 Journal of Water Resources Research 水资源研究, 2013, 2, 96-102 http://dx.doi.org/10.12677/jwrr.2013.22014 Published Online April 2013 (http://www.hanspub.org/journal/jwrr.html) Research and Application on Fuzzy Comprehensive Evaluation Method for Hydrologic Forecast Model* Junjie Song, Jianzhong Zhou#, Baowei Yan School of Hydropower & Information Engineering, Huazhong University of Science & Technology, Wuhan Email: #jz.zhou@hust.edu.cn Received: Feb. 14th, 2013; revised: Feb. 27th, 2013; accepted: Mar. 11th, 2013 Copyright © 2013 Junjie Song et al. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: According to accuracy, precision and reliability requirement of hydrological forecasting specifica- tion, we use the fuzzy comprehensiv e evaluation method based on fuzzy set theory to quantitatively evalua te the performance hydrological forecasting models. The study selected auto-regressive wavelet model, nearest neighbor regressive wavelet model and mean generating function model of three gorges annual runoff fore- cast as the study object, and built a multi-index evaluation syste m for hydrolog ic forecasting model compre- hensive evaluation. Set parabolic type membership function as the standardized method, on the basis of maximum degree principle and close to principle. Using the information entropy method based on decision makers’ preference in standardized value set to get a weight combining subjective and objective aspects. The best model is the one which has the highest result value most close to the theoretical optimal value. The re- search results show that the fuzzy comprehensive evaluation method is applicable for hydrological forecast- ing field. Fuzzy comprehensive evaluation method based on decision makers’ preference information entropy method can effectively reduce redundant information and introduce decision maker’s subjective experience to quantitatively evalu ation making with a combination of su bjective and objective to get a scientific and exact result. Keywords: Fuzzy Comprehensive Evaluation Model; Hydrologic Forecast Model; Value Set Standardization; Parabolic Type Membership Function ; Information Entropy Method Based on Decision Maker s’ Preference 水文预报模型模糊综合评价方法研究及应用* 宋俊杰，周建中#，闫宝伟 华中科技大学水电与数字化工程学院，武汉 Email: #jz.zhou@hust.edu.cn 收稿日期：2013 年2月14 日；修回日期：2013 年2月27 日；录用日期：2013 年3月11 日 摘 要：本文根据水文情报预报规范准确度、精密度和可信度的要求，以应用于三峡梯调中心的年径 流预报自回归小波模型、最近邻回归小波模型、均生函数模型为研究对象，采用基于模糊集理论的模 糊综合评价法对水文预报模型在特定流域条件下的预报效果进行定量评价。