一个广义变系数KdV方程新的精确解 New Exact Solutions of a Generalized KdV Equation with Variable Coefficients

doi:10.12677/AAM.2013.21006

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Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2013, 2, 42-47

http://dx.doi.org/10.12677/aam.2013.21006 Published Online February 2013 (http://www.hanspub.org/journal/aam.html)

New Exact Solutions of a Generalized KdV Equation

with Variable Coefficients*

Jiamei Zhang, Chao Ma, Cai’er Ye#

College of Science, Zhejiang Agriculture and Forestry University, Lin’an

Email: #Yecaier@zafu.edu.cn

Received: Jan. 5th, 2013; revised: Jan. 12th, 2013; accepted: Jan. 25th, 2013

Abstract: In this paper, we use the exp-function method to solve a generalized KdV equation with variable

coefficients. As a result, several types of solutions are obtained which contain solitary wave solutions,

blow-up solutions and periodic solutions.

Keywords: Generalized KdV Equation with Variable Coefficients; Exp-Function Method; Exact Solutions

一个广义变系数 KdV 方程新的精确解*

张佳梅，马超，叶彩儿#

浙江农林大学理学院，临安

Email: #Yecaier@zafu.edu.cn

收稿日期：2013 年1月5日；修回日期：2013 年1月12 日；录用日期：2013 年1月25 日

摘要：本文我们利用指数函数方法求解一个广义变系数 KdV 方程，结果我们求出了许多类型的解，

这些解包括孤立波解，爆破解和周期波解。

关键词：广义变系数KdV 方程；指数函数方法；精确解

1. 引言

众所周知，在研究物理、力学、生物和化学过程中会产生许多非线性偏微分方程，这些方程的精确解能使

人们深深地了解方程所描述的过程。但由于非线性偏微分方程的复杂性和计算方法的局限性，人们想求出这些

方程的精确解是困难的。随着孤立子理论的发展，人们提出了许多方法用来求解偏微分方程的精确解，比如逆

散射方法[1-3]，达布变换方法[4]，Hirota 双线性方法[5]，齐次平衡方法[6]，tanh 方法[7]，sine-cosine 方法[8]，Jacobi

椭圆函数展开方法[9]，辅助方程方法[10]，指数函数方法[11,12]等等。在这些方法之中，指数函数方法是非常有用

的一种方法，它能求出非线性偏微分方程的一般形式的孤立波解和周期波解，在数学软件Mathematica 或Matlab

帮助下，这个方法的解题步骤又非常简单，而且已经成功地应用到许多方程[13-15]。

本文将这一方法进一步应用到如下的一个广义变系数KdV 方程[16]



























66 12

txxxx

ugtuuuftgtuxft gtft



  (1)

其中



t和



t是两个任意的函数。方程(1)包含下列重要的方程：

1) 当时，方程(1)成为文献[17]中介绍的广义 KdV 方程



1gt

*资助信息：浙江农林大学大学生创新训练计划(201212006)和浙江农林大学教学改革研究项目(WT1104)资助的课题。

#通讯作者。

张佳梅等  一个广义变系数 KdV方程新的精确解

















66 12

tx xxx

uuuuftuxftft



 , (2)

2) 当

 

1, 12

gt ftt



时，方程(1)成为柱状 KdV 方程[18]

tx xxx

uuuu u



 , (3)

3) 当时，方程(1)成为变系数KdV 方程



0ft









txxxx

ugtuuu 0





, (4)

特别地，当时，方程(4)成为著名的 KdV 方程。



1gt

已有许多关于常系数 KdV 方程的研究，文献[19]利用 Ricatti 方程讨论了常系数 KdV 方程，获得了孤立波

解；文献[20]利用混合指数方法讨论了常系数 KdV 方程。但我们知道常系数只不过是人们在考虑现实物理现象

的某些方面而作的一种理想假设，因此一些作者[18,21]已经开始研究各种不同形式的变系数 KdV 方程，王等[16]

应用齐次平衡方法研究方程(1)，导出方程(1)的Backlund变换。在本文中，我们将使用指数函数方法来研究方程

(1)的精确解，我们求出了更一般形式的孤立波解，钟形的孤立波解，周期波解都可作为它的特殊情形。

2. 广义变系数 KdV 方程的精确解

为了能应用指数函数方法求解方程(1)，我们首先假设

 

,,exp12 d

uxt vxtfgxft





 





.

xxx

(5)

把(5)式代入(1)，得

  

66exp12d

tx x

vxftgtvgtfgvvgtv







 







(6)

再引入变换















,,vxt Vktxt

 

 (7)

这里和是两个未知函数，那么(6)式变为

































 

6exp 12d0.

ktxtVxftgtktVgtk tV

gtktfgV V





 





 

 







 





 (8)

按照指数函数方法[11,12]，我们假设方程(8)有如下形式的解：











 

exp exp

ac ad

Vbpbq











, (9)

其中和都是未知的常数，和都是正整数，并由齐次平衡原则确定。

b,,cdpq

为了确定正整数和 q，我们平衡方程(8)中的最高阶导数项与最高阶非线性项，通过简单的计算，我

们有

,,cdp







726cpcp pc ,

726dqdqqd



.

