 Modern Physics 现代物理, 2013, 3, 43-48 http://dx.doi.org/10.12677/mp.2013.31008 Published Online February 2013 (http://www.hanspub.org/journal/mp.html) Quantum Coherent Optical Properties of Probe and Control Fields in Electromagnetically Induced Transparency Xinyun Jiang1, Zihan Xu1, Jianqi Shen1,2* 1Department of Optical Engineering, State Key Laboratory of Modern Optical Instrumentations, Yuquan Campus, Zhejiang University, Hangzhou 2Centre for Optical and Electromagnetic Research, Zijingang Campus, Zhejiang University, Hangzhou Email: *jqshen@zju.edu.cn Received: Oct. 31st, 2012; revised: Nov. 26th, 2012; accepted: Dec. 10th, 2012 Abstract: The equation of motion of the density matrix of a three-level EIT (electromagnetically induced transparency) atomic system is solved and the behavior of dispersion of the nine density matrix elements is presented. The general optical response of the electric permittivity corresponding to both the probe and the control fields is addressed based on the numerical results of the equation of motion of the density matrix. The probe and the control fields are treated in the same way, in which the influence of the probe field on the control field (and vice versa) is considered. The optical be- havior of controlling light with light can be a fundamental mechanism for new photonic and quantum optical device design. Keywords: Electromagnetically Induced Transparency; Density Matrix; Quantum Coherent Properties; Tunable Dispersion Characteristics 电磁感应透明探针光与控制光量子相干光学特性分析 姜新韵 1，徐子涵 1，沈建其 1,2* 1浙江大学，玉泉校区，光电信息工程学系，现代光学仪器国家重点实验室，杭州 2浙江大学，紫金港校区，光及电磁波研究中心，杭州 Email: *jqshen@zju.edu.cn 收稿日期：2012 年10 月31日；修回日期：2012 年11 月26 日；录用日期：2012年12 月10 日 摘 要：对三能级电磁感应透明原子系统的密度矩阵方程进行解算，获得该系统九个密度矩阵元的色散行为, 同时研究探针光与控制光所对应的原子气体介电系数的色散曲线和一般相干操控特性。本文将控制光与探针光 同等看待，即不同于以往着重于探针光特性、将控制光仅当作调控电磁感应透明介质光学特性的外部条件看待、 从而没有研究控制光本身如何受探针光的影响。本文研究探针光与控制光之间的彼此影响(即彼此受对方操控的 行为)。电磁感应透明介质内由光来控制光的量子相干行为可以作为新型光子学器件设计的基本原理。 关键词：电磁感应透明；密度矩阵；量子相干特性；可调色散行为 1. 引言 利用人工电磁介质操控电磁波传播是当前应用 电磁学与光子学等领域中的重要研究方向[1]，其中一 个主题是利用原子相位相干性(如电磁感应透明(EIT)) 来实现对光波的控制，包括对光波的吸收和释放、慢 光和负群速以及光波传播轨迹操控等[2]。EIT 介质[3-8] 是当前光学材料和量子光学领域中比较重要的新型 人工电磁介质，一般在碱金属原子气体和量子点介质 内能呈现[9-12]。量子相干效应在过去十多年来一直是 量子光学(与光子学领域)的研究重点之一[2]；近年来在 *通迅作者。 Copyright © 2013 Hanspub 43  电磁感应透明探针光与控制光量子相干光学特性分析 关于多能级原子系综相位相干性的研究中，大量理论 与实验工作表明以呈现 EIT 为主要代表的多能级系统 能产生许多引人入深的效应，包括原子布居捕获(CPT) 与无布居翻转激光[3-8] 以及其它具有重要应用意义的 现象如：光速变慢、超慢光速传播、光存贮、原子基 态冷却[13-16]等。 