三角环上的Jordan可导映射 Jordan Derivable Maps on Triangular Rings

doi:10.12677/PM.2013.31015

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Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 95-100

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.31015 Published Online January 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html)

Jordan Derivable Maps on Triangular Rings

Huiyuan Zhang, Chunhui Xue, Runling An

Department of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Tai Yuan

Email: runlingan@yahoo.com.cn

Received: Nov. 22nd, 2012; revised: Dec. 16th, 2012; accepted: Dec. 25th, 2012

Abstract: Let be a triangular ring. We say

:



is a Jordan derivable map if

 





BBAABABBAB



 A



for every ,AB



. In this paper, we show that every

Jordan deriv able map on triangular rings is a deriv ation. As its application, we get a Jordan deriv able map on

irreducible CDCSL algebras or nest algebra is a derivation.

Keywords: Jordan Derivation; CDCSL Algebras; Triangula r Rings; Nest Alge bras

三角环上的 Jordan 可导映射

张慧愿，薛春慧，安润玲

太原理工大学数学学院，太原

Email: runlingan@yahoo.com.cn

收稿日期：2012 年11 月22 日；修回日期：2012 年12 月16 日；录用日期：2012 年12 月25 日

摘要：设是一个三角环。我们称:







(无可加或连续假设)是一个 Jordan 可导映射，若对任

意的有

,AB















BBAABAB A

 

 BAB



 



。本文我们证明了三角环上的 Jordan

可导映射是导子。利用此结论我们得到不可约 CDCSL 代数上或套代数上的每个 Jordan 可导映射是导

子。

关键词：Jordan 导子；CDCSL 代数；三角环；套代数

1. 引言

研究环或代数上的可乘映射何时可加是一个有趣的问题。开创性的工作由 Martindale 在文献[1]中所做。在

此文献中他证明了从一个包含非平凡幂等元的素环到一个任意环





的可乘双射



(即

 





BA





B，

)是可加的。随后，Martindale 的结果被推广到了 Jordan 可乘映射的情形。文献[2]中作者证明了如果

是维数至少是的巴拿赫空间上的一个标准算子代数，那么上的每个Jordan 可乘映射 (即

,AB

2

  



BBAA BBA







 ，,AB



)是可加的。文献[3]中我们证明了维数至少是的希 2

尔伯特空间

上的自伴算子空间或套代数上的每个Jordan 可乘映射是可加的。

在这篇文章中我们考虑导子的情形。令是一个环，



是到其自身的一个映射，我们称



(无可加或连

续假设)是一个可导映射，若对所有有

,AB













BABA

 

；如果对所有有

,AB

 





BBA ABAB



 BAB



A



则称



是一个 Jordan 可导映射。一个可加的可导映射称为一个

导子，一个可加的 Jordan可导映射称为 Jordan导子。文献[4]作者证明了包含一个非平凡幂等元且特征不是的

素环上的每个可导映射是一个导子。后来，侯在文献[5]中证明了三角代数上的每个可导映射是一个导子。陆在

张慧愿等  三角环上的 Jordan 可导映射

文献[6]中证明了包含一个非平凡幂等元且特征不是的素环上的 Jordan 可导映射是可加的，进而它是一个导子。

本文中我们将刻画三角环上的Jordan可导映射，证明三角环上的 Jordan可导映射是导子。利用此结论我们证明

了不可约 CDCSL 代数上或套代数上的每个Jordan可导映射是导子。注意到三角环既不是素环也不是半素环。

我们固定一些记号。称是

上的一个子空间格，若是

上包含和0

的投影族，且对运算和封闭。

一个全序子空间格被称为一个套。希尔伯特空间

 

上的一个子空间格称为交换子空间格或者，若中的

投影彼此可交换。如果

CSL 





:PQQP

 对每个 P



且0P



成立，或等价地



PQ P :,QQ对

每个且成立，则称子空间格是完全分配的。给定

PPI

上的子空间格，相应地子空间格代数 









lg, ,ATHTPPTPP  

显然，是lgA



中含单位元的弱闭子代数。称是一个 CSL 代数若是一个交换子空间格。如果是

完全分配的 CSL 代数，则称是一个 CDCSL 代数。CSL 代数是不可约的当且仅当它的换位是平凡

的，即

lgA

lgAlgA



。

2. 主要结果和证明

在这一部分，我们将刻画一些自反代数上的 Jordan可导映射。首先，我们来研究三角环上 Jordan可导映射

的可加性。

定义 2.1 设和是有单位元的两个环且其单位元分别为

1

和2

，是忠实的



-双模，即是

-双模，且对任意的





, 



, A



, ，对任意的



0AB



,





0B0B



。代数 0A



,,: ,,

TriA MB



























 



