1,
mmxmtmxt
LLLL
E
 
uuu u


2
2
20.
mxt LEt
uT
式中 及以下诸引理中的
12
,EE


1,2,, 5
i
Ei均为与 m无关的正常数。
证明:方程(2.1)两边同乘 得

,
mis
at


















,, ,,,
mitt missmixxmissmixxt missmixxtt missimtmiss
uatuatuatuat fat
 
 
 
u,

,




对s从1到m求和得
 


11 111
,, ,,,
mm mmm
mittmis smixx mis smixxtmis smixxttmis simtmis s
ss sss
uatuatuatuatfat
 
 
 
 
 
 
 
 
u
即
 








,, ,,,,
mitt mitmixx mitmixxt mitmixxtt mitimtmit
uu uuuu uufu u
再对 i从1到N求和得
 






,, ,,
(),
mtt mtmxxmtmxxt mtmxxtt mtmtmt
 uu uu uu uufuu,

两边加上 ,分部积分可得

,
mmt
uu
 




d,, ,,2,2,2,
dm mmtmtmx mxmxtmxtmxt mxtmtmtmmt
t uuuuuuuuuufu uuu

.
(2.4)
由








0
,, ,,,
mt
mt
mtmtmtmtmt mtmt mt
mt
c





01

 




0u
fu
fuufufuu uu u
u (2.5)

 
22
22
2,
mmtmmt
LL

uu uu,

(2.6)
将(2.5)、(2.6 )代入(2.4)可得
Copyright © 2013 Hanspub
74
丁立娟 等  一类非线性发展方程组的初边值问题
 


 

22
22
11 1
d,, ,,2,
dmmmt mtmxmxmxt mxtmxt mxtmmtm
LL
MM M
t
 uuu uuuuuuuuuu为与无关正常数 ,
对满足的任意 t,从 0到t积分得 0tT
 

 








 

 

 

 

22
22
10
,,,,2,,0 ,,0,0 ,,0
,0 ,,0,0 ,,0d
mmmt mtmxmxmxt mxtmxt mxtmmmtmt
t
mx mxmxt mxtmmt
LL
xxx x
xxx xMt

 
 

uuuuuuuuuuuuuu
uuu uuu,
由已知条件得当 时,
m
 















 

 

 

 

0011001 1
,0 ,,0,0 ,,0,0 ,,0,0,,0
,, ,,
m mmtmtmx mxmxtmxt
xx xx
xxx xxxxx
xxxxxxxx

 
uuu uuuuu
uuuuuuuu ,
 

 



22
22
21
0
2
,, ,,2,t
mmmt mtmxmxmxt mxtmxt mxtmmt
LL
m
d
M
Mt
M

 

uu uuuuuuuuuu
u
为与无关正常数 ,
由Gronwall 不等式即得
 
222 2
222 2
1,
mmxmtmxt
LLLL
E
 
uuuu

2
2
2mxt LE


u
引理证毕!
由Sobolev 嵌入定理得
推论:

cons 0,
mttT
u


cons 0,
mt ttT
u
引理 2:设引理 1的条件成立,并且






21
00
xH H

u,




21
10
xH H


u,选取 使得
当 时,
,
mij mij
ab
m

,0
m
x
u在 中强收敛于

20
H

1
H


0
x
u,


,0
mt
x
u在


21
0
HH


中强收敛于


1
x
u,
则对问题(2.1)~(2.3)的解

,
m
x
tu均有估计
 
22
22
3mxx mxxt
LL
E


uu 。
证明:方程(2.1)两边同乘

,
smis
at


















,, ,,,
mitts missmixxs missmixxts missmixxtts missimts miss
uatuatuatuat fat
 
 
 u,
对s从1到m求和得
 


11 11
1
,, ,,
,,
mm mm
mitts missmixxs missmixxts missmixxtts miss
ss ss
m
imtsmiss
s
u at uat uatuat
fat



 

 
 

 
 




 

u





 


11 11
1
,, ,,
,,
mm mm
mittmissmixxmis smixxtmissmixxttmis s
ss ss
m
imtmis s
s
uat uat uat uat
fat



 


 








