 International Journal of Fluid Dynamics 流体力学, 2013, 1, 1-9 http://dx.doi.org/10.12677/ijfd.2013.11001 Published Online March 2013 (http://www.hanspub.org/journal/ijfd.html) A Reduced-Order CN Finite Element Extrapolating Algorithm Based on POD for Burgers Equation* Hong Li1, Chunxia Huang1, Zhendong Luo2 1School of Mathematical Sciences, Inner Mongolia University, Huhhot 2School of Mathematics and Physics, North China Electric Power University, Beijing Email: malhong@imu.edu.cn, 515776650@qq.com, zhdluo@ncepu.edu.cn Received: Jan. 20th, 2013; revised: Jan. 29th, 2013; accepted: Feb. 20th, 2013 Abstract: A Crank-Nicolson (CN) finite element reduced-order extrapolating algorithm with second-order accuracy based on proper orthogonal decomposition (POD) technique is established for two-dimensional Burgers equation, its error estimates are provided for criterions of the CN finite element reduced-order extrapolating algorithm to choose the number of POD basis and to renew POD basis. Some numerical experiments are used to show that the advantage of the CN finite element reduced-order extrapolating algorithm. It is shown that the CN finite element reduced-order extrapo- lating algorithm based on POD technique is feasible and efficient for finding the numerical solutions for two-dimen- sional Burgers equation. Keywords: Two-Dimensional Burgers Equation; Proper Orthogonal Decomposition Technique; Crank-Nicolson Finite Element Reduced-Order Extrapolating Algorithm; Error Estimate Burgers 方程基于 POD 方法的降维 CN有限元外推算法* 李 宏1，黄春霞 1，罗振东 2 1内蒙古大学数学科学学院，呼和浩特 2华北电力大学数理学院，北京 Email: malhong@imu.edu.cn, 515776650@qq.com, zhdluo@ncepu.edu.cn 收稿日期：2013 年1月20 日；修回日期：2013年1月29日；录用日期：2013年2月20 日 摘 要：建立二维 Burgers 方程基于特征投影分解(POD)方法的时间二阶精度的Crank-Nicolson (CN)有限元降维 外推算法，给出这种算法的误差估计，并用误差估计作为算法的 POD 基数目选取及 POD 更新的准则。最后用 数值实验说明该算法的优越性，这表明了该算法对于求解二维Burgers 方程的数值解是有效可行的。 关键词：二维 Burgers 方程；特征投影分解方法；Crank-Nicolson 有限元降维外推算法；误差估计 1. 引言 设 是有界的连通凸多边形区域。考虑流体 动力学中的二维非定常Burgers 方程。 2 R t uuuu ,, x ytu ， 在 上 (1.2) 0,T ,,0 , x yxu T y ， 在中 (1.3) 其中 是未知的流体速度向量，T是总体时 间， 12 ,uuu 1Re ，Re 是Reynolds数， 是已知的源函 数， f ,, x yt 和 , x y 分别是已知的边值函数和初值 函数。为了便于理论分析，不失一般性，不妨在下面 的理论分析中假定 ,, x yt 和 , x y 均为零向量。 f ， 在 中 (1.1) 0,T *资助信息：国家自然科学基金(批准号：11271127、11061021 和 11061009)、贵州省科技计划项目(批准号：黔科合 J字[2011]2367)、 内蒙古自然科学基金(批准号：2012MS0106)和内蒙古自治区高等学 校研究项目(批准号：NJ10006)资助项目。 非定常 Burgers 方程是流体力学中一个非常重要 Copyright © 2013 Hanspub 1  Burgers方程基于 POD 方法的降维 CN 有限元外推算法 和基本的偏微分方程，它广泛地应用于空气动力学、 湍流、热传导、交通流、地下水污染等众多领域[1-3]。 