在通常的矩阵加法和矩阵乘法下称为一个三角环。

。包含一非平凡幂等元 10

P









，我们称之为显然三角环是有单位元的，其单位元是













标准幂等元。我们把和看作, 





,,Tri的子集。

下面是本文的主要结果。

定理 2.2 设是特征不是 2的三角环。则映射



,,Tri







是一个 Jordan 可导映射(即对任意

的，

,AB

 









BBA A



 BABBBA A



)当且仅当



是一个导子。





证明充分性是显然的。下来我们证明必要性。为了方便和阐述清楚，我们把证明过程分为若干个步骤。在

接下来的证明中，设是中的标准幂等元。令

P1



和21

PIP



。

断言 1 。







由

 













00000000000

 

 00



知









。

断言 2







,PPS



，。

S

对任何，我们有 M

 

















PMMPMPMMPMP



 P





等式左边和右边分别乘以和P

P得











0.PPM PIPM





 (2.1)

对任何，通过第一步我们有 B



















0.PB BPPB PBBP BP



 



(2.2)

张慧愿等  三角环上的 Jordan 可导映射

给这个等式两边同乘以

P，我们有















0IP PBBPIP







0PPM



。由于的特征不是的，因此

。由(2.1)我们有

2



0IP PIP







。又因为 是的忠实左模，所以。因此，



PP 0P





  

PPIP



PPPI



P



。令









SPPIP





，则









,PP S



。

对所有的，定义映射

A













AASSA



  。那么







且



















BBAABA BBABA 

对所有的成立，即,AB



仍是一个 Jordan 可导映射。因此，不失一般性，在下面的证明过程中我们假设

。







断言 3 对所有的，M

 





PMIP



。

对任意的，由于M

 









PMMPMPPM

 

 。因此



  

0PMP IPMIP



 

，

 



IP。

断言 4 。



0IP





由等式













IPIPPPIPIPP







知













0PIPPPIPIP





 (2.3)

另一方面，对任何的，由(2.3)我们有 M

 











MMIP IPM



IPM IPIPMIPM

MIP M IP















因此，由断言 3我们有。由于是的忠实右模，因此



0MIPIP



 



 

0IPIPIP







。所以，

由(2.3)我们有







0IPIPIP



，





IP 0





。

断言 5 对任何，，AB







PAP



，

















BIPBIP





。

对任何，由断言1和断言4可以得到A



















 

IP IPAAIPIPA



 



，因此，

 





0IPP AIP



AIP



，





PAP



，类似地，对任何



我们有

。

 

BI BIP



 



断言 6 对任何，，AB













MAM



 ，













BMBM



 。

固定，对任意的，由断言5我们有

AMB

















 



MBBA MA MBBA MA MBBA M

AMBBAMMB





 

 

另一方面





















 



 





MBBA MMBBMMBMBBMBM

AMBMBBAM





 



因此，对任何 B

























0.AMA MBBAMA M



  

由此知，





0PAMAMP



 





















0PA MA MP

 



 对任何 Y， 

















 



MYYA MAMYYA MAMYYA M

AMYY AMAY





 

 

另一方面，由断言3我们有

张慧愿等  三角环上的 Jordan 可导映射





















 







AMYYAMAYYAAY AYYA

MYAY YAM



 

 

 



由这两个等式知对任意的 Y































0AMAMYY AMAM



 

因此，，





0PAMA MP



 













MAM



 类似地，





BMBM



 



对任何

，成立。 BM

断言 7 对任何











121 212

MMMM



M。

由断言 4和断言 6，我们有

















  

 

 







 







 

121122 2211

112 21122

2211 2211

1122112 2

2211221

M MPMPMPMPM

PM PMPMPM

PMPMPMPM



 



 

 

 

  

  





因此，对所有









121 212

MMMM



M。

断言 8 对任意的 12

,AA



，，

,BB













1212

AAA



 ，





1212

BBB B



 



。

我们仅仅证明第一个等式，第二个等式类似。对任何 M



，我们有









  



1212 12

12 121212

1212 .

AAM AAMMAA

AMA AMMA AMA A

AAM AAM









 

 



另一方面，通过断言7我们有



 













 





1211 221111

222212 12.

