关于G-代数的广义膨胀的几个结论 On the Generalized Inflated G-Algebras

doi:10.12677/PM.2013.31016

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Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 101-106

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.31016 Published Online January 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html)

On the Generalized Inflated G-Algebras*

Wenlin Huang

School of Information, Renmin University of China, Beijing

Email: wenlinhuang@163.com

Received: Nov. 24th, 2012; revised: Dec. 16th, 2012; accepted: Dec. 23rd, 2012

Abstract: We defined the generalized inflated G-algebra, and obtained the necessary and sufficient co ndition

for the local generalized inflated G-algebra. We also studied the blocks of finite groups and that of its factor

groups with the inflated G-algebra, and hence promoted the results on the block cover and the block control,

moreover, we characterized the defected group of the generalized inflated G-algebra.

Keywords: G-Algebra; Generalized Inflated; Blo c k Cover; Block Control; Defect Group

关于 G-代数的广义膨胀的几个结论*

黄文林

中国人民大学信息学院，北京

Email: wenlinhuang@163.com

收稿日期：2012 年11 月24 日；修回日期：2012 年12 月16 日；录用日期：2012 年12 月23 日

摘要：在本文中，我们借助 G-代数的(内)张量积定义了广义膨胀 G-代数这个概念，得到了广义膨胀

G-代数是局部 G-代数的充要条件，推广了关于块覆盖和块控制的相应结论，我们还得到了关于广义膨

胀G-代数的亏群的一个刻画。

关键词：G-代数；广义膨胀；块覆盖；块控制；亏群

1. 研究背景

有限群的模表示论自上世纪四十年代创立以来就一直蓬勃发展，它为研究群结构和群代数的结构提供一种

可行的线性方法，并且取得了丰硕的研究成果。G-代数是有限群模表示论中的一个十分重要的研究对象，比如

对群代数



G、



G-模、矩阵 G-代数、斜群环



、纽群代数

、

G-图表等等的研究都可以归结到对 G-

代数的研究。

膨胀方法是一个自然的方法，它被用来分析群代数上的模和它的因子群所对应的群代数上的模之间的关系，

许多作者研究过模和代数上的膨胀方法[1-4]。比如，文献[1]给出了膨胀模是投射模的判断条件，Karpilovsky 进一

步将该结论推广到 G-代数上[4]。同样是用这种方法，群的块代数和它的因子群的特征标之间的关系、

块代数之间的许多关系也被深刻地揭示出来。不仅如此，通过膨胀方法我们还可以扩张一个正规子群上的

不可约模到纽群代数上去[5]，可以借用膨胀模将群上的不可约单模表达为子群上的模的诱导[6]，以及结合模的膨

胀方法可以用 Heller 算子提供一个构造 p-群上的 Endo-permutation 模的方法[7]。

在本文中，在上述模和 G-代数的膨胀方法的基础上，借助G-代数的(内)张量积方法，我们提出广义膨胀

G-代数这个概念，得到了广义膨胀 G-代数是局部 G-代数的充要条件，并用广义膨胀方法，我们进一步讨论群的

块和它的因子群的块之间的若干关系，推广了关于块覆盖和块控制的相应结论，我们还得到了关于广义膨胀 G-

*基金项目：国家自然科学基金资助课题(No. 10826057)。

黄文林  关于 G-代数的广义膨胀的几个结论

代数的亏群的一个刻画。

本文的写作结构是：第一节介绍研究背景，第二节先介绍广义膨胀 G-代数，然后叙述本文所获得的主要结

论，第三节给出本文主要结论的完整说明。

2. 定义和主要结论

在本文中，我们设定



= k是一个特征为素数的代数封闭域，总是有限群 G的一个正规子群，我们还

约定总是表示的简写。本文的主要概念请参见文献[7]。

k



设







是一个 GN-代数，按文献[7]，







的膨胀 G-代数是一个 G-代数









inf ,infC



，这里





inf CC





 

inf



,

G。明显地，如果







是局部 GN-代数，那么









f ,infCin



是一个局部 G-代数，

并且，如果







是一个内 GN-代数，那么













,infinf C



也是一个内 G-代数。







和







都是 G-代数，在本文中，它们的(内)张量G-代数指的是 G-代数



,AA



此时













:=, .

ggg







特别地，两个内 G-代数 1

, 2

的(内)张量 G-代数仍是一个内 G-代数，它的结构同态如下













1212 ,.

AAA A

ggg



G





设A是一个G-代数，同时，是一个局部 N-代数，我们称(内)张量 G-代数



Res A



inf

C是GN-代数

C的广义膨胀 G-代数。我们知道当 A是平凡 G-代数 k时，C的广义膨胀 G-代数





inf

C就是通常的膨胀 G-

代数，而且，如果 A是内G-代数以及 C是内 GN-代数，则





inf

C也是一个内 G-代数。

我们回忆局部内 G-代数 A从属于群 G的某个块(代数)





B kGe是指





AB A



[2]。以及群 G的块(代

数)



BkGe覆盖群 N的块(代数)当且仅当



bkNe





[8]。

NG，下面的自然的k-代数同态，即是群 G相对于群 N的增广同态[9]





:, ,

GNgg g

gG gG

kGkGNt gtgtk





.





