 International Journal of Mechanics Research 力学研究, 2013, 2, 7-12 http://dx.doi.org/10.12677/ijm.2013.21002 Published Online March 2013 (http://www.hanspub.org/journal/ijm.html) Application of Viscoelasticity Mechanics into Uniaxial Tensile Test of High Temperature Cast Alloy* Hongliang Tian, Dalin Zhu, Hongling Qin College of Mechanical and Material Engineering, China Three Gorges University, Yichang Email: thl19732003@yahoo.com.cn Received: Nov. 12th, 2012; revised: Nov. 22nd, 2012; accepted: Dec. 8th, 2012 Abstract: The stress-strain differential constitutive relation was given for Kelvin chain. On the basis of all the initial conditions taken into account, the general solutions of total strain were derived for Burgers fluid with 4 parameters and Kelvin-Maxwell model with 6 ones under the step function uniaxial stress. Both Burgers fluid with 4 parameters and Kelvin-Maxwell model with 6 ones could approximately describe the former two stages of creep curve but not reflect the third stage. Numerical calculation for cast Mar-M200 alloy creep curve shows that two theory’s predictions are in good agreement with test measurement results, especially the maximum relative error of Kelvin-Maxwell model with 6 parameters is only 5.4765779%. Keywords: Maxwell Model; Kelvin Model; Creep Curve; Stress-Strain Differential Constitutive Relation 粘弹性力学在高温铸造合金单向拉伸试验中的应用* 田红亮，朱大林，秦红玲 三峡大学机械与材料学院，宜昌 Email: thl19732003@yahoo.com.cn 收稿日期：2012 年11 月12 日；修回日期：2012年11 月22日；录用日期：2012年12 月8日 摘 要：给出了 Kelvin 链的应力–应变微分型本构关系。全面考虑初始条件，推导了Burgers 四参量流体、Kelvin- Maxwell 六参量模型在阶跃函数单向应力作用下的总应变通解。Burgers 四参量流体、Kelvin-Maxwell 六参量模 型都可以近似地描述金属材料蠕变曲线的前两个阶段，但都不能反映第三个阶段。铸造 Mar-M200 合金蠕变曲 线的计算表明，两种理论预测与实验测量的结果的一致性较好，特别是 Kelvin-Maxwell 六参量模型的最大相对 误差仅为 5.4765779%。 关键词：麦克斯韦模型；开尔文模型；蠕变曲线；应力–应变微分型本构关系 1. 引言 当物体处于平衡状态时，其内部各点的应力状态 在边界上应满足边界条件。边界条件可能有三种情 况：1) 在边界上给定面力称为应力边界条件；2) 在 边界上给定位移称为位移边界条件；3) 在边界上部分 给定面力，部分给定位移称为混合边界条件。弹性力 学的解析解在理论上很有价值。弹性力学乃至绝大多 数科学理论的公式，其实本身也有其很多近似与简化 (指的是适当的简化，不是过分的简化。理论是与实际 存在一定差距的简化描述，为了实现理论符合实际， 人们总是试图少简化甚至不简化)之处，例如认为某些 系数是常数，这并不影响其严格解析解的重大意义。 圆柱壳的临界屈曲应变对边界条件是不敏感的[1]。当 圆柱壳的长度 时，边界条件对临界屈曲载荷的 2Lr *资助信息：国家自然科学基金(项目批准号：51275273)，以及三峡 大学博士科研启动基金(项目编号：KJ2012B013)的资助。 