 

u





即
 








,, ,,,
mitt mixxtmixx mixxtmixxt mixxtmixxtt mixxtimtmixxt
uu uuuu uufu u,
对i从1到N求和得
 








,, ,,,
mtt mxxtmxxmxxtmxxt mxxtmxxtt mxxtmtmxxt
 uu uuuu uufuu,
分部积分得
Copyright © 2013 Hanspub 75
丁立娟 等  一类非线性发展方程组的初边值问题
 



d,, ,2,2,
dmxt mxtmxxmxxmxxt mxxtmxxt mxxtmtmxxt
t uuuuuuuufu u,


 
0
,,
mt
mtmxxtmxt mxtmxt mxt
mt
c


 




fu
fuuuuu u
u
,,
 


0
d,, ,2,,
dmxt mxtmxxmxxmxxt mxxtmxxt mxxtmxt mxt
c
t
uuuuuuuuuu

.

关于 t从0到t积分得

0tT
 








 


 


00
,,,2,,0 ,,0,0 ,,0
,0,,0,d ,
mxt mxtmxx mxxmxxt mxxtmxxt mxxtmxtmxtmxxmxx
t
mxxtmxxtmxt mxt
xx xx
xxc t
 


uuuuuuuuuuuu
uu uu
由已知条件得当 时, m
 













 

 

 

11001 1
,0 ,,0,0 ,,0,0 ,,0
,, ,,
mxt mxtmxx mxxmxxt mxxt
x xxxxxxx xx
xxxxx x
xxxxx x

 
uuuuu u
uuuuu u
因此
 













,0 ,,0,0 ,,0,0 ,,0
mxt mxtmxx mxxmxxt mxxt
xxxxx xuuuuu u
能用一与 m无关的正常数界住,由 Gronwall 不等式知
 
22
22
3.
mxx mxxt
LL
E

uu
引理证毕!
引理 3:在引理 2的条件下有
 
22
22
4.
mtt mxtt
LL
E

uu
证明:对方程(2.1)两端对 t求导得
 
d
,, ,,,
d
mittt smixxt smixxtt smixttt si mts
uu uuf
t
 

 


u,



(2.7)
两端同乘 得

mis
at











d
,,,,,
d
mittt missmixxtmissmixxttmissmixxtttmissimtmiss
uatuatuatuatfat
t
 

 
 


u,

对s从1到m求和得
 


11 111
d
,, ,,,
d
mm mmm
mitttmis smixxtmis smixxttmis smixxtttmis simtmis s
ss sss
uatuatuatuatf at
t
 
 
 
 
 
 
 
 
u,




即
 
d
,, ,,,
d
mittt mittmixxt mittmixxtt mittmixxttt mittimtmitt
uu uu uu uufu
t

 


u,
对i从1到N作和得
 
d
,, ,,,
d
mttt mttmxxt mttmxxttmttmxxttt mttmtmtt
f
t

 


uu uu uu uuuu,
即
Copyright © 2013 Hanspub
76
丁立娟 等  一类非线性发展方程组的初边值问题
 


,, ,,,
mt
mttt mttmxxt mttmxxtt mttmxxttt mttmtt mtt
mt
f


 




u
uu uu uu uuuu
u,
分部积分有
 


22 22
22 22
1d ,,
2d
mt
mtt mxt mxttmxttmttmtt
LL LLmt
t 



 





fu
uuu uuu
u
即
 


22 22
22 22
0
d22 ,2,
d
mt
mttmxtmxttmxttmtt mttmtt mtt
LL LLmt
c
t 



 





fu
u uuuuuuu
u
0tT,
两边从 0到t积分得
















22 22
22 22
22 22
2
22 2
00
,, ,2,
,0,0,02,d ,
mtt mxt mxttmxtt
LL LL
t
mtt mxt mxttmtt
LL LL
xt xtxtxt
x
xxcxt
 
 
 