AAMAMMAAMMAAMAMM AMA



MAMM AMAAAMAAM



 

 

 

因此









121 20AAAAM





 





对任何



成立，由断言5以及是的忠实左模，我们有 



121 2

AAA



 。

断言 9 对所有，，，AMB

















MBA MB



 



。

对任何W，由断言5我们有 







  

AM BWWAM B

M BWAM BWW AMBWAM B

AM BW BWMWWBWAM B







 

 

 



另一方面，由断言5和断言 6可以得到





 

 

  



 





AM BWWAM B

MWBW WBMWBW WBMWWMBW WB

MWMWBWBWWB WB

MBWWAMBBWWBMW







 

  

 



 

张慧愿等  三角环上的 Jordan 可导映射

因此，对任何W 

























0.AM BAMBWWAMBAMB





由此知

























221

0, 0PAMBAMBPP AMBAMBP

 

 



。类似地，对

任何























, 0YAMBAM BYYAMBAM



 ，所以，

















0.PAMBA MBP



 

从而有

  

MBA MB



 



对所有的 A



，M



，B



成立。

因此，由断言7到断言9知



是一个可加映射，即



是Jordan 导子。因此，



是一个导子。

由定理 2.2 我们可以刻画一些自反代数上的 Jordan 可导映射。我们称中的投影是可比较的，若

对任何，要么要么P。

lgA P

QPQQ

引理 2.3 如果是一个包含非平凡可比较投影

的子空间格。那么

(1) ，lgPA







lgPHIP A

。

(2)

是忠实的(即对中的元素 T，lgA









lg 0TPAI P有0TP



，且







lg 0PAIP T有

)。



IP0T

证明

(1) 因为

与中的元可交换，因此 P设QlgA假



，





PA IP是



 

PHIP

如果 QP，Q QAQ 那么

中的一个任意元。

。如果那么 0APQ

QQAQ



。因此，





PA IPlgA，P。



 

lgIP A





(2) 由于是一个素代数，因此(3)是正确的。

凡可比较投影

由定理 2.2 和引理 2.3 我们有

定理 2.4 令是一个包含非平

的子空间格，是相应的子空间格代数。那么 lgA

:AlglgA



一个Jordan可导映射(即是

















,, lgABBAABBABAABA

 

 AB



)当且

仅当



是一个导子。

注意到套中的所有投影是可比较的，且由文献[7]知，套代数上每一个可加导子是线性的，从而是连续的。

因此由定理2.4 我们有

定理 2.5 令



是维上的一个套， lgA



数至少是的希尔伯特空间2

是相应地套代数。那么，

:AlglgA



一个Jordan可导映射(即是

















,, lgABBAABABABAA BA

 

 B



)当且

仅当



是一个导子。此外，存在 lgTA



使得





TA AT



 对所有 lgAA





成立。

接下来，我们刻画不可约 CD上的CSL代数 Jordan 可导映射



。为结果，了证明这一我们需要文献[8]中的

定理

6 令是一个不可约CDCSL 代数。那么存在一个忠实投影

3.4。

引理 2. lgA 

。

2.6

C代数。那么

因此，由引理和定理 2.2 我们有

定理 2.7 令lgA是一个不可约的 CD :lg lgAA



是一个 Jordan 可导映射(即

 





,,BBAABBABAABA



 lg)当且仅当



AB



是一个导子。

数中套子代数的概念，它是在文献[9]中，Gilfeather和Larson 引入了von Neumann代对 Ringrose 的套代数

概念的推广。令 是复希尔伯特空间

上的一个因子 von Neumann代数。 中的套



是中包含 0和

的

全序投影族，且



对投影的 和两种运算封闭。称一个套是非平凡的若它至少包含一个非平凡投影。相应于

套



的的套子代数记为 Alg ,



它是 中所有满足 PAP AP



，P







的元素构成的集合。当







时， lgA



是希尔伯特空间

上的套代数。

理2.8 令定



是因 von Neumann代数子上的一个非平凡的套，lgA



是相应的套代数。那么

:Alg lgA







是一个 Jordan 可导映射(即，

















,,ABBAABABABAAB

 

 lgAB





)

张慧愿等  三角环上的 Jordan 可导映射

100

当且仅当



是一个导

，下来我们证明必要性。与引理2.3的证明过程类似，我们可以得到对任何的非平凡

投影

子。

证明分性是显然的充

P



有



lgPIP A

且

是忠实投影。因此， lgA



是一个三角代数，由定理2.2 可得



是一个

导子。

参考文献 (References)

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



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