Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 126-132 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.32020 Published Online March 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) Influence of Certain C-S-Permutable Subgroups on the Structure of Finite Groups* Xuanli He1, Yanming Wang2# 1College of Mathematics and Information Science, Guangxi University, Nanning 2College of Mathematics and Information Science, Lingnan (University) College, Sun Yat-sen University, Guangzhou Email: xuanlihe@163.com, #stswym@mail.sysu.edu.cn Received: Nov. 29th, 2012; revised: Jan. 27th, 2013; accepted: Feb. 8th, 2013 Abstract: Let H be a subgroup of a finite group G and C a nonempty subset of G. Denote    Con c C H Hc C. H is said to be C-S-permutable (Conjugate-Sylow-permutable) in G, if, for every Sylow subgroup T of G, there exists some element   Con c C H H such that cc H TTH  . In this paper, we study the influence of certain C$-S-permutable subgroups of the finite group G on its structure. Some recent results are improved and extended. Keywords: C-S-Permutable Subgroup; Generalized Fitting; Subgroup Formation 某些 C-S-置换子群对有限群结构的影响* 何宣丽 1，王燕鸣 2# 1广西大学数学与信息科学学院，南宁 2中山大学岭南学院，数学与计算科学学院，广州 Email: xuanlihe@163.com, #stswym@mail.sysu.edu.cn 收稿日期：2012 年11月29 日；修回日期：2013 年1月27日；录用日期：2013 年2月8日 摘 要：设H为有限群 G的子群，C为G的非空子集。记    Con c C H Hc C。如果对 G的每个 Sylow 子群 T，都存在某个  Con c C H H使得 cc H TTH  ，则称 H在G中是C-S-置换的(共轭-Sylow- 置换的)。本文，我们研究有限群 G的某些 C-S-置换子群对 G的结构的影响，改进并推广了最近的一 些结果。 关键词：C-S-置换子群；广义Fitting；子群群系 1. 引言 本文中所有群都是有限的。G总表示一个有限群， G为G的阶，   πG为整除 G的素因子所构成的集合。 对某个 ，Gp表示G的一个Sylow p-子群。M  G是指M为G的一个极大子群。  πpG 设为一个群类。称为群系，如果1) 若G  且，则 HGGH  ；2) 若; M NG且使得 ; GM GN，则   GM N。称群系 为饱和群系，如果   GG  蕴含 G。本文中，μ表示所 有超可解群构成的群类。显然μ是一个饱和群系(参见[1，p713，Satz 8.6])。对任意群G，广义Fitting子群F*(G)是  *国家自然科学基金(11171353)和广西大学科研基金(DD051024)资助项目。 #通讯作者。 Copyright © 2013 Hanspub 126 何宣丽，王燕鸣  某些 C-S-置换子群对有限群结构的影响 由G中诱导G的每个主因子的内自同构的元素所构成的集合。 称群G的子群H在G中是置换的(或逆正规的)，如 果 对 G的任何子群K都有HK = KH。Kegel在[2]中首次引入了 S-逆正规的概念，也称为S-置换的。