机械手臂之LQG/LTR最佳控制综合设计 The LQG/LTR Design Procedure for Nonlinear Robot Manipulators

doi:10.12677/DSC.2013.21001

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Dynamical Systems and Control 动力系统与控制, 2013, 2, 1-10

http://dx.doi.org/10.12677/dsc.2013.21001 Published Online January 2013 (http://www.hanspub.org/journal/dsc.html)

The LQG/LTR Design Procedure for Nonlinear Robot

Manipulators

Chijui Chung, Chengneng Hwang

Department of Systems and Naval Mechatronic Engineering, National Cheng Kung University, Tainan

Email: rayinncku@hotmail.com

Received: Nov. 7th, 2012; revised: Dec. 2nd, 2012; accepted: Dec. 10th, 2012

Abstract: In this thesis, the multivariable robust control of nonlinear manipulator systems is based on the compute

torque method and the LQG/LTR design procedure was proposed. This controller is able to handle the system that have

modeling errors and external disturbances while it keeps the close-loop system robustness and satisfied the prescribed

performance. In this research, the computed toque method is applied to design the proposed control law to form the

main control structure by using the benefit of its feedback linearization strategy. The error dynamics of the plant is then

formulated to the standard H2/H∞ control problem, which is easy to be applied by the LQG/LTR design procedure to

find the optimal control gain and observer gains in the process of matching the target loop. With regard to the non-can-

celing nonlinear terms, the closed-loop system is formulated to the Lu’re-type problem form with sector-bounded uncer-

tainties, which is then analyzed by the Multivariable Circle Criterion to discuss the stability and robustness. To verify the

feasibility of proposed controller, one example with various external disturbances and parameter uncertainties is made

and its computer simulation result shows the efficiency and feasibility of the proposed design methodology.