为此，首先建立水文预报 模型模糊综合评价多指标评价体系，然后依据最大隶属度原则及贴近原则选取抛物型隶属函数对模型 评价因素集进行规范化处理，最后对规范化得到的评价集采用基于决策者偏好的信息熵方法进行主观 *基金项目：国家自然科学基金重点项目(51239004)，水利部公益性行业科研专项(201001080)，高等学校博士学科点专项科研基金(2010014211 0012)。 #通讯作者。 作者简介：周建中(1959-)，男，教授，博士生导师，主要从事水电能源科学研究；宋俊杰(1987-)女，研究生，主要从事水文预报评估方法研究。 Copyright © 2013 Hanspub 96  宋俊杰，等：水文预报模型模糊综合评价方法研究及应用 Copyright © 2013 Hanspub 第2卷 · 第2期 97 和客观相结合的综合评价，从而得到符合工程实际需求的水文预报优选模型。研究结果表明，模糊综 合评价法在水文预报领域有很强的适用性，采用基于决策者偏好的信息熵多指标模糊综合评价法可以 引入决策者主观经验对水文预报模型进行主观与客观相结合的定量评价，并有效降低预报模型评价指 标体系中的信息冗余，从而实现对预报模型科学精确的定量评价。 关键词：模糊综合评价模型；水文预报模型；因素集规范化；抛物型隶属函数；有偏好的信息熵方法 1. 引言 水文预报根据历史信息对未来一段时间内的水 文状态(如流量，水位，冰清，旱情等)做出定性或定 量的预测。水文预报模型是在水文现象及各水文要素 的研究认识上建立起的具有一定物理意义的数学模 型，其在防汛、抗旱、水资源开发利用、国民经济建 设等生产实际领域发挥着重要的作用。为了使水文预 报工作更好地服务于国民经济建设，水利部门颁布 了《水文情报预报规范》，明确规定水文预报结果必 须达到相关标准规定的准确度、精密度和可信度要 求。 为了提高水文预报结果的准确率及可靠程度，可 以采用综合评价法对适用于同一水文条件的多个水 文预报模型进行评定，以确定其中预报效果最好的水 文模型。本文以作者所在研究团队为三峡梯调中心开 发的中长期径流预报模型库中的最近邻回归小波模 型、自回归小波模型[1]以及时间序列均生函数模型[2] 为研究对象，采用综合评价法对多个模型进行多指标 定量评价，从而选取综合性能最优的水文预报模型。 2. 多指标综合评价理论 2.1. 多指标综合评价方法 多指标综合评价是一种采用多个评价指标对目 标方案进行定性和定量评价的常用方法，其基本原理 是对所建立的指标评定体系中的多个指标进行一定 的变换处理得出一个能反映综合性能的指标，并据此 对目标模型进行评价。一般用集合 A表示被选的方案 集合， i A iM表示集合中的备选的方案，假设方 案集 A中有 M个方案，则[3]： 12 ,,, m A AA A (1) 选定方案集 A需要考察的 n个评价指标以构成 评价指标体系，这 n个评价指标的相关评价值 j rjM可以用来抽象的表示备选方案[4], 12 ,,, iii in A rr r (2) 对各方案的 n个评价值 rj进行计算处理后可得 到一个关于模型性能优劣等级的综合评价指标进而 可得到综合性能最优的水文预报模型。 2.2. 几种常用综合评价方法的分析比较 多指标综合评价方法主要包括模糊综合评价法、 层次分析法、灰色关联分析法等。以下就这三种常用 的多指标综合评价方法进行简单的分析。 模糊综合评价法(fuzzy comprehensive evaluation method)：由美国控制论专家查德(L. A. Zadeh)提出， 是一种基于模糊数学隶属度理论将方案 A的因素集 U 转换为(0, 1)论域上评价集 R并使用权重设置对评价 方案进行定量评价的方法。 层次分析法(analytic hierarchy process)：由美国运 筹学家匹茨堡大学教授托马斯·萨蒂(T. L. Saaty)提 出，是一种通过构造递进层次结构的局部有序集 H来 有效完成层次间隶属关系建立的评价方法。 灰色关联分析法(grey relational analysis method)： 由中国控制论专家邓聚龙提出，是一种根据因素 F之 间发展趋势的相似或相异程度“灰色关联度”r来衡 量因素间关联程度的评价方法。 相比其它两种多指标综合评价方法，模糊综合评 价法在工程领域更具普适性，对多因素、多层次复杂 问题的评价较为客观准确，故研究工作中采用模糊综 合评价法对水文预报模型进行多指标综合评定。 3. 水文预报模型模糊综合评价方法的设计 3.1. 模糊综合评价方案的实施步骤 模糊综合评价方案的确立主要由两部分工作组  宋俊杰，等：水文预报模型模糊综合评价方法研究及应用 第2卷 · 第2期 成：确定评价因素集 U以及确定评价规则 f。评价因 素集 U由水文预报模型综合评价指标体系中的指标 具体值构成。由于各指标之间具有不可公度性，所以 并不能直接进行评价比较。