称群G的子群H在G中是S-置换的，如果H与G的任何Sylow子群都可置换，即 对G的任何Sylow子群S都有HS = SH。群论中的一个有趣的问题是研究群G的Sylow子群的极大子群对G的结构的 影响。Srinivas an[3]给出了一个经典结果：如果G的任意Sylow子群的极大子群在G中正规，那么G是超可解的。 显然，正规子群是置换子群。最近，一些学者通过替换子群的正规性为某种置换性，例如置换性或者S-置换性， 从而推广了Srinivasan的结果。 子群的S-置换性的一个很重要的性质是它蕴含着正规性。注意到，在3阶对称群S3中，每个Sylow 2-子群都 不是次正规的，从而都不是S-置换的。设P为S3的一个Sylow 2-子群，Q是S3的一个Sylow子群。如果Q是一个Sylow 3-子群，则PQ = QP。如果是一个Sylow 2-子群，则存在 x G  使得 x PQ，当然，此时有 。基于此， 我们引入如下概念： xx PQQ P 定义1.1 设H为G的子群，C为G的非空子集。记    Con c C H Hc C。称H在G中是C-S-置换的，如果对 G的每个Sylow子群T，均存在某个元素   Con c C H H使得 c HT TH c  ，即存在某个元素 c使得Ccc HT TH  。 由定义，显然，对G的任意包含C的任何子集B，C-S-置换性蕴含B-S-置换性。 当包含G的单位元1时，S-置换子群必然是C-S-置换子群。事实上，S-置换子群可以看作是1-S-置换的。然而， 下面的例子表明，C-S-置换性是S-置换性的非平凡推广。 例1 设G = A4为4阶交错群，   123H，     12 34K，          41 , 1234, 1324, 1423CK 。我们 知道H在G中不是次正规的，因而H在G中不是S-置换的。然而，H在G中是C-S-置换的。事实上，     12 3412 34 124 124HH，       24   13 2413 134 134HH，   14 2314 23 234 234HH。显然 44 H KKH，其中K4是Klein 4-群。因此H在G中是C-S-置换的。 我们知道K在K4中是正规的，从而在G中是次正规的。然而K在G中不是G-S-置换的，这是因为，要不然G有 6阶子群。因此，对G的任意非空子集C，K都不是C-S-置换的。 此例表明，S-置换性蕴含着次正规性和C-S-置换性，但次正规性和C-S-置换性是不同的概念。 例2 设 是5阶交错群， 5 GA     12 34H。 1) G的任意二阶子群与H在G中共轭。 注意到，G的2阶元具有形式 。令   12 34 ,,aa aa  1234 1234 , aa aa     那么   12 34 ,,aa aaH  。 2) H在G中是G-S-置换的。事实上，设G2是G的任意Sylow 2-子群。由Sylow定理可知，存在某个 g G  使得 2 g H G那么22 gg H GGH，1 22 1 g g HG GH   。设G3为G的任意Sylow 3-子群，则   36 G NG。设G5是G的任意 Sylow 5-子群。易知，  510 G NG。因此，G的Sylow 3-子群的正规化子以及Sylow 5-子群的正规化子之中均包 含G 的2阶子群。再由(1)可知，对G的任意Sylow p-子群Gp，   πpG，都存在某个 y G使得   y pG H NG。 于是有 y y pp H GGH。因此H在G中是G-S-置换的。然而，显然H在G中不是次正规的，从而也不是S-置换的。 此例表明，即使是不可交换单群也有非平凡的G-S-置换子群，但这 对于 S-置换性和次 正规 性来 说是 不正 确 的。 定义1.2 设G为群。我们按以下规则定义n-广义Fitting子群     n F G ：            01 011 1, , , , nn n FGFGFGFGFGFGF GFGF G     。 因为 时1G   1FG ，所以存在一个正整数n，使得   n F GG   因此G有下面正规列： Copyright © 2013 Hanspub 127 何宣丽，王燕鸣  某些 C-S-置换子群对有限群结构的影响      2 1 . n F GFGFG G    (1) 当G可解时，正规列(1)将变为如下正规列：      2 1. n F GFGFG G   (2) 本文中，S(G)总表示G的最大可解正规子群，我们主要讨论C = S(G)时有限群G的某些C-S-置换极大子群对G 的结构的影响。特别地，当G是可解群时，即是G-S-置换性。 由著名的P. Hall定理可知，任何可解群G都有Hall{p；q}-子群，其中p；q为|G|的任意素因子。