非定常 Burgers 方程可以看作是非定常Navier-Stokes 方程的简化模型，并且可以通过对非定常 Burgers方 程的数值模拟来研究非定常Navier-Stokes 方程的性 态，对它的深入研究有助于更好地求解其它非线性偏 微分方程。 由于非定常 Burgers 方程是非线性方程组，特别 是当源项或计算域不规则时，要求出该方程组的解析 解是很困难的，有效的方法是求其数值解。经典的 Crank-Nicolson (CN)有限元方法是求解非定常 Bu rgers 方程的高精度数值方法，但是对实际工程问题，非定 常Burgers 方程经典的CN有限元方法包含有大量的 自由度。因此，重要的问题是在保证有足够精度的数 值解的情况下，如何简化计算、节省计算量和存储要 求及减缓计算过程中截断误差的积累。 特征投影分解(POD)方法是一种能够大量减少自 由度即降低模型维数的有效逼近方法。该方法已经广 泛应用于统计和地球物理中的样本识别和主分量分 析及流体力中的湍流分析[4-7]，但是直到最近几年，该 方法才被与 Galerkin 方法结合起来用于对微分方程的 数值解进行求解[8,9]。我们已经对赤道太平洋模式、非 定常的 Navier-Stokes 方程、Burgers 方程和抛物型方 程及热传导对流方程等方程提出了一些基于 POD 方 法的降维有限差分格式和有限元格式及有限体积元 格式[10-29]，但是对于非定常的Burger 方程降维有限元 格式只给出时间一阶精度降维格式[20]。特别是现有的 降维方法[8-29]都是相当于用基于 POD 方法的降维方法 去验证同样时间段的解，没有采用外推算法，相当于 相同时段上做重复计算。 椐我们所知，到目前为止，还没有关于用 POD 方法对二维非定常的Burger 方程的经典的 CN有限元 方法做降维处理的报道。因此，本文用 POD 方法对 二维非定常Burgers 方程的经典的 CN 有限元方法做 降维处理，给出一种时间二阶精度的 CN 有限元降维 外推算法，并给出这种时间二阶精度的 CN 有限元降 维外推算法的误差估计和外推算法的实现，最后用数 值实验说明数值结果与理论结果是相吻合的。本文与 现有的文献[8-29]的区别在于：这里只用经典时间二阶 精度的 CN 有限元方法求出最初很少时间步的数值解 作为样本点(对于实际工程问题，也可以通过实际物理 问题抽取样本点)，再用POD方法求出 POD基，用最 主要的几个 POD 基张成的子空间代替 Burgers 方程经 典的 CN 有限元格式的有限元空间，得到一个只含有 很少几个未知量的 CN 有限元降维外推算法，然后通 过外推和 POD 基更新求出所有需求的数值解。这就 充分发挥了 POD 方法的重要作用，即用已有的数据 资料对未来物理现象做预报预测。因此，本文的工作 是对现有降维方法[8-29]的改进和创新。 本文安排如下：第2节给出二维非定常 Burgers 方程的经典全 CN有限元方法及瞬像的生成；第 3节 通过 POD方法求出 POD 基，并建立CN 有限元降维 外推算法；第 4节给出误差分析和CN 有限元降维外 推算法的实现；第 5节用数值实验去验证理论结果的 正确性；第6节是结论和讨论。 2. 经典全 CN 有限元方法及瞬像的生成 2.1. 关于时间半离散化格式 本文用到的 Sobolev 空间[30] 都是标准的。设 2 1 0 UH ，则Burgers 方程的变分形式为： 问题 I 求U u使得对于任意 0,tT满足 ,, ,,, tU uvu vuuvfvv(2.1) ,,0xy u0， 在中 (2.2) 其中 , 为 2 2 L 中的内积。 注意到 ,uwv有下面的性质[3-31]： ,,,,,U uwvuvwuvw (2.3) ,0,,U uvvuv (2.4) 设 ,, 00 , supU N uvw uvw uvw 0 (2.5) 则当 2 1 H f时，问题 I至少有一个解，而且当 1 0 21N u时，问题I的解是唯一的[20]。 设 为正整数，时间步长为N,n kTNt nk， 为 在 n u u 0,1,, N t n tn 点关于时间的半离散化逼近。 则问题 I关于时间的半离散化 CN 格式为 问题 II 求 1, 2,, nUn Nu满足 Copyright © 2013 Hanspub 2  Burgers方程基于 POD 方法的降维 CN 有限元外推算法 11 12 11 4, , 2,4, 4,2,, nnnnn nn nn k kk k uvu uu uv uvf v uvuv vU (2.6) 0u0， 在 中 (2.7) 其中 12 12 nn t ff 。 利用[20]中类似的方法可以证明问题 II存在唯一 的解 满足 1, 2,, nUnNu 2 2 11 00 0 11 nn nii ii kCk uuu f 2 2i (2.8) 而且当问题 I的解 时，有下面的误差估 计 2 1m H u 12 2 00 nn nn tkt uu uuCk (2.9) 其中是与 k无关的常数。 C 2.2. 全离散化 CN 有限元格式 设 为 h 的拟一致三角形剖分[3,31,32](其中 是 剖分的最大直径)，有限元空间取为 h 22 0;, hhh mh K UCUPKK vv 其中 是 m PK K 上次数不超过 的多项式空 间。