微分包含系统作为一种动态系统，描述具不确定演化方程规则的系统模型，该类系统于二十世纪六十年代提出。作为非线性分析理论的重要分支之一，微分包含与许多数学分支有着紧密的联系，由于它在机器人工程、流体力学和数学金融等领域的应用而引起人们广泛关注。因此，微分包含具有丰富的研究内容和广泛的应用价值，见文献 [1] - [3] 。分数阶微分包含是整数阶微分包含与分数阶微分方程的推广，随着分数阶微分理论发展的日益完善，许多系统的行为可以通过分数阶模型来描述，分数阶微分逐渐成为人们研究分形几何和分数阶动力系统的有力工具，在粘黏性力学、神经系统、热传导、信号预处理、人工智能、气候研究等很多领域都应用广泛。

分数微积分理论是专门研究任意阶(分数阶，甚至是复数阶)微分和积分性质及其应用的领域，它始于1695年的L’Hospital，最流行的分数阶导数是由积分形式定义的，紧随其后的是Riemann-Liouville和Caputo分数阶导数，参见 [4] - [6] 。但这些定义有一些缺点：

1) 任何函数的Riemann-Liouville分数阶导数在时间 $t=0$处是具有某种奇性的，例如对于 $\alpha \in \left(n-1,n\right)$， $T_{0^{+}}^{\alpha }\left(\lambda \right)=0$在Riemann-Liouville意义上是无效的，其中 $\lambda$是常数。

2) 对于Caputo导数或Riemann-Liouville导数，以下公式是不满足的：对于 $g,h:\left[0,+\infty \right)\to R$，

(i) $T_{0^{+}}^{\alpha }\left(gh\right)=g{T}_{0^{+}}^{\alpha }\left(h\right)+h{T}_{0^{+}}^{\alpha }\left(g\right)$。

(ii) $T_{0^{+}}^{\alpha }\left(\frac{g}{h}\right)=\frac{h{T}_{0^{+}}^{\alpha }\left(g\right)-g{T}_{0^{+}}^{\alpha }\left(h\right)}{h^2}$。

(iii) $T_{0^{+}}^{\alpha }\left(h\circ g\right)=T_{0^{+}}^{\alpha }h\left(g\left(t\right)\right)T_{0^{+}}^{\alpha }\left(g\right)$。

然而，我们从文章中推断出 [4] [7] [8] ，由Khalil等人提出的“Conformable分数阶导数”满足上述性质，

设 $\alpha \in \left(0,1\right]$。对于 $h:\left[0,+\infty \right)\to R$，Conformable分数阶导数定义为

$\left(T_{\alpha }f\right)\left(t\right)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{f\left(t+\epsilon t^{1-\alpha }\right)-f\left(t\right)}{\epsilon }$, $t>0$,

其中 $T_{\alpha }$表示 $\alpha$阶Conformable分数阶导数算子。高阶Conformable分数阶导数也在 [4] 中建立。2015年，Abdeljawad [7] 进一步研究了分数阶导数和积分，得到了许多性质的证明，包括链式法则和拉普拉斯变换等。更多结论，我们参考 [8] - [10] 。

算子半群理论是研究发展方程的一个有利工具，运用算子半群性质，可以把抽象发展方程对应的定解问题转化为与之等价的积分方程，进而利用非线性泛函分析的方法和抽象空间的常微分方程理论来研究发展方程。关于算子半群理论的更多应用，可以参考文献 [11] - [13] 。

2019年，何家维等 [14] 运用cosine族理论以及凝聚不动点定理研究 $\alpha \in \left(1,2\right)$阶发展包含

$\{\begin{array}{l}{}^{C}D{}_{0^{+}}^{\alpha }x\left(t\right)\in Ax\left(t\right)+F\left(t,\bar{x}\left(t\right)\right),t\in J,\\ x\left(t\right)+g\left(t\right)=x_0,x^{\prime }\left(0\right)=x_1\end{array}$ (1.1)

mild解的存在性以及解集的紧性，其中g是全连续的非局部函数。

2020年，项乔敏等 [15] 在非紧半群下，利用Hausdorff非紧性测度与等度连续模定义的新的非紧性测度证明了时滞发展包含

$\{\begin{array}{l}{}^C{D}_t^{q}x\left(t\right)\in Ax\left(t\right)+F\left(t,x\left(t\right),x_t\right)+Bu\left(t\right),t\in J:=\left[0,b\right],q\in \left(0,1\right)\\ x\left(t\right)=\phi \left(t\right),t\in \left[-r,0\right]\end{array}$ (1.2)

mild解的存在性及近似可控性，并将结果推广到了非局部的情形，其中 ${}^C{D}_t^q$是Caputo型分数阶导数， $A:D\left(A\right)\subset X\to X$是稠定闭线性算子且生成了非紧半群 $\left\{S\left(t\right),t\ge 0\right\}$。

受上述文献的启发，本文研究Banach空间X中分数阶发展包含

$\{\begin{array}{l}{T}_{\alpha }x\left(t\right)\in Ax\left(t\right)+B\left(t,x\left(t\right)\right)u\left(t\right)+F\left(t,x\left(t\right)\right),t\in J:=\left(0,b\right],\\ x\left(0\right)=x_0,\end{array}$ (1.3)

