具有Allee效应和比例依赖响应函数的非自治的食物链模型的周期解的存在性 The Existence of Periodic Solution of a Non-Autonomous Food Chain Model with Allee Effect and Ratio-Dependent Functional Response

doi:10.12677/PM.2013.31014

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Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 87-94

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.31014 Published Online January 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html)

The Existence of Periodic Solution of a Non-Autonomous

Food Chain Model with Allee Effect and

Ratio-Dependent Functional Response

Yaping Zhao1, Shang Xiang2, Yuqian Zhou1

1Mathematic Department, Zhengzhou University, Zhengzhou

2Zhengzhou Vocational College of Light Industry, Zhengzhou

Email: zhaoyaping8910@126.com, Look2008Beijing@126.com, zhouyuqian1989@163.com

Received: Nov. 27th, 2012; revised: Dec. 11th, 2012; accepted: Dec. 29th, 2012

Abstract: This paper studies a non-autonomous three-species of food chain model with its first trophic level

contains Allee effect and ratio-dependent functional response related to the density of food and prey. By us ing

Mawhin coincidence degree theory, this paper proves this model has at least one positive periodic solution.

Keywords: Allee Effect; Mawhin Coincidence Degree Theory; Food Chain Model; Positive Periodic

Solution; Ratio-Dependent Functional Response

具有 Allee效应和比例依赖响应函数的非自治的食物链模

型的周期解的存在性

赵亚萍 1，向上2，周玉倩 1

1郑州大学数学系，郑州

2河南轻工业职工大学，郑州

Email: zhaoyaping8910@126.com, Look2008Beijing@126.com, zhouyuqian1989@163.com

收稿日期：2012 年11 月27 日；修回日期：2012 年12 月11 日；录用日期：2012 年12 月29 日

摘要：本文研究了第一营养级含有 Allee 效应，并且响应函数依赖于食物与猎物的密度之比的一个非

自治的三种群的食物链模型，并利用 Mawhin 重合度理论证明了该模型至少存在一个正周期解。

关键词：Allee 效应；Mawhin 重合度理论；食物链模型；正周期解；比例依赖响应函数

1. 引言

随着人类活动强度的增强，生态环境在不经意间遭到破坏，这对生物的生存非常不利，全球的生物多样性

正在遭受严重的威胁。近年来，许多生物学家开始关注生态环境并对此做了大量的研究。1838 年，比利时生物

学家 P. F. Verh ulst提出自然界中任何物种都不可能无限制增加，所有的物种都有自限制能力，并在[1]中根据此

逻辑推理引进了著名的 Logistic模型：













(1)

1949 年，美国动物生态学家 Allee 提出，群聚有利于种群的增长和存活，但过分稀疏和过分拥挤都可以阻

止其生长，并对生殖发生负作用，每种生物都有自己的最适密度。基于此原理，人们对 Logistic 模型做了改进，

当种群密度很大或者很小时，其增长率都是负的。王明新在[1]中提出具有这些性质的简单模型是：

赵亚萍等  具有 Allee 效应和比例依赖响应函数的非自治的食物链模型的周期解的存在性

XXX

tKN

















(2)

Allee效应的提出在生物入侵和自然保护方面具有重大意义。一方面，阿利效应本身可以限制物种分布区的扩大，

影响生物入侵策略，而入侵生物必须能克服阿利效应的影响才能得以入侵成功；另一方面对于濒危生物，其繁

殖率的相对高低对物种灭绝的影响并不显著。但Allee效应对其物种灭绝的影响却很明显：Allee效应越弱，物种

灭绝时间越长。因此，Allee效应也越来越受到科学家们重视。王明新教授在[1]中，提出了一个考虑Allee效应并

具有比例依赖响应函数和猎物自限制项的捕食模型：



ucuuk

vuv

av bv

tmuv

 



muv





 





(3)

杜增吉在[2]中讨论了含有干扰项和Holling III型功能反应函数的模型：

 











 

 



 