则问题II的全离散化 CN 有限元格式为： 0mm 问题 III 求 满足 1, 2,, n hh Un Nu 11 121 1 11 4, 2,, ,, 4, , 4, 2,, nnn hhh hhhh nnn n hhhhhh nnn hhhh nn hhhhh h kk kk kk kU uvu vuuv uuvu uv fvu uv uvuvv n (2.8) 0 hu0， 在中 (2.9) 当1 0 2 h N u1时，利用类似于[20 ]的方法不 难证明问题III 存在唯一的解满足 2 2 11 00 0 11 nn nii hhh ii kCk uuu f 2 2i (2.10) 而且当问题 I的解 时，有下面的误差估 计 2 1 m H u 122 1 00 nn nh nh tkt Ckh uu uu 这里和下面用到的 C均是与和k无关的常数，不同 处出现可以不等。 h m 。 个 (2.11) 这样只要给定雷诺数 、初边值条件和源项、 时间步长和空间及有限元空间，通过解问题 III 就可 以得到全离散化CN 有限元解 u取最 初的 L时刻的解 Re 1, 2,, n hnN ,, LN 作1, 2n n h u为样本 解，在 POD方法中称为瞬像(Snapshots)。 3. POD基的构造和降阶外推迭代 CN 格式 对第 2节中抽取的瞬像 ，记 1, 2,, n hnLu 1, 2,, n nh nLWu 及 12 span,, , L VWWW如 果 dimlV(即V的维数)，设 1 l j j ψ是V的标准正 交基向量函数，则有 1 ,,1,2, l iijj j i WWψψ ,L (3.1) 定义 1 POD 方法在于求标准正交基 1, 2, jjψ 得对于每个,l使 1ddl 1, 2,, 差在平均意义下最小， 即求标准正交基 ，元素 )的 项和 nL n W 与(3.1 d之间的均方误 1, 2,, jjl 使得 1 2 11 0 1 min , l jj Ld iij ij L WWψψ j (3.2) 满足 ,,1, ijij ij d ψψ (3.3) 问题(3.2)和(3.3 )的解 1 d j j ψd的POD 基。 称为秩等于 记相关矩阵 j , i L L AWW，则矩阵 A 是秩 等于 l的对称非负特征值被 列为 12 0 l 定矩阵，它存在正 排 12 ,,, ii i aaw 以转 ，以及对应的标准正交特征向量 1,2,,il。可以证明求POD 基 T i L a 化为求的问题可 A 的特征值和特征向量问题，而 且POD 基的构造及相 性质有下面的主要结论[15-23]。 命题 1 设12 0 l 关 是矩阵 A 非零特征 值， , , ii iL aa lw是相应标准正交 特征向 基表示如下 T 12 ,, 1,2, i a i 秩为 d的标准正交P 量，则 OD 1 1,1,2,, Lji aj d ψu (3 ji h i j L .4) 而且有下面的误差公式 2 11 0 1, 1 l ii jj j ij jd L Ld WWψψ (3.5) Copyright © 2013 Hanspub 3  Burgers方程基于 POD 方法的降维 CN 有限元外推算法 记 。对于每个 12 span,, , dd Uψψ ψh Uh u hh ， 定义一，即对于个 Ritz 投影 : dd h PU UU u满 足 (3 由泛函分析理论[33]知，存在 的一个延拓 使得 ,,, hd d PU uv .6) 那么 d d h v uvd d P : hh PU U: h hd hd U PPUU满足 3.7) 其中。 )可推导出投影 是有界的： ,, hh hh PU uvuv v ( 由(3.7 , h Uuh P 0 0, h Puuu U 下面 (3.8) 而且有 不等式成立[15-23] 00 h PChPuu u 。 引理 2 对于每个 ，投影算 [20] h u (3.9) 此外，还有下面结果成立[20,3,31,32] 1ddl 子d P满足 2 0 11 d i h ijd P 1i hj L Ll u ( 其中是问题 III 的解。而且当 面结论[3,31,3 u 3.10) 1, 2,, i hh Ui Lu 2 1m UH 时，有下u2] 1 1 0m P Chu 0 hh m Ph uu u 这样，利用基于 POD方法的 CN 有限元降阶外推算法： 问题 IV 求 满足 , (3.12) u (3.11) d可以得到问题IIU 1, 2,, nd dUn Nu , d nn dhj uuψψ 1 ,1,2, j j nL 11 121 1 11 4, 2,, ,, 4, , 4,2,, ,1,, nnn ddd dddd nnn n dddddd nnn dddd nn ddd d d d kk kk kk k UnL N uvuvuuv uuvuuv fvuuv uvu v v n (3.13) 附注 1 当 是三角形剖分，而且 是分片线性 多项式空间时题 III 的总体自由度 即未知量总数) 为其中 中三角形顶点数 3,31,32])，如果 采用更高 IV 的度 h ，问 h为 h U ( 目[ 2h N( h Nh U次数分片多项式空间，自由度更多；而问 题自由 为 2dN。对于实际科学工程问 ，h d 题 中三角形定点数目是数以万计的，甚至上亿的。 而d只是从N个瞬 很少的 LL N个瞬 像所对应的一些较大特征值个数是很小的(例如，在第 5节中， d 时解中取出 5 ，而 4 10 h N)。因此， 问题 II 基于 POD 方法的一个CN 有限元降阶降维外推算 法。特别问题现有的其他降维格式[8-29] 做重复的计算，而是将已经求出的很短时段的经典 CN 有限元解投影到POD 基，然后通过外推迭代去求 其他时段的 CN有限元降维解。