的mild解的存在性和解集的紧性。其中 $T_{\alpha }$表示 $\alpha \in \left(0,1\right]$阶Conformable型分数阶导数。 $x\left(t\right)$取值于自反的Banach空间X，控制函数 $u\left(t\right)$在另一个可分的自反Banach空间Y中取值。 $A:D\left(A\right)\subset X\to X$生成X中的强连续半群 ${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$， $B:J\times X\to L\left(Y,X\right)$且 $F:J\times X\to 2^X\backslash \{\varnothing \}$是非空有界闭凸值的多值映射。

以往证明发展方程解的存在性，选用的是著名的Banach不动点定理，Brouwer不动点定理等，本文选用凝聚映射的不动点定理，这也是本文选择分数阶微分包含解的证明方法的新颖性，通过定义一个集值映射，将分数阶发展包含mild解的存在性与集值映射的不动点结合起来，即主要通过证明集值映射的凸性和紧性，是闭的且 ${\chi }_C$-凝聚的，证明了分数阶微分包含(1.3)解的存在性，在此基础上，只需要证明解集的有界性，就可以得到分数阶微分包含(1.3)解集的紧性。在证明过程中，还引进了Hausdorff非紧性测度，此不动点定理为我们证明分数阶微分包含解的存在性与解集的紧性提供了很好的思路。另外，Banach不动点定理也是此类问题常用的不动点定理，也是最重要、最基础的不动点定理，它不仅给出了不动点的存在性，保证了不动点的唯一性，而且还提供了逼近不动点的步骤，这使得很多求解问题变得简单。但是Banach不动点定理的应用需要满足一定的条件，即映射必须是压缩映射，这意味这不是所有的映射都可以应用这个定理，这限制了它的适用范围。Brouwer不动点定理也是研究方程解的存在性与唯一性理论的重要工具之一。该定理在无穷维的情况下不成立，这是因为在无穷维的情况下，即使是连续映射也可能没有不动点。Brouwer不动点定理在有限维的情况下断言：从有限维欧氏空间中的紧凸集到自身的任意连续映射具有不动点。然而，在无穷维的情况下，由于空间的性质发生了变化，这个定理不再适用。

在本文中，用 $P\left(X\right)$ $\left[P_{cl}\left(X\right),P_b\left(X\right),P_{cv}\left(X\right),P_{\left(w\right)cp}\left(X\right)\right]$表示X的所有非空[分别非空闭的，非空有界的，非空凸的，非空(弱)紧的]子集构成的集合。 $O_X\left(x,r\right)$表示中心为 $x\in X$和半径 $r>0$的开球。

设X是自反的Banach空间。 $C\left(J,X\right)$是定义于J的X值连续函数之集按范数 ${\Vert x\Vert }_C=\underset{t\in J}{\sup }\Vert x\left(t\right)\Vert$构成的Banach空间。 $L^p\left(J,X\right)$ $\left(p\ge 1\right)$为J上的X值p方Bochner可积函数按范数 ${\left({\displaystyle {\int }_0^b{\Vert f\left(t\right)\Vert }^p\text{d}t}\right)}^{\frac{1}{p}}$构成的Banach空间。不失一般性，我们总假设存在常数 $M>0$使得 $\underset{t\in J}{\sup }\Vert S\left(t\right)\Vert \le M$。设Y为可分的自反的Banach空间，其范数定义为 $\Vert \cdot \Vert$，控制函数 $u\left(t\right)$在Y中取值， $L\left(Y,X\right)$为Y到X的有界线性算子全体构成的Banach空间。

定义2.1 [4] [7] [8] 设 $\alpha \in \left(n,n+1\right]$， $f:\left[0,\infty \right)\to R$。f的Conformable分数阶导数可定义为

$T_{\alpha }\left(f\right)\left(t\right)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{f^{\left(\left[n\right]-1\right)}\left(t+\epsilon t^{\left[n\right]-\alpha }\right)-f^{\left(\left[n\right]-1\right)}\left(t\right)}{\epsilon }$, $t>0$,

其中 $\left[n\right]$表示大于等于 $\alpha$的最小整数。特别地，当 $\alpha \in \left(0,1\right]$时，有

$T_{\alpha }\left(f\right)\left(t\right)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{f\left(t+\epsilon t^{1-\alpha }\right)-f\left(t\right)}{\epsilon }$, $t>0$.

关于Conformable分数阶导数，我们有如下的引理。

引理2.1 [4] [7] [8] 假设 $\alpha \in \left(0,1\right]$或者 $\alpha \in \left(n,n+1\right]$， $n\in N$和 $f,g$在 $t>0$处可微。则

(1) $T_{\alpha }\left(af+bg\right)=a{T}_{\alpha }\left(f\right)+b{T}_{\alpha }\left(g\right)$， $\forall a,b\in R$；

(2) $T_{\alpha }\left(t^p\right)=p{t}^{p-\alpha }$， $\forall p\in R$；

(3) $T_{\alpha }\left(\lambda \right)=0$， $\forall \lambda \in R$；

(4) $T_{\alpha }\left(fg\right)=f{T}_{\alpha }\left(g\right)+g{T}_{\alpha }\left(f\right)$；

(5) $T_{\alpha }\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{g{T}_{\alpha }\left(f\right)-f{T}_{\alpha }\left(g\right)}{g^2}$；

(6) $T_{\alpha }\left(f\right)\left(t\right)=t^{1-\alpha }\frac{\text{d}f}{\text{d}t}\left(t\right)$。

定义2.2 [7] 设 $\alpha \in \left(n,n+1\right]$，函数f的 $\alpha$阶分数阶积分定义为

$I^{\alpha }f\left(t\right)=\frac{1}{n!}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^n{s}^{\alpha -n-1}f\left(s\right)\text{d}s}$.

