 Statistical and Application 统计学与应用, 2013, 2, 1-8 http://dx.doi.org/10.12677/sa.2013.21001 Published Online March 2013 (http://www.hanspub.org/journal/sa.html) Asymptotic Properties of Estimation and Influence Diagnostics on Semiparametric Nonlinear Reproductive Dispersion Mixed-Effects Models Rong Jiang, Jingru Li, Weimin Qian Department of Mathematics, Tongji University, Shanghai Email: jrtrying@126.com, jingru_li@tongji.edu.cn, wmqian2003@yahoo.com.cn Received: Nov. 7th, 2012; revised: Nov. 20th, 2012; accepted: Dec. 5th, 2012 Abstract: This paper proposes several case-deletion and local influence measures for assessing the influence of an observation for semiparametric nonlinear reproductive dispersion mixed-effects models. The essential idea is to treat the latent random effects in the model as missing data and estimate unknown parameters by MCNR algorithm. On the basis of the Q-function which is associated with the condition al expectation of the complete-data log-likelihood, we generate generalized Cook Distance. Three different perturbation schemes are discussed. Finally, the propos ed methods are illustrated by the simulation analysis and one real data set. Keywords: Semiparametric Nonlinear Model; Reproductive Dispersion Mixed-Effects Model; Local Influences; Penalized Spline; Generalized Cook Distance; MCNR Algorithm 半参数非线性再生散度混合效应模型的参数估计和 影响分析 姜 荣，李静茹，钱伟民 同济大学数学系，上海 Email: jrtrying@126.com, jingru_li@tongji.edu.cn, wmqian2003@yahoo.com.cn 收稿日期：2012 年11 月7日；修回日期：2012 年11 月20 日；录用日期：2012 年12 月5日 摘 要：本文把随机效应看作缺失数据并利用 P-样条拟合非参数部分，应用 MCNR 算法得到了半参 数非线性再生散度混合效应模型的未知参数的估计，同时利用 Q函数得到了模型的广义 Cook 距离。 此外，本文还研究了三种不同扰动情形的局部影响分析，得到了相应的影响矩阵。最后，通过模拟和 实例验证了本文所提出的估计方法的有效性。 关键词：半参数非线性模型；再生散度混合效应模型；局部影响；P-样条；广义 Cook 距离；MCNR 算法 1. 引言 成为统计诊断的通用方法，它们可广泛地应用于各种 统计模型的影响分析。例如，线性模型(Cook and Weisberg[1])，非线性回归模型(Seber and Wild[2])，半 参数非线性模型(姜荣，邵明江，钱伟民[3])，线性混合 效应模型(Beckman, et al.