 Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 81-86 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.31013 Published Online January 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) A Comparison of Two Topologies for p L and the Completeness of p L S Mingzhi Wu1, Yuan Zhao2 1School of Mathematics and Systems Science, Beihang University, Beijing 2Basic Subjects Department, Hebei Finance University, Baoding Email: wumz@smss.buaa.edu.cn, zhaoyuan135821@163.com Received: Nov. 21st, 2012; revised: Dec. 9th, 2012; accepted: Dec. 21st, 2012 Abstract: First, we make a primary comparison of the , -topology and the topology of convergence in probability for . Then, using the relation of the two kinds of topologies for , we give a proof of Stricker’s lemma based on a result in the theory of random normed modules. At last, we show that the ran- dom normed module p L p L LS p is complete if and only if is complete. S Keywords: Random Normed Module; , -Topology; Topology of Convergence in Probability p L上两种拓扑的比较与 p L S 的完备性 吴明智 1，赵 媛2 1北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京 2河北金融学院基础部，保定 Email: wumz@smss.buaa.edu.cn, zhaoyuan135821@163.com 收稿日期：2012 年11月21 日；修回日期：2012 年12月9日；录用日期：2012 年12 月21日 摘 要：首先，本文对 上的 p L , -拓扑和依概率收敛拓扑作了一点初步的对比。接着，以 p L 为桥梁，利用其上两种拓扑的关系，运用随机赋范模理论中的一些结果给出 Stricker 引理的证明。最后， 本文证明随机赋范模 生成的随机赋范模 S p LS 是完备的当且仅当 是完备的。 S 关键词：随机赋范模； , -拓扑；依概率收敛拓扑 1. 引言 2009 年，数理金融学家D. Filipović, M. Kupper和N. Vogelpoth 在[1,2]中提出了研究条件风险度量理论的模 途径，其中极其关键的一点是，他们引入比 p L空间更广泛的具有模结构的 p L空间作为模型空间。2011 年， 郭铁信在[3]中证明 空间可作为统一研究先前文献中提出的最主要的几类条件风险度量的最一般的模型 空间。在随机赋范模(简记为 模)及其随机共轭空间理论的框架下，以 p L RN p L空间作为模型空间的条件风险 度量的 Fenchel-Moreau 型表示定理已经得到清晰的阐释。要进一步发展以 p L空间作为模型空间的条件风险 度量理论，例如，考虑此类条件风险度量的优化问题，对 p L空间的各种性质的研究是必要的基础。 注意到在上可赋以两种重要的拓扑：一种是在 -模及其随机共轭空间理论框架下自然使用的 p LRN Copyright © 2013 Hanspub 81  吴明智，赵媛 p L上两种拓扑的比较与 p LS 的完备性 , -拓扑，一种是作为由随机变量等价类所构成的空间自然具有的依概率收敛拓扑。尽管 , -拓扑是研究 的主要拓扑，但是依概率收敛拓扑是风险度量理论乃至数理金融研究文献中广泛使用的拓扑。要充分开 发 在条件风险度量理论研究领域中的应用，对于 p L p L p L空间上的 , -拓扑和依概率收敛拓扑作一些对 比研究是有益的。二者的对比将有助于 -模及其随机共轭空间理论在条件风险度量理论研究中的进一步应用。 本文以为桥梁，利用其上两种拓扑的关系，运用 -模理论中的一些结果，给出在数理金融领域多时期 市场资产定价基本定理的研究中有着重要作用的 Stricker引理的证明。 RN p LRN 另外，本文还将考虑比 空间更一般的空间 p L p LS S ，其中 是一个 -模，此类空间由郭铁信于文[4] 中类比引入。注意到生成的赋范空间在一些关于 的研究中所起的桥梁作用(参见，例如[5,6])，从 - 模及其随机共轭空间理论来说，对于空间 SRN S S p LRN S p L 的研究可能会为今后对于 -模 上的问题的研究增加工具。 本文证明了完备当且仅当 完备。 RN S S p L S 2. 相关的概念和记号 本文将采用如下记号， ,,P 表示一个概率空间， 为正整数集合， 表示实数域或复数域 C， 表示 上的所有 -值-可测随机变量的等价类在通常的点式加法、乘法和数乘运算下所成的代数。 