定义2.3 [11] [12] 设X是Banach空间。 $L\left(X\right)$表示X中线性有界算子全体构成的Banach空间。若 $T:\left[0,+\infty \right)\to L\left(X\right)$为算子函数，满足：

(i) $T\left(0\right)=I$ (I表示X上的恒等算子)；

(ii) 半群性质，i.e.，对 $\forall t,s\in \left[0,+\infty \right)$， $T\left(t+s\right)=T\left(t\right)T\left(s\right)$；

(iii) 强连续性，i.e.，对每一个 $x\in X$都有 $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }T\left(t\right)x=x$；

则称 ${\left\{T\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$为X上的一个强连续半群，也称 $C_0$-半群。

定义2.4 [11] [12] 设 ${\left\{T\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$是Banach空间X上的一个 $C_0$-半群，则线性算子

$Ax=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{T\left(t\right)x-x}{t}$, $D\left(A\right)=\left\{x\in X:\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{T\left(t\right)x-x}{t}存在\right\}$,

称为 ${\left\{T\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$的无穷小生成元，简称为生成元。

定义2.5 [11] [12] 设 ${\left\{T\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$是Banach空间X上的一个 $C_0$-半群。若 $t>t_0>0$时， $T\left(t\right)$为紧算子， $T\left(t\right)$为紧算子，则称 $T\left(t\right)$是 $t>t_0$的紧半群。若 $T\left(t\right)$是 $t>0$的紧半群，则称 $T\left(t\right)$是紧半群。

定义2.6 [16] 设X是Banach空间。映射 $\beta :P_b\left(X\right)\to R^{+}$称为空间X中的非紧性测度(MNC，简写)，如果对每个 $\Omega \in P_b\left(X\right)$， $\beta \left(\overline{co}\Omega \right)=\beta \left(\Omega \right)$。

特别地，一个非紧性测度 $\beta$称为：

(i) 单调的，如果 ${\Omega }_1,{\Omega }_2\in P_b\left(X\right)$， ${\Omega }_1\subseteq {\Omega }_2$得到 $\beta \left({\Omega }_1\right)\le \beta \left({\Omega }_2\right)$；

(ii) 非奇异的，如果对每个 $a\in X$， $\Omega \in P_b\left(X\right)$， $\beta \left(\left\{a\right\}\cup \Omega \right)=\beta \left(\Omega \right)$；

(iii) 正则性，如果 $\beta \left(\Omega \right)=0$则等价于 $\Omega$是相对紧的。

显然， $C\left(J,X\right)$空间中的有界子集 $\Omega$的Hausdorff MNC可以写成如下形式

${\chi }_C\left(\Omega \right)=\frac{1}{2}\underset{\delta \to 0}{\lim }\underset{x\in \Omega }{\sup }\underset{\left|t_1-t_2\right|\le \delta }{\max }\Vert x\left(t_1\right)-x\left(t_2\right)\Vert$.

这一数量关系称为 $\Omega \subset C\left(J,X\right)$中的等度连续模且它具有定义2.3中的所有性质。

定义2.7 [16] 设 $F:X\to P\left(X\right)$为集值函数，如果对任意的 $x\in X$，存在 $\sigma >0$使得集合 $\underset{y\in O_x\left(x,\sigma \right)}{\cup }F\left(y\right)$ 关于弱拓扑w是相对紧的，则称F是局部弱紧的。

引理2.2 [16] 设 $\Omega$是X的闭凸子集，且 $F:\Omega \to P_{cp}\left(\Omega \right)$是闭的 $\beta$-凝聚的。如果对每个不是相对紧的集合 $\Omega \subseteq X$有 $\beta \left(F\left(\Omega \right)\right)\cancel{\ge }\beta \left(\Omega \right)$。

定义2.8 [16] 若 $\Omega$是X的闭凸子集，且 $F:\Omega \to P_{cv,cp}\left(\Omega \right)$是闭的 $\beta$-凝聚多值映射，其中 $\beta$是定义在 $\Omega$中的非奇异MNC，则 $FixF:=\left\{x\in \Omega :x\in F\left(x\right)\right\}\ne \varnothing$。

引理2.3 [16] 设 $\Omega$是Banach空间X的闭子集，且 $F:D\to P_{cp}\left(X\right)$是一个闭值映射，对于集合D中的每个子集，它是 $\beta$-凝聚的，其中 $\beta$在X中是MNC单调的。若 $FixF$是有界的，则它是紧的。

引理2.4 [17] 设 $F:X\to P\left(X\right)$是强弱闭凸的(i.e.，若 $x_n\to x$在X中和 $f_n\to f$弱收敛在Y中关于 $f_n\in F\left(x_n\right)$，则 $f\in F\left(x\right)$)局部弱紧多值映射。则F从X映射到 $Y_w$中是u.s.c.的。

引理2.5 [18] (Arzela-Ascoli定理)集合 $D\subset C\left(J,X\right)$相对紧 $\iff$D是一致有界且等度连续的，并且对任意的 $t\in J$， $D\left(t\right)$在X中相对紧。

引理2.6 [19] (Bellman不等式)设K为非负常数， $f\left(t\right)$和 $g\left(t\right)$为区间 $\alpha \le t\le \beta$上的非负连续函数，且满足不等式

$f\left(t\right)\le K+{\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(s\right)g\left(s\right)\text{d}s}$, $\alpha \le t\le \beta$,

则有

$f\left(t\right)\le K\exp \left({\displaystyle {\int }_0^{t}g\left(s\right)\text{d}s}\right)$.