[4])，半参数广义线性混合效 统计诊断从 20 世纪 70年代中期受到统计学家的 广泛关注，异常点识别、残差分析、影响分析和数据 变换等内容现已成为统计诊断的主要课题。特别地， 基于数据删除模型和局部影响的诊断分析方法现已 Copyright © 2013 Hanspub 1  半参数非线性再生散度混合效应模型的参数估计和影响分析 应模型(张浩，朱仲义[5])。Jorgensen[6]首次提出了再生 散度模型(RDM)，并指出广义线性模型的理论可以推 广到以 RDM 为随机误差的模型。唐年胜和韦博成[7] 研究了非线性再生散度随机效应模型，讨论了该模型 的几何结构、渐近性质和统计诊断等问题。 本文提出半参数非线性再生散度混合效应模型 是半参数非线性再生散度模型和非线性再生散度随 机效应模型的结合，在生物医学、公共卫生、经济、 农业、制造业、道路安全等众多领域的数据分析中有 广泛的应用。对于此类模型的参数和非参数的估计关 键在于条件期望的计算，Lin and Zhang[8]提出将随机 效应当成参数从而用条件众数代替条件期望，但是这 种方法对于非正态的模型估计效果很差。本文根据 McCulloch[9]将随机效应看作缺失数据，进而引入 EM 算法，并在 E步中使用 MCMH 方法来计算条件期望， 再利用 P-样条对非参数部分进行逼近。本文应用 MCNR 算法估计未知参数。并通过模拟和实例验证了 本文所提出的估计方法的有效性。 本文的安排如下：第二节介绍模型，参数的估计 及其渐近性质；第三节介绍模型的影响分析；第四节 通过模拟和实例验证了本文所提出的估计方法的有 效性；第五节是定理的证明。 2. 主要结果 2.1. 模型介绍 假设第 i个接受试验单元第 j次的观察值 关于 随机效应 的条件密度为： ij y i b 2 2 T 1 ,,; exp; 2 0, , ij iij iijijij yb i ijijij iij pybgay dyu bN ufxzbgt 其中 , ij fx 连续且关于 至少存在三阶连续偏导 数的已知函数， , ,,,1,, ;1,, ij ijijiji x tyz imjn 表示 n个独立的观察数据点。 是位置参数。 ij u2 是 已知散度参数， 为某一合适的已知函数， ;a ;d 为已知单位偏差度函数且 ;0Ed ， 为联系函 数。这类模型称为半参数非线性再生散度混合效应模 型。根据唐年胜和韦博成[7]不妨设假设 为典则联 系，即 ij ij uu 。定义 T,,,, iniii12 ,,, i iii y yy yi xtuz类似的定义。 2.2. 非参数函数的 P-样条估计 对于未知单变量函数 g ，本文采用 P-样条估计。 由Yu, et al.[10]，假设： 01 gt lr t 1 Kl l ii li i r t t r =1 其中 K rr 01 ,,, lK 为K个样条节点， 且为整数。Yu et al. [10]详细研究了节点的选择方法。对于光滑函数(取l = 2 并固定选取 5~10 个节点)，通常情况下，取预测变量 的等分位点为节点。如果函数有不连续点，则在其附 近要有一个节点；如果函数有限多极大值和极小值， 则需要取10 个以上的节点。设样条系数为 ，样条基为： 1l T T 1 , ,,, l iiK t tt1, , ii Bt tll i 则函数 g 的样条函数为 T ii g tBt 。 将上述向量结合写成矩阵的形式， T , m x 12 ,,Xxx TT 12 ,,Yyy ，tt ， T , m t 12 , , 12 ,,t T T , m y， diag ,m Z zz z ， T ,,, m Bt Bt 12 Bt Bt和 T g tBt ，则 模型也可以写成如下矩阵形式： 2 2d 1 ,, ; exp; 2 0, , yb T pybgay yu bN ufxBt Zb 由Yu, et al.[10]，上述模型的惩罚对数似然函数为： 2 ,, 1 ,, d,t 0 2 oo oo PL Y LYngt (1) 12 11 T1 ,, log 1 exp d 2 i ij i n m oo yb ij ii LY py bb ,, iji i b b 其中： 表示观测到的数据集， o Y0 是光滑参数。 Copyright © 2013 Hanspub 2  半参数非线性再生散度混合效应模型的参数估计和影响分析 由Yu, et al.[10]知 2 d g t t 可以表示为 T K ，其中K 是与节点t有关的矩阵，这里取 K为对角矩阵，且只 取最后 K个对角线元素的值为 1，其它为 0。