这就是该方法被称为 POD 降维 CN有限元外推算法的原因。这也是该方法 与现有的其他降维方法(例如，文献[8,9])的主要区别， 是对现有降维方法[8-29]的改进和创新。 4. CN有限元降阶外推算法稳定性和收敛 性及算法实现 问题 IV 是 敛性。主要有 是， 算法 IV 不像 IV 的稳 4.1. CN有限元降维外推算法稳定性和收敛性 借助于经典有限元法的理论可以证明 CN 有限元 降维外推 问题定性和收下 面的结论(详细证明见附录)。 定理 3 当 2 1 H f时，问题IV 存在唯一的 解 1, 2,, nd dUn Nu满足 2 22 112n i d f 00 0 11 nn i i ii kCk u (4.1) dd uu 而且，当 hkO和2 LO N时，有下面的误 计 差估 12 n ku 00 12 21 12 1 n hd l mj jd nkhC k u uu (4.2) nn hd CM 其中 1, 2,,N i uhh Ui M n 是问题 III 的解， 01 nL ，而 31 M nh 3和(2.11)得 nLL 理3的条件下，当问题 II的解 nN。 结合定 到下面的结论。 在定 理 4 定理 u 2 1m H ，问题 IV的解 1, 2, nd dUnu 面 ,N有下 的误差估计 00 12 12 2 1 1 1 n n nd m j jd tkt CkCMnk h u u (4.3) 12n d l u u Copyright © 2013 Hanspub 4  Burgers方程基于 POD 方法的降维 CN 有限元外推算法 01,2,, M nn其中 L，而 3 M nhnL 1,2, ,nL LN。 附注 2 定理 3的(4.1)表明问题 IV 的解是稳定的。 3和4的误差估计给出了选取 POD 基数目的指 导，即只要选取 POD 基数目 使得 定理 d12 1 l j jd k 42m kh 2 即可。定理3和的误差估计中的4 3 1m h hnL 是由外推迭代产生的误差，它 们可以作为外推迭代过程中 POD 更新的指南，即当 2 k 31hnL或C(C是某个大 1小 2,, N)时，需要考虑更新 POD 基。 4.2. CN有限元降阶外推算法的实现 降阶外有限元格式问题IV 可按下面 于于10 的定数， 求解 CN 推 的步骤实现。 1,nLL 步1 对所需要的计算精度 ，确定最初用经典 CN 有限元格式问题 III 的时间步长 和空间网格尺寸 及 k h插值次数m使得 21m kh ，用问题 III 求出 最初的 L步的经典 CN 有限元解 1, 2,, hh UnLO N ，常取20L即可)； 步2 组成相关矩阵 nu通 , ij L L(其中 i AWW W h u)，解特征值问题 i Aww 求出正特征 值，并 排列 为12 l0 T 12 ,,, ii i iL aa a i ，对应的标准正交特征向量为 1,2,,l； 的数目 d使得 w 步3 确定 POD 基12 1 l j jd k 2 ，并求出 POD基 1 1,1, L 2,, ji ji h i ajd L ψu d，解基于POD 方法的 CN 求出 步如果 j 步4 令 span;1, 2,, dj Ujψ 有限元降阶外推算法问题IV nN。 nd dUu 1, 2,, 5 31hn L(或是某个大于1 值解。 C 要求的数 小于 10 的定数时， 1,2,,nL LN)，则 nd 就是 dUu 否则，即 1, 2,,nN 如果 满足精度 31(或C是某 ,, N)需要更 POD hn L个大于 1小于 10的定数 时， 1, 2nL L 基， 1, 2,,iL ，重复步2至步 4。 5. 数值 下面 CN 有限元解和基于 新 这时令 实验 给出 Burgers 经典 POD CN 有限元降阶外推算 CN 有限元降阶外推算法的优越性。 计算域取为 ni ih Wu 方法的 法解的数值实验，说明 基于 POD方法的 0,1 0,1，源函数0f ，Re 1000, 4T ，初始函数和边值函数取为相等，即 ,,, sinπcosπ,cosπsin π x ytxyxyx y 。 将计算域 0,1 0,1 剖分为100 100个边长 0.01yx 线将每个小 小同一方向 正方形剖分成为两个小三角形构成 h 正方形，然后在 角连结其对 ，节 点 数 目4 10 h N20.01的三角形剖分 h 。时 间 步长 0.01k 。有限元解为最优 间取为分片一次插值。 利用经典 CN 有限元格式问题III 算出 4t 为了使 阶，有限元空 得CN 的误差 时 1中。 首先用经典 CN 有限元格式最初 20 时间步求出的 经典有限元解 的 解画在图 1, 2,,20 n hnLu作为瞬像，取精度 为24 10k 。按照 4.2节的 5个步骤求PO基， 经计算得到 D 12 20 4 这样只需取最 12 6 210 j j k 初的 5个POD基张成子空间 。在求 5 U 4t 的CN 有限元降维外推解过程中，当 2t 时更新 POD 基，最后算出的时的降 画在图 2中。 但 CN 有 由度 了一次 4t维解 比较图 1和图 2可看出，它们很相像。 是经典 限元格式在每个时间层有20,000 个自，而 基于 POD 方法的CN 有限元降维外推算法在每个 nL时间层仅有 10 个自由度，即经典 CN 有限元 Figure 1. Classical CN finite element solution at t = 4 图1. 在t = 4处的经典 CN有限元解 Copyright © 2013 Hanspub 5  Burgers方程基于 POD 方法的降维 CN 有限元外推算法 Figur 方法的计算量是CN 有限元降维外推方法的 2000倍， 基于 POD 方法的 CN 有限元降维外推算法效果要比经 典CN 有限元格式好。