EIT 作为一种量子相干效应，它呈现这样一种现 象：当一束共振光射入介质后，该光被原子介质吸收； 但是如果再引入另一束共振光之后，两束共振光却都 不再被介质吸收，它们可以几乎无损耗地在介质中传 播[3]。显然，这时损耗介质成为了透明介质。从原理 上讲，电磁感应透明 EIT 效应起源于原子从基态向激 发态跃迁所导致的量子相干与干涉效应，机制核心是 原子布居捕获[17]。在理论上，除了用原子布居捕获机 制来解释电磁感应透明现象外，还可以用缀饰态干涉 效应、多重路径干涉模型及用量子场论费曼图来解释 等[4]。EIT 气体作为一种量子相干原子气体，我们可 以用它来实现各种应用，如设计制作光子逻辑门、光 子晶体管及光开关等。 在本文中，针对三能级中的电磁感应透明效应， 通过解算原子系统密度矩阵方程，研究控制光与探针 光各自光学特性。以往的研究均着重于探针光特性， 没有研究其中的控制光本身受探针光影响导致的光 学行为，而只将控制光当作调控电磁感应透明介质光 学特性的外部条件看待[3]。在本文的讨论中我们将控 制光与探针光同等看待,研究其量子相干光学特性(如 能级 1-3 跃迁和能级 2-3跃迁之间的量子干涉 对控制光与探针光光学特性的影响)。尽管本文所用探 针光的场强(用Rabi 频率衡量)与控制光场强同量级 (即探针光和控制光的Rabi 频率在数值大小上为同量 级)，探针光已经失去了其“只探测而不影响控制光与 介质本身”的含义，但我们还是按照传统术语习惯称 其为“探针光”。 2. 原子系统密度矩阵方程 在一个典型的三能级原子系统(如图 1所示)中， 1 3 2 Δ p Δ c Ω p Ω c Γ 3 Figure 1. The schematic diagram of a three-level atomic system. The probe and the control fields drive the-13 and -23 transi- ions, respectively. The spontaneous emission decay rates are de- fined throughγ t 2 221p γ γ, h 3313 γγ 图1. 三能级原子系统图示。-13跃迁和 -23跃迁分别受探 针光(用Rabi 频率 p 表示其与原子系统的耦合强度)和控制光(用 Rabi 频率 c 表示耦合强度)驱动。其中原子能级衰变率 ， 221p γγ γ h 2 3313 γγ 能级 1-3 跃迁和能级 2-3 跃迁分别受探针光和 控制光驱动。探针光和控制光的频率失谐分别定义为 p 31 p ，c32c 。探针光和控制光的Rabi 频率分别为 31 p E p，c32c E ，其中 p E和 是探针光和控制光的慢变振幅，为约化普朗克常 数。Rabi 频率 c E p 和c 与各自场强成正比，因此它们 既可以用来代表光波本身，亦可以用来表示与原子系 统的相互作用强度(耦合系数)。该三能级原子系统可 以在碱金属原子(如钠、铷原子)内找到。在适当的条 件下，如探针光和控制光的频率满足双光子共振条件 p c ，则两个下能级就构成一个暗态(由能级 1 与2线性叠加而成)，该暗态不与上能级 3发生有效 相互作用(即上能级 3为空)，尽管能级 1-3 跃迁和 能级 2-3跃迁分别受探针光和控制光驱动，但因为 这两个驱动的总贡献刚好抵消(量子相消干涉)，故而 该原子气体对探针光和控制光而言都是透明的，即使 在共振频率处 0 pc 。下面我们通过求解密度 矩阵方程获得该能级系统的一般光学响应行为。 根据量子力学薛定谔方程，我们可以得到该三能 级原子系统的密度矩阵方程 1131 3321 22p 13p31 2232 332122c23c 32 33313233p 13c23p31c 32 i, 2 i, 2 ii , 22 (1) Copyright © 2013 Hanspub 44  电磁感应透明探针光与控制光量子相干光学特性分析 31 32 13p13p11c12p33 31 32 31p31p 11c21p33 31 3221 32c32p 12c22c 33 31 3221 23c23p 21c ii i, 22 2 i i, 22 2 ii i, 22 i i 22 2 i 22c 33 21 ph 12pc12c 13p32 21 ph 21pc21c31p 23 i, 2 ii i, 222 ii i. 222 (1) 在该方程组中， ij 是能级衰变率(与原子自发辐 射衰变有关)， p h 为与原子热运动有关的碰撞失相速 率(collisional dephasing rate)。密度矩阵元 ij 为 j i 的 复数共轭，即 。从以上方程可以得到关系 ji ij 112233 0 t ，即几率守恒 112233 1 ，故而 11 ，22 ，33 1 方程其实并 不独立，即在以上方程组(1)内的九个方程中，独立的方 程其实只有八个。因此我们可以用 1122 33 代 替11 。在本文中我们研究该原子气体介质的稳态光 学响应。为了获得稳态解，要求所有时间导数 ij 为零。 