所以(1) 式又可表示为： T 1 ,,,,, 0 2 oooo PLYLYn K 有关光滑参数 ，类似于 Yu, et al.[10]，我们可通过 GCV 选取，在具体计算时，用格子点方法获得最优的 。[注]：GCV的具体算法参见 Yu, et al.[10]的(21)式。 2.3. 模型的参数估计 可根据文献[9]和[11]，用 EM 算法对模型的参数 和非参数 函数为： 进行估计。具体的做法是将随机效应 看作 缺失数据 ，并用 ,表示完全数据，则完 全数据的惩罚对数似然 i b m Ycom YYY 2 2 11 T1 T 1 1 ,,log ;; 2 11 1 ln 22 2 i n m ccijij ij ij m ii i PLYa ydyu bbnK (2) 利用 EM算法求解(2)式。标准的 EM 算法包含 E步和 M步，给定初值 0 ; 1 step :, step:Max cc o mm EQ EPLYY MQ 其中 ，m表示 EM 算法中迭代的次 mm T TTT ,, 步是对分布数。E ,y ii pb 求条件期望，而M步是 求解 m 使得 m Q 达到最大 件下，通过反复的迭代， 。在相对较弱的条 m 能收敛到 的极大似然 估计 ˆ 。 在计算 E步的时候，由于条件分布 , ii pby 无 法直 方法来 。基 是，选取一个适当的建议分布，通常选正态分布为建 接获得积分的解析表达式，因此用 MH 抽 取b的样本 n本思想 i:1,, 1,, i bn Ni m 议分布。假设抽样链处于第 t – 1时刻的状态为 1t bi ， 从建议分布 12 , t Nb 中随机抽取一个潜在的转 ib b 移值，从均匀分布中随机抽取一个数u，如 i b 0,1U i b 果 1t，则接受 , ii ubb 作为链在下一时刻的状 1tt 态值，即 t ii bb 1 1 2 T , ,min1, , log , ii t ii t ii bi ii pb y bb pb y Epby bb , i 并选取 2 b 的值，以使得整个迭代过程从建议分布中产 在转移值生的潜 的接受率位于区间[0.25, 0.34] (Gel- man, Roberts and Gilks[12])。 为计算方便，本文假设 2 11 2 ，根据(2)式和 以 上的 EM算法，可以得到参数 T TT , 和 T 的极 大似然估计方程为： ,0 cc o P E LY Y (3) 1 1 11 ln 0 22 mT iio i Ebb Y , cc PL Y 点进行 Taylor 展开得： 在0 因此，把 ；否 ，其中 则，设 ii bb 00 2 ==0 T ,, c cc cc Y PL YPL Y , c PL (4) 其中 0 为真参数。利用(2)式，直接计算可得： 0 0 = T TT T0 = TT 0 P Bd nK Wd DdDDdB BdDBdB nK T , cc L YDd 其中： f D ， 2 T f w 。再把上式代入(4)式得到 -Raphs 的迭代Newtonon 算法 公式： 0 0 1 ˆˆ mm 1 1 T ˆ T ˆˆ m y mm y EH nK Dd EBd nK (5) 其中： TT T TT 00 ;0 pp plr lrp dDdDDdB HK K Bd D BdB W Copyright © 2013 Hanspub 3  半参数非线性再生散度混合效应模型的参数估计和影响分析 Newton-Raphson 算法的优点在于迭代算法可以替代 EM 算法中 M步，直接获得最大值。结合 MH 和 Newton-Raphson 算法，下面构造模型参数与非参数估 计的 MCNR 算法。 1) 选取初值 0 ，令 m = 0。 2) 用MH 算法生成 N个随机抽样 1,, N bb，然 后用这 N个样本近似计算条件期望(Mon ，记 为 te Carlo) Y。 ˆ E 3) 计算 m ，即把(5)式中的 E值 Y用近似 ˆ EY替代即可。 解4) 求，使得 1m 1 2ii bb N 取得最小值。 骤(到存在某个M使得 1 1ln Nkk k 5) 重复步2)~(4)，直 1MM 时停止迭代，并取 ˆ M ，其 中 为指定的充分小的正数。[注]：则如果迭代收敛， ˆ 就是 的极大似然估计。 2.4. 估计的渐近性质 根据(3)，可以得到参数 的估计方程为： TT ,11 1i n m FD ,0 n ni jijijn by ij BEdK n 其中： n 表示对于不同 n时的光滑参数。 