11 22

22 22

ctx t

xxtrtbtxt yt

xt k

ctxt

yytrtbtyt yt

xt k









 





(4)

的周期解的存在性和稳定性。受[1,2]的启发，本文引入了一个新的模型：

 



 



 

  

 

 

 

  

 

112 1

32 12

ctutvt

uuta tb tututat

tvt

ctut ctvtwt

vvta tb tvt

tvtmtutwt

ctvt

wwta t

twtmtvt

 







 







 













mtut

mtvt

(5)

其中u, v, w分别是第一营养级，第二营养级，最高营养级的种群数量。其中





at, , , 是正的T

周期函数，其生物学意义分别如下：



at表示t时刻无捕食者v时食物u的增长率；



bt表示t时刻由于u物种内部竞争而引起的u物种的死亡率；



at表示t时刻u物种的Allee效应函数，一般为常数；



at表示t时刻捕食者v无食物u时，捕食者v的死亡率；



bt表示t时刻由于v物种内部竞争而引起的v物种的死亡率；





ct表示t时刻u物种被v物种吃掉的数量；



ct表示t时刻v物种吃掉u物种后转化成v物种的数量；



ct表示t时刻v物种被w物种吃掉的数量；



ct表示t时刻w物种吃掉v物种后转化成w物种的数量；



mt表示t时刻v物种处理单个u物种所用的时间；



mt表示t时刻w物种处理单个v物种所用的时间。

在[2]中，作者用重合度理论证明了含有干扰项和Holling III型功能反应函数二种群的周期解的存在性，本文

则根据王民新教授的学术报告，把模型(3)扩展成三种群中去讨论它的周期解的存在性，在证明过程中利用连续函

数导数的性质以及积分性质相结合，比[2]中只用连续函数导数的性质有所创新，并且在证明过程进行巧妙的处理。

赵亚萍等  具有 Allee 效应和比例依赖响应函数的非自治的食物链模型的周期解的存在性

2. 预备知识

引理2.1[3] (Mawhin延拓定理)设X，Y是Banach 空间，为线性映射，为连续映射，

如果，且ImL为Y中闭子集，则称映射L为指标是零的Fredholm映射。如果L是指标为

零的Fredholm映射且存在连续投影映射，及使得

:DomLLX

:QY YIm



:NXY

dim KerCodim ImLL

:PX XKerPL



, ，则



Im I



QKer ImLQ





DomL KerP

LIPX

mL

可逆，其逆映射记为 1

L。设



为X中的有界开集，如果







有界，且





LIQN X

是紧的，则称 N

在上是L-紧的。由于 ImL与KerQ同构，因而存在同构映射 :Im Ker

LQ。

定理2.1[3] (Mawhin重合度定理)设

 是有界开集，L是指标为零的Fredholm映射，N在是L-紧的。假设：

1) 对，方程



0, 1



 Lx Nx



的解满足 xDomL



，

2) 对，， xKerL 0QNx 

3) ，



deg,,0 0JQN KerL

则方程在Lx NxDomL 至少存在一个周期解。

引理2.2[4,5] 对于T周期函数 :

TR,



，存在





,0,T



，使得









min





,











max





 (6)

那么有



tx xt







t;



tx xt







t. (7)

定义2.1[6] (Bro wer度)设



是中的有界开集，

R:n

R 是连续映射，且对所有的，偏导数x







存

在且连续，



x在处的雅可比矩阵记为x







，用









fx 表示







的行列式，







nf fzpR ，

f关于对于p的Brower度为













deg,,





 signJ f x



。

引理2.3[6] (同伦不变性)设





:0,1n

R 连续，









ht Hxt，设





:0,1 n



连续，且当0t1



时，

，则于t无关。

 









deg, ,







备注：为了方便叙述，我们令



gs s

，



Ggss

，其中 g是周期函数。

3. 周期解的存在性

定理：假设

 