对于 G的块

e，我们知道



GN B



是





kGN 的一个中心幂等元，在该中心幂等元是非零幂等元的情况下，我

们称块(代数)



BkGe控制 GN的块(代数)









bkGNe，如果 b

e出现在





GN B



在









kGN 中的唯一

分解中。

下面我们给出本文的主要结论。

定理 2.1 设A是一个G-代数，并且





ResA 是一个局部N-代数，那么 GN-代数 C的广义膨胀 G-代数



inf

C是一个局部 G-代数当且仅当 C是一个局部 GN-代数。

显而易见，定理 2.1 推广了下面的两个事实：

1) GN-代数C是局部 GN-代数当且仅当 C的膨胀 G-代数





inf C是局部G-代数；

2) k

C是一个局部代数当且仅当A和C都是局部代数。

性质 2.2 设A是一个内 G-代数并且





ResA 是一个属于 N的块 b的局部内 N-代数，又设 C是一个局部内

GN-代数。如果广义膨胀内 G-代数





inf

C属于G的块 B，那么 B覆盖b。

推论 2.3 设C是一个属于 GN的块 b的局部内 GN-代数，并且膨胀内 G-代数





inf C属于G的块B。那么

B覆盖 N的主块并且控制 b，特别地，G的主块覆盖 N的主块并且控制 GN的主块。

定理 2.4 设A是属于G的块 B的内G-代数，并且





ResA 是一个局部内 N-代数。那么存在平凡内 N-代数

k的诱导内 G-代数 G

ndk 作为 GN-代数的某个嵌入局部内 GN-代数 C的广义膨胀内 G-代数





inf

C属于

B。

定理 2.4 推广了事实：G的主块总是控制 GN的某个块，以及总存在平凡 kN-模k的诱导 kG-模的某个不可

102

黄文林  关于 G-代数的广义膨胀的几个结论

分解直因子属于 G的主块(换句话说，G的主块总是覆盖 N的主块)。

下面的定理 2.5推广了事实：如果 D是膨胀局部G-代数





inf C的一个亏群，那么 DNN 是局部 GN-代数

C的一个亏群。由此定理2.5 给出了[4, Theorem 2.6.2]的一个广义的反方向的结论。

定理 2.5 设A是一个G-代数，并且





ResA 是一个局部 N-代数，又设 C是一个局部 GN-代数。如果D是

广义膨胀 G-代数



inf

C的一个亏群，那么 DNN是C的一个亏群。

推论 2.6 设A是一个G-代数，D是A的一个亏群，并且





ResA 是一个局部 N-代数。那么 DNN是GN的

一

个Sylow p-子群。

推论 2.6 告诉我们，





SylGNN 是GN的Sylow p-子群。

3. 结论的证明

引理 3.1 设A是一个G-代数，并且





ResA 是一个局部 N-代数，那么局部 GN-代数 C的广义膨胀 G-代数

是一个局部 G-代数。

证明：因为是一个局部代数，那么作为 k上的向量空间，我们有下面的分解





Res A







Ak JA 

又因为 NG，因此上面的分解也是 N

作为 kG-模的分解。

而且，因为 N平凡地作用在





inf C上我们得到















infinf10, Lemma 2.1

inf

1infinf -,

Ak k

ACA C

kCJACkG





 

由

作为模

并且



inf

AC是的一个幂零理想。





inf N

AC



0另一方面，由于1，容易得知

A









:1 infinf

kC C

按下面的方式是一个 G-代数同构





tctc





对任意和，那么

tkcC



1inf 1infinf

AkAk k

kCkCA C

是一个局部函数，

另一方面，因为









infinf inf

JA CJACAC k



是的一个幂零理想并且是一个局部代数，那么





inf G

AC





1infG

k







inf1 infinfG

kAk k

ACkCJAC

只有一个非零幂等元，也即，



inf

C是一个局部G-代数。

引理 3.2 设A是一个G-代数，是一个局部 N-代数，C是一个



Res AGN-代数，那么在 G-代数同构的意

义下，广义膨胀 G-代数



inf



C的任何嵌入局部 G-代数可以表达为形式





inf

C

，这里是 C的某个

嵌入局部

C

GN-代数。

黄文林  关于 G-代数的广义膨胀的几个结论

证明：设，是在



inf 1

11n

Cki





k

1CGN

C中的一个本原正交幂等元分解。那么由[7, Corollary 4.6]我们知道，

在GN-代数同构的意义下，





2, ,

i n1,liC 包含C的全部的嵌入局部 GN-代数，再由引理 3.1，



















inf1inf 1

kllkl kkl

iCii ACi

是一个局部 G-代数，也即，



inf1inf 1

kllkl kkl

iCii ACi



是一个局部代数，由此1是的本原幂等元

，

i





inf G

AC1, 2,,in



。

综上得知



inf =1

11 1

Ak kl

i



是在中的一个本原正交幂等元分解，也即在 G-代数同构的意义下

，



inf

AC





inf G

AC







inf

C的任何

嵌入局部 G-代数能被表达为形式





inf

kll

iCi，对于某个 l。

定理 2.1 的证明：由引理 3.1和引理 3.2 便知定理2.1 成立。

性质 2.2 的证明：因为



inf

C属于 B以及





ResA 属于 b，我们知道



 