Keywords: Compute Torque Method; LQG/LTR Theory; Multivariable Circle Criterion

机械手臂之 LQG/LTR 最佳控制综合设计

钟启瑞，黄正能

国立成功大学系统及船舶机电工程学系，台南

Email: rayinncku@hotmail.com

收稿日期：2012 年11月7日；修回日期：2012 年12 月2日；录用日期：2012年12月10日

摘要：本研究综合计算扭矩法与 LQG/LTR 对非线性机械手臂系统进行多变量强健控制设计，解决存在于系统

内部的不确定性与受到随机干扰情况下的非线性机械手臂系统之控制设计问题，使得非线性机械手臂控制系统

具有良好的强健性与满足性能要求。文中首先使用计算扭矩法对非机械手臂系统中各项的估计值进行控制律的

设计与回授线性化，并使用变异渐进法对回授系统进行适当的加权扩增；接着使用 LQG/LTR设计，使得输出回

授控制器(output feedback controller)能够趋近于预先设计的目标回授回路(target feedback loop)。至于非线性机械

手臂闭回路系统在形成 Lu’re-type 问题后，可讨论非线性项之稳定性容许在一定的上界与下界，根据多变量圆

稳定准则理论(multivariable circle criterion)探索此控制器之强健性能。文末则以非线性机械手臂系统为范例，进

行计算机仿真，验证控制器的有效性与可行性。

关键词：计算扭矩法；LQG/LTR 理论；多变量圆稳定准则

1. 引言

迄今，控制理论发展至少经历了四个阶段。第一

阶段，1932 年Nyquist 运用复变函数理论建立了根据

频率响应判断单输入–单输出回授系统稳定性的准

机械手臂之 LQG/LTR 最佳控制综合设计

则[1]，而在30 年代末期 Bode与Nichols 进一步将频

域响应法加以推广[2]，使之更臻成熟。1948年Evans

提出名为根轨迹(root locus)的分析法[3]，研究系统参数

对回授系统稳定性和动态特性的影响，系统极/零点的

重要性亦因之具体呈现。前述方法形成了古典控制理

论的核心，其中增益(gain)与相位(phase)界限被广泛的

用来度量稳定强健性，藉其反映控制设计之良窳。虽

然这些方法并未明显的将模型不确定等因素纳入问

题内，但我们却可由稳定准则中，估计出系统所能容

许的整体开回路增益与相位变动范围，这也算是间接

的反映了系统的强健稳定性。至于早期 Wiener 利用频

域响应法探讨最佳控制与滤波理论所得到的结果并

未具备强健性[4]。该法的重点是使信号变异量极小化，

而非使某些决定强健性(稳定性或性能)之性能准则

(performance measure)极小化。应用该理论并无法确定

闭回路系统稳定性，亦即，控制器和受控系统间可能

出现极、零点对消(pole-zero cancellation)，导致闭回

路不稳定。

第二阶段，1960 年Kalman 等人引入状态空间法

(state-space method)探讨最佳控制与滤波理论[5]，但在

本阶段受控系统模式皆假设已知。至于最佳状态回授

之线性二次调节器(linear quadratic regulator, LQR)本

身即具有优异的既存强健性[6]。亦即，至少 60 度的相

位界限与正无穷大的增益界限，1977年才由Safonov

与Athans 发现。但对于采输出回授之控制系统则无法

获致类似的理论。

大约 1970 年开始的第三阶段，控制理论发展又

转回频域设计法，但学者们将其推广至多变量系统的

控制器设计。这段时期，理论发展系由 Rosenbrock 与

MacFarlane 等人主导。虽然Rosenbrock 曾提倡高度整

合性设计，以便克服回路增益变化对稳定性的影响[7]，

但这些方法并未对系统含有不确定项，该如何改进强

健性正式的提出对策。

简而言之，前三阶段，控制理论发展并未正式的

将系统既存扰动因素纳入问题中，并且特别针对这些

问题提出答案。至于某些设计所能提供的强健特性，

也只是后人偶然发觉这些方法亦可提供一些附加效

益罢了。虽然早在 1945 年，Bode 在其著作中就曾提

及负回授可降低参数变动灵敏度，1964 年Cruz 与

Perkins 亦曾提出适用于多变量系统的灵敏度函数

(sensitivity function)，以描述参数变化对系统的影响

[8]。但严格来说，这些方法只能算是提出了降低系统

对参数变化灵敏度的对策，并非方法。因为这些文献

所探讨的问题模式，并未正式考虑扰动因素。这类对

策自然无法以量化方式明确的告诉我们，受控系统可

承受多少扰动量，回路仍能维系稳定度。

1980 年以后的控制理论发展正式将模式不确定

性因素纳入问题中，大量文献深入且广泛的探讨模式

扰动对系统稳定性与性能的影响。1981 年由 Doyle 与

Stein 利用小增益原理(small gain theorem)提出了保证

受扰动回授控制系统稳定性的强健稳定条件(robust

stability condition)[9]，同时提出了回路转移函数回复

(loop transfer recovery, LTR)技术(亦即，在控制输入处

附加一含虚拟噪声的 Kalman滤波器，以便在受控系

统输入端恢复 LQR所具有的强健性)最为著名。1981

年，Zames 提出了灵敏度函数的最小化之稳

定控制器参数解法[10]，使系统获致最佳强健性(性能或

稳定性)。自此，强健性主题开始纳入优化设计过程。

这篇文献同时还以现代控制的观点考虑了一些古典

控制的基本问题，并将其表达为优化问题的

模式。

rm-noH

2. 计算扭矩法与 LQG/LTR 之设计

2.1. 计算扭矩法

针对一个具有 n个关节之机械手臂系统状态方程

式，表示如下[11]：







 







ii i

B qtqtCqtqtgqtt





 i

(1)

式中：













,,qt qt qt

 为向量，代表 n个关节变

量与其时间导数；

1n







Bq 为惯性项；

 



Cqtqt



为柯氏力和离心力总和项；



qt 为重力项；







,in为驱动马达在各关节之作用力与力矩，。 1, 2,

现在将(1)外加考变动项



Bqt、

 





Cqtqt、







qt，外部输入之扰动





di t



及

系统模型可求得之标称值(nominal value)