32 12232 12

cm ctam









，并且













4343 23

cam





，那么 (5)至少存在一个正周

期解。

证明：令



ut，



vt ，



wt ，代入系统(5)得









 



11 2

ee ee

eeee

xt xt

yt xt

xt zt

txtzt

zt yt

xtat btatmt

ct ct

ytat btmt mt

zt atmt

 





 





 





(8)

赵亚萍等  具有 Allee 效应和比例依赖响应函数的非自治的食物链模型的周期解的存在性

令

 







,, ,,

Ykt xtytztCRRktTkt

并定义





















0, 0,0,

max maxmax

tT tT tT

ktxt yt zt



,

显然 X, Y是Banach 空间， kX



，定义映射



:, d

LX YLkt



，





:, 0,:PXXPk kQY Y 

，

 

Qkkt t

. :NX Y



 



 



 



11 2

32 2

ee ee

eeeee



 









 



















xt xt

yt xt

xt zt

ytxt ztyt

zt yt

at btatmtt

ct ct

Nka tb tt

mt mtt

at mt







123

ker,0,, ,LkkXkkhhh



 



，其中 ,1,2,3

hRi



，



Im,d 0

LkkYktt















因此

dim3 dimIm

erL coL ，，所以Im







,0Pk kxkR 





00,0,0y z3



，又因

 

Qkkt t

，

故。



ImQ IQIm ,ImPKerL LKer

所以 L为指标为零的 Fredholm 映射，且 L的逆映射存在，记为

k：，经简单计算，

我们得到

kLKerPDomL

 

000

tTt

kkss kss





根据 Q，N，及

k的定义，简单计算出



QNtt

















 

000

tTt

sss

kIQNk sssst









 











显然，根据 Lebesgue 收敛定理，知QN,





kIQN都连续，根据 Arzela-Ascoli 定理，对于任意有界开集



，

是有界的，



QN 



kIQN是紧的，所以对



 ，N在



上是 L-紧的。

下面我们来找一个合适的开的有界集合



。对于 Lx Nx









0,1



 ，我们有

赵亚萍等  具有 Allee 效应和比例依赖响应函数的非自治的食物链模型的周期解的存在性

 







 



112

ee ee

eeeee

xt xt

yt xt

xt zt

ytxt ztyt

zt yt

xtat btatmt

ct ct

ytat btmt mt

zt atmt







 













 









 









(9)

对(9)第一式和第三式从 0到T积分，得

 



 



1211 21

()

000 0

ded de

TTTT

xt xt

atat tbtttatatbtt

 



 d

(10)

 



32 ()

00 00

ded d

eeee

zt xt

TT TT

yt ytxt

ct ct

at tbtttt

mt mt

 



 

(11)

 



zt yt

attt



 d

(12)

由(9)第一式及(10)得

  



 



11 2

00 1

00 0

dee d

2d2d2d2

ee 1e

TT xt xt

yt xt

TT T

ytxtxt yt

xt tatbtatt

ct ct

ttctt

mtmt 













TCH



(13)

同理可得

 





1100 0

d2d2d2

TT T

yt xt

ctct C

yt tttTH

mt M







 

(14)

 

d2 d2

zt tat tTAH



 3

 (15)

令



















max ,min

xt xxt

























max ,min

yyty





yt



















max ,min

zztz





zt

那么有，，

 

0xx







 

0yy















0zz







，从而得出





 



1 1

211

112111112111

x x

aaba ab







 



 



 (16)

 



 



1 1

211

1121 11112111

x x

aaba ab







 



 









(17)

赵亚萍等  具有 Allee 效应和比例依赖响应函数的非自治的食物链模型的周期解的存在性



 



222

32 22

22 12

()e

eeee

zyy

ab mm







 







(18)

 



222

32 22

22 12

eeee

zyy

ab mm









 

 





(19)

 











y



(20)

 











y



(21)

由(10)式得





 



121 112 112 1121

00 0

deded

TT T

xtx x

aaTa tatta tatbtta tatbttaabT



 





 e

从而



112

121

exaa

aab





因此得



121

ln aa

aab





，又由引理(2.2)得

 

tx xttsHB





 