在一些比较通常的条件下，研究 ˆ 的渐近性 。 假设： 参 质 1) 数直值 0 的领域 0 C 是紧集，对于任意的 0 C ，TT 11 1, i n m ij ijij by DB Ed n 一致收敛于特定的非随机连续函数 ij F ， TT 11 1 lim , i n m ij ijij by nij F DB Ed n 2) F 仅有 0 一个 0点。 , ˆn n 是一个随机序列， 满足 ,0 ˆnnC ，且 0 nn ,, ˆ nn F 以概率 1成立。 3) p by EH 。 4)存在 0 和正定矩阵 i J ，使得 0 2 1 sup iE ij d 且 0i i i EdJ J 1p n SS n T0,sup ij ij d 。 5) ，其中 S为正定矩阵， 0 T TTT TT 1 ,, m nii iiii uy i SDBEddDB 对于任意的 6) d满足 2 T 2TTT TT1 1 1,, , sup ii ii d ddDBDB dL 由上述条 定理 (1 件，可以得到以下定理： 1：在假设 )和(2)下，如果光滑参数 ，则估计方程计算得到的, ˆn n 1 no 满足： .. ˆas 。 界且 0 定理 2：在假设(1)~(6)下，如果 i n有 12 on ，则 n 1 ˆ0, L nN 0S 。 3. 影 在本节中，讨论数据点和数据组的影响分析，由 于本文是基于纵向数据，因此对模型讨论个体删除和 影响分析中，讨论了组内加权扰动、 组间加权扰动和随机效应方差的扰动。 响分析 组删除。在局部 3.1. 个体删除模型的影响分析 设 ci j PL y 是删除模型中第 i组第 j个观测 c 值后所得到的完全数据的惩罚对数似然函数，相应 的Q函数为 ˆ co ij QEPL ˆ , c ij yY ，且假 定ˆ 和 ˆij 分别是 ˆ Q 和 ˆ ij Q 达到最大值 时的取值。如果 ˆ 和 ˆij 相差很大，则认为第 i组第 j个观测值为 每一个 强 实际计算中，如果对影响点。 ij 都要进行 计算量非常大，因此根据 ，用 迭代计算，则 [11] ˆij 的一步近似 1 ij ˆ 来减少 计算量： 1 1 ˆˆˆˆ ij ij ˆˆ QQ (6) 其中 ˆ ˆˆˆ ij ij QQ ， 2T ˆˆˆ ˆ QQ 。 由于 ˆˆ ij 不能定量地表达影响的大小，仿照 距离，用 Q函数构造广义Coo 离； Cookk 距 T ˆˆ ˆˆˆˆ ij ij ij CD Q Copyright © 2013 Hanspub 4  半参数非线性再生散度混合效应模型的参数估计和影响分析 根据(6 得到一步近似公式： )式， 1 T 1ˆˆˆˆ ˆ CDQQQ ˆ ij ij ij 3.2. 组删除模型的影响分析 在纵向数据模型中，同一组中的观测值通常有相 同的协变量，因此有必要研究一组数据对于模型的影 响。对于组删除模型，同样可以推导出一步近似公式： 1 1 ˆ ˆˆˆˆˆ ii QQ (7) 其中 ˆ ˆˆˆ ii QQ ˆ 1ˆ , i n co ci j jEP LY Y )，得到广义Cook 距离的一步近似公式： 根据(7 1 T 1ˆˆˆˆ iii CD QQQ 3.3. 局部影响分析 设是定义在开区间域 上 的向量。令 1,, q Tq R , cc PL Y 为扰动模型的完全惩罚对数 似然函数。假定存在 0 使得 0 ,PLY PL oooo Y 和 0 ccc PLY PL ,c Y 对于所有 都成 ˆ 立。设 和 ˆ 分别 使得 Q函数 ˆˆ , cco QEPLYY 和 ˆˆ ,,, o YY cc QEPL 达到最大 值， 的条件期望均是对 以上 条件分布 ˆ , mo pY Y 求积 分。 根据文献[11]，构造模型的 Q函数距离： ˆˆ 2 Q LQQ ， Q L 的二阶近 似为 TT 1ˆ = II LhQ h 。 下文， Q 将分别研究三种加权 ：组 扰动，组间加权扰动，随机效应方差的扰动并求出相 应的影响矩阵。 3.3.1. 组内加权扰动 在不考虑数据结构的情况下，在所有观测数据中 找强影响点或异常点，比较常用的方法是给每个数据 加权。