NK R 0,L 0 L KK 0 L 表示 上的所有实值(相应地，广义实值) -可测随机变量等价类所成的集合，其上具有序关系 ： 当且仅当 00 ，，其 中-..Pas 0 和0 分别是 与 的任一代表元，对于 , 0 L0 L的 任一非空子集 , 和分别表示 的本性下确界和本性上确界。符号 0 L以及 分别表示 非负以及严格正的 -可测实值随机变量等价类的全体。对所有 0 L -.Pa .s K-.Pas.0,L 以及 ， 0 L 和1 分 别表示随机变量 0 与的等价类，这里0 0 1 是 的任一选定的代表元，而0 是 的任一处处严格正的代表 元。最后，对于适当的 , 0 L E E和 将分别表示 的期望以及 关于 的子 -代数 的条件期望。 关于本性上(下)确界和条件期望等概念请参考测度论教材[7]。 定义 2.1[3,4] 称有序对 ,S 为数域 上以 K ,,P为基的一个随机赋范模(简记为 -模)，如 果是代数 上的左模， RN S 0,L K·是从 到S 0 L的映射，使得如下三条公理满足： (RN-1) x x ， 以及 ,K 0 L x S ； (RN-2) ,, x yxyxyS ； (RN-3) 0x蕴含 x 是 中的零向量。 S 例2.2 显然， 是自身的一个左模， 0,LK 0,上以 ,,P为基的一个 -模。 RN,LK K 就是数域 设 ,S 为数域 K 上以概率空间为基的一个 -模，为的一个子 ,, RN P1,p -代数， 。如下 我们引入由 生成的赋范空间和 生成的-模S p LS S p L SRN 。 定义 上的映射S ·: 0, pS为：对于任一 x S ， 1 ,1 ,. pp p Ex p xesssup xp ; 以及映射 0 , ·: pSL 为：对于任一 x S ， 1 , 0 ,1 ; pp p Ex p x Lx ,. p 记 p LS p xSx ， 0p p LxSSxL ，则可知 , p p LS 为数域 K 上的一个赋范空间， Copyright © 2013 Hanspub 82  吴明智，赵媛 p L上两种拓扑的比较与 p LS 的完备性 , , p p LS 为数域 K 上以为基的一个 -模。在 明确，不会引起混淆的情况下， ,,P RN , ·p简记为 · p 。 对于两种极端的情况：如果 ，则 , p p LS 就是 ,S自身；如果 为平凡 -代数 , ，则 , p p LS 即是由 生成的赋范空间 , p p LS 。由于对于任给 p x LS，若令 1 p S x ，则有 ，且 0 L 1 p x LS ，易知 00 ,, pp p L xLxLSS S LL -代数并且 ，则有 pp SSLL 。 进而，如果 也为的一个子 当-模RN ,S为 0, 时，我们记 p LSL p ，此时 LS p L空间就是熟知的全体 -可积(或者本 性有界，如果 )-可测实值随机变量等价类构成的Banach 空间 p p p L。 在本文中，任给 -模RN ,S，S上都被赋予 , -拓扑。此种拓扑最初是 B. Schweizer 和A. Sklar 为研究 概率度量空间理论而于 1961 年引入的，更多内容请参见专著[8]。对于本文，我们提请读者记住： -模 上 的 RN S , -拓扑是一个可度量化线性拓扑， 中的序列S , n x nN依 , -拓扑收敛于 x S当且仅当序列 , n x xn N 依概率收敛于；因而特别地，0 ,,LK 0 上的 , -拓扑就是熟知的依概率收敛拓扑。 P 3. 上两种拓扑的对比 p L p L作为实数域上以 ,,P为基的-模，在 -模及其随机共轭空间理论框架下，其上自然赋以RN RN , -拓扑，具体地，序列 , n x nN依 , -拓扑收敛于 x S 当且仅当 0 L中的序列 , np x xnN 依 概率收敛于 0；另一方面， 作为 的一个子集，其上具有依概率收敛拓扑。上的 p L 0 L p L , -拓扑和 依概率收敛拓扑都是可度量拓扑，下面将说明前者强于后者。实际上有下述更一般的结论。 定理 3.1 设 ,S 为数域 K 上以概率空间 ,,P为基的一个 -模， 和 为 的两个子RN -代数且 ， 1,p。那么，如果 , n x nN为 , , p p SL 中的Cauchy 列，则它也是 , ,S p Lp 中的 Cauchy 列。 证明 对于 ，由定义， p ,, xx 对任给 p xLS成立，结论是显然的。 对于1，采用反证法。假设 p , n x nN不是 LS p中Cauchy 列，则存在0 以及 01 ，使得 任给正整数 ，存在两个正整数满足 LmnL m,nPA ，其中 , ,. nm p Anmx x 注意到条件期望的性质， 11 11 ,, ,, ,, pp pp p , p p nmnmnm AnmAnm Anm pp p xxExxExxIE IEI 其中 为 ,Anm I , A nm 的特征函数。令 1 , p Anm EI ，则 01 且 , p EPAnm ，因而 , ppp p EEI EIP 于是 p P ，进而 ,, p nm p Pxx 结合前述，上式即说明 , n x nN也不是 p LS 中的 Cauchy列，矛盾。 Copyright © 2013 Hanspub 83  吴明智，赵媛 p L上两种拓扑的比较与 p LS 的完备性 推论 3.2 上的 p L , -拓扑强于依概率收敛拓扑。 证明 在上述定理 3.1 中，取 ,S为 0,L ，取为 同时取成 ，则可见中 p L , -拓扑下 的收敛列也必是 0,L 中的收敛列，也即必然按概率收敛。 一般而言，上述结论中两拓扑的强弱关系是严格的。