因此利用CN有限元降维外推 算法计算 Burgers 方程的数值解可以极大地减少计算 量，从而会减少计算过程中截断误差的积累。这也说 明了基于 POD 方法的 CN 有限元降维外推算法在求解 Burgers 方程是可行有效的。 图3是在时的经典 CN 有限元解与CN 有限 元降维外推取 POD 数目的解之间的误差。由此 可见，当时，误差不超过，这与定理3 的理 理 结果相吻合的。 e 2. Reduced-order CN finite element solution at t = 4 图2. 在t = 4处的降维 CN有限元解 4t 不同 5d4 210 论结果相吻合，进一步说明了数值这结果是与 论 如果采用基于 POD 方法时间一阶精度降维有限 元格式[20]求Burgers 方程的数值解，为了得到 4 210 的精度，时间步长取为4 10 ，当计算 4t的解时，要 计算 4 410步，而用 CN有限元降维外推格式只要计 Figure 3. The absolute errors at t = 4 between the classic ution and t solutions with diffe number of Pasis. 图3. t 典CN 有限元解与取不同POD基数目的降维 CN 有 限元解之间的误差 al CN finite element solhe reduced-order CN finite element rentOD b = 4时经 算400步，计算步数减少10 倍，从而能减少计算过 程中截断误差的积累。而且基于 POD 方法时间一阶 精度降维有限元格式 没有采用外推，相当于重复 计算经典有限元方法在相同时段的解。因此本文的方 法更有应用价值。 6. 结论和讨论 本文利用 POD方法建立了二维非定常 Burgers 方 程的 CN 有限元降阶降维外推算法、分析了经典的 CN 有 差估计建 新的准 实现 r 计算经典有限元方法在相同时段 本文是只是在很短的时段上用经典 CN 有限 解作为瞬像，构造 POD 基和建立 基于 傅德薰 流体力学数值 北京 出版社 ric model. Journal of the Atmospheric Sciences,100-2114. [8] K. Kunisch, S. Volkwein. Galerkin proper orthogonal decompo- sition methods for parabolic problems. Numerische Mathematik, in proper orthogonal decompo- uo, J. Chen, Z. H. Xie, et al. A reduced second-order time 0 ]20[ 限元解与 CN 有限元降维外推算法解的误差、用误 立了POD 基数目选取和 POD基更 则、给出了CN 有限元降维外推算法步骤。最后， 用数值实验说明 CN 有限元降维外推算法对于求解二 维非定常 Burgers 方程的数值解是有效和可靠的。 虽然二维非定常Bugers 方程基于POD 方法时间 一阶精度降维有限元格式[20]已经被建立，但是没有采 用外推，相当于重复 的解。而 元格式求出的样本 POD 方法的 CN有限元降维外推算法，是具有二 阶时间精度的高精度降维算法，这相当于用已有的信 息去预测预报未来流体流动现象，这是具有实际应用 前景的方法，这也是对现有基于 POD 方法的降阶格 式[8-29]的改进和创新。 参考文献 (References) [1] . 模拟[M]. : 国防工业 , 1993. [2] 刘儒勋, 舒其望. 计算流体力学的若干新方法[M]. 北京: 科 学出版社, 2003. [3] 罗振东. 混合有限元法基础及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2006. [4] P. Holmes, J. L. Lumley and G. Berkooz. Turbulence, coherent structures, dynamical systems and symmetry. Cambridge: Cam- bridge University Press, 1996. [5] K. Fukunaga. Introduction to statistical recognition. New York: Academic Press, 1990. [6] I. T. Jolliffe. Principal component analysis. Berlin: Springer- Verlag, 2002. [7] F. M. Selten. Baroclinic empirical orthogonal functions as basis functions in an atmosphe 1997, 54(16): 2 2001, 90(1): 117-148. [9] K. Kunisch, S. Volkwein. Galerk sition methods for a general equation in fluid dynamics. SIAM Journal on Numerical Analysis, 2002, 40(2): 492-515. [10] Z. D. L Copyright © 2013 Hanspub 6  Burgers方程基于 POD 方法的降维 CN 