 

uuuu
uuuut
(2.8)
当,m




22
22
1
,0 ,
mxt x
LL
xx

uu


2
2
,0
mxt L
x

u能用一与 m无关的正常数界住。
下面证明




22
2
,0 ,0
mtt mxtt
LL
xx

uu
2

也能用一与 m无关的正常数界住。
方程组(2.1)两边同乘


,
mis
at
 得

















,, ,,,
mitt missmixxmissmixxt missmixxtt missimtmiss
uatuatuatuat fat
 
 
 u,

,




对s从1到m求和得
 


11 111
,, ,,,
mm mmm
mitt missmixxmissmixxt mis smixxtt mis simtmis s
ss sss
uatuatuatuatfat
 
 
 
 
 
 
 
 
u
即
 








,, ,,,
mitt mittmixxmittmixxt mittmixxtt mittimtmitt
uu uuuu uufu u,
再对 i从1到N求和得
 








,, ,,,
mtt mttmxxmttmxxt mttmxxtt mttmtmtt
 uu uuuu uufuu,
分部积分得
 








,, ,,,
mtt mttmxx mttmxxt mttmxtt mxttmtmtt
 uu uuuuuufuu,
即
 



















,, ,,,,,, ,,, ,
,, ,,
mttmttmxttmxttmxx mttmxxt mtt
mt mtt
x
txtxtxtxtxtxtxt
xt xt


uuuuuuuu
fu u
令 得 0t
 











 






,0, ,0,0,,0,0, ,0,0, ,0
,0 ,,0 ,
mttmtt mxttmxttmxxmtt mxxtmtt
mt mtt
xxxxxxxx
xx


uuu uuuuu
fu u
即
Copyright © 2013 Hanspub 77
丁立娟 等  一类非线性发展方程组的初边值问题














222 22
22
,0,0,0,0,0,0 ,
mttmxttmxx mxxtmtmtt
LL LLL
xx xxfxx
 
 uuu uu u
2
L
(2.9)
由已知条件当 ,m











222
01
,0 ,0,
mxxmxxtxx xx
LLL
xx xx

uu uu
2
L




22
,0 ,0
mxx mxxt
L
xx

uu
L
能用一与 m无关的正常数界住。又当 ,m


,0
mt
x
u在 中强收
 
21
0
HH
敛于

1
x
u,而 为的子集,由 Sobolev 嵌入定理,当

0, 1 1
R,m


,0
mt
x
u在 中一致收敛于


1
x
u,由
当 时,
1
Cm
f









22
1
,0 .
mt LL
fx fx

uu
因此



2
,0
mt L
fx
u能用一与 m无关的正常数界住。由(2.9)知





22
22
,0,0
mtt mxtt
LL
xxCCm

uu 为与无关正常数 ,
由(2.8)和Gronwall 不等式得



22
22
44 .
mtt mxtt
LL
EE m

为与 无关的正常数uu
引理证毕!
引理 4:在引理 2的条件下有估计

2
2
5mxxtt LE


u。
证明:方程(2.1)两边同乘 得

smis
at


















,, ,,,
mitts missmixxs missmixxts missmixxtts missimts miss
uat uat uat uatfat
 
 
 u,
再对 s从1到m求和得
 


11 11
1
,, ,,
,,
mm mm
mitts missmixxs missmixxts missmixxttsmiss
ss ss
m
imtsmiss
s
u at uat uatuat
fat



 

 
 

 
 




 

u




即
 








,, ,,,
mitt mixxttmixx mixxttmixxt mixxttmixxtt mixxttimtmixxtt
uu uu uu uufu u,
对i从1到N求和得
 