令 扰动情况 内加权 1 T 111 21 ,, ,, m nm , n 为扰动向量，当 01n 时，模型为无扰动模型，其中 1n为所有元素为 1的n1 维向量，则组内加权扰动的 似然函数可表示为： 2 11 T 1 ,log;; ln 1 2 i n m ccijijij ij j PLYa ydyu nK 2 T1 1 2 11 22 i m ii i bb 通过对上式求导我们有： 2 T 2 0 T 2 T ,, ,ˆ ,, , ij ij EY cc ij cc cc ij PL Y PL Y PL Y 其中： T 2 T2 2 T T2 2 T , ,1 2 ,1 2 ,0 ij cc ij ij cc ij ij ij cc ij fx PL Yd PL YBtd PL Y 11 ,, m mn 由此可得到 。 3.3.2. 组间加权扰动 在组间数据中找强影响数据组或异常数据组，比 是给每个数据组加权。令 扰动向量，当 为无扰 动的似然函数可表示为： 较常用的方法 T 1,, m T 01,1, ,1 动模型，则组间加权扰 2 11 1 1 ,log;; 2 1 ln 22 n mi cci ij ij m i Ya ydyu 2 T1 T 1 1 2 ijij ii PL bb nK 通过对上式求导我们有： Copyright © 2013 Hanspub 5  半参数非线性再生散度混合效应模型的参数估计和影响分析 2 T 2 0 T 2 T ,, ,ˆ ,, , i cc i cc i cc i PL Y PL Y EY PL Y 其中： T 2 T2 1 2 T T2 1 2 T , ,1 2 ,1 2 ,0 niij cc ij j i ni cc ij ij j i cc i fx PL Yd PL YBtd PL Y 由此可得到 。 3.3.3. 随机效应方差的扰动 在模型中，随机效应 是从 1,,m i b 0,N 差阵中随机效 ,m则组 中随机抽 取的，为了进一步研究 应的扰动影 响，假设 间加权扰动 的似然函数可表示为： 协方 ,bi Var 1, ii 2 ,l ; 2 11 T 1 og ; 2 1 2 i n m ccijij ij ij i T1 11 m 1 ln 22 ii i P LY ay dyu nK bb 通过对上式求导我们有： 2 T 2 0 T 2 T ,, ,ˆ ,, , i cc i cc i cc i PL Y PL Y EY PL Y 其中： 2 T 2 T 2 T11 T ,0 ,0 ,1 2 cc i cc i cc i T i PL Y PL Y PLY b 由此可得 1,,m 到。 4. 模拟与实例分析 4.1. 模拟例子 假设 iji y b服从单参数 I型极值分布，则 ij i y b的 概率密度函数为 exp exp ijiijijijij pyb yy (8) 其中： , ijijiij f xbgt ， 1234 exp ijij ij ,exp f xx x。 ，则 此时， 1 , ; ij ij dy T 234 ,, 满足单位偏 差度函数及再生散度定 )式定 再生 效应模型。对模 型(8)，设固定效应参数 义的条件。因此，由(8 义 的模型是半参数非线性 散度随机 的真值为 ，n = 200，取 T 1, 0.5,1,1 0,1 ij xN， ij sin ij g tt ， 0,1 ， ij tU 0,1 。 i bN g 次迭 在模拟计算中，对非参数部分 ，2阶P 取5个固定的节点 0代 采用 样条，选 ，经20 ，可得 的 极大似然估计为 T ˆ0.9835,0.5147,0.9846,0.9882 ， 随机效应方差的估计值为 0.9417，然后用 GCV 求得 惩罚参数 16 8.8 10 ，参数的估计接 近，说明 法是 子 值与直值十分 上面介绍的方 有效的。 4.2. 实际例 tinan[13])。 的药物， 对于非线性部分，选取固定的 5个 节点，并通过GCV 的方法得到光滑参数的估计 结合一个实际的例子来说明本文指出的统计诊 断方法的可操作性和有效性。药物血浆渗透数据 (Davidian and Gil 对6个病人自愿者，在 8小时内通过 11 次静脉 注射相同剂量 测得每位病人血液中药物浓度 数据。本节用模型(8)拟合该数据。 实际计算中， 4 1.34210 n i b ，然后用 MCNR算法得到诊断统计 量的值。下面列出广义 Cook距离和局部影响的图形: 1) 个体删除模型 从图 1中可以发现第 1号和第 23 号点的影响比 较大，其中第 23号点是数据中数值最大的点。且以 上结果与韦博成，林金官，解锋昌[14]的结果一致。 