因此可解群G 的任意Sylow子群都是G-S-置换的。有限单群的分类定理(参见[4]，定理4.1)表明上述结论的逆也成立。 本文得到如下主要定理： 主要定理 设是包含的饱和群系。那么 G  当且仅当存在G的正规子群H及正整数n使得 GH  且n- 广义Fitting子群  n  F H 的Sylow子群的极大子群在G中是S(G)-S-置换的。 2. 预备知识 引理2.1 设C为G的非空子集。如果 且 KG H G  ，那么我们有： 1) 若H在G中是C-S-置换的，H ≤ K，则H在K中是C-S-置换的。进一步，如果C是G的置换子群，那么H在K 中也是 置换的； --CKS 2) 若H在G中是C-S-置换的，则 H KK在GK中是 --CKK S置换的； 3) 假设H在G中是C-S-置换的，K ≤ H。则 H K在GK中是 --CKK S置换的 当且仅当H在G中是C-S-置换 的。 证明 1) 设Kp为K的Sylow子群，则存在G的Sylow子群Gp使得Kp ≤ Gp。由假设可知，存在 cC  使得 cc pp H GGH。因为，所以Hc ≤ K。因此， KG       cc cccc ppp ppp HKHGKHGKGHKGK HKH ， 故H在K中是C-S-置换的。 如果C是G的置换子群，那么KpC = CKp是G的子群。因为 1 c p KK   且 ，所以 1 c pp KK C    1 c pp p K KCKKCKK  。由于和Kp都是 1 c p K   p K CK的Sylow p-子群，于是存在某个元素 lC K   使得 注意到， 1 c p KKlc p c pp H KKH当且仅当 当且仅当 11 cc pp HKK Hll pp H KKH当且仅当 ， 其中 。因此H在K中是 置换的。 11 ll pp HK KH 1 lC K--SCK 2) 设Gp为G的任意Sylow子群。由假设条件，存在某个 cC  使得 cc pp H GGH。因为，所以 KG   cK p HKK cK cc ppp HKKGKKHKKGKK GKKHKK GKK 。因此 H KK在GK中是 --CKK S置换的。 3) 充分性由(2)可得，下证必要性。由假设条件，存在某个cKCK K使得   cK cK pp HKGKK GKK HK ，其中 cC  。于是有 cc pp H GKGHK，所以 c pp c H GGH。因 此H在 G中是C-S-置换的。 引理2.2 ([5，引 理 2.6])设H是G的正规子群。如果   1GH  ， ， 那 么 F(H)是G的包含着F(H)中的极小正规子 群的之积。特别地，若  则F(G)是包含在F(G) 中的G 的极小正规子群的之积。 1G 引理2.3 ([1，p. 269，Hilfssatz 3.3(a)]) 设N为G的正规子群，H ≤ G。如果   NH ，那么   NG 。 引理2.4 设M为G的子群。 1)   F GFGEG 且   ,1FG EG    ，其中   EG是G的不可解成份； 2) 若M在G中正规，则     F MFG  ； Copyright © 2013 Hanspub 128 何宣丽，王燕鸣  某些 C-S-置换子群对有限群结构的影响 3) 若 ，则=1G   =1FG 。事实上，         G F GFGSocFGCFG FG ； 4)     F FGFG FG    。若   F G 可解，则     F GFG ； 5) 设P是包含在 中的G的正规子群，则  Op G         F GPFG P    ； 6) 如果K是包含在  Z G中的G的子群，那么     F GKF G K  。 证明(1)~(4)参看[6，X，定义13.14，推论13.11和定理13.13]；(5)参看[7，引理2.3 (5)]；(6)参看[8，引理2.9 (4)]。 3. 一些独立的结果 定理3.1 设p是 中的最小素数，P是G的Sylow p-子群。如果P的所有极大子群在G中都是S(G)-S-置换的， 那么G是p-幂零的。  πG 证明 假定结论不成立并设G为极小阶反例。由引理2.1 (2)可知，定理条件是商群遗传的。设N是G的一个极 小正规子群。因为p-幂零群类是饱和群系，所以由G的选取蕴含着N是G的唯一的极小正规子群且 。因 此G是单块本原群且满足G/N是p-幂零群。如果  1G   1 p OG   ，那么   p GOG  是p-幂零群，从而G也是p-幂零群， 矛盾。故 。  1 p OG  断言N是可解的。若N不可解，则   NSG。因 此   1SG  ，此 时P的极大子群在G中S-置换。