定义2.9 [20] 若函数 $x\in C\left(J,X\right)$满足

(i) $x\left(0\right)=x_0$，

(ii) 存在 $f\in L^p\left(J,X\right)$， $f\left(t\right)\in F\left(t,x\left(t\right)\right)$，使得

$x\left(t\right)=S\left(\frac{t^{\alpha }}{\alpha }\right)x_0+{\displaystyle {\int }_0^t{s}^{\alpha -1}S\left(\frac{t^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)\left[B\left(s,x\left(s\right)\right)u\left(s\right)+f\left(s\right)\right]\text{d}s}$, $t\in J$, (2.1)

则称x是Cauchy问题(1.3)的mild解。

本节我们引入如下假设条件：

(HA)算子A生成一个紧半群 $\left\{S\left(t\right),t\ge 0\right\}$。

(HB)₁映射 $B:J\times X\to L\left(Y,X\right)$使得

(1) 对任意的 $x\in X$，映射 $t\mapsto B\left(t,x\right)$是可测的；

(2) 对 $a.e.t\in J$，映射 $x\mapsto B\left(t,x\right)$是连续的；

(3) 存在一个函数 $a_1\in L^{\infty }\left(J,R^{+}\right)$使得

$\Vert B\left(t,x\right)\Vert \le a_1\left(t\right)$, $a.e.t\in J$.

(HF)₁集值映射 $F:J\times X\to P_{cl,cv}\left(X\right)$使得：

(1) 对任意的 $x\in X$， $t\to F\left(t,x\right)$是可测的；

(2) 对 $a.e.t\in J$， $F\left(t,\cdot \right)$有一个强–弱闭图；

(3) 存在一个常数 $c_2>0$和一个函数 $a_{\text{2}}\in L^p\left(J,R^{+}\right)\left(p>\frac{1}{\alpha }\right)$使得

$\Vert F\left(t,x\right)\Vert :=\sup \left\{\Vert f\Vert :f\in F\left(t,x\right)\right\}\le a_2\left(t\right)+c_2\Vert x\Vert$,

$a.e.t\in J$, $\forall x\in X$.

注1 集值映射 $F:J\times X\to P\left(X\right)$使得，对 $a.e.t\in J$， $F\left(t,\cdot \right):X\to P\left(X\right)$有一个强–弱闭图且满足假设条件(HF)(3)，关于第二变量从X到 $X_w$是上半连续的。事实上，由假设条件(HF) (3)和Banach空间X的自反性知，对于 $a.e.t\in J$，集值映射 $F\left(t,\cdot \right)$是局部弱紧的，从而由引理2.2知，集值映射 $F\left(t,\cdot \right)$关于第二个变量从X到 $X_w$是上半连续的。

由假设条件(HF) (1)~(3)和注1，合成集值算子：

$N_F^p:C\left(J,X\right)\to P\left(L^p\left(J,X\right)\right)$,

$N_F^p\left(x\right)=\left\{f\in L^p\left(J,X\right):f\left(t\right)\in F\left(t,x\left(t\right)\right)a.e.t\in J\right\}$

是有定义的(见文献 [21] )。

问题(1.3)所有mild解组成的集合定义为

$\Psi \left(x\right)=\left\{x\in C\left(J,X\right):x\left(t\right)=S\left(\frac{t^{\alpha }}{\alpha }\right)x_0+{\displaystyle {\int }_0^t{s}^{\alpha -1}}S\left(\frac{t^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)\left[B\left(s,x\left(x\right)\right)u\left(s\right)+f\left(s\right)\right]\text{d}s\right\}$.

定理3.1 给定一个控制函数 $u\in L^p\left(J,Y\right)\left(p>\frac{1}{\alpha }\right)$，如果假设条件(HA)，(HB)，(HF)成立，则问题(1.3)的mild解集 $\Psi \left(x\right)$是非空的且在空间 $C\left(J,X\right)$上是紧的。

证明：根据问题(1.3)mild解的基本定义(见定义2.9)，定义集值映射 $Q:C\left(J,X\right)\to P\left(C\left(J,X\right)\right)$如下：

$Q\left(x\right)=\left\{y\in C\left(J,X\right):y\left(t\right)=S\left(\frac{t^{\alpha }}{\alpha }\right)x_0+{\displaystyle {\int }_0^t{s}^{\alpha -1}}S\left(\frac{t^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)\left[B\left(s,x\left(x\right)\right)u\left(s\right)+f\left(s\right)\right]\text{d}s\right\}$ (3.1)

其中 $f\in N_F^p\left(x\right)$。根据算子Q的定义，建立mild解集 $\Psi \left(x\right)$的非空性和紧性等价于不动点集合Q的非空性和紧性。为此，考虑算子Q在Banach空间 $C\left(J,X\right)$上赋予加权函数 ${\Vert x\Vert }_C^{\ast }=\underset{t\in J}{\sup }{\text{e}}^{\lambda t}\Vert x\Vert$的情况，其中 $\lambda$足够大使得

