 Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 144-148 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.32023 Published Online March 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) General Formula and Judgment Theorem of Three-Dimensinal Original Congruent Number Yonggang Guan 1, Chunhe Guan2 1Department of Electrical Engineering, Tsinghua University, Beijing 2Fada Middle School, Longjiang Email: 770578942@qq.com Received: Dec. 19th, 2012; revised: Feb. 2nd, 2013; accepted: Feb. 19th, 2013 Abstract: Congruent number problem has been extended to three-dimensional space from two-dimensional one by applying fundamental number theory. The general formulas and judgment theorems of three-dimen- sional original congruent number have been deduced. The relationship between various types of three-di- mensional congruent number has been clarified, and the problems associated with the three-dimensional con- gruent number have been comprehensively resolved. Keywords: Three-Dimensional Congruent Number; Three-Dimensional Original Congruent Number; Three-Dimensional Formula of the Original Congruent Number; Three-Dimensional Extensive Original Congruent Number; Three-Dimensional Integer Congruent Number 推导三维本原同余数一般公式及其判定定理 关永刚，关春河 1清华大学电机系，北京 2黑龙江省龙江县发达中学，龙江 Email: 770578942@qq.com 收稿日期：2012 年12月19 日；修回日期：2013 年2月2日；录用日期：2013年2月19 日 摘 要：通过运用初等数论方法，把同余数问题从二维空间推广到三维空间。推导出三维本原同余数 一般公式及其判定定理。阐明了各类三维同余数之间的关系，全面解决了三维同余数相关问题。 关键词：三维同余数；三维本原同余数；三维本原同余数公式；三维泛本原同余数；三维整同余数 1. 引言 “同余数问题是三大千年数论难题之一 [ 1 ] 。”由于我们推导出了本原同余数一般公式 [ 2 ] ，且又推导出本原 同余数的基本判定定理 [ 3 ] 。因此，同余数的核心问题得到解决[4]。把同余数的定义域由正整数扩展到有理数 [ 4 ] ， 这是非常合理的。但文献[4]未能清晰地阐明数域扩展后各类同余数之间的关系。我们在文献[5]中完成了这项工 作。所以，传统意义上的同余数问题得到彻底的解决。现在，我们进一步研究文献[4]对同余数给出的定义：同 余数是三边均为有理数的直角三角形的面积。在此不难看出，同余数与勾股定理密切相关。在文献[6]中，我们 利用空间直角坐标系，把传统意义上的勾股定理定义为二维勾股定理，进而推广出三维勾股定理，四维勾股定 理。于是，传统意义上的同余数就是与二维勾股数相对应的二维同余数。那么，与三维勾股数，四维勾股数相 对应，就应该存在三维同余数，四维同余数。仿照二维同余数的解决方法，我们已经解决了三维同余数的相关 问题，推导出以下主要结果。 Copyright © 2013 Hanspub 144  关永刚，关春河 推导三维本原同余数一般公式及其判定定理 2．主要结果 1) 三维同余数定义：三维同余数是四面均为有理数，且有三个直角相邻的直角四面体的体积V。 