2) 组删除模型 Copyright © 2013 Hanspub 6  半参数非线性再生散度混合效应模型的参数估计和影响分析 Figure 1. Generalized Cook distance of individual delete model 图1. 个体删除模型的广义 Cook 距离 从图 2中可以发现第 3组数据的影响最大，因为 它包含了强影响点第 23号点，同时第 1组数据的影 响也较大。 3) 局部影响分析 从图 3、图 4和图 5可以发现，局部影响分析和 Cook 距离的结果基本一致。 5. 定理的证明 定理 1的证明： 根据假设(1)和假设(2)且 1 no ，则对于任意 的 0 C ，下式一致地对 成立： TT ,11 n ni jijijn by ij n 1i n m Flim , nDBEdKF (9) 令,n n ˆ 是一列惩罚极大似然估计且设 的 时候， n ,n ˆn 在 0 C 中的任意一个极限点是 ，则存 在一个 ,n n ˆ 的子列 ˆ, tn t n ，使得 .. , ˆtn t as n 。 我们需要证明 0 。当 时， t n ,, ,,, ,, ˆ ˆ tn tn tt tn tntntn tn ttt tt nn nnn nn FF F F ˆˆ F F (10)中等 边的第 ，由(9)式可 (10) 号右 一项知： 0 ,, ,, tn n F ˆˆ 0 sup tn tntn tt tt nnn C FFF 假设( )且 (10)中等号右边第二项由于 1)和(2 因而也收敛到0。因此， e 2. Generalized CFigur 图2. 组删除模型的广义 Cook ook distance of group delete model 距离 .. , ˆtn t as n Figure 3. Within oup disturbance gr 图3. 组内扰动 Figure 4. Bturbance 图4. 组间扰动 etween group dis Figure 5. Rando disturbance 图5. 随机效应方差的扰动 m effect variance Copyright © 2013 Hanspub 7  半参数非线性再生散度混合效应模型的参数估计和影响分析 Copyright © 2013 Hanspub 8 ,, ˆ lim tn tn tt nn nFQ ，又 因为, ˆtn t n ,, ˆtn tt nn 是惩罚似然方 。 根据假设(2) 程的解，所以： n lim 0 tn FF s 0 2 ， F 在 0 C 中仅有一个0点， 即0 ，显然 0 。通过以上证明，得到对于所有的 , ˆtn t n 的极限点都收敛于 0 。因此，由于只要 就n 有ˆn ,0 tn t ，这个收敛是几乎处处收敛的 而，从 , ˆtn t n 是0 的强相合估 定理 根据参数 计。 2的证明： 的估计方程： 0 n m ij ijij n by 1 TT 11 , i ij H K n DB EdK 01 ˆby E 其中 介于 ˆ 与0 之间，根据假设(1)及定理1，得： 0 0 1 TT , ij ij DB E 12 11 ˆ 1 i by n m ij np by ij EH K n d Kon 再根据定理条件 12 on ，以及假设(3)，上式可以 简化为： 0 11 ijij np by ij o 0 1TT ˆ ,1 i n m ij n DB EdK 容易验证： 0 0 0 Var 0 ij by ij i by EE d VEd J (11) 根据假设(4)和假设(6)，对任意 21d以及 ，得 0L 到： 0 0 1 12 TTT T TT 1 12 TTT T T TT , , , , s ijij iji by ij ijij by s ijij iji by ij ijij by dE dDBIV EDBEdd EdDB dIVd EDBEd 0 0 1 T TTT TTT 1 T2 1 T2 TTTTT 212 |1 1 ,, ,, sup ijij ijij ij by by s s ij ijij ij s s by ij i EEdDB ddDBEd DB ddDB EE dL ij ij ij by by EEd Ed 由以上不等式和(11)式，从而满足中心极限定理，定 理2得证。 参考文献 (References) [1] R. 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