 









00 0

,,,

ii i

Bqt Cqtqtgqt





，改写如下：

















 

000iiii iii

idi

BBqtCCgg











(2)

考虑如(2)式之机械手臂方程式，令

 



iqt qt





与计算扭矩法之控制扭矩







设计如下：

机械手臂之 LQG/LTR 最佳控制综合设计

 



qt qtBCg



 

ii

(3)

 

00iir i

tButqtCg









 0i

(4)

式中：





qt代表关节位置变量参考值；代表等

效控制输入。



将(3)式与(4)式代入(2 )式，且令状态变量矩阵

为关节位置变量与速度变量之误差矩阵、

，整理可得到以下的受控系统状态

方程式：



 

iri

tqtqt

 



tAxtButGdtfyt t





 (5)







tCxt (6)

式中：





 



BGIC

Bqtqt

fytt







































(7)

2.2. LQG/LTR控制设计

现在将(5) 式与(6) 式辅以伺服控制器(Servo-

compensator )加权扩增成标准

控制问题，表示

如下[12]：

 



 

aa aaa

tAxtButGwtfyt t

ytCx t









 









 (8)

式中：



rt R：控制输入；



B为可控制；



;

;;

pq pqpqppq

ccc

IA 0

RBRxtR









 



且各项表示如下：

 

  





0,0

xtwt t

tdt

yt t

fyt t

BC A

GCc



 



 

 



















































(9)

则此非线性机械手臂系统之LQG/LTR 架构图如

图1

ator ：

所示，且控制器设计如下：

a) 伺服控制器(servo-compens c











cccc



tAXtBrty

 t (10)

b) 稳定控制器(stabilizing control law

S)：









 



ˆ,

abca

utkkk x tfyt



t1)

c) 卡门滤波器(Kalman filter：







 

ˆˆ ,

 

0ˆ



tAxtButfytLyy



 

(12)

此外，对(11)式与(12)中之不确定项做合理

设，

之假

如下：











,, ,,

yt tBfyt t



 ；

ii)









010

ytB fyt ；

存在一个 N满足

入(8)式，则系统闭回路系

统可

iii) NBG。

现在将(11)式与(12) 代

简化为 Lu’re Type形式，如图 2所示。至于不确

定项









,,ytrt



，藉由多变量圆稳定准则(multivaria-

ble circle criterion)则可以保证此闭回路在一有限的范

围中，属于绝对稳定(absolutely stable)。系统闭回路系

统状态方程式表示如下：

 

ztAzt B





 



 

wtByt rt

yt Czt













(13)

Figure 1. Control structure

图1. 非线性控制系统架构

Figure 2. Lu’re type problem block diagram

图2. Lu’re type problem方块图

机械手臂之 LQG/LTR 最佳控制综合设计

式中：













110

0, 0

,, ,

,, B0

,,,, ,

cab

zcc

cab

zc z

ABk Bkk

ABCA

LCBkABkkLC

BB CC



yt rtfyt t

fytrt

ytrtfytrtf ytt



































































(14)

以上述之计算扭矩法与LQG/LTR 推导，我们归

纳出

之机械手臂系统，其状态方程式可表示

如下

以下理论[A]。

2.2.1. 理论 A

针对(2)式

：





 

tAxtButGdtfyt t

yt Cxt

















(15)

式中：



,,,, ,,

BCGfytt



详如(7)式所示，



为不

伺服控制器如(11)式，表示如下：

确定项。

则辅以 c

 



cc cc

tAXtBrtyt

 (16)

则此系统可扩增成状态方程式，表示如下：

 



aa aaa

 

tAxtButGwtfyt t

ytCx t



 













(17)

式中：



,,,,,,

aa aaa

BCG fytt



详如(9)式所示，



为不确

则其 LQG/L

定项。

TR 最佳非线性控制器可设计如下：







 



ˆ,

abca

utkkk xtfyt t

(18)

 

ˆˆ ,



tAxtButfytLyy 

 (19)