Copyright © 2013 Hanspub 7  粘弹性力学在高温铸造合金单向拉伸试验中的应用 大小影响很小，较长圆柱壳方程的解和边界条件的类 型是无关的[2]。除此两种特殊情况以外，一般而言， 边界条件对解析解具有很大的影响。 目前在粘弹性力学边界条件的研究现状中存在 2 个不足。第一个不足是错误定义边界条件或不考虑初 始条件或对初始条件处理不彻底或过分简化(如果在 不过分简化的情况下能得到解析解，就不要简化)初始 条件，例如文献[3]错误定义了非局部弹性理论的边界 条件；文献[4]认为两自由度阻尼系统的初始条件为静 止，求其响应；文献[5-7]对初始条件处理不彻底，将 粘弹性薄板自由振动定性分为幅值呈指数衰减的简 谐振动和非周期性蠕动两种，故得到粘弹性薄板强迫 振动的解析解任重道远；Ti moshenko[8]在1932 年摆脱 了Euler-Bernoulli 假定(梁在受力弯曲后，其原来的横 截面仍为平面，并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转， 且仍垂直于梁变形后的轴线)的束缚提出了剪切梁理 论，Timoshenko 梁考虑了横向剪切变形，是 Euler- Bernoulli 梁的推广，也许受到了 Timoshenko 取得辉 煌成就的激励，文献[9]首次开创性地里程碑式地试图 摆脱 Kirchhoff-Love假定(1850 年提出，变形前垂直于 中面的任一直线线段，变形后，仍为直线，并垂直于 变形后的弹性曲面，且长度不变；垂直于板中面方向 的应力较小，可略去不计)、Navier 的二重正弦级数 (1820 年以报告形式提交给法国科学院，1823年对外 公布，开创了弯曲薄板理论问题求解的先河)、Levy 在1899 年提出的半幅的单傅里叶正弦级数的束缚， 给出薄板弯曲的严格(无任何近似)简明(无任何无限 级数与特殊函数)解析解，如果能真正得到薄板弯曲的 严格简明解析解，那将是弹性力学薄板理论的一次划 时代进步，可惜此文除了存在一些基本运算的错误之 外，最致命的缺陷是对初始条件处理不彻底，没有给 出挠度通解(赫赫有名的 Navier 二重正弦级数、Levy 的半幅的单傅里叶正弦级数都给出了挠度的精确通 解)，仔细研究此文后发现，满足初始条件后得到平板 法向位移的待求系数方程组无解；文献[10-12]过分简 化了应变边界条件；由于双壁碳纳米管的半径通常至 少为几纳米，内外管半径的差值与双壁碳纳米管的半 径相比非常小，因此文献[13]认为内外管半径的差值 可以忽略不计，令 。文献[14]采用过分简化关 系式 时，发现角频率的平方–剪切膜力关系是 直线关系；采用精确关系式 时，发现角频 率的平方–剪切膜力关系是曲线关系，还发现了一个 令人吃惊的反常情况：高阶弯曲模态(6, 4)对应的角频 率反而小于低阶弯曲模态(5, 4)对应的角频率，这在单 模态领域是不可想象的(因为在单模态领域，高阶模态 对应的角频率一定大于低阶模态对应的角频率)，文献 [14]没有出现这个反常情况，可以推测文献[14]采用的 是过分简化关系式 1 RR2 2 2 1 RR 12 RRh 1 RR 。第二个不足是没有给出时 域通解，例如文献[15]利用矩阵复指数算法推导了当 系统受到一假想简谐复激励力时的复位移一般表达 式，但没有给出实位移一般表达式，事实上使用这种 假想方法根本就不能得到实位移一般表达式，因为线 性微分方程的系数会出现复数；文献[16]给出了梁两 端的统一混合边界条件矩阵形式 bb 0, , s LsηsMηNγ，但没有给出 0, s η、 ,Lsη、 s γ的具体值，局限在频域，不能通过 Laplace 反变换得到时域解，因此这种仅仅只停留在频 域的求解方法是不完整的。 本文全面考虑初始条件，推导了Burgers 四参量 流体、Kelvin-Maxwell 六参量模型在阶跃函数应力作 用下的总应变通解。Burgers 四参量流体、Kelvin- Maxwell 六参量模型都可以近似地描述金属材料蠕变 曲线的前两个阶段，但都不能反映第三个阶段。工程 实例计算的结果表明，两种理论预测与实验测量的结 果的一致性较好。 2. 粘弹性力学的两种模型 金属在高温下发生显著的蠕变现象。金属材料的 蠕变过程常用变形与时间的关系曲线来描述，这样的 曲线称为蠕变曲线。温度较高时原子的活动能力提 高，使得产生塑性变形的位错滑移更为容易，所以， 在较高温下低于屈服极限的应力就足以造成材料塑 性变形。随着材料的塑性变形，加工硬化亦随之产生， 材料开始强化，变形抗力加大。蠕变曲线 ABCD 如图 1所示，它可分为瞬时蠕变 AB(应变率 t 随时间增加 而减小)、稳态蠕变BC(应变率 t 几乎为一常值，这 一段是直线，此时，变形产生的加工硬化和回复、再 结晶同时进行，材料未进一步硬化)和加速蠕变CD(应 变率 t 随时间增加而迅速增加，愈来愈 大的塑 性变 形便在晶界形成微孔和裂纹，试件也开始产生缩颈， Copyright © 2013 Hanspub 8  粘弹性力学在高温铸造合金单向拉伸试验中的应用 Figure 1. Three stages of creep curve 图1. 