 (22)

由(17)得



 







1111 2111

baab







从而得

















11 2111

111

ln aab









由引理(2.2)得

















11 2111

dln

Taab

tx xttHB









 

 (23)

取



max ,RB



B，根据(22)、(23)，则对 tR



有







，由(19)式，

 













从而



 





















2232 122232 12

32 32

cam cam



 







故

















223212

cam













 (24)

赵亚萍等  具有 Allee 效应和比例依赖响应函数的非自治的食物链模型的周期解的存在性

由引理(2.2)得



ytyyttsHB





 

22

由(12)得

 



 

00 0

ddd

eee

yt BB

TT T

zt zz

ctct c

aTa ttttT





 

从而有







由引理(2.2)得



dln B

ztzz ttHB







3

有(18)得







 



222 2

3212222222

xzx y

cm ccm





 







故



 



 



 



 



22 3

22 2222 22

32 1222

cm cm

cm c





 

 





从而















22 22

32 1222

ln eB

cm c



 



 (25)

由引理(2.2)得





222

tsHB 

取



max ,RB



B，则对 tR



，均有





yt R



，由(20)得

















33 32

4343

23 23

zy zB

amm

 











从而得

















4343 23

cam

















(26)

由引理(2.2)得



ztzz ttsHB





 

33

取



max ,RB



B，则对 tR



，均有





zt R



。

定理的条件保证了(24)、(25)、(26)有意义，取

赵亚萍等  具有 Allee 效应和比例依赖响应函数的非自治的食物链模型的周期解的存在性

 





,, :

ktxtyt ztXktR ,

其中，, , 如上文假设，显然 N在

RRRR



上是 L-紧的，现在我们来验证Mawhin 重合度定理。

1) 由的选取及以上所述，对，



0, 1







mkDoL



，Lk Nk





；

2) 取

 



,, T

tytztDomL，那么

 



,, T

tytzt R



，若









0QNk t，那么由上述证明只

其解

 



,, T

tytzt 是(10)~(12)所组成的方程组的解，故

 



,, T

tytzt R



，这与

 



,, T

tytzt R



矛盾，故；



0QNk t

3) 令J = I，由于 ImQKerL



，为了验证 Mawhin 重合度定理，我们首先定义一个映射





:0,1

DomL KerLX















,,,,1,,

xyzQN xyzGxyz





其中





0,1



，



 



 



 

1211 2

1ed

,, d

Txt

yt xt

zt yt

aaTatbt att

Gxyz aTt

aT t



























那么，G是QN 的一个同伦，由于



,, 0Gxyz



，在 3

内有唯一解，且



，故

，根据引理(2.3)



, ,0,0,0

xyz









deg ,,00GKerL











deg,,0 deg,,0 deg,,0 0JQN KerLQN KerLGKerL.

因此在

 

Lk NkDomL



上至少有一个周期解，从而(5)至少存在一个正周期解，证毕。

参考文献 (References)

[1] 徐利治. 现代数学手册——近代数学卷——第 7篇[M]. 武汉: 华中科技大学出版社, 1999: 343.

[2] 任景莉, 薛春燕. 微分方程中的泛函方法应用研究[M]. 北京: 北京科技大学出版社, 2006.

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[4] Y. S. Lv, Z. J. Du. Existence and global attractivity of a positive periodic solution to a Lotka-Volterra model with mutual interference and

Holling III type functional response. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2011, 12(6): 3654-3664.

[5] M. Bohner, M. Fan and J. Zhang. Periodicity of scalar dynamic equations and applications to population models. Journal of Mathematical

Analysis and Application, 2007, 330: 1-9.

[6] M. Bohner, M. Fan and J. Zhang. Existence of periodic solution in predator-prey and competition dynamic systems. Nonlinear Analysis: Real

World Applications, 2006, 7(5): 1193-1204.