有限元外推算法 Copyright © 2013 Hanspub 7 Sinica Mathematica, 2011, 41(5): 447-460. : the non-stationary Navier-Stokes equations. s. International Journal for Numerical Methods in ecomposition for Burgers equation. Journal of Com- emat- erical Methods in Fluids, 2007, decomposition for parabolic equa- accurate finite element formulation based on POD for parabolic equations. Scientia 587- [11] Z. D. Luo, H. Li, Y. J. Zhou, et al. A reduced FVE formulation based on POD method and error analysis for two-dimensional viscoelastic problem. Journal of Mathematical Analysis and Ap- plications, 2012, 385(1): 310-321. [12] Z. D. Luo, H. Li, Y. J. Zhou, et al. A reduced finite element formulation and error estimates based on POD method for two-dimensional solute transport problems. Journal of Mathe- matical Analysis and Applications, 2012, 385(1): 371-383. [13] Z. D. Luo, Q. L. Ou and Z. H. Xie. A reduced finite difference scheme and error estimates based on POD method for the non-stationary Stokes equation. Applied Mathematics and Me- chanics, 2011, 32(7): 847-858. [14] P. Sun, Z. D. Luo and Y. J. Zhou. Some reduced finite difference schemes based on a proper orthogonal decomposition technique for parabolic equations. Applied Numerical Mathematics, 2010, 60(1-2): 154-164. [15] Z. D. Luo, J. Du, Z. H. Xie, et al. A reduced stabilized mixed finite element formulation based on proper orthogonal decom- position for the no-stationary Navier-Stokes equations. Interna- tional Journal for Numerical Methods in Engineering, 2011, 88(1): 31-46. [16] Z. D. Luo, Z. H. Xie, Y. Q. Shang, et al. A reduced finite volume element formulation and numerical simulations based on POD for parabolic equations. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2011, 235(8): 2098-2111. [17] Z. D. Luo, Z. H. Xie and J. Chen. A reduced MFE formulation based on POD for the non-stationary conduction-convection problems. Acta Mathematica Scientia, 2011, 31(5): 1765-1785. [18] Z. D. Luo, Q. L. Ou, J. R. Wu, et al. A reduced finite element formulation based on POD for two-dimensional hyperbolic equation. Acta Mathematica Scientia, 2012, 32(5): 1997-2009. [19] H. R. Li, Z. D. Luo and J. Chen. Numerical simulation based on proper orthogonal decomposition for two-dimensional solute transport problems. Applied Mathematical Modelling, 2011, 35 (5): 2489-2498. [20] Z. D. Luo, Y. J. Zhou and X. Z. Yang. A reduced finite element formulation