因此我们能自由选择和d的值。为简单起见，我们设c1,1pc qd



，这样(9)式变为











 

101

exp exp

aaa

Vbbb







 , (10)

张佳梅等  一个广义变系数 KdV方程新的精确解

把(10)式代入(8)式，消去分母，并把以





exp n



和





exp



形式的各项前面的系数令为零，得到一组以

和



101 101

,,, ,,,aaabbbkt









为变量的超定方程组，利用数学软件 Mathematica 求解这组方程组，我们得到下

列两组解：

解1

11 1

0, 4

aab b



 ,

  

exp 6d

ktf g



















,



tgk











(11)

解2

10 0

ab b



,

  

01 10

exp 6d

ab ab

ktf g





















,

  

01 10

10 01

ab ab

ab abk













, (12)

其中和都是任意的常数。

010

,,aab1

下面我们根据解1和解 2两种情形来求出方程(1)的精确解。为了表述方便，我们记

 

exp 6d

Atfg













,

 

Btg A







. (13)

1) 解1情形

根据(5)，(7)，(10)和(11)式，我们可求得方程(1)的一般形式的孤立波解





000

10 0

exp exp

aA t

ba a

bb b





 



 

 

ft

, (14)

其中

 

tx Bt



 。由于是任意的常数，因此当时，如果取

001

,,abb 00 0ab0

b，则解(14)就成为钟状

的孤立波解

 

sec .

uAth xf











t

(15)

如果取 0

b ，则解(14)就成为爆破解

 

300

csc .

uAth xf





 





0ab 

(16)

同样地，当时，这时解(14)能转化成周期解。在(14)式中，我们写

00 0



的形式，并利用欧

拉公式









expi cosisin,expi cosisin



 

  



(17)

那么(14)式可写成如下形式





422

00 00

101

10 10

cosisin

aAt

ba ba

bbb

bb bb





 

 

 

 

(18)

如果我们想寻找周期波解或紧解，那么方程(18)的虚部必需为零，即

张佳梅等  一个广义变系数 KdV方程新的精确解



 (19)

得



 (20)

把(20)代入(18)式，我们就可得到方程(1)的两个周期解

 

500

sec

uAt xf













, (21)

和

 

600

csc

uAt xf













. (22)

2) 解2情形

根据(5)，(7)，(10)和(12)式，我们可得到方程(1)的另一个一般形式的孤立波解

 

01 10

211

10 01100110

10101

exp exp

ab ab

uAt xft

bb abababab

bbb bb









 



















(23)

其中

 

01 10

5abab

tx Bt





 。由于和都是任意的常数，因此当

010

,,aab 1





01 01100bb abab时，如果我们

在(23)式中取，那么我们得到方程(1)的另一种形式的单孤子解

2bb1

  



812

sec

uAth dAtxdBtxft













, (24)

其中



, 0

10 .



1

(25)

如果取，我们得到方程(1)的爆破解

2b

  



934

csc

uAthdAtxdBtxft





 











(26)

其中



, 0

10 .



1



0ab ab

(27)

同样地，当 bb 时，则精确解(23)能转化成周期解。我们在(23)式中写

01 011001101001

01 01

ab ababab

bb bb





的形式，并利用欧拉公式，那么(23)式可写成



 



01 10

211

10 22

100

101

cos isin

ab ab

uAt xft

bbb









 



 





 



 



, (28)

张佳梅等  一个广义变系数 KdV方程新的精确解

其中

 

10 010110

01 01

5ab ababab

tx Bt

bb bb















。如果我们想寻找周期波解或紧解，那么(28)式中的虚部必需为

零，即



, (29)

得

2.b1



 (30)

把(30)代入(28)式，我们就得到方程(1)的两个周期解

  



111 2

sec

uAtdAtxdBtxft





 











, (31)

和

 



123 4

csc

uAtdAtxdBt xft





 











, (32)

其中和分别由(25)和(27)决定。

123

,,ddd4

3. 结论

我们对广义变系数KdV 方程应用指数函数方法求出了两类更一般形式的孤立波解，如果对任意常数作适当

选择，这一般形式的孤立波解能转化为钟形的孤立波解，爆破解和周期波解。孤立波解在物理实验和自然界中

总是代表特殊的物理现象，而爆破解在某一点产生奇性，即对任一固定的一点 0



，存在 0

使解在该点爆破。

在文献[22,23]中已有关于解的所谓热点或爆破的许多有趣的信息，这些奇异解也能很好地描述特定的物理现象，

因此这些解也是非常有用的。

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