考虑极端的情形， 为平凡 -代数 ，此时 , , p p L 就是Banach 空间 ,, p p LR ，其上的 , -拓扑就是 p L范数拓扑，熟知一般情况下它是严 格强于依概率收敛拓扑的。 接下来是一个利用 , -拓扑的结果解决依概率收敛拓扑下的问题的例子：我们将以 为桥梁，运用 -模理论中的结论来证明如下结果： p L RN Stricker 引理 设 是一概率空间，为 的子 ,,P -代数， 是 1,, n YY 0 L中给定 元，则 n 0 1 ,1,, n ii i i SYLi n 在依概率收敛拓扑下是 中的闭子集。 0 L 在数理金融学关于资产定价未定初始值的单周期市场模型中，设表示第 i种资产在一个周期的单股(折现) i Y 净收益，而 i 表示现有信息下在此周期持有的第 种资产的股数，那么i 1 n ii i Y 就表示此周期的(折现)净收益， 从而上述集合 表示全体可能的(折现)净收益，Stricker 引理断言 在依概率收敛拓扑下是中的闭子集， 这个事实在多周期市场模型资产定价基本定理的证明中有重要作用，参见教材[9]第1和第5章。我们下面给出 的证明，其基础是 -模中有限个元生成的子模总是完备的，此结论蕴含在[10]推论 2.7 的证明中。 S S 0 L RN Stricker 引理的证明 设 , n x nN为中依概率收敛Cauchy 列，则S , n x nN依概率收敛于某 0 xL， 只须证明 x S。依 Riesz 定理，存在 , n x nN 的子列 , nk x kN..sPa 收敛于 x ，由此 0 1 :1 knk Xx L 。令 1 1 n i i YY , Z XY ， 则 1 nk nk xx ZX 且 , nk xkN Z ..Pas收敛于 x Z 。 对每个 ，记ii i Y Z Z ，可知 1 i i Y ZY ，于是所有的 1 i ZL。若设TZ ，则可见 1S 01 1 ,1,, n ii i i TZLinL ， 且T为的有限生成的子模，因而 为-模 1 LTRN 1 L中 , -拓扑下的完备子集。因为 nk xT Z ，并且根 据Lebesgue 控制收敛定理，当 时，k 0 nk xx ZZ E .s，.Pa ，也即 , nk xkN Z 在 中依 L 1 , - 拓扑收敛于 x Z ，于是可知 xT Z ，进而有 x ZT S。 4. p L S 的完备性 设 ,S 为数域 K 上以概率空间为基的一个 -模，为的一个子 ,,P RN -代数， 1,p p LS ，本节 的目的是证明 -模完备当且仅当 完备。为此我们先建立 完备和其生成的赋范空间完备二者RN S p L S S Copyright © 2013 Hanspub 84  吴明智，赵媛 p L上两种拓扑的比较与 p LS 的完备性 的等价性。 定理 4.1 若 完备，则对于所有S 1,p， p LS都是完备的。 证明 时，结论是显然的，因而我们假设p 1,p 。设 , n x nN为 中() pSL 的一个Cauchy 列，即 有，当,m，n时0 p mn E由此x x，0 P mn xx ，从而 , n x nN也必为 S中的一个Cauchy 列，故收 敛于某 x S。根据 Fatou引理， lim pp mn mn n Ex xEx x S ， 因而，进一步对 取极限，有 p xLm limlim lim0 pp mm mm n Ex xEx x n ， 由此即说明 , n x nN在 p LS中收敛于 x 。 定理 4.2 若对于某一 1,p ，是完备的，则 完备。 p LS S 证明 设 , n x nN是中的一个Cauchy 序列，则S , n x nN是 0 L中的Cauchy 列，于是存在子列 kN..Pas收敛于某 ，进而 0 L 0 11 knk xL 。对任一 ，记 ，则 kN 1 knk yx , nk x , k y kN也是中的Cauchy 列。只须证明S , k y kN收敛于某 y S 。事实上，如果证明了这一点，那么我 们易见 , n x nN收敛于 y 。 A. 先证明 的情形。 1,p 显见 1 k y，由此，依据Lebesgue 控制收敛定理我们可知， p k yLS , k y kN也为中的Cauchy 列，由 的完备性可设其在 中收敛于 p LS p LS S p L p yLS，此即蕴含 , k y kNS在 中收敛于 y S。 B. 接下来证明 的情形。我们将分两步完成证明。 p (1) 先证明 具有可数连接性质。 S 为此，任取 中的一个序列 以及S , n pn N 的一个可数 -剖分 , A nn N，我们需要找到 pS 使得 n An An I pI x (其中 An I 表示 A n的特征函数的等价类)。下面我们将 构造出来。 p 对于每一个，我们可适当选取nN 0 nL 使得 1 2 nn n p ，例如可取 1 21 nnn p ，令 1 n n Ai i qI i i p 。可知 ，并且 是 qLS n,qnN n SL 中的一个 Cauchy列，由于 完备，因而 收敛于某 。 LS , n qn N qSL 根据我们的构造，可知 , nn An An I qIp nN pq 。记 ，令 10 1 i Ai i IL ，则有 1 nnnn An AnAnAnAn , I pI qI IpI p nN ， 这即说明 正是我们所寻。 p (2) 证明 的完备性。 S 由于 , k y kN也是 中的Cauchy 列，即有 S , lim1, 0 kl kl Pyy ， 因而可选取严格增趋于 的正整数序列使得，对任一 ,km mNiN ， 212,, kl kii m Pyy lm i ， 设 是 Bi 12i ki ki yy 的代表元， 1, 2,i ，则 12 i PBi 。