$\lambda >\frac{{\left(M{c}_2\right)}^p{\left(\frac{p-1}{p\alpha -1}\right)}^{p-1}{b}^{\alpha p-1}}{p}$, (3.2)

且将证明的主要步骤分成以下五步：

第一步：对于每一个 $x\in C\left(J,X\right)$，有 $Q\left(x\right)\in P_{cv,cp}\left(C\left(J,X\right)\right)$。

显然，对任意的 $x\in C\left(J,X\right)$，由 $N_F^p$的凸性知 $Q\left(x\right)$是凸的。接下来需要验证 $Q\left(x\right)$的紧性。首先，对于任意的 $x\in C\left(J,X\right)$，可以找到 $f\in N_F^p$使得

$y\left(t\right)=S\left(\frac{t^{\alpha }}{\alpha }\right)x_0+{\displaystyle {\int }_0^t{s}^{\alpha -1}S\left(\frac{t^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)}\left[B\left(s,x\left(s\right)\right)u\left(s\right)+f\left(s\right)\right]\text{d}s,t\in J$.

由条件(HB) (3)，(HF) (3)及Hölder不等式，有

$\begin{array}{c}\Vert y\left(t\right)\Vert \le \Vert S\left(\frac{t^{\alpha }}{\alpha }\right)x_0\Vert +{\displaystyle {\int }_0^t{s}^{\alpha -1}\Vert S\left(\frac{t^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)\Vert }\left(\Vert B\left(s,x\left(s\right)\right)u\left(s\right)\Vert +\Vert f\left(s\right)\Vert \right)\text{d}s\\ \le M\Vert x_0\Vert +M{\displaystyle {\int }_0^t{s}^{\alpha -1}\left(a_1\left(s\right)\Vert u\left(s\right)\Vert +a_2\left(s\right)+c_2\Vert x\Vert \right)\text{d}s}\\ \le M\Vert x_0\Vert +M{\displaystyle {\int }_0^t{s}^{\alpha -1}\left(a_1\left(s\right)\Vert u\left(s\right)\Vert +a_2\left(s\right)+c_2{\text{e}}^{-\lambda s}{\text{e}}^{\lambda s}\Vert x\left(s\right)\Vert \right)\text{d}s}\\ \le M\Vert x_0\Vert +M{b}^{\alpha -\frac{1}{p}}{\left(\frac{p-1}{p\alpha -1}\right)}^{1-\frac{1}{p}}\left({\Vert a_1\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert u\Vert }_{L^p}+{\Vert a_2\Vert }_{L^p}\right)+\frac{M{c}_2{b}^{\alpha }{\Vert x\Vert }_C^{\ast }}{\alpha }.\end{array}$

这意味着 $Q\left(x\right)$对于每一个 $x\in C\left(J,X\right)$在 $C\left(J,X\right)$上是有界的。同时，下证 $Q\left(x\right)$对任意的 $x\in C\left(J,X\right)$是一族等度连续函数。为此，讨论下面两种情形。

情形(I)：若 $t_1=0$且 $0<t_2\le {\epsilon }_0$， ${\epsilon }_{\text{0}}>0$足够小，则由Hölder不等式和 $S\left(t\right)$的紧性可得

$\begin{array}{l}\Vert y\left(t_2\right)-y\left(t_1\right)\Vert \\ \le \Vert \left(S\left(\frac{t_2^{\alpha }}{\alpha }\right)-I\right)x_0\Vert +{\displaystyle {\int }_0^{t_2}{s}^{\alpha -1}}\Vert S\left(\frac{t_2^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)\Vert \left(\Vert B\left(s,x\left(s\right)\right)u\left(s\right)\Vert +\Vert f\left(s\right)\Vert \right)\text{d}s\\ \le \Vert \left(S\left(\frac{t_2^{\alpha }}{\alpha }\right)-I\right)x_0\Vert +M{t}_2^{\alpha -\frac{1}{p}}{\left(\frac{p-1}{p\alpha -1}\right)}^{1-\frac{1}{p}}\left({\Vert a_1\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert u\Vert }_{L^p}+{\Vert a_2\Vert }_{L^p}\right)+\frac{M{c}_2{\Vert x\Vert }_C^{\ast }{t}_2^{\alpha }}{\alpha },\end{array}$

这表明当 $0<t_2\le {\epsilon }_0\to 0$时， $\Vert y\left(t_2\right)-y\left(t_1\right)\Vert$时一致地趋向于零。

情形(II)：若 $\frac{{\epsilon }_0}{2}<t_1<t_2\le b$，其中 ${\epsilon }_{\text{0}}>0$足够小，则