 



infinfinf infinf

1111 1

bbA bb

ACCC ACAC

Res A

ee ee





  ,

由此，也即，B覆盖 b。 0

ee 

推论 2.3 的证明：在性质 2.2的情形下设



。

参见[7, Proposition 16.5]，我们有下面的内 G-代数上的Frobenius公式：

引理 3.3 设A是一个内 G-代数，B是一个内 H-代数，HG



。那么下面的



是一个内 G-代数同构









GG G

HH H

ndResABAInd B













,,,, .

ab yxayxbyxyGHaAbB 

定理 2.4 的证明：设，这里T是N在G中的左陪集代表系，并且；我们有



N11g









，

ikN



，是

e的唯一分解。

注意到



GG G

NN kNNkN

ndRes AkGRes AkG

是一个内 G-代数，它的单位元是



NN i

ikNAkNi

IndRes AgT









以及它的结构同态是







:,1

NN i

GG .

NikNA

IndResAgT

kGIndRes Agggg



kNi











我们有







NN ii

BikNAkNiBi kNAkNi

IndResAgT gT

ee ggegg







  



以及







11 11

B kNAkNi kNiAkNikNibkN

Res A

gT gT

ikNib kN

Res A

eg g









  

 





104

黄文林  关于 G-代数的广义膨胀的几个结论

这里我们设属于 N的块。

ResA



bkNe

如果，那么由引理 2.2，我们知道，对每个



NN B

IndResAe



i



，



BikNAkN i

eg g

,





特别地，，由此又由引理 2.2，对任意的11

BkNAkN

e0i



，





Hib

Res Ae





。

那么















iii

iibiAibAiib

Res A

gTgT gT

AiibABbAB bAB

Res A

gegege

geeeeee



 









 



 A









矛盾。也即，我们得到



IndResAe



是







IndRes A的一个非零幂等元，因此，存在







IndRes A的某

个嵌入局部内 G-代数

，属于 B。

另一方面，由引理 3.3，作为内 G-代数









GG GGG

NN NNkkN

ndRes AIndRes AkAInd k

这里 k被看作平凡内 N-代数，并且因为NG以及k是平凡的，内 G-代数 G

ndk 可以被自然地看作内 GN-代

数G

ndk 的膨胀内G-代数，因此由引理 3.2，存在 G

ndk 的嵌入局部内GN-代数 C使得作为内 G-代数





inf ,



也即，广义膨胀局部内G-代数



inf

C属于 B。

参见[7, Lemma 14.3]，我们有下面的关于 G-代数的投射性的结论：

引理 3.4 设A是一个G-代数并且它是相对子群 H投射的，那么对于任意的 G-代数B，

B是H-投射的，

特别地，如果 A是一个投射 G-代数，那么



也是投射 G-代数。

定理 2.5 的证明：首先，由引理 3.1 我们知道





inf

C是一个局部 G-代数，又因为D是它的一个亏群，

我们设







inf

Tr d

，这里



inf

dA C，因此

 



infinf .

Dk k

TrdA CA C

其次我们有，



 







infinf1infinf ,

NNN

kkAk k

CA CkCJAC

那么存在某个和，使得



infiC



inf

jJAC





DAk

Trdi j





而且，因为NG以及下面的 G-代数同构









1inf inf

kC ,C

我们知道



inf

iC和





inf



jA C 。我们得到，















inf

DAkDNDN

Tr dTriTrj

 .

因为是一个幂零元，所以









DN k

TrjJAinf C ，由此

 







Ak DNk

TriJ ACnf,



又因为是一个局部代数，那么





inf G

AC





Ak DN

Tr i是中的一个单位。





inf G

AC



黄文林  关于 G-代数的广义膨胀的几个结论

106

再由下面的 G-代数同构









1inf inf

kC ,C



我们知道是的一个单位，也即，



Tr i





inf G









GN G

DN N

Tri Tri

是GN

C的一个单位，由此局部 GN-代数 C是DNN -投射的，那么 DNNH N，这里 H是G的某个子群使

得

N是C作为 GN-代数的一个亏群并且。

DN HN

我们得到





inf C是H-投射的，并且由引理3.4，





inf

C也是 H-投射的。那么 H包含





inf

C的某

个亏群，也就是 D的某个共轭，由此以及

HDN

NDNN



。

推论 2.6的证明：在定理 2.5 的情形下，设 Ck



，平凡 GN-代数。我们有 DNN 是k的作为平凡GN-

代数的亏群，由此 DNN是GN的Sylow p-子群。

参考文献 (References)

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