令 in A nB i，则 Copyright © 2013 Hanspub 85  p L上两种拓扑的比较与 吴明智，赵媛 p LS 的完备性 Copyright © 2013 Hanspub 86 1 1 11 121 2 cc i n in in PAnPAnP Bi 1 。 由于 1 122 in An kiAn kiAnAn in in I yIy II ，于是， 时， l 11 l An kiAn kiAnklAn kn in I yIyIy Iy 在 LS 中收敛于某，故时， n zl klAn I y 在中收敛于S kn An n I yz 。 最后，我们令 11CA， 11,CnAnAnnN ，根据(1)，我们令 为y , n An kn I yznN 关于 的可数连接，也即，，于是 ,Cn nN 1 :n CnAnkn n yIIyz , k y kN的子列因而它自身在 中收 S 敛于 。 y 现在我们陈述并证明本节的主要结果。 定理 4.3 对任一 1,p p ，完备当且仅当 完备。 p LS S 证明 考察 -模生成的RN LS p L空间 pp LLS ，其中的范数设为 , · p ‖ ‖ ，我们将证明 生成的赋范 空间 p LS S , , pp SLL p 就是 生成的赋范空间 ,p LS p 。为此，只须对任给 ，证明 S pp xLL , p p x x 。如下分两种情况进行讨论： (1) ，则 1,p 1 , p p p pp p pp x ExEE xEx ； (2) ，根据定义有关系式： p x x 以及 x x ，进而 , x esssupxx 以及 , x esssupxx ， 因而综合起来有 , x x 。 于是，我们运用前述定理 4.1 和定理 4.2即得 p LS 完备，当且仅当 pp p SLL L S完备，当且仅当 完备。 S 注记 4.4 生成的赋范空间 p LS S , , pp p SLL 就是 生成的赋范空间 ,p p LS ，实际上，这一结 论在[4]中就已经被证明。在上述证明中，我们提请读者注意我们的符号， x 和 x 是随机变量(等价类)而 x 是非负实数。 参考文献 (References) [1] D. Filipović, M. Kupper and N. Vogelpoth. Separation and duality in locally 0 L -convex modules. Journal of Functional Analysis, 2009, 256: 3996-4029. [2] D. Filipović, M. Kupper and N. Vogelpoth. Approaches to conditional risks. Working Paper Series No. 28, Vienna: Vienna Institute of Finance, 2009. [3] T. X. Guo. Recent progress in random metric theory and its applications to conditional risk measures. Science China Mathematics, 2011, 54(4): 633-660. [4] T. X. Guo. Relations between some basic results derived from two kinds of topologies for a random locally convex module. Journal of Func- tional Analysis, 2010, 258: 3024-3047. [5] T. X. Guo, S. B. Li. The James theorem in complete random normed modules. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2005, 308: 257-265. [6] M. Z. Wu. The Bishop-Phelps theorem in complete random normed modules endowed with the (, ) -topology. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2012, 391: 648-652. [7] 严加安. 测度论讲义[M]. 北京: 科学出版社, 2004. [8] B. Schweizer, A. Sklar. Probabilistic metric spaces. New York: Dover Publications, 2005. [9] H. Fӧllmer, A. Schied. Stochastic finance, an introduction in discrete time. Berlin, New York: Walter de Gruyter, 2002. [10] T. X. Guo, G. Shi. The algebraic structure of finitely generated 0(,) L K-modules and the Helly theorem in random normed modules. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2011, 381: 833-842. |