而评价规则 f通过确立一 系列模型综合评定的步骤方法将这些不可公度的初 始指标值转换为模型的综合评价值 Ez，进而可定量的 对模型方案进行优劣评价。多指标模糊综合评价的具 体步骤流程如图 1所示。 3.2. 建立水文预报模型综合评价指标体系 为了对不同边界条件下的多预报模型进行模糊 综合评价，水文预报模型所选的性能评价指标需具有 专业性、综合性、普适性、实用性。基于上述准则要 求，研究选用几种常用于模型评定的指标构建模糊综 合评价指标体系，所选常见指标及其定义公式如式 (3)~(6)所示，其中N代表观测的次数， 代表实际 流量值， 代表预测流量值。 i Q实测 i Q预测 1) 预报平均绝对误差： 1 1N ii i MAEQ Q N 实测预测 (3) 2) 预报平均相对误差： Figure 1. Fuzzy comprehensive evaluation flow chart of hydrologic forecast model 图1. 水文预报模型模糊综合评价流程图 1 1Nii ii QQ MRE NQ 实测 预测 实测 (4) 3) 均方根误差： 2 1 1N ii i RMSEQ Q N 实测预测 (5) 4) 均方百分比误差： 2 1 1N ii ii QQ MSPE NQ 实测 预测 实测 (6) 由模糊综合评价指标体系可得水文预报模型综 合评价的评价因素集U。 3.3. 评价因素集的规范化处理 在对水文预报模型的综合评价过程中，需要对模 型不同方面的多个指标进行综合评价，由于不同的指 标使用不同的量纲、不同的单位、不同的数量级以及 不同的度量标准，所以不能使用指标值的初始数据进 行模型的综合评定和模型间的比较。针对于不同指标 间存在着不可公度性的问题，在进行水文预报模型的 综合评定之前必须对初始的指标数据进行相应的规 范化处理[5]。评价指标的规范化处理的实质就是对初 始指标值进行一定的数学变换将各指标的初始值，即 评价因素值 uij，转换为该指标的评价值rij。本次研究 中，评价方案采用隶属度函数来计算各评价指标的隶 属度，即评价值rij。 隶属度函数是一种建立在模糊集理论上计算各 指标优属度的规范化处理的方法，其特征值的集合取 值范围在[0, 1]区间上，这些特征值被称作隶属度。评 价因素值 uij通过隶属度函数的规范化处理后得到相 应的隶属度，即评价值rij。对于同一个模糊概念不同 的决策者会建立不同的隶属度函数。常用的确立隶属 度的方法有：模糊统计法、例证法、二元对比排序法、 专家经验法。常用的隶属度函数有区间隶属函数，三 角隶属函数，梯形隶属函数，抛物型隶属函数，极大 集和极小集的隶属函数等[5]。由于水文预报模型的综 合评定指标体系中一部分指标的值越小对应的性能 越好。所以，研究中选用比较常用的降半抛物型隶属 函数作为模糊综合评价的规范化方法，降半梯形隶属 函数的经典公式如式(7)所示： Copyright © 2013 Hanspub 98  宋俊杰，等：水文预报模型模糊综合评价方法研究及应用 第2卷 · 第2期 降半抛物型分布： 1, , 0, k ij xa rbxbaax xb b (7) 降半抛物型隶属函数适用于对指标值与性能优 秀程度成反比的指标进行评价，公式中 b的值为指标 满足合格要求的最大值，a的值为接近并大于理论最 优值的一个数值。使用降半抛物型分布隶属函数即可 得到本次水文预报模型模糊综合评价的因素集 U的 规范化方案，因素集 U规范化后得到水文预报模型综 合评价方案的隶属度矩阵R， 11 121 21 222 12 m m nn nm rr r rr r rr r R (8) 隶属度 ，隶属度值越大代表对应的模型 指标性能越好。 0,1 ij r 3.4. 确定综合评价权重函数 在水文预报模型的综合评价过程中，多指标模糊 综合评价模型权重函数 000 0 12 ,,, n www w的确定占 有重要的地位。对于基于多个指标性能的模型综合评 价问题，各个指标对模型评价结果的影响作用并不相 等。例如，在水文预报模型的综合评价过程中，预报 平均绝对误差及预报平均相对误差的优劣程度对水 文预报模型综合评价结果的影响相对较大，其它因素 对水文预报模型综合评定结果的影响相对较小，这种 指标属性间的相对重要程度就需要通过将各属性值 标准化处理为一组和为 1的权重值来实现。常用权重 函数设置方法有：特征向量法(Eigenvector Method)、 最小加权法(Minimum Weighted Method)以及信息熵 方法(Information Entropy Method )[4]，此次水文预报模 型模糊综合评价方法的研究中选用基于决策者偏好 的信息熵方法作为权重函数设置方法。 信息熵方法是一种基于熵理论的属性权重设置 方法。在信息理论中熵Ej可以用来测量某个信息中期 望的信息含量，当获得决策矩阵的数值后，熵法可以 用来确定各指标的权重Wj。