based on proper orthogonal decomposition for Bur- gers equation. Applied Numerical Mathematics, 2009, 59(8): 1933-1946. [21] Z. D. Luo, J. Chen, P. Sun, et al. Finite element formulation based on proper orthogonal decomposition for parabolic equa- tions. Science in China Series A: Mathematics, 2009, 52(3) 596. [22] Z. D. Luo, J. Chen, I. M. Navon, et al. Mixed finite element formulation and error estimates based on proper orthogonal de- composition for SIAM Journal on Numerical Analysis, 2008, 47(1): 1-19. [23] Z. D. Luo, J. Chen, I. M. Navon, et al. An optimizing reduced PLSMFE formulation for non-stationary conduction—convec- tion problem Fluid, 2009, 60(4): 409-436. [24] Z. D. Luo, X. Z. Yang and Y. J. Zhou. A reduced finite difference scheme based on singular value decomposition and proper or- thogonal d putational and Applied Mathematics, 2009, 229(1): 97-107. [25] Z. D. Luo, R. W. Wang and J. Zhu. Finite difference scheme based on proper orthogonal decomposition for the non-stationary Navier-Stokes equations. Science in China Series A: Math ics, 2007, 50(8): 1186-1196. [26] Z. D. Luo, J. Chen, J. Zhu, et al. An optimizing reduced order FDS for the tropical Pacific Ocean reduced gravity model. In- ternational Journal for Num 55(2): 143-161. [27] Z. D. Luo, J. Zhu, R. W. Wang, et al. Proper orthogonal decom- position approach and error estimation of mixed finite element methods for the tropical Pacific Ocean reduced gravity model. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2007, 196(41-44): 4184-4195. [28] Z. D. Luo, H. Li, Y. Q. Shang, et al. A LSMFE formulation based on proper orthogonal tions. Finite Elements in Analysis and Design, 2012, 60: 1-12. [29] 腾飞, 孙萍, 罗振东. 抛物型方程基于 POD 方法的时间二阶 中心差的二阶精度简化有限元格式[J]. 计算数学, 2011, 33(4): 373-386. [30] R. A. Adams. Sobolev spaces. New York: Academic Press, 1975. [31] V. Girault, P. A. Raviant. Finite element methods for Navier- Stokes equations: Theory and algorithms. Berlin: Spinger-Verlag, 1986. F. Brezzi, M. Fortin. Mixed an[32] d hybrid finite element methods. New York: Springer-Verlag, 1991. [33] W. Rudin. Functional and analysis (2nd Edition). New York: McGraw-Hill Companies, Inc., 1973.  Burgers方程基于 POD 方法的降维 CN 有限元外推算法 附录 定理 3证明。 注意到，当1时， nL 1 , d nn dhjj j P uuψψ u dn h ，这时存在唯一解，而且 由(3.8)和(2.1 0)有 2 21 00 1 2 21 00 1 2 21 00 1 2 12 0 1 n nii ddd i n dndii hh i n nii hhh i ni i k PkP Ck Ck uuu uu uuu f h u N (7.1) 当时，类似于问题 III，用标准的有 限元法不难证明(3.13)的存在唯一解。