$\begin{array}{l}\Vert y\left(t_2\right)-y\left(t_1\right)\Vert \\ \le \Vert S\left(\frac{t_2^{\alpha }}{\alpha }\right)x_{\text{0}}-S\left(\frac{t_1^{\alpha }}{\alpha }\right)x_0\Vert +\Vert {\displaystyle {\int }_0^{t_2}{s}^{\alpha -1}}S\left(\frac{t_{\text{2}}^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)\left[B\left(s,x\left(s\right)\right)u\left(s\right)+f\left(s\right)\right]\text{d}s\Vert \\ -\Vert {\displaystyle {\int }_0^{t_{\text{1}}}{s}^{\alpha -1}}S\left(\frac{t_{\text{1}}^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)\left[B\left(s,x\left(s\right)\right)u\left(s\right)+f\left(s\right)\right]\Vert \\ \le \Vert S\left(\frac{t_2^{\alpha }}{\alpha }\right)x_0-S\left(\frac{t_1^{\alpha }}{\alpha }\right)x_0\Vert +\Vert {\displaystyle {\int }_0^{t_1}{s}^{\alpha -1}\left[S\left(\frac{t_2^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)-S\left(\frac{t_1^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)\right]}-\left[B\left(s,x\left(s\right)\right)u\left(s\right)+f\left(s\right)\right]ds\Vert \\ +\Vert {\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{s}^{\alpha -1}}S\left(\frac{t_2^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)\left[B\left(s,x\left(s\right)\right)u\left(s\right)+f\left(s\right)\right]\Vert \\ :={\Lambda }_1+{\Lambda }_2+{\Lambda }_3\end{array}$

$\begin{array}{c}{\Lambda }_2\le {\displaystyle {\int }_0^{t_1-\delta }{s}^{\alpha -1}\Vert S\left(\frac{t_2^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)-S\left(\frac{t_1^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)\Vert }\left(\Vert B\left(s,x\left(s\right)\right)u\left(s\right)\Vert +\Vert f\left(s\right)\Vert \right)\text{d}s\\ +{\displaystyle {\int }_{t_1-\delta }^{t_1}{s}^{\alpha -1}\Vert S\left(\frac{t_2^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)-S\left(\frac{t_1^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)\Vert }\left(\Vert B\left(s,x\left(s\right)\right)u\left(s\right)\Vert +\Vert f\left(s\right)\Vert \right)\text{d}s\\ \le \underset{s\in \left[0,t_1-\delta \right]}{\sup }\Vert S\left(\frac{t_2^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)-S\left(\frac{t_1^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)\Vert \left[{\left(\frac{p-1}{p\alpha -1}\right)}^{1-\frac{1}{p}}\left({\Vert a_1\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert u\Vert }_{L^p}+{\Vert a_2\Vert }_{L^p}\right)\times {\left(t_1-\delta \right)}_{}^{\alpha -\frac{1}{p}}+\frac{c_2{\Vert x\Vert }_C^{\ast }}{\alpha }{\left(t_1-\delta \right)}_{}^{\alpha }\right]\\ \text{+2}M{\left(\frac{p-1}{p\alpha -1}\right)}^{1-\frac{1}{p}}\left({\Vert a_1\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert u\Vert }_{L^p}+{\Vert a_2\Vert }_{L^p}\right)\left(t_1^{\alpha -\frac{1}{p}}-{\left(t_1-\delta \right)}_{}^{\alpha -\frac{1}{p}}\right)+\frac{2M{c}_2{\Vert x\Vert }_C^{\ast }}{\alpha }\left(t_1^{\alpha }-{\left(t_1-\delta \right)}^{\alpha }\right)\end{array}$

${\Lambda }_{\text{3}}\le M{\left(\frac{p-1}{p\alpha -1}\right)}^{1-\frac{1}{p}}\left({\Vert a_1\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert u\Vert }_{L^p}+{\Vert a_2\Vert }_{L^p}\right)\left(t_{\text{2}}^{\alpha -\frac{1}{p}}-t_1{}^{\alpha -\frac{1}{p}}\right)+\frac{M{c}_2{\Vert x\Vert }_C^{\ast }}{\alpha }\left(t_2^{\alpha }-t_1^{\alpha }\right)$.

由于 $S\left(\frac{t^{\alpha }}{\alpha }\right)$是强连续的，所以

$\Vert S\left(\frac{t_2^{\alpha }}{\alpha }\right)x_0-S\left(\frac{t_1^{\alpha }}{\alpha }\right)x_0\Vert \to 0,\left(t_2-t_1\to 0\right)$.

所以 ${\Lambda }_1\to 0$。再结合估计式 ${\Lambda }_{\text{2}}$， ${\Lambda }_{\text{3}}$，可见当 $t_2\to t_1$及 $\delta \to \text{0}$时， $\Vert y\left(t_2\right)-y\left(t_1\right)\Vert$一致地趋于零。因此，可以得出集合 $Q\left(x\right)$在 $C\left(J,X\right)$上是等度连续的。另外，需要证明 $E\left(t\right):=\left\{y\left(t\right):y\in Q\left(x\right),x\in C\left(J,X\right)\right\}$在X上是相对紧的。若 $t=0$，有 $E\left(0\right):=\left\{y\left(0\right):y\in Q\left(x\right),x\in C\left(J,X\right)\right\}=\left\{x_0\right\}$相对紧。固定 $0<t\le b$，对任意的 $\delta \in \left(0,t\right)$和 $\epsilon >0$，定义

$Q_{\delta ,\epsilon }\left(x\right)=\left\{y_{\delta ,\epsilon }\in C\left(J,X\right):y_{\delta ,\epsilon }\left(t\right)=S\left(\frac{t^{\alpha }}{\alpha }\right)x_0+{\displaystyle {\int }_0^{t-\epsilon }{s}^{\alpha -1}}S\left(\frac{t^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)\left[B\left(s,x\left(s\right)\right)u\left(s\right)+f\left(s\right)\right]\text{d}s\right\}$