蠕变曲线的三个阶段 试件实际受力面积减小而真实应力加大，最后导致试 样断裂)三个阶段。图1中， 0 为初始弹性应变。 图2为Kelvin 链，由 1n 个Kelvin 模型串联而 成， 、 i Ei 、i 分别为第 i个Kelvin单元的弹性模量、 动力粘度、应变； 、 分别为应力、总应变。 图2的应力–应变微分型本构关系为 1 1 00 111 DDD n iiinn EEE (1) 式中， d Ddt 表示对牛顿时间t的微分算子。 当00 n E 时，图2变为图 3。 此时本构方程(1)变为 1 1 0 111 DD n iiin EE (2) 由式(2)得 11 11 0 11 1 1 11 DD DD 1 DD D D nn n nii ii ii nn n nii ii i ii ii EE E EE E (3) 2.1. Burgers四参量流体 当时，图3变为图 4。 2n 此时式(3)变为 2 112 2 12 1 122 1 00 DD DD E EE EE (4) 当为阶跃函数时，由式(4)的Laplace 变换得 0ut 22 112120101021 0 s sEss EsE (5) 0 E 0 1 E 1 i E i n E n 0 1 i n Figure 2. Extended Kelvin model 图2. 广义 Kelvin 模型 E0 1 E1 i Ei n 0 1 i n Figure 3. Series of extended Kelvin model with one Maxwell model 图3. 广义 Kelvin 模型和 1个Maxwell 模型串联 E0 1 E 1 2 1 Figure 4. Series of one Kelvin model with one Maxwell model 图4. 1个Kelvin 模型和 1个Maxwell 模型串联 式中， s 为 t 的Laplace 变换。 由式(5)得频域总应变为 11 122 2 1 1 kk k ss ss (6) 式中， 0 11 2 k (7) 120 2 kk (8) 1 1 1 E (9) 2110 kk 1 (10) 由式(6)的Laplace 反变换可得时域总应变为 1 11122 e t tktkk (11) 由式(11)可得蠕变柔量为 1 00 0 012 111 1, , 02 1 11 1e t E t Jt tEE (12) 式(12)对t的一阶导数为 1 21 11 e t Jt 式(12)恰好是 Maxwell 和Kelvin 模型的蠕变柔量 (13) Copyright © 2013 Hanspub 9  粘弹性力学在高温铸造合金单向拉伸试验中的应用 之和，这是意料中的结果，与文献[17]的蠕变柔量经 典解一致。因此文献[17]的蠕变柔量经典解是式(11) 的一种特殊情况。式(12)说明有瞬时弹性变形，蠕变 柔量是随时间 t而单调增加的函数，材料可以逐渐地 且无限地产生变形，这是流体的特征。由式(13)可见， 应变率随时间增加而减小(瞬时蠕变阶段)，当 t很大 时应变率几乎为一常值 2 1 (稳态蠕变阶段)，因此式 (11) 可以近似地描述金属材料蠕变曲线的前两个阶 Maxwell六参量模型 式( 段。但式(11)不能反映第三个阶段，因为第三个阶段 涉及塑性变形，超出了本文的研究范围——粘弹性力 学。 2.2. Kelvin- 当3n时，图3变为图 5。 此时 3)变为 3 DDEE 2 121221123 32 12312 21 12 23313 00 12 1213212331 2 0 D DD D EE EE EE EE EEEE EE E (14) 当 时，由式(14)的Laplace 变换得 0ut s 2 112 23 32 12301221 01203 1201221 01203120 ssE sE sEE s EEEEs EE (15) 式中， s 为 t 的Laplace 变换。 (15 得频由式 )可 域总应变为 3 11 122 2 12 11 K KK K ss sss tt (16) 式中， E0 1 E 1 2 E 2 3 0 1 2 3 Figure 5. Series of extended Kelvin model with one Maxwell mod 图5. 广义 Kelvin 模型和 1个Maxwell 模型串联 el 0 11 K 3 (17) 12 023 K K K (18) 1 1 1 tE (19) 2 2 2 tE (20) 2 1 t 21 1020 12 KK ttt (21) 2 2 311010 21 t KK t tt (22) 由式(16)的Laplace 反变换可得时域总应变为 12 1112 23 ee tt tKtKK K tt 3) 由式(23)可得蠕变柔量为 (2 000 11 1, , Et Jt t 0 0123 1122 12 11 11 , 03 12 11 1 1e 1e t tt tt t EE E (24) 式(24)对t的一阶导数为 12 31 2 11 eJt 1 e tt tt (25) 式(24)也恰好是 Maxwell 和Kelvin 之和。