由[9，定 理3.1] 可知，G是p-幂零的，矛盾。因此N可解，并且       NOFG CN p G G 。因为G是单块本原群，所以可得   G NC N。 由 及引理2.3可得，  1G   N  πqG P 。于是存在P的某个极大子群P1使得 。根据定理假设条件可知， P1在G中S(G)-S-置换，则对任意 及 1 NP   qq GSylG，均 存 在   cSG使得 。如 果 11 cc qq GPPGqp   ，那 么 。于是对任意 1 1 c q NP PG  1 c q  11 NPG   πqG q ，p   ，都有。显然， 。从而 ， 。因此  1 NP  1 c qG GN 1 NP P 1 NP11NPGNp，G是p-幂零的，矛盾。 定理3.2 设是包含的饱和群系，H是G的正规子群且使得 GH  。则 G  当且仅当H的Sylow子群的 所有极大子群在G中都是S(G)-S-置换的。 证明 如果 ，通过选取H = 1就能证明必要性。所以我们只需证明充分性。假设充分性不成立，设G为 极小阶反例。则有： G 1) GQ，其中Q为H的Sylow q-子群，q是整除 H 的最大素因子 因为S(G)在G正规，所以由引理2.1(1)可得，H的任意Sylow子群的极大子群在H中都是   --SG HS置换的， 从而是S(H)-S-置换的。由定理3.1可得，H是p-幂零的，其中p为整除 H 的最小素因子。因此H有正规Hall - p  子 群，记为K。由引理2.1(1)，K满足定理假设条件。反复应用引理2.1及定理3.1可得，H具有超可解型Sylow塔性质。 设q为整除 H 的最大素因子，Q为H的Sylow q-子群。因为Q是H的特征子群且 ，所以。考虑因子群 G/Q。由引理2.1(2)可知，G/Q满足定理假设条件。G的极小性选择蕴含着 HGQG GQ  。 2) Q是G的极小正规子群 设N为G的包含在Q中的极小正规子群。类似地可验证得G = N满足假设定理条件。由G的选择可知 GN  。 若Q中包含G的另一个极小正规子群K，则易证得 G  。因此，N是G的包含在Q中的唯一的极小正规子群。如 果N ≤ ，那 么  G   GGGN G N，G  ，矛盾。从而   1Q  ，Q交换且   NG G 。所 以G有极大子群M使得 。则有GN。因为QM 且Q交换，所以QM。如果 NMMQMM 1QM  ，那么 就是G的包含在Q中的正规子群。因此由N的唯一性可得QMNQMM  ，矛盾，于是有 ，Q。 1QMN 3) 完成证明 由引理2.3 可知，   q QG，其中Gq是G的任意Sylow q-子群。否则   QG，矛盾。因此，Gq有一个极 大子群G1使得 ，因此有。那么 1 QG1 QG q G111 :: q QQGQG GG1 :G q   。所以 是Q的极大子群。 1 QG Copyright © 2013 Hanspub 129 何宣丽，王燕鸣  某些 C-S-置换子群对有限群结构的影响 记。由定理假设知，Q1在G中是S(G)-S-置换的。因此，对任意 1 QQG1   πrG，   rr GSylG，存在某个 使得。如果 r  cSG11 cc rr QG GQq  ，那么 Q1 111 c r Q GQGG1 1 c r GG   。进而对任意 ，  πrG  rq   ， 都有。显然，。从而有 。由(2)可知，Q1 = 1。因此|Q| = q。应用文[5]中引 理2.7。  1G Q  1 c r GN  G 1 QQG1q G1 QG G 可得 ，矛盾。 推论3.1 设H是G的正规子群且满足G/H是超可解群。如果H的Sylow子群的极大子群在G中是S(G)-S-置换的， 那么G是超可解群。 定理3.3 设是包含的饱和群系，C为G的非空子集。则 当且仅当G有可解的正规子群H使得   且F(H)的Sylow子群的极大子群在G中是C-S-置换的。 GH 证明 显然我们只需证明充分性。假设充分性不成立，设G为极小阶反例，则我们有：   1G  H 1)     0p PSylHG0 P  1HG   || |pH G ，那么存在素数p使得整除如果。设 ，则 。由[1， p.270，Satz 3.5]知， G     00 F HPFH P。由引理2.1(2)可知，G/P0满足假设定理条件。再由G的极小选取可知， 0 GP F。因为，所以 G，矛盾。  GF 0  P  2) GF H   由(1)及引理2.2可知，F(H)是G的包含在F(H)中的极小正规子群的乘积。记 12 t F HRR R，其中Ri 是G的极小正规子群。因为H是可解的，所以F(H)是交换群。 我们断言每一个 都是素数阶循环群。否则，存在某个Ri不是素数阶的。