考虑局域场效应，探针光与控制光所对应的原子 气体介电系数为 31 31 31 1 13 N N , 32 32 32 1 13 N N , (2) 其中分母13 N 代表了局域场(local field)修正，即 临近原子之间的互相极化效应。由于为原子数密度 (单位体积内原子个数)，故局域场修正反映了原子数 密度的非线性效应(原子体系自相互作用)。根据极化 率的定义，单个原子的微观电极化率为 N 2 31 31 31 0p 2, 2 32 32 32 0p 2, (3) 其中 ，为原子跃迁电偶极矩， 31 32 0 为真空介电 常数。 下面我们解算密度矩阵方程,并研究(2)(3)所示原 子气体介电系数的光学特性。 3. 数值例子与物理解释 本系统密度矩阵共有 9个分量 ij 。我们求解密度 矩阵方程组(1)的稳态解，得到如图 2所示的各密度矩 阵元的色散曲线。其中对原子系统所选参数为：电偶 极自发辐射衰变率 ， 7 31 10 s 1 32 31 0.5 ， 21 31 0.01 (磁偶极自发辐射衰变率很小)， p h 0.01 31 (碰撞失相速率因为原子稀薄而很小)，探 针光 Rabi频率 p 31 10 ，控制光Rabi 频率 c3 20 1 ，控制光频率失谐 c 0.3 31 尽管本文按 照传统把驱动 。 1迁的光场称作探针光，把驱动-3 跃 2迁的光场称作控制光，但是根据本文主旨, 本文研究的是一般量子相干光学特性，基态能级布居 -3跃 11 并不总是趋近于1[12]，其它上能级布居也并非总是 很微小，故所选两个 Rabi 频率 p ， 并不需要满足 c p c 的条件，且 p ， 均可以比较大，因此这 使得基态能级布居 c 11 振幅变化比较大(如图2所示)。 有了密度矩阵元的色散行为,容易得到探针光与 控制光所对应的原子气体介电系数 31 和32 的色散曲 线。我们所选的原子数密度为 21 10 3 mN1.0 。由 公式(2)与(3)，我们将探针光与控制光所对应的原子气 体介电系数 31 和32 的色散曲线绘制在图 3。图3有 两幅子图,分别放置 31 和32 的实部和虚部的色散曲 线。 在图 3的上子图中，探针光所对应的介电系数31 随着探针光频率失谐的变化实部表现出两峰两谷，虚 部表现出两峰一谷(即在 Autler-Townes 双峰之间有一 Copyright © 2013 Hanspub 45  电磁感应透明探针光与控制光量子相干光学特性分析 Figure 2. The dispersion characteristics of the real and imaginary parts of the density matrix elements, , 11 2233 ρρ ρ and , , 13 32 12 ρρ ρ 图2. , , 11 2233 ρρ ρ 及, , 13 32 12 ρρ ρ 的实部与虚部的色散行为 Figure 3. The dispersion characteristics of the real and imaginar s 图 ，表现电磁感应透明效应)。此时相关参数取值如下： y parts of 31 εand32 ε. The real part of31 ε has two valleys and two peaks, and the imaginary part has one valley and two peaks, re- pectively. In contrast, the real part of32 ε has only one valley and one peak, and the imaginary part has only one peak, respectively 3. 31 ε、32 ε的实部及虚部的色散行为。 31 ε实部有明显的两峰两 谷行为、虚部有明显的两峰一谷行为；32 ε部有明显的一峰一谷 行为、虚部有明显的一峰行为 实 谷 探针光Rabi频率 p 31 10 ，控制光 Rabi 频率 1 20 c3 ，控制光频0.3率失谐 c31 。在 图3的下 子图中，控制光所对应的介电系数 32 随 部 着控制光频 率失谐的变化实部表现为两峰两谷，虚 表现为两峰 一谷(即在 Autler-Townes 双峰之间也有一谷，亦可呈 现电磁感应透明效应)。此时相关参数取值为：控制光 Rabi 频率 c31 20 ，探针光 Rabi 频率 p 31 10 ， 探针光频率失谐 p 31 。尽 管32 的实部和 表现为两峰两谷和两峰一谷，但是可以看到 虚部分 32 别 实部 和虚部各有一峰一谷是不明显的，因此 32 实部倒具 有二能级跃迁系统的色散曲线的明显特征 实部表现 为明显的一谷一峰，虚部表现为明显的一峰。在本例 中，探针光与控制光所对应的原子气体介电系数31 ： 和 32 具有不同的特征，这是因为对于探针光而 ，言 1-3跃迁和 2-3跃迁可以相消干涉，形成 31 虚部 Autleres 双峰，从而在双峰中间的双光 子共振位置消去了对探针光的吸收(由 曲线的 -Town 1-3 跃迁和 2-3跃迁之间相消量子干涉所致)，导致对探针光 感应透明现象。这也可以从方程组(1)中的 31 的电磁 方程内体现 1-3 跃迁和 2-3跃迁干涉的 p 11c 2133 这一项看出：由于c 大于 p ， 但是 11 33 一般大于 21 (由图 2看出)，而故 p 1133c 21 干涉)。