,, ,,,
mttmxxttmxxmxxtt mxxtmxxtt mxxttmxxttmtmxxtt
 uu uu uu uufuu,
即









,,, ,,
mxxtt mxxttmtt mxxttmxxmxxttmxxt mxxttmtmxxtt
uuuu uu uufuu,
  




2222 22
2,
L
mxxttmtt mxx mxxtmt mxxtt
LLLL L
 
uuuufuu
(2.10)
下面证明


2
0,
mt L
tT 
 fu 能用一与 m和t无关的正常数界住。
由引理 1,2,3知, 0tT 


2
,
mtt L
xt

u,



2
,
mxx L
xt

u,



2
,
mxxt L
xt

u能用与 m和t无关的正常数界
住,又由引理 1~引理 3知, 0tT

26mt HE


u(为与 m和t无关正常数),由 Sobolev嵌入定理得
6
E0tT

 ,

7mt CE
u(为与 m和t无关正常数,
7
E


C

表示在

上连续函数的全体,

.C

表示在 上的最大模)。
Copyright © 2013 Hanspub
78
丁立娟 等  一类非线性发展方程组的初边值问题
由 知
1
Cf


2
mt L
fu 能用一与 m和t无关的正常数界住。
由(2.10)可推出 ,0tT



2
2
55mxxtt LEE mt
u为与和 无关的正常数。
引理证毕!
定义:函数


,
x
tu称为问题(1.1)~(1.3)在


0,T 上的强解,若对任一 ,均有 0T
i) ,
 

21
0
,0,,xtLT HH

u








21
0
,0,,
txtLT HH


u。
ii) 对一切





2
,0,;xtCTL

成立。



0,d0 1,2,,
T
ittixxixxtixxtti t
uuu uftiN

 
u
iii)




0
,0
ii
uxu x于 ,
 
21
0
HH




1
,0
it i
ux ux于



 
21
01, 2,,
H
HiN。这里

T
 

00
1 0
,,N
x
uxu xu,
 
11
1


T
1N
,,
x
uxu
 
u x

。


21
00
xH Hu,






21
1
xH H
0

u定理 1:设条件(1.4)成立且 ,则问题(1.1)~(1.3)存在上述
意义下的整体强解


,
x
tu。
证明:由引理 1~引理 4知



,
imt s
f

u有界,因此由常微分方程理论知方程组(2.1)~(2.3)有整体解


,
mi
uxt,
由引理 1~引理 4知:



,
m
x
tu,


,
mt

x
tu,




,
mtt
x
tu于空间




21
0
0, ,LTH H


中关于 m一致有界,
由列紧性原理知存在的一个子列(仍记为 )使当 时,
mi
umi
um




,,
mi i
uxt uxt于




21
0
H0,
,LTH
中弱 收敛,



,,xt
mit
ux it
t u于





120
H H0, ,LT


中弱

收敛,


mitt itt
uxt u

,,xt于
中弱 收敛。

20



1
0,LT,H
H
而由


,,
mt
x
tu


,,
mtt
x
tu


,
mxt
x
tu都于









2
22
0, ;0, ;T
LTLLTL LQ
 
2




0,
T
QT
中有界可知



,
mit
uxt于


1T
H
Q
1,2,N
中有界,由 Sobolev 嵌入定理从而有子序列(仍记为 )使当 时,
于中强收敛,且于 中几乎处处收敛。由以上证明知


,
mit
uxt m
 
mit
uxti

,,
it
uxt,

2T
LQ T
Q




2
2
,
mtmtmt Lt

fu fufucons
,由[4](p. 11, 引理 1.3),当 时,m


mt t
fu fu

在


2T
LQ 中弱
收敛,从而在 中弱收敛于

imt
fu


2T
LQ


it
fu


1, 2,,iN。任取


si
dtC



1, 2,,iN,在(2.1)两端同乘


si
dt


1, 2,,,,1, 2,
s
Ni

N

对1,2,,
s
N




Nm
求和,关于 t在[0,T]上积分,令 取极限,由
上面弱*收敛及弱收敛结果得
m



00
11
,d,d
NN
TT
ittixxixxtixxttsisitsis
ss
uuuudt tfdt t




 




u.





s
x

在 中稠,在

2
L
 
1
N
si s
s
dtx





1, 2,N






2
0, ;CTL

中稠密,因此对任意





;
2
,0,T LxtC

,成立





00
,,d ,,d
TT
itt ixxixxt ixxttit
uuuuxttfxt t

 

u


1, 2,,iN,
因此强解定义中的(i)(ii)都满足。
下面验证初始条件 。
 
0
,01,2, ,
ii
uxuxiN





,,
mi i
uxt uxt与
 


21
0
0, ,LTH H
中弱

收
敛, 与
 
,,
mit it
uxtu

xt




21
0
0, ,LTH H


中弱

收敛,因此








12
,0,,uxtC TH0
H
mi

且



 