不失一般性，我们可以 假设R1不是素数阶群，且设R1的阶为pα，其中  1, , t i Ri     π p FG1  ， 为正整数。设Op(H)为F(H)的Sylow p-子群， Gp是G的Sylow p-子群。那么 由(1)及引理2.3可知，  p OH G   G 1p R p G  ，因此存在Gp的某个极大子群 使 得1 p RG  。那么 11 1pp R GR  ::GG :p ppp GG  R   1 。所以 p RG  是R1的极大子群。记   2 1 s p ii R RPOH 1 P R， 其中 ，，那么P1是P的极大子群且 。由定理假设知，P1在G 中是C-S-置换的。从而对任意 及  2,, it RR R j  2 pi GR  πqG 11 PR  s i R  1 R p G  P   q G q GSyl均存在某个 cC  使得 PG 。如果 ，那么 于是，对任意 11 cc q G P q qp 11 1 cc qq PG   11 RP11 RPG   πqG，qp  ，都有 。显然，  11qG RP  1 1 c GN  p p G G PP， 11 p RPG。因此 ，进而 11 RPG11 RP1  。故 1 Rp  是素数。 所以，我们有   Gi GCR 是交换群。从而   Gi GC R  。因此，   Gi C R Hi R GHGC  ， 。因为  /Hi GCR     1 it H Hi i CFH CR   ，所以     H GCF H  。又因为H可解，所以       H CFH FH 。故   GF H 。 3) 反例不存在 设TR ，则 111iii R RR    t  ii F HT R  。由(2)可知，       i GTF HT i 。由(2)的证明可知， Ri 为素数。因此 i GT，从而 ，矛盾，证毕。 /i GG T   F H推论3.2 设H为G的可解正规子群且满足G/H是超可解群，C是G的非空子集。如果 的Sylow 子群的极 大子群在G中是C-S-置换的，那么G是超可解群。 定理3.4 设H是G的正规子群且使得G/H是超可解群。如果   * F H的Sylow子群的极大子群在G中是S(G)-S- 置换的，那么G是超可解的。 证明 假设定理不成立，设G为极小阶反例。则有 1) H = G且   F GFGG  由引理2.1 (1)及推论3.1可知，  *  F H是超可解的。由引理2.4(4)可得，   *     * F F HFHHH。若 ， 再由推论3.1可得，G是超可解的，矛盾。 如果H < G，那么由(1)可得H是超可解的。再由推论3.2可得，G是超可解的，矛盾。 2) G的每个包含  *  F H的真正规子群都是超可解的 Copyright © 2013 Hanspub 130 何宣丽，王燕鸣  某些 C-S-置换子群对有限群结构的影响 设N是G的包含  *  F H的真正规子群。由引理2.4(2)可得，         F HFFHFN FH    ，所以     F HFN  。因此，由引理2.1(1)可知，N满足定理假设条件。G的选取蕴含着N是超可解的。 3) G没有素数阶正规子群 否则，设P0是G的素数阶正规子群，P是   F G的包含P0的Sylow子群。因为 ，所以    0 PZPZFG     0G F GFGCPG       00GG 。如果CG(P0) < G，那么由(1)可知，CG(P0)是超可解的。因此   F CP FCP  FG FG   。由于G/CG(P0)循环，再由推论3.2可知，G是超可解的，矛盾。如果 CG(P0) = G，那么P0 ≤ Z(G)。由引理2.4 (6)知，     00 F GPF GP  。应用引理2.1(2)可得，G/P满足定理假设条 件。再由G的极小选取可知，G/P0是超可解的，从而G是超可解的，矛盾。因此G没有素数阶正规子群。 4) 对任意   π p FG，     p PSylFG，都有   1PG     如果 ，那么由引理2.2可知，  1PG12 s PLL L  ，其中   1, , i Li s是G的包含在P中的极小正 规子群。因为   PG，所 以 G有一个极大子群M使得G = PM。则 p p GPM  ，其中 Mp是M的Sylow p-子群。取 Gp的包含Mp的极大子群G0。则 000 0 ::: p G GGG PP GPp ，因此 记 。由定理假设 可知， P0在G中是S(G)-S-置换的。从而，对任意 0 PG P0 PPG0   πqG，   GGqSylq，都存在某个 使得。 如果 ，那么 。