基于信息熵的权重函数设 定的经典方法[3]如下： 由隶属度矩阵公式(8)可得各方案关于属性j的评 价值为 rij，对 m个模型的 n个属性相应的评价值做归 一化处理： 1 ij ij m ij i r x r (9) 由Shannon 的信息熵理论[6]可以得出各方案关于 属性 j的熵如式(10)[3]所示： 1 ln1 ln m jijij i Ekrrk m (10) 信息熵方法将信息偏差度dj定义如式(11)[3]所 示： 1 j j dE (11) 假设决策者对所有的权重都有相同的偏好，则可 得权重 wj的值如式(12)[3]所示： 1 j jn j j d w d (12) wj即为决策者无偏好的属性权重，在此基础上进一步 引入主观权重 λmn，计算出决策者有偏好情况下的权 重评估 ，通过引入决策者预先设定的主观权重，可 以进一步修正信息熵方法下的权重评估值如式(13)[3] 所示： 0 n w 0 1 j j jn j j j w w w (13) 按照公式对各方案的所有指标进行权重值 0 j w的 计算可得到水文预报模型的综合评价过程中需要的 权重函数w0： 000 0 12 ,,, n www w (14) 3.5. 计算评价结果集 模糊综合评价通过对评价因素集 U进行评价规 则f处理后得到最终的综合评价集 [7]。 综合评价值 12 3 ,,,Bbb b j bjM的值分布在(0, 1)区间上，综合 评价值 bj的数值越大模型的性能优劣等级越高[8]。 在模糊综合评判方案设置好评价因素集 U、隶属 函数 R、权重函数 w0后就可以对模型综合评价集 B Copyright © 2013 Hanspub 99  宋俊杰，等：水文预报模型模糊综合评价方法研究及应用 Copyright © 2013 Hanspub 第2卷 · 第2期 100 进行计算[9]。 以1979~2000 年间丰水年、平水年、枯水年的预报结 果精度为依据来考察模型在不同量级径流下的预报 能力，模型模糊综合评定指标体系层次结构图如图 2 所示。 研究选定水文预报模型模糊综合评价因素集 U = (u1, u2, ··· , u7)，使用降半梯型隶属函数对评价因素集 进行规范化得到隶属度矩阵R[10]，如 式 (7)所示。对隶 属度矩阵 R进行信息熵方法加权处理得到水文预报模 型的综合评价结果集 B。 12 11 211 12 222 00 0 12 12 ,,, * ,,, n n n mm nm n rr r rr r Bww w rr r bb b (15) 为了构造水文预报模型模糊综合评价因素集 U， 实验采用公式(3)~(6)对各评定指标进行数值计算，得 出水文预报模型模糊综合评价的各评价指标值(表1)。 Table 1. Index value data of hydrologic forecast models 表1. 水文预报模型的指标数据 评定指标 自回归小 波模型 最近邻回归 小波模型 均生函 数模型 MAE (m3/s) 2677.33 1698.33 2217.33 MRE (%) 16.79 10.46 13.54 RMSE (m3/s) 2918.65 1972.41 2450.39 MSPE (%) 10.64 6.97 8.53 MAE (m3/s) 1130.86 1074.71 910 MRE (%) 8.02 7.59 6.50 RMSE (m3/s) 1372.78 1309.52 1097.00 MSPE (%) 2.60 2.45 2.12 MAE (m3/s) 1840.00 2157.80 2644.80 MRE (%) 15.48 18.31 22.27 RMSE (m3/s) 2054.10 2372.59 2748.87 MSPE (%) 7.77 9.07 10.45 比较综合评价结果集 B中的各结果值，数值最大 的结果值对应的水文预报模型的综合性能最优。 4. 实验与分析 4.1. 三峡年径流预测模型评价因素集计算 为了验证模糊综合评价法在水文预报模型综合 评价中的有效性和科学性，实验研究采用作者所在研 究团队为三峡梯调中心开发的应用于中长期径流预 报的最近邻回归小波模型、自回归小波模型以及时间 序列均生函数模型为研究对象，选取宜昌站 1900~ 1978 年径流实测数据进行预报模型参数率定，1979~ 2000 年的模型预测数据进行模型模糊综合评价。实验 水文预报模型综合评价体系 丰水年预报效果平水年预报效果 枯水年预报效果 预 报 平 均 绝 对 误 差 预 报 平 均 相 对 误 差 预 报 平 均 绝 对 误 差 均 方 根 误 差 均 方 百 分 比 误 差 均 方 百 分 比 误 差 预 报 平 均 绝 对 误 差 预 报 平 均 相 对 误 差 均 方 根 误 差 均 方 百 分 比 误 差 预 报 平 均 相 对 误 差 均 方 根 误 差 Figure 2. Comprehensive evaluation index system hierarchical structure diagram of hydrologic forecast model 图2. 水文预报模型模糊综合评定指标体系层次结构图  宋俊杰，等：水文预报模型模糊综合评价方法研究及应用 第2卷 · 第2期 由以上评价指标值可得评价因素集 U， 2677.331698.332217.33 16.79 10.46 13.54 2918.65 1972.412450.39 10.64 6.978.53 1130.86 1074.71910 8.027.59 6.50 1372.78 1309.521097.00 2.60 2.45 2.12 1840.002157.80 2644.80 15.48 18.31 22.27 2054.102372.95 2748.87 7.77 9.07 T U 10.45 (16) 4.2. 