其中，代表卡门滤波器之状态变量；



ˆa









,tt

为将 0



代入



1,,fyt t



之一非线

 

010

性函数；

 

yf yN满足 B = GN。

t Bt，存在一个

则









bc a

kk B



RP (20)

式中：与 P1皆为对称矩 R设为单位

且P1为下式代数黎卡提方程式(algebraic

R阵，在此，矩阵

riccati equa-

tion)之正定解：

AABQBQ



11 11aaaa



PP PP (21)



 式中，

则L代表观测器增益，表示如下：







P (22)

式中：



代表噪声频谱密度；为对称矩阵，且为下

式代数黎卡提方程式(algebraic R

iccati Equation)之正

定解：



222 2

TTT

aa aa

AA GmGCC





 PPPP (23)



式中：；m代表噪声频谱密度。

最后，闭回路系统状态方程式可表示为(13

稳定 (multivariable

circl

)式所

示，其性可由多变量圆稳定准则

e criterion)来获得确保。因此，此闭回路系统在白

噪声和不确定项干扰下可确保为稳定；而且可达成目

标回授函数(target loop)之默认性能。此外，原机械手

臂模型(2)式之最佳控制扭矩可设计如(4)式所示。

2.2.2. 证明

由(13)式之系统闭回路状态方程式，假设





代表控制器增益：

为可控制、



HurwitzAB为可观测、









0,,sector 0,ty E



，则可定义系统之非线



0,0y yt





E (24)



性区

间如下：

式中：E为正定对角矩阵(positive definite symmetric

matri x )。

 

ty t







接着令一里亚普诺夫函数如下[13]：





VxxPxP P



 (25)

将





Vx微分、代入(14)式，并整理如下：







zz zz

TT T

zz z

VxxPx xPx

 

xAPPAxxPBty





tyPxxPAxB ty



 



 











(26)

接着合并(24) 式与(26) 式，即加入上界(upper

bound)，改写如下：

机械手臂之 LQG/LTR 最佳控制综合设计

















 



 

,2,,

2,2,,

2,2,

TT T

zz zz

TTTT

zz zz

tytyty Sy2

TT T

zzz

VxxAPPAxxPB



APPA xxPBtytytySCx

APPAxxCxPBtytyty



 









 











 



(27)

当

 

zzz

sECsIABI



，根据Meyer-

Kalman-Yakubovich Lemma，则可定义如下[13]：

QQANN Q

QBC ENM

MMI II



















(28)

由(19)式可得， 2

MI，2,

MI

CE QBN ，代入(18)式可得：





 

 

22 ,

2,,

22,2,,

2,2,

TT TT

TTTT

Vx xNNQxxNty

tytyxPxxNNx

xN tytyty

PxNxt yNxt y









 















整理上述不等式，可得以下结果：

(29)

最后根据里亚普诺夫第一定理(Laypunov First

Method) ，且假设输入



Vx xPx 









0rt 。由(13)式之闭回路系

统，如下所示：

 

 

tAxtBtyyt

yt Cxt



 











(30)

设为0x

















tAxtBtyyt





之平衡点，

且满足以下条件：

a) ；

b) (positive define)；

c) negative define)；



00V



00Vx x，





00Vx x，(



0Vx x，当 (radially unbound)。

则可得知此闭回路系统在一有限的范围中，属于

绝对稳定(absolutely stable)。

于在上述理论中，







,sector 0,ty E







与定理的

非线性区间





,sty ector,





不同，故使用

，且依然为 Lu’re type

闭回路系统之输出



sformation)

但为了使原

回路转

换(loop tran架构，如

图3所示。不改变，因

此补上负回授



，可得转换后的转移函数





如

下：

(31)

且转换后的状态空间表示如下：

 

Gs GsIGs



















 

zzzz

tABCxBu

yt Cxt



 















(32)

非线性部分表示如下：





Ttyty y







(33)

如果





Tty



满足 sector condition，其中E







，

且





B itz

transform 图4

C Hurw





ation)，如

，则可由双线性转换

所示，得到转移函

(bilinear

数





s如

下：





 