从而，对任意  cSG00 cc qq PG GP qpPP 1 000 c q PPPG  1 0 c q PG    qG p π，q  ，均有 。显然，  0G P 1 c q GN  00 p PPG G。因此 。由Jordan-Hölder定理可知，G有一个包含在P中的素数阶正规子群，与(3)矛盾。 0 PG 设p为   π  F G中固定的素数，取L为G的包含在   PG中的极小正规子群。 5)  F GP 设 为 1Q  F G的Sylow q-子群，Q0是G的包含在Q中的极小正规子群，其中 。由引理2.4(1)知， qp         GFGL EGLFG LTL L，其中   EGL是GL的层。因为   ,1FGL L EG F    ，所以，由 引理2.4(1)可知，   00 ,1QTLQ，即   0G TCQ。由(3)可得，   0G CQ G  。显然，       0G F GFGCQ 。 再由(1)可得， 是超可解的，那么T = L。所以  0G CQ       F GLG LFGLF  。由引理2.1(2)及G的极小性 可知， GL是超可解的，从而G是超可解的，矛盾。故   F G是p-群。 6)  F GLGL  如果  F GL GL ，那么由引理2.4(1)知，         F GL FGLEGL FGLEL  ，其中   EGL是 GL的层。因为    F GFGFGEG  ，由(1)可知，   F GE是超可解的，从而   F GELF GL  是超 可解的。因此         F GL FGL FGLFGL   。由引理2.1(2)及G的极小性可知， GL是超可解的，从 而G 是超可解的，矛盾。 7) G/P是非交换单群 由(5)，(6)及引理2.4(3)可知，                   GL GPGLPLFGL FGLSocFGLCFGLFGL    设         12GL s SocF GLCF GLFGLNLF GLNLF GLNLF GL，其中     i NL FGL 是    GLF GL 的极小正规子群。如果s > 1，那么(     i NL FGLGL FGL。由(1) 可知，       i F GLFGLFGL NLGL  且Ni是超可解的。所以，G是可解的。由推论3.2可知，G是超 可解的，矛盾。因此s = 1，         1 GPGLPLN LFGL 是非交换单群。 8) 得出矛盾 因为  SGPP是GP的可解正规子群，所以由(7)可知   SGPP = 1，从而   SG ≤ P。任取P的极大子群， 记为P1。由假设知，P1在G中是S(G)-S-置换的。从而，对任意   πqG，   q ylG q GS ，均存在某个   cSG使 得。因为S(G) ≤ P，所以，对任意 1 c qq PG GP1 c   πqG，   qq GSylG，均存在某个 使得。 从而P1在G中是S-置换的。由[5，定理3.1]可知，G是超可解的，矛盾。  cSG11 PGq GqP 证毕。 推论3.3 设是包含的饱和群系。那么 G  当且仅当G有正规子群H使得 GH且  * F H的Sylow子 Copyright © 2013 Hanspub 131 何宣丽，王燕鸣  某些 C-S-置换子群对有限群结构的影响 Copyright © 2013 Hanspub 132 群的极大子群在G中是S(G)-S-置换的。 证明 我们只需证明充分性。由推论假设及引理2.1(1)可知，   * F H的Sylow子群的极大子群在H中是S(G)-S- 置换的。由定理3.4可知，H是超可解的。所以     * F HFH。再由定理3.3可知， 。证毕。 G 4. 主要定理及应用 定理4.1 设是包含的饱和群系。那么G  当且仅当存在G的正规子群H及正整数n使得 GH且n-广 义Fitting子群  n F H 的Sylow子群的极大子群在G中是S(G)-S-置换的。 证明 我们只需证明充分性。假设定理不真，设G为极小阶反例。分以下两步证明。 1)  n GF H  如果n = 1，那么由推论3.3可知 ，矛盾。因此n ≥ 2。由定义1.2可知，G         11nnn F HF HFHF H   。 根据定理假设及引理2.1 (2)可知，    1nn F HF H  的Sylow子群的极大子群在   1nn F HF H  中是   11nn SGFHFH   置换的。再由推论3.3可得，   1n GF H    因此           11nnnn GF HGFHFHFH   。 2) 得出矛盾 由引理2.1(1)及推论3.1可知，  n F H 是超可解的。设Q是   n F H 的Sylow q-子群，其中q是    πn F H 中的 最大素因子。