三峡年径流预测模型隶属函数参数设计 研究选用降抛物型隶属函数作为评价因素集规 范化方法，其隶属函数公式如式(7)所示。在计算三峡 年径流预测模型综合评价集之前需先完成隶属函数 的设置[11,12]。仍以三峡年径流预报自回归小波模型、 最近邻回归小波模型、均生函数模型为研究对象，根 据各预报模型1979~2000 年间年径流预报结果资料， 对水文预报模型模糊综合评价方案进行实验研究。 以平均绝对误差的隶属函数参数设置为例介绍 模糊综合评定法中隶属函数参数确立的方法。计算自 回归小波模型、最近邻回归小波模型、均生函数模型 1979~2000 年三峡年径流预报结果的绝对误差，并对 其误差值分布进行统计，具体分布如表 2所示。由绝 对误差分布表可知，误差值分布在(0, 4000)区间内， 其中分布在(0, 1000)区间的误差最多，(1000, 2000)区 间的误差数次之，然后依次是(2000, 3000)区间的误差 数和(3000, 4000)区间的误差数。因此，实验中绝对误 差的降抛物型隶属函数参数设置为 a = 0, b = 4000, k = 2。 依据此方法设计其它指标规范化方法的参数值， 如表 3所示。 Table 2. Absolute error distribution of hydrologic forecast model 表2. 水文预报模型绝对误差值分布表 误差区间 (m3/s) (0, 1000) (1000, 2000) (2000, 3000) (3000, 4000) 区间内误差 分布(%) 42.42 33.33 13.64 10.61 Table 3. Membership function parameter design 表3. 隶属函数的参数设计 评定指标 A B k 平均绝对误差 MAE (m3/s) 0 4000 2 平均相对误差 MRE (%) 0 30 2 均方根误差 RMSE (m3/s) 0 4000 2 均方百分比误差 MSPE (%) 0.5 15 2 4.3. 三峡年径流预测模型综合评价结果集计算 使用降抛物型隶属函数对评价因素集 U进行规 范化处理得到模型的评价集R如式(17)所示。 0.10930.3311 0.1986 0.19390.4242 0.3010 0.07310.25690.1501 0.0845 0.28660.1866 0.5145 0.5348 0.5968 0.5368 0.5580 0.6136 0.4314 0.4524 0.5267 0.6834 0.7000 0.7373 0.2916 0.2121 0.1148 0.23430.1518 0.0664 0.23670.1655 0.097 T R 8 0.23230.1563 0.0920 (17) 设置决策者偏好权重 W， 0.1 0.1 0.050.050.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.100.050.05 W (18) 运用公式(9)~(13)、(17)~(18)得到权重函数w0： 00.19 0.10 0.12 0.110.00.0 0.010.00.130.220.060.07 w (19) 对各模型评价集进行信息熵方法加权处理，得到 模型评价结果集B如式(20)所示： 0.1824,0.2541,0.1535B (20) 由综合评价结果集 B可以看出，最近邻回归小波 模型是上述三种年径流预报模型中综合性能最优的 模型，自回归小波模型的综合性能次之，均生函数模 型的综合性能相对最差。 Copyright © 2013 Hanspub 101  宋俊杰，等：水文预报模型模糊综合评价方法研究及应用 第2卷 · 第2期 由实验研究可得结论： 1) 模糊综合评价法在工程上有较强的适用性，将 模糊综合评价法应用于水文预报模型的综合评价，能 有效评价不同模型的优劣等级。 2) 在模糊综合评价中，引入决策者偏好修正隶属 函数和权重函数可得到基于决策者主观经验与客观 评价相结合的评价结果。 3) 实验结果表明指标评价值差异相对较大时，信 息熵方法得出的该指标权重值偏大；指标评价值差异 相对较小时，信息熵方法得出的该指标权重值偏小。 5. 结语 本文通过对三峡年径流预报模型模糊综合评价 方案的研究，分析了模糊综合评价方法在水文预报模 型流域适用性综合评价中的可行性。研究工作首先选 取平均绝对误差、平均相对误差、均方根误差、均方 百分比误差作为水文预报模型流域适用性评价指标， 建立水文预报模型的综合评价指标体系。然后针对模 型指标值的分布特点和相关特性，设定各指标的抛物 型隶属函数参数，并将不可公度的指标因素集规范化 为特征值分布在[0, 1]区间的隶属度矩阵。最后采用基 于决策者偏好的信息熵方法对隶属度矩阵进行加权 处理得到模型评价结果集。由结果集可以判断出最近 邻回归小波模型为实验所选的年径流预报模型中综 合性能最优的预报模型。研究表明，模糊综合评价法 能对水文预报模型的适用性和不同模型的优劣等级 进行有效评定，从而为水文预报模型的工程应用及其 评价提供一种有效途径。 参考文献 (References) [1] 王雪, 周建中. 长江三峡中长期预报研究及其系统设计与开 发[D].