 

 

IEGs IGsIGs

IGsGsIGs

IGsIGs

 

 





 



 





 







则满足以下条件：

 

 

Hurwitz

GsGs IGs

sIGsIGs SP







 





 













可保证闭回路系统在一有限的范围中属于绝对稳定

(absolutely stable)。

Figure 3. Loop transformation block diagram

图3. 回路转换架构图

机械手臂之 LQG/LTR 最佳控制综合设计

Figure 4. Bilinear transformation block diagram

图4. 双线性转换架构图

备注：则对于上述控制器之回路回复(loop transfer

recovery)步骤如下：

Step1：使用 LQR 设计，依指定之性能规格来设

计状中之 Q与R

来调整：。

提方

alman 增益

Step3：选取一适当的 q，使得。

Step4：利用计算机仿真 Step3 中q值

节器回路增益

态回授增益 k，k值能够经由性能指针

kRBP





Step2：选取 G = I，噪声频谱密度Θm与，代入

Kalman 滤波器的代数黎卡程式(algebraic riccati

equation)来求解 K



T

LPC



Θ。

mqm



所对应之调





的奇异值图，可判断是否满足强

健性且是否与



s之奇异值图相当接近，如未达到令

人满意之程度，则再调整 q值并重复 Step3。

3. 计机仿真

我们考虑一个 2手臂系

统如 5所示。其中，S；

算

现在自由度的非线性机械

图代表负载 M到0点的距离

 





tx 杆质量中心 C的位置；t

Figure 5. Robot manipulat

图5. 机械手臂系统图

与代表控制力与控制力矩；



Y代表卡式坐

标；





,mM代表机械臂杆与负载之质量；





J代

表质量惯性矩；a代表质心 C到质量负载 M的距离。

根据 Lagrange-Equation 推导出系统的动力方程

式如下：





 

112

12 112

,2,

mMx QxRxV

xMxQxRxx V

 













 

 

式中：

(27)





,QxR



mxM xa





(28)

 

11211

xMJJmxMx a (29)

在此定义参数 40kg,60 kg,1m.MMa

3.1. 控制目标

现在我们希望机械手臂操控，藉由控制力 V1与控

制力 V2的输入可使机械手伸长或缩回，而且让此机

械手臂的摆动在平面坐标

臂



Y上追踪半径为2.5 m

的半圆形轨迹，其目标轨迹方程式表示如下：

代表极坐标中臂











,0,2.5,0sYtYt t

Y t







 



 



01 02

01022 12

,cos,sin,0πsec

,0,2.5,πsec

Ytxt axxt axt

YtYt t







 





02 

3.2. 设计执行

3.2.1. 步骤 1. 扭矩法进行回授



ut u

















计算

对(27)式使用计算扭矩法进行回授，令等效控制

扭矩

、

状态变量、外部

输入



xt qq

















yt qq





















。回授后得到受控系统如下：

机械手臂之 LQG/LTR 最佳控制综合设计







 

tAxt tGdtfytBut

yt Cxt



















(30)

式中：



22 222

44 22

22 222

242 2244

0, 0.1

CI G





























3.2.2. 步骤 2. 进行加权扩增

为了达到良好的控制讯号与追踪性能，选取一伺

服补偿器为：

cccc

ccc

Ax Be

yCx















(31)

式中：

000 10100

001,00, 010

000 01

ccc

ABC





















合并(30)式与(31) 式，得到扩增系统表示如下：







  







 

 

cc c

aaaasa

caa

xtxt But wt

BC ABxt xt

tAxtButGwt

yt Cxt ytCxt

 





 





 







 

















(32)