其中 $f\in N_F^p\left(x\right)$。

则对任意的 $y_{\delta ,\epsilon }\in Q_{\delta ,\epsilon }\left(x\right)$，有

$\begin{array}{c}{y}_{\delta ,\epsilon }\left(t\right)=S\left(\frac{t^{\alpha }}{\alpha }\right)x_0+{\displaystyle {\int }_0^{t-\epsilon }{s}^{\alpha -1}S\left(\frac{t^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)\left[B\left(s,x\left(s\right)\right)u\left(s\right)+f\left(s\right)\right]\text{d}s}\\ =S\left(\frac{t^{\alpha }}{\alpha }\right)x_0+S\left(\frac{{\epsilon }^{\alpha }}{\alpha }\right){\displaystyle {\int }_0^{t-\epsilon }{s}^{\alpha -1}S\left(\frac{t^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }-\frac{{\epsilon }^{\alpha }}{\alpha }\right)\left[B\left(s,x\left(s\right)\right)u\left(s\right)+f\left(s\right)\right]\text{d}s}\end{array}$

由 $S\left(\frac{{\epsilon }^{\alpha }}{\alpha }\right)$的紧性可知，集合 $E_{\delta ,\epsilon }\left(t\right):=\left\{y_{\delta ,\epsilon }\left(t\right):y\in Q_{\delta ,\epsilon }\left(x\right)\right\}$在X上是相对紧的。

进一步，对任意的 $y\in Q\left(x\right)$，有

$\begin{array}{l}\Vert y\left(t\right)-y_{\delta ,\epsilon }\left(t\right)\Vert \\ =\Vert {\displaystyle {\int }_0^t{s}^{\alpha -1}}S\left(\frac{t^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)\left[B\left(s,x\left(s\right)\right)u\left(s\right)+f\left(s\right)\right]\text{d}s-{\displaystyle {\int }_{\text{0}}^{t-\epsilon }{s}^{\alpha -1}S\left(\frac{t^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)\left[B\left(s,x\left(s\right)\right)u\left(s\right)+f\left(s\right)\right]\text{d}s}\Vert \\ \le {\displaystyle {\int }_{t-\epsilon }^t{s}^{\alpha -1}}\Vert S\left(\frac{t^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)\Vert \left(\Vert B\left(s,x\left(s\right)\right)u\left(s\right)\Vert +\Vert f\left(s\right)\Vert \right)\text{d}s\end{array}$

$\begin{array}{l}\le M{\displaystyle {\int }_{t-\epsilon }^t{s}^{\alpha -1}\left(a_1\left(s\right)\Vert u\left(s\right)\Vert +a_2\left(s\right)+c_2\Vert x\Vert \right)\text{d}s}\\ \le M\left(t^{\alpha -\frac{1}{p}}-{\left(t-\epsilon \right)}_{}^{\alpha -\frac{1}{p}}\right){\left(\frac{p-1}{p\alpha -1}\right)}^{1-\frac{1}{p}}\left({\Vert a_1\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert u\Vert }_{L^p}+{\Vert a_2\Vert }_{L^p}\right)+\frac{M{c}_2{\Vert x\Vert }_C^{\ast }\left(t^{\alpha }-{\left(t-\epsilon \right)}^{\alpha }\right)}{\alpha }\\ \to 0,\epsilon \to 0.\end{array}$

因此，集合 $E\left(t\right)$在X上是相对紧的。于是，由Ascoli-Arzela定理可知， $Q\left(x\right)$对每一个 $x\in C\left(J,X\right)$是相对紧的。最后，为了完成这一步的证明，还需要验证 $Q\left(x\right)$是一个闭集。为此，假设序列 ${\left\{y_n\right\}}_{n\ge 1}\subset Q\left(x\right)$且 $y_n\to y,n\to \infty$。由序列 ${\left\{y_n\right\}}_{n\ge 1}\subset Q\left(x\right)$知存在一个序列 ${\left\{f_n\right\}}_{n\ge 1}\in N_F^p\left(x\right)$使得

$y_n\left(t\right)=S\left(\frac{t^{\alpha }}{\alpha }\right)x_0+{\displaystyle {\int }_0^t{s}^{\alpha -1}S\left(\frac{t^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)\left[B\left(s,x\left(s\right)\right)u\left(s\right)+f_n\left(s\right)\right]\text{d}s}$, $t\in J$.

由假设条件(HF)(3)，序列 ${\left\{f_n\right\}}_{n\ge 1}\subset L^p\left(J,X\right)$是弱相对紧的。从而，可假设在 $L^p\left(J,X\right)$中， $f_n\stackrel{弱}{\to }f\in N_F^p\left(x\right)$，其中 $f\in N_F^p\left(x\right)$由 $N_F^p$的上半连续性而得。

另一方面， $S\left(\frac{t^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)$对于 $t>0$的紧性意味着

$y_n\left(t\right)\to S\left(\frac{t^{\alpha }}{\alpha }\right)x_0+{\displaystyle {\int }_0^t{s}^{\alpha -1}S\left(\frac{t^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)\left[B\left(s,x\left(s\right)\right)u\left(s\right)+f\left(s\right)\right]\text{d}s}$.