同样式(23)可以近似 曲线的前两个 阶段，但 当 链的蠕变柔量 地描述蠕变 不能反映第三个阶段。 2且2 E 0 时，式(17)~(22 )变为 0 11 3 K (26) 12 02 K K (27) 1 1 1 tE (28) 20t (29) 01211 K Kt 此时式(7)~(10)分别与式(2 此式(11)是式(23)的一种特殊情况。 (30) 30K (31) 6)~(28)，(30)一致。因 Copyright © 2013 Hanspub 10  粘弹性力学在高温铸造合金单向拉伸试验中的应用 3. 工 -M200 空感应炉熔炼和真空铸造的沉淀 当高的固熔强化元素钨 和提高 程实例与结果分析 Mar 是真 强化型镍基铸造合金，含有相 强化相 叶片， 和蠕 76 毫 12 Zr 固溶温度的元素钴。合金主要作用是 铸造蜗轮其工作温度可达1040℃。在铸造技术 上采用定向结晶和单晶工艺，可改善合金的高温拉伸 强度、 性、热冲击性能、冲击韧性变性能。直 径19 材，铸态，试样取自 米定向结晶钢 锭PW ，接近[001]方向的拉伸轴的单晶材料 Ni-0Co-9Cr-5Al-2Ti-1Cb+B+ 在760℃， 塑 毫米棒 A664 W-1 2 070 kgf[18,19] mm 作用下的蠕变曲线如图6所示。 2 013000 kgfmmE, 0 0 0 E , 从图 6测量获得B点的时间 ，A点的初始 应变率 。 延迟时间 200h B t 1 00.00025 h 式(11)中参数的选取。取 12 B t 得B点的应变 ，由 式 (13) 可得 ，从图 6测量获 率1 0.000029h B 应变率为 1 00 21 11 e t tJt (32) 动力粘度可近似取为 00 2 B (33) 按式(11)可得理论预测的蠕变曲线如 式(23)中参数的选取。A点的初始应变加速度近 似为 图7所示。 0 0 1 0.000125 (34) 由式(25)得 12 00 31 2 111 ee tt tt tJt (35) 动力粘度可近似取为 00 3 B (36) 取第一延迟时间 13 B t t ，第二延迟时间 2 2 3 B t t。 按式(23)可得理论预测的蠕变曲线如 实验测量与理论预测的蠕变应变见表 1。Burgers 图8所示。 Figure 7. Creep curve of Burgers fluid with four parameters 图7. Burgers四参量流体的蠕变曲线 Figure 6. Creep curve of uniaxial extensional experiment about Mar-M200 图6. Mar-M200的单向拉伸试验蠕变曲线 Figure 8. Creep curve of Kelvin-Maxwell model with six parame- ters 图8. Kelvin-Maxwell六参量模型的蠕变曲线 Copyright © 2013 Hanspub 11  粘弹性力学在高温铸造合金单向拉伸试验中的应用 Copyright © 2013 Hanspub 12 Table 1. Creep strains of experimental meas 表1. 实验测量与理论预测的蠕变应变 t/h 0 100 200 400 800 1200 urement and theoretical prediction of creep experiment 0.005385 0.025385 0.037385 0.048385 0.058385 0.072385 of Equation (11) 0.0053846 0.0222545 0.0302937 0.0386798 0.0506772 0.0622845 relative error of Equation (11)/% 0.0074280 12.332086 18.968303 20.058283 13.201679 13.953858 of Equation (23) 0.0053846 0.0248406 0.0362625 0.0482547 0.0615825 0.0732690 relative error of Equation (23)/% 0.0074280 2.1445736 3.0025411 0.2692983 −5.4765779 −1.2212475 四参量流体理论预测式(11) 的最大相对误差为 20.058283%，Kelvin-Maxwell六参量模型理论预测式 (23)的最大相对误差为 5 与实验测量的结果的一致性很好。 4. 结论 考虑初了 Burgers 流体 Kelvin 阶跃函 用下 总应变通解参量流体、 axw 六参量金属材 曲线 两个阶段，但都不能反映第三个阶段。工程实例计 (References) [1] 换辛解法 机械强度 [5] 冯振宇. 四种粘弹性模型薄板的自由振动[J]. 西安公路交通 大学学报, 1998, 18(3): 59-63. [6] 祝彦知, 程楠, 薛保亮. 