但是对于 32 可能 较小甚至为零(相消量子会 而言，这样的相消干涉条件并不 明显存在，即 32 中的体现方程 1-3 跃迁和2-3 跃迁干涉的 p 12c 2233 不小，故而使得 32 一般 更类似于二能级系统的介电系数行为。但是值得 的是， 32 指出 具有二能级跃迁系统的色散曲线的明 显特征也只是一定条件下的行为。选取适当的 c 、 p ，也可以让控制光所对应的介电系数32 随着 制 率失谐的变化实部表现为明显的两峰 谷、虚部 表现为明显的两峰一谷。图 4即研究了 c 、 控 光频 两 p 取一 般数值时 31 和32 的实部和虚部的行为。 因 1跃迁和 -3 2-3跃迁分别受探针光和控 制光驱动，故而探针光 制光所对应的原子气体介 电系数 31 与控 和32 受对方光波强度(可用各自的 Rabi 频 aginary Figurersion characte 4. The disperistics of the real and im parts of 31 εand32 ε, where the dependence of ε31 and ε32 on p31 , c31 and c31 ,p31 , respectivelyre pr 、的 可调行为。上两幅子图表现 , aesented 图4. 31 ε32 ε的实部及虚部 色散与 31 ε的实、虚部与 p31 、c31 的依赖关系，下两幅子图表现32 ε 的实 部与、虚c31 、p31 的关系 Copyright © 2013 Hanspub 46  电磁感应透明探针光与控制光量子相干光学特性分析 率表征)控制行为 4为气体介电，表现可调 。图 该原子 系数 31 和32 的频率色散和场强可调行为。 在31 的 部、虚部与实 p 31 、c31 的关系图 中，相关数为参 p 31 10 ,3 c3 0. 1 。在32 的实部、 虚部与 c31 、 p 31 的关系图 ，相关参数为 c3 20 中 1 ， p 31 。图 4四幅子图均为蝴蝶对称形 状， 31 实部在一个截面内(c31 为定值)表面出两峰 两谷， 31 虚部在一个截面内(c31 为定值)表现出两 峰一谷； 32 实部在一个截面内( p 31 为定值)表现 出两峰两， 32 谷 虚部在一个截面内( p 31 为定值) 表现出两峰一谷。 除了随着场强而变的可调特性外，该量子相干介 质还有随着对方光场的频率而变的可调特性。图 5为 该原子气体介电系数 31 和32 的随频率的色散及可调 行为。此时我们取参数 c31 02 ， p 31 10 。探针 光所对应的介电系数31 受控制光的可调频率 c 的 变化而变化；同样，控制光所对应的介电系数 32 受 探针光的可调频率 p 的变化而变化。这些性质可以 作为频率可调的光子器件的基本物理机制。 学 4. 讨论与结论 本文研究三能级量子相干介质的一般可控光学 特性与色散行为。通过求解密度矩阵完备方程组来获 得所有密度矩阵元的色散行为，同时研究探针光与控 制光所对应的原子气体介电系数 31 和32 的色散曲线 Figure 5. The dispersion characteristics of the real and imaginary parts of ε31and ε32, where the dependence of 31 εand32 εon p31 ,c31 and c31 ,p31 , respectively,e presented 、实部 的 可调行为。上两幅子图表现 ar 图5. 虚部 色散与 ε31 、 ε32 的 及 31 ε的实 虚部与 p31 、c31 的依赖关系,下两幅子图表现 32 ε 的实、虚部与 c31 、 p 31 的依赖关系 干操控特性。 确保所研究的特性和一般相为了确实是 一般行为，在本文中原子基态能级布居 11 并不总是 趋近于1，其它两个上能级之布居也并非总 很微小， 故我们所选的两个Rabi 频率 是 p ，c 并不需要满足 p c 的条件，它们可以是 数量。 电磁介质能控制、操纵光传播，在 同 级 人工 信息科学 与技术领域具有潜在的应用背景。量子相干介质作为 人工电磁介质之一，具有丰富的电磁与光学特性，对 于光传播的相干操控具有重要意义，因此与光通讯及 信息科技有紧密联系。正如固体物理(与凝聚态物理) 强调利用材料控制电子的行为，目前应用电磁学和光 子学领域借助新型人工电磁介质材料利用多种光学 特性(基于不同机制，包括量子相干效应)来实现“人 工操纵光传播”的新的可能的方法与途径，并研究这 些效应、性质与现象[1]。如果结合量子点(人造原子) 系统的量子相干效应，则量子相干效应可以作为设计 微纳光子学器件的基本原理。如我们可以将 p ，c 的有、无(即开、关)当作数字位1和0并让其担 信号讯息，光场在多能级系统中的透射与吸收作为输 出信号讯息，基于此原理的可调光子学元件(如光子学 开关、光子学逻辑门、光子晶体管)可能在集成光路、 全光网络等中有应用价值。 当输入 5. 致谢 本文部分工作得到国家自然科学基金资助(基金 号： 参考文献 (References) optical properties of artificial 111 74250、60990320)和浙江省自然科学基金资助 (基金号：Y6100280)。 [1] J. Q. Shen. Classical & quantum electromagnetic media. 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