当V为不含立方因子的有理数 F 时，称 F 为三维泛本原同余数。当 F 又为正整数 时，称为三维本原同 余数。 E E 当V为为正整数 时，称为三维整同余数，当m又为不含立方因子的正整数 时，称为三维本原同余 数。 m mE E 2) 三维本原同余数一般公式为： 3 36tk tk EW 其中：， ，。且满足 ,1tk 2łt,,tkW N 3 max 36Wtktk 。 3) 三维本原同余数基本判定定理：对于一个不含立方因子的正整数 ，如果存在一个正整数 ，使得方程 有满足 Ew 3 6Ewtk tk 1 ,tk 的正整数解，那么 是三维本原同余数。否则，为非三维本原同余数。 E E 证 首先，建立三维直角坐标系 ，置直角四面体于第一卦限。 -Oxyz -O ABC 如图 1所示，设四面体面各点坐标依次为： 0, 0, 0O， ,0,0Ax， 0,, 0By，， 0, 0,Cz Z C BY A D X Figure 1. Di a g r amatic sketch of three-dimensional congruent model 图1. 三维同余数模型示意图。 再令 1 1 2 Sxy ，2 1 2 Syz ，3 1 2 Sx z 。 又过点作于点，连结。于是推得 OOD ABDCD 222 22 4 11 22 SABCD xyzxy 根据三维勾股定理 [ 6 ] 和三维同余数定义，可得三维同余数的代数定义形式： V是三维同余数，当且仅当方程组 222 123 1 6 SSSS V xyz 2 4 (1) (2) 有有理数解。 由于方程(1)是二次齐次方程，所以，求方程(1)的有理数解，只需求出它满足 ,, 1xyz ，且 为整数的整 4 S 数解 [ 7 ] 。而要想满足 为整数，必须首先满足 4 S 222 22 x yzxy 为整数。取 , x ty k 。再令 。可推 得 ztk 2 222 22222222 x yzxtk tktkttkk y。 Copyright © 2013 Hanspub 145  关永刚，关春河 推导三维本原同余数一般公式及其判定定理 显然，此时若要满足 ，只需 ,, 1xyz ,tk1 。而且至少有一个为奇数。不失一般性，不妨规定 2。 ,tk łt 再把 , x ty k， 带入方程(2)，可推得ztk 1 6 Vtktk 。由于V是三维同余数，所以V乘以一个立方数 仍然是三维同余数。取这个立方数为。于是可推得 3 6 3 636mV tktk 是三维整同余数。同理，再取 3 max 36Wtkt k。即可推得三维本原同余数一般公式： 33 36 1tk tk Em WW 其中：， ，。且满足 ,1tk 2łt,,tkW N 3 max 36Wtktk 。 利用这个公式，我们可以计算出全部的三维本原同余数。限于篇幅，我们只取 。可得如下部分 三维本原同余数函数表1。 10, 10tk Table 1. Function table of three-dimensional primitive congruent 表1. 三维本原同余数函数表 k t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 9 1 2 90 5 7 252 12 15 495 3 2 5 - 14 20 - 35 44 - 65 5 5 315 20 30 - 55 70 2340 105 - 7 252 21 35 1386 70 91 - 140 21 5355 9 15 33 - 78 105 - 21 204 - 285 例如：1) 取，由公式即可解得1, 1,2tkW 9E 。此时，在表 1中，可取 1, 1,OA tOBk 2OCt k 。于是推得 1 1 2 S ， ， 21S31S ， 2 4 13 1211 22 S 。因此可知，直角四面体 的 -OABC 四个三角形面积均为有理数。所以， 11 63 Vtktk 是三维同余数。于是即可推得 为三维本原同 余数。 393EV 2) 取 ，由公式即可解得5,7,1tkW 70E 。此时，在图 1中，可取 5,7,OA tOBk 12OCt k 。于是推得 1 35 2 S， ， 230S342S ， 22222 4 11 57125 7 22 S 09 。因此可知，直角 四面体 的四个三角形面积均为有理数。所以，-OABC 170 6 Vtktk 是三维同余数。于是即可推得 70EV 为三维本原同余数。 在三维本原同余数公式中，取 ，即可推出三维本原同余数判定定理：若方程 6Ww 3 6Ewtk tk (3) 有满足，且的正整数解，那么 是三维本原同余数。否则， 为非三维本原同余数。 ,tk12łt EE 此定理证明过程简明易得，在此省略。 利用这个定理，就可以对任一不含立方因子的正整数是否为三维本原同余数作出判定。 例如：1是三维本原同余数。 证：因为取 推得。所以，1是三维本原同余数。 1,E1,w6123 由1是三维本原同余数，又可以得出一个推论； 推论 1：任一个有理数的立方都是三维同余数。 2是三维本原同余数。 Copyright © 2013 Hanspub 146  关永刚，关春河 推导三维本原同余数一般公式及其判定定理 证 因为 ，取 ，推得。所以，2是三维本原同余数。 2E1w62 314 3为非三维本原同余数。 证：把 带入方程(3)。由于 是满足3Ew 3 max Wtktk 自由因子，不妨令 12 wwww 3 ，且 3 1 wt，3 2 wk， 3 3 wt k。因为 ，且 ，所以 ,1tk 2łt 1223 13 ,,,wwwwww 1 3 3 。于是可推知，若 满足方程(3)，则 必须满足下列方程之一有正整数解。 3E 33 12 92www (4) 33 12 9ww w3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 30, 1, 1x mod 9 (5) 33 12 18www (6) 33 12 92www (7) 33 12 29www (8) 33 12 18ww w (9) mod 9进行模运算，推得 11 02 11 。 因为 [ 1 ] ，于是对方程(4)取 所以方程(4)没有正整数解。同理，方程(5)、(7)、(8)也没有正整数解。 假设方程(6)有正整数解，因为 ，且 ，可推得，。 ，。令，由方程 (6)可得 ,tk1 3 2łt1 2łw3 2łw1 3łw3 3łw31 2ww v 32 2 21 1 93 64wwvwvv (10) 由于 ，因此 1 3łw3v。再令 ，由方程(10)又可得 1 3vv 32 2 21111 612wwv wvv 3 1 2 (11) 显然，此时若要满足方程(11)有正整数解，须满足 3 1 vv ，且 22 vw。令24 wwv 2 ，由方程(11)又可得 32 41 11 612ww wvv 2 1 2 (12) 此时，方程(12)的左边为 型 [ 1 ] ，因此在有理数域一定可以分解质因式。但在方程(12)的右边，由 于 ，因此在有理数域一定不能分解质因式。推出矛盾。 32 4 wxy 2 1 0v 22 11 64 1212vv 所以，方程(6)没有正整数解。同理，方程(9)也没有正整数解。 所以，3为非三维本原同余数。 同理，4为非三维本原同余数。 ······ 在n ≤ 200 以内不含立方因子的正整数共有167 个。其中三维本原同余数有且只有91 个，它们分别是： 1 2 5 7 9 12 13 14 15 19 20 21 22 26 30 31 33 35 37 38 41 43 44 47 49 51 55 57 58 61 62 65 66 68 69 70 73 75 77 78 79 83 84 85 86 90 91 92 97 98 99 100 103 105 109 110 115 116 117 119 126 131 133 138 139 140 145 150 151 153 154 155 156 157 159 161 163 165 169 170 173 174 177 181 182 186 187 188 190 194 195 利用三维本原同余数基本判定定理，不但可以对任一个正整数是否为三维整同余数逐一做出判定。而且还 可以推出下面两个推论，作为下面三种特殊类型的正整数是三维整同余数的判定依据。 推论 2：当 2ł x ，, x yN 时，型如 的正整数一定是三维整同余数。 3 32mx y 3 Copyright © 2013 Hanspub 147  关永刚，关春河 推导三维本原同余数一般公式及其判定定理 Copyright © 2013 Hanspub 148 推论 3：当 2ł x ，, x yN 时，型如 的正整数一定是三维整同余数。 3 32mx y 3 推论 4：当 ，2ły, x yN 时，型如 的正整数一定是三维整同余数。 3 23mx y 3 3．结束语 仿二维同余数的解决方法，我们也可以彻底解决三维同余数相应问题。类似地，我们也可以解决四维同余 数相应问题。至于同余数问题是否能够推广到五维空间及以上空间，还有待进一步探讨。 参考文献 (References) [1] 胡作玄. 从毕达哥拉斯到费尔马[M]. 郑州: 河南科学技术出版社, 1998: 104-140. 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