因为 Q char   n F HG ，所以 Q。考虑因子群G/Q。由(1)及引理2.1可知， GGQ。再由 定理3.2可知， G，矛盾。证毕。  推论4.1 设H是G的正规子群且满足GH是超可解群。如果存在正整数n使得n-广义Fitting 子群   n F H 的 Sylow子群的极大子群在G中是S(G)-S-置换的，那么G是超可解群。 定理3.2和推论3.3分别是定理4.1当n = ∞和n = 1时的特殊情形。 定理4.1中，当n = ∞且S(G) = 1时，是S-置换等价于1-S-置换，我们有 推论4.2 (Asaad [10]) 设是包含的饱和群系。那么G  当且仅当存在G的正规子群H使得GH  且H 的Sylow子群的极大子群在G中是S-置换的。定理4.1中，当n = 1且S(G) = 1时，我们有 推论4.3 (Li. Wang，Wei [5]) 设是包含的饱和群系。那么G  当且仅当存在G的正规子群H使得 GH且  F H 的Sylow子群的极大子群在G中是S-置换的。 如果定理4.1中的H是可解群，那么当n = ∞时，即为定理3.2；当n = 1时，即为定理3.3；当n = ∞且   1SG  时， 即为推论4.2；当n = 1且 时，我们有  1SG 推论 4.4 (Asaad [10]) 设是包含的饱和群系。如果 G是可解群，那么 G  当且仅当存在 G的正规子群 H使得 GH且F(H)的Sylow 子群的极大子群在 G中是S-置换的。 参考文献 (References) [1] B. Huppert. Endliche Gruppen I. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1967. [2] O. H. Kegel. Sylow-Gruppen und subnormalteiler endlicher Gruppen. Mathematische Zeitschrift, 1962, 78: 205-221. [3] S. Srinivasan. Two sufficient conditions for supersolvability of finite groups. Israel Journal of Mathematics, 1980, 35: 210-214. [4] Z. Arad, M. B. Ward. New criteria for the solvability of finite groups. Journal of Algebra, 1982, 77: 234-246. [5] Y. Li, Y. Wang and H. Wei. The influence of π-quasinormality of some subgroups of a finite group. Archiv der Mathematik (Basel), 2003, 81(3): 245-252. [6] B. Huppert, N. Blackburn. Finite groups III. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1982. [7] H. Wei, Y. Wang and Y. Li. On c-normal maximal and minimal subgroups of Sylow subgroups of finite groups II. Communications in Algebra, 2003, 31(10): 4807-4816. [8] Y. Li, Y. Wang. On π-quasinormally embedded subgroups of finite group. Journal of Algebra, 2004, 281: 109-123. [9] M. Asaad and A. A. Heliel. On S-quasinormal embedded subgroups of finite groups. Journal of Pure and Applied Algebra, 2001, 165: 129-135. [10] M. Asaad. On maximal subgroups of Sylow subgroups of finite groups. Communications in Algebra, 1998, 26(11): 3647-3652.

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