四种粘弹性地基上弹性地基板的自 , 3: 31-41. 保亮, 王广国. 粘弹性地基上粘弹性地基板的自 由振动解析[J]. 岩土力学与工程学报, 2002, 21(1): 112-118. [8] C.ang. Timoo beam-bending solutions s of Eulerernoulli solutions. Journal of Engineering M (6): 76 [9] 李元媛, 蔡睿贤. 矩形薄板弯曲的严格简明解析解[J]. 机械 2008,76. [10] in teationf Solc- , 40(1 [11] , Y. J P. Zhnalysal c Ketens Mad nglish E, 2008,74. [12] 赵雪川, 雷勇军, 周建平. 非局部 Kelvin 粘弹性直杆受轴向 0-376. es embedded in an elastic me- .4765779%，后者的理论预测 由振动解[J]. 强度与环境, 2001 [7] 祝彦知, 薛 M. W -B shenkin term echanics, 1995, 1213-765. 工程学报, 44(10): 72- A. A. Pisano, P elastic bar . Fuschi. Closed form nsion. Intern solution for al Journal o a nonlocal ids and Stru tures, 2003 X. C. Zhao ): 13-23. . Lei and J.ou. Strain ais of nonloc viscoelasti Mechanics (E lvin bar in dition) ion. Applied 29(1): 67- thematics an 始条件，推导四参量 、 -Maxwell 六参量模型在数应力作 的 。Burgers四Kelvin-M ell 模型都可以近似地描述料蠕变 的 前 拉力作用的应变分析[J]. 应用数学和力学, 2008, 29(1): 62- 68. [13] Y. Q. Zhang, G. R. Liu and X. Han. Effect of small length scale 算的结果表明，两种理论预测与实验测量的结果的一 致性较好，特别是Kelvin-Maxwell 六参量模型的最大 相对误差仅为5.4765779%。 on elastic buckling of multi-walled carbon nanotubes under ra- dial pressure. Physics Letters A, 2006, 349(5): 37 [14] C. Q. Sun, K. X. Liu and G. X. Lu. Dynamic torsional buckling of multi-walled carbon nanotub dium. Acta Mechanica Sinica, 2008, 24(5): 541-547. [15] 诸德超, 邢誉峰. 工程振动基础[M]. 北京: 北京航空航天大 参考文献 学出版社, 2004: 89-96. [16] 赵雪川, 雷勇军, 唐国金. 传递函数法在非局部弹性梁动力 M. R. Falvo, R. M. Taylor II, A. Helser, et al. Nanometre-scale rolling and sliding of carbon nanotubes. Nature, 1999, 397(6716): 236-238. [2] Q. Wang, V. K. Varadan and S. T. Quek. Small scale effect on elastic buckling of carbon nanotubes with nonlocal continuum models. Physics Letters A, 2006, 357(2): 130-135. [3] Y. Q. Zhang, G. R. Liu and X. Y. Xie. Free transverse vibrations of double-walled carbon nanotubes using a theory of nonlocal elasticity. Physical Review B, 2005, 71(19): 195404-1-195404-7. [4] 徐斌, 欧进萍, 姜节胜等. 经典阻尼系统响应求解的分离变 [J]. , 2008, 30(1): 001-005. 学分析中的应用[J]. 振动与冲击, 2007, 26(5): 4-7. [17] 杨挺青. 粘弹性力学[M]. 武汉: 华中理工大学出版社, 1990: 24-28. [18] 申鸿恩. 粘弹性理论应用一例[J]. 力学与实践, 1984, 6(5): 18-21. [19] 冶军. 美国镍基高温合金[M]. 北京: 科学出版社, 1978: 340- 350. |