这表明 $y\in Q\left(x\right)$，即 $Q\left(x\right)$是一个闭集。由上面的证明就得到了 $Q\left(x\right)\in P_{cv,cp}\left(C\left(J,X\right)\right)$。

第二步：Q是一个闭集值映射。

设在空间 $C\left(J,X\right)$上， $x_n\to x_{\ast }$且 $y_n\to y_{\ast }$以及 $y_n\in Q\left(x_n\right)$。事实上，由 $y_n\in Q\left(x_n\right)$可知存在 $f_n\in N_F^p\left(x_n\right)$使得

$y_n\left(t\right)=S\left(\frac{t^{\alpha }}{\alpha }\right)x_0+{\displaystyle {\int }_0^t{s}^{\alpha -1}S\left(\frac{t^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)\left[B\left(s,x_n\left(s\right)\right)u\left(s\right)+f_n\left(s\right)\right]\text{d}s}$.(3.3)

由假设条件(HF) (3)，可得 ${\left\{f_n\right\}}_{n\ge 1}$在 $L^p\left(J,X\right)$上是有界的。因此，可以假设

在 $L^p\left(J,X\right)$中， $f_n\stackrel{弱}{\to }{f}_{\ast }$。(3.4)

由(3.3)式，(3.4)式以及 $S\left(\frac{t^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)$的紧性，可得

$y_n\left(t\right)\to S\left(\frac{t^{\alpha }}{\alpha }\right)x_0+{\displaystyle {\int }_0^t{s}^{\alpha -1}S\left(\frac{t^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)\left[B\left(s,x_{\ast }\left(s\right)\right)u\left(s\right)+f_{\ast }\left(s\right)\right]\text{d}s}$.(3.5)

由于在空间 $C\left(J,X\right)$上 $y_n\to y_{\ast }$且 $f_n\in N_F^p\left(x_n\right)$，则由假设(HF)(2)和(3.5)式，得到 $f_{\ast }\in N_F^p\left(x_{\ast }\right)$。因此，就证明了 $y_{\ast }\in Q\left(x_{\ast }\right)$，该步的证明完成。

第三步：Q是 ${\chi }_C$-凝聚的。

反设 $D\in P_b\left(C\left(J,X\right)\right)$不是 $C\left(J,X\right)$上的相对紧子集，使得 ${\chi }_C\left(D\right)\le {\chi }_C\left(Q\left(D\right)\right)$。由于 $D\subset C\left(J,X\right)$是一个有界集，则由类似于第一步的证明，容易验证 $Q\left(D\right)$是相对紧的，即 ${\chi }_C\left(Q\left(D\right)\right)=0$。因此， ${\chi }_C\left(D\right)\le {\chi }_C\left(Q\left(D\right)\right)=\text{0}$。于是由 ${\chi }_C$的正则性知D是相对紧的，矛盾。所以Q是 ${\chi }_C$-凝聚的。

第四步：存在一个常数 $R>0$使得

$Q\left({\bar{B}}_R\right)\subset {\bar{B}}_R:=\left\{y\in C\left(J,X\right):{\Vert y\Vert }_C^{\ast }\le R\right\}\subset C\left(J,X\right)$.

为了得到这一步的证明，选取

$R>\frac{M\Vert x_0\Vert +M{b}^{\alpha -\frac{1}{p}}{\left(\frac{p-1}{p\alpha -1}\right)}^{1-\frac{1}{p}}\left({\Vert a_1\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert u\Vert }_{L^p}+{\Vert a_2\Vert }_{L^p}\right)}{1-M{c}_2{\left(\frac{p-1}{p\alpha -1}\right)}^{1-\frac{1}{p}}{b}^{\alpha -\frac{1}{p}}{\left(\frac{1}{\lambda p}\right)}^{\frac{1}{p}}}$.

则对任意的 $y\in Q\left(x\right)$，有

$\begin{array}{c}\Vert y\left(t\right)\Vert \le \Vert S\left(\frac{t^{\alpha }}{\alpha }\right)x_0\Vert +{\displaystyle {\int }_0^t{s}^{\alpha -1}}\Vert S\left(\frac{t^{\alpha }-s^{\alpha }}{\alpha }\right)\Vert \left(\Vert B\left(s,x\left(s\right)\right)u\left(s\right)\Vert +\Vert f\left(s\right)\Vert \right)\text{d}s\\ \le M\Vert x_0\Vert +M{b}^{\alpha -\frac{1}{p}}{\left(\frac{p-1}{p\alpha -1}\right)}^{1-\frac{1}{p}}\left({\Vert a_1\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert u\Vert }_{L^p}+{\Vert a_2\Vert }_{L^p}\right)+M{c}_{2}R{\left(\frac{p-1}{p\alpha -1}\right)}^{1-\frac{1}{p}}{b}^{\alpha -\frac{1}{p}}{\left(\frac{1}{\lambda p}\right)}^{\frac{1}{p}}\\ <R.\end{array}$

从而定义2.8的所有条件均被满足。于是由定义2.8可知Q至少有一个不动点。此不动点也是问题(1.3)的一个mild解，即 $\Psi \left(x\right)$是非空的。

第五步：mild解集 $\Psi \left(x\right)$的紧性。

正如之前的证明，将问题(1.3)的mild解集 $\Psi \left(x\right)$与定义在(3.1)式的集值映射 $Q:C\left(J,X\right)\to P_{cl,cv}\left(C\left(J,X\right)\right)$的不动点联系在一起。因此需要验证集合 $FixQ$的紧性。为此只需验证引理2.3的所有条件并用Q代替其中的F即可。