21
01,2,,H iN,0,;t CTH
i
ux ,故当 时,m


,0
mi
ux 弱收敛到


,0
i
ux 于
中,又已知当 ,
 
21
0
HHm




x
0
,0
mi i
ux u在




120
HH

中强收敛,这样得到
。
 
0
,0 1
ii
u xi

,2, ,Nux
再证


,
x
tu满足初始条件






1
,01,2, ,
it i
uxux iN
 

21
0
H H
。当 时,由
中弱
m
 
mit
ux xt,,
it
t u0, ,LT


收敛,




,,uxxt
mitt itt
t u与




21
0
0, ,LTH H
中弱
Copyright © 2013 Hanspub 79
丁立娟 等  一类非线性发展方程组的初边值问题
Copyright © 2013 Hanspub
80
收敛,



 

21
0
,0,,
mit
uxtC THH且











21
0
,0,; 1,2,,
it
uxt CTHHiN,因此当
时弱收敛到 于m

,0
mit
ux

,0
it
ux



1
0
H
2
H

中,又因为当 m,
在

,0ux
 
11,2, ,
i
uxi N

mit


1
0
H
2
H中强收敛,从而得到


1
,0 1,2,
it i
uxux i

,N。
3. 唯一性
定理 2:若定理 1的条件满足,问题(1)~(3)的强解是唯一的。



t
v
证明:设 , 为问题(1.1)~(1.3)的两个强解,令u v

uv


tt xx xxt xxtt
 fu
 
tf
,则 满足 及
齐初始条件和齐边值条件:

,0 ,x0






, 0,1,.xtt,0
t

00

t

做内积得 两边用





,
t

 
u

0
, ,0
t tt t
C







,, ,,
xxt xxtt xxttt
 
  
1,
tt
t
t

v
fu

tt t

t t
fufv
分部积分得
 

,,
x xxt xt

 

,2
xt xt




0
,2
t
C

,,
t

d
d

t t
t

两边同时加上

,t


左边将其化为

,
t
1d
2d ,右边将其估计为






,
tt
,,
t




经计算得




,,
,
t tx
ttt
CM


无关的正常数 ,


0
d1 , ,
d2
2, ,
xxt xt
t
t
M


为与

,
xt


2
,
xt
t





 
 

 
 

0tT,从 0到t积分,且注意到

满足齐初始条件,得


  


22 2
222
d,
tx xt
LL L
  
2 2
22 2
22 222
0
12,
2
t
txxtxt xt
L L
LL L
M
t
 

 
 
 
 

 
由Gronwall 不等式得

2222
222
20,
txxt
LLL L
 

 0
 


即

uv。
定理证毕!
4. 结论
本文讨论的四阶非线性偏微分方程组(1.1)描述了多条粘弹性杆的耦合振动问题,所用的方法是 Galerkin 方
法。首先选取负拉普拉斯算子的特征函数作为一组基,构造原问题的近似解并建立关于近似解的 Galerkin 逼近
格式,在引理 1~引理 4中对近似解作出一系列的先验估计,在先验估计的基础上通过取弱极限得到原问题的整
体强解,最后证明了整体强解的唯一性。
在常见的文献中 Galerkin 方法一般用于讨论单个方程,而本文成功地将 Galerkin 方法应用于方程组的情形。
在对方程组进行讨论时,非线性项的 Jacobi矩阵半有界这一条件很重要,本文在引理 1~引理4中对近似解作先
验估计时多次用到这一条件。
参考文献 (References)
[1] 朱位秋. 弹性杆中的非线性波[J]. 固体力学学报, 1980, 1(2): 247-253.
[2] 尚亚东. 一类四阶非线性波动方程的初边值问题[J]. 应用数学. 2000, 13(1): 7-11.
[3] J. Sather. The existence of a global classical solution of the initial boundary value problem for 3
uu f

. Archive for Rational Mechanics
and Analysis, 1966, 22(4): 292-307.
[4] J. L. Lions, 著, 郭柏灵等, 译. 非线性边值问题的一些解法[M]. 广州: 中山大学出版社, 1992.

版权所有:汉斯出版社 (Hans Publishers) Copyright © 2012 Hans Publishers Inc. All rights reserved.