在(3.13)中取 ，并由(2.4)和Hölder 不等式及 Cauchy 不等式有 1Ln 1nn d u dd vu 2 22 11 00 0 121 2 2 12 1 10 2 2, 2 nn nn dd dd nnn dd nnn dd k k k Ck uu uu fuu fuu (7.2) 即得 2 22 11 00 0 nn nnn dd dd kCk 2 12 1 uuuuf (7.3) 对(7.3)两边从 1L 到n求和，并由(7.1)即得(4.1)。 当1nL 时，(3.9)和引理 2有 2 2 00 2 2 00 212 01 nn nn hd hd ndn ndn hh hh l ndn hh jd k PkP Ck PCkj uu uu uu u u (7.4) 当1LnN 时，在问题 III 中去 ，并与 问题 IV相减得到误差方程 hd vv 11 11 11 11 4, 2, , , 0, nn nn hd hdd nnn n hdh dd nn nn hhhhd nn nn dddd d d d k k k U uu uuv uuu uv uuuu v uuuu v v (7.5) 利用(7.5)可有 2 11 0 22 11 00 11 11 11 11 1111 1 4 2 4, 2, 4, 4 nn nn hd hd nnn n hdh d nn nnnnnn hd hdhdhd nnnnnn nn hdhd hdhd nnnnndnndn hd hdhhhh nn n hd hd k k PP uu uu uuu u uu uuuuuu uuuu uuuu uu uuuu uu uu uu 111 111 1 11 11 1111 11 , 2, 2, 4, 2, ndnndnn hdh d nnnnn hnnhn hdh dhhhh nnnndnndnn hdh dhdh d nnnnndnndn hd hdhhhh ndnn dn hhhh PP kP kPP PP kP P uuu u uuu uuuuu uuu uuuu u uu uuuu uu uuuu 11 11 11 11 11 , , nhnn hn hhh h nnnndnndn n hhhhhdh d nnnndnndn n ddddhdhd PP kPP kPP uuu u uuuuuuu u uuuuuuu u P (7.6) Copyright © 2013 Hanspub 8  Burgers方程基于 POD 方法的降维 CN 有限元外推算法 由Hölder 不等式及 Cauchy 不等式有 111 1 1111 0 2 2 11 211 00 , 3 4 nn nnndn ndn hd hdhh hh nnnnn dnndn hd hdhh hh nnnnn dnndn hd hdhh hh PP PP Ch PP uu uuuuuu uu uuuuuu uu uuuu uu 0 (7.7) 11 1 22 11 00 2, 2 ndnn dnnhnnhn hhh hhhh h ndnndn hhh h kPPPP kP P uuu uuuu u uuu u 1 (7.8) 当1 0 2 h N u1 时，由(2.4)和Hölder 不等式及 Cauchy 不等式有 11 11 11 11 11 111 11 111 , , , , nnnndnndn n hhhhhdhd nnnndnndn n ddddhdhd nnnnnndnn dnn hdh dhhhhhh nnnnnn nnn n hdhdhh hdh d kPP kPP kP k uuuuuuuu uuuuuuuu uuu uuuuuu u uuuuuu uuuu P 111 1111 22 11 00 , , nnnnn ndnndn n ddhdh dhhh h nnnnnn nnn n ddhdhd hdh d nnn n hdh d kP k k uuuuu uuuu u uuuuuu uuuu uuuu 11 1 P (7.9) 结合(7.6)~(7.9)可得到 2 11 0 22 11 00 2 211 0 22 11 00 2 nn nn hd hd nnn n hdh d ndn ndn hhh h ndnndn hhh h k Ch PP kP P uu uu uuu u uuu u uuu u (7.10) 注意到，由引理2和(2.11)有 00 00 00 2112 ndn n hh hn hh nn n nh hnn n m Pt tPt PtP Ct tPt Ck hk uu uu uu uu uuu u dn h (7.11) 注意到 L dL dh Puu 1 ，当 时，结合(7.10)和(7.11)， 并从到 n求和可得 kOh L 22 11 00 2 21 nn nnnn hd hdhd m k Cn Lhkh uu uuuu (7.12) 即得 11 12 00 21 nn nnnn hd hdhd m k Ckhn Lh uu uuuu (7.13) 进一步，由三角不等式得到 1112 00 0 21 nnnnnn hdhdhd m k Ckhn Lh uuuuuu (7.14) 再对(7.14)从1L 到n求和可得 12 00 12 3 122 1 1 , 1, , nn nn hd hd lm j jd k CkCkhhn L nL N uu uu (7.15) 结合(7.4)和(7.1 5)即得(4 .2)。定理 3证毕。 Copyright © 2013 Hanspub 9 |