式中：

00 10000000000

00 01000000000

00 0000010000.101000000

000000001000 0.10100000

1 000000001000

00 00001000000

01000000001 00

aaaa

ABGC

































，

3.2.3. 步骤 3. 状态回授设计

设计经由程序计算(10)式与(11)式，可得状态回授增益 k如下：

且得到一状态回授



d ia g1, 1, 1, 1,1,1, 1,01









2.414202.414201 00

04.236103.0777 013.0777













sksIA B



 之系统输出响应图，如图6。机械手臂运行之目标轨迹图，如图7。

3.2.4. 步骤 4. 输出回授设计

使用 Kalman 滤波器，其动态方程式如下：



tAxtButLyCx

 (33)

选取与

10n

 27

010

mmBB



，经

由程序运算可得观测增益 L如下：

3.2.5. 步骤 5. 调整参数 q

此步骤藉由调整 q，在此选择 q = 1010 使得输出

回授回路可回复近似目标回授回路，如图8与图9；

则在此 q值下之控制力V1与控制力 V2讯号图如图 10

与图 11、系统误差讯号如图 12。

3.2.6. 步骤 6. 判断非线性项的之上界与下界

在仿真的过程中，系统的不确定质量介于一不确

定区间[40 kg, 60 kg]，公称质量取为 50 kg，选择平均

值的目的是为了让系统在质量有大程度变化时有较

好的不确定抵御效果。

首先判断非线性项之上界与下界，再利用多变量

1.41 0

01.41

















机械手臂之 LQG/LTR 最佳控制综合设计

Figure 6. The plant output y(t) vs time t

图6. 系统输出响应图

Figurarget trajectory of manipulator

图械手臂运动之目标轨迹图

e 7. T

7. 机

Figure 8. Output y(t) in cartesian coordinates

图8. LTR之机械手臂系统运动轨迹

Figur 10

图9. q = 10之输出回授回复情形

e 9 = 10. Output recovery with q

Figure 10. Histories of control force V

图10. 控制力V讯号图 2

Figure 11. Hist

图11. 控制力 V2讯号图

ories of control force V2

机械手臂之 LQG/LTR 最佳控制综合设计

Figure 12. Tracking error vs t im e t

图12. 系统误差讯号图

稳定准则探索此非线性项之允许范围。如图 13 负载

非线性位于 sector

40 kg之









、图 14 负载 60 kg

之非线性位于 sector









，其中10.35



，11.3





，

0.31 1.12



，。

最后根据上述的区间，使用多变量圆稳定准则画

出所对应的 GMB与临界圆。图 15 为负载40 kg之

GMB 与临界圆、图16 为负载 60 kg之GMB 与临界圆。

4. 结论

本研究针对非线性机械手臂系统，提出一个结合

制设计。此设计方

法使算扭矩法将非线性机械手臂系统

化简为线性非耦合的受控系统，并且使用变异渐进法

对受控系统进行适当的加权扩增。最后使用 LQG/LTR

计算扭矩法与LQG/LTR 的综合控

用计经由回授

Figure 13. Nonlinear sector with 40 k

图13. 负载40 kg之非线性sector g

Figure 14. Nonlin

图14. 负载60 kg之非线性 sector

ear sector with 60 kg

Figure 15. Satisfaction cle criteria with 40 kg

图15. 负载40 kgGMB 与临界圆

of cir

之

Figure 16. Satisfaction of circle criteria with 60 kg

图16. 负载60 kg之GMB 与临界圆

机械手臂之 LQG/LTR 最佳控制综合设计

进行

标回授回路(target feedback loop)，然后透过补偿器使

受控系统的开路函数

补偿，藉由设计一个满足性能指针与强健性的目





GK 回复到目标回路，则此受

控系统在具有外在参数或不确定因素的扰动下仍能

维持强健性。

至于系统的不确定项使用扩增转换将所仿真之

非线性系统化为标准 Lu’re type型式，并界定非线性

不确定项之边界所形成的临界圆(critical circle)，最后

使用多变量圆稳定准则(multivariable circle criterion)

之限制条件，以奈氏图(Nyquist plot)之轨迹来判断系

统之不确定非线性项可允许的范围。

最后，本研究以计算机仿真非线性机械手臂系

统，来验证此综合控制设计法在抵抗各种不确定因素

下的强健性与满足性能规范。

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