华中科技大学, 2011. WANG Xue, ZHOU Jianzhong. The design and development of system based on mid-and-long term runoff forecasting at The Three Gorge. Huazhong University of Science and Technology, 2011. (in Chinese) [2] 邓娟, 周建中. 三峡水库入库径流中长期预报模型研究及系 统开发与应用[D]. 华中科技大学, 2011. DENG Juan, ZHOU Jianzhong. The study of mid-long term hdrological forecasting model used in the Three Gorges reser- voir inflow and the design & application of system. Huazhong University of Science and Technology, 2011. (in Chinese) [3] 徐玖平, 吴巍. 多属性决策的理论与方法[M]. 北京: 清华大 学出版社, 2007. XU Jiuping, WU Wei. Multiple attribute decision making theory and methods. Beijing: Tsinghua University Press, 2007. (in Chi- nese) [4] 岳超源. 决策理论与方法[M]. 北京: 科学出版社, 2009. YUE Chaoyuan. Decision theory and methods. Beijing: Science Press, 2009. (in Chinese) [5] 孔峰. 模糊多属性决策 理论 方法及其应 用[M]. 北京: 中国农 业科学技术出版社, 2008. KONG Feng. Theory and application of fuzzy multi-attribute decision. Beijing: China Agriculture Press, 2008. (in Chinese) [6] SHANNON, C. E., WEAVER, W. The mathematical theory of communication. Urbana: The University of Illinois Press, 1947. [7] 王文圣, 张翔, 等. 水文学不确定性分析方法[M]. 北京: 科 学出版社, 2011. WANG Wensheng, ZHANG Xiang, et al. Methods of uncer- tainty analysis for hydrology. Beijing: Science Press, 2011. (in Chinese) [8] 程根伟, 舒栋材. 水文预报的理论与数学模型[M]. 北京: 中 国水利水电出版社, 2005. CHENG Weigen, SHU Dongcai. Theory and mathematical mod- els of hydrological forecasting. Beijing: China Water Power Press, 2005. (in Chinese) [9] 周小力, 杨慧慈, 唐佳明. 模糊综合评价法在烟气脱硫技术 选型中的应用[J]. 计算机与应用化学, 2008, 3: 342-348. ZHOU Xiaoli, YANG Huici and TANG Jiaming. A fuzzy eva- luation for choosing the suitable technology of flue gas desul- phurization. Computers and Applied Chemistry, 2008, 3: 342- 348. (in Chinese) [10] 宋晓秋. 模糊数学原理与方法[M]. 徐州: 中国矿业大学出版 社, 2004. SONG Xiaoqiu. Principle and methods of fuzzy mathematics. Xuzhou: China University of Mining and Technology Press, 2004. (in Chinese) [11] PEREIRA, F. C., COSTA, H. and PEREIRA, N. M. An off-line map-matching algorithm for incomplete map databases. Euro- pean Transportation Research Review, 2009, 1(3): 107-124. [12] NOH, J. H., KIM, T. J. A comprehensive analysis of map match- ing algorithms for ITS. Hongik Journal of Science and Technol- ogy, 1998, 9: 303-313. Copyright © 2013 Hanspub 102 |