在循环码中，一个(n, k)码有2k个不同的码组。若用g(x)表示生成多项式，其前(k − 1)位皆为“0”，常数项为1，且有唯一的(n − k)次方，则g(x)，x∙g(x)，x²g(x)， $\cdots$，x^k−1g(x)都是符合编码要求的码组，而且这k个码组是线性无关的，它们构成循环码的生成矩阵G，写为

$G\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}{x}^{k-1}\cdot g\left(x\right)\\ \begin{array}{c}{x}^{k-2}\cdot g\left(x\right)\\ ⋮\\ \begin{array}{c}x\cdot g\left(x\right)\\ g\left(x\right)\end{array}\end{array}\end{array}\right]$ (1)

由生成矩阵G可以产生整个码组，即

$\left[a_{n-1}{a}_{n-2}\cdots a_k{a}_{k-1}\cdots a_2{a}_1{a}_0\right]=\left[a_{n-1}{a}_{n-2}\cdots a_k{a}_{k-1}\right]\cdot G$ (2)

上式简写为：

$A=\left[a_{n-1}{a}_{n-2}\cdots a_k{a}_{k-1}\right]\cdot G$ (3)

其中， $\left[a_{n-1}{a}_{n-2}\cdots a_k{a}_{k-1}\right]$为信息码元。具有 $\left[I_{k}Q\right]$的生成矩阵叫做典型生成矩阵 $G=\left[I_{k}Q\right]$，其中 $I_k$为 $k\times k$阶单位方阵。由典型生成矩阵得出的码组A中，信息位的位置不变，监督位附加于其后，这种形式的码称为系统码 [3] 。

循环码的码组除了用 $\left[a_{n-1}{a}_{n-2}\cdots a_k{a}_{k-1}\cdots a_2{a}_1{a}_0\right]$表示，还可以用多项式的系数表示，即把一个长度为n的码组表示成：

$A\left(x\right)=a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+\cdots +a_k{x}^k+a_{k-1}{x}^{k-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ (4)

其中，x是码元位置的标记。多项式的码组可以通过多项式的模N运算得到，其运算法则为：当任意多项式D(x)被一个n次方的多项式N(x)相除时，可以得到一个商的多项式Q(x)和一个最高次方小于n的余数多项式R(x)。即

$\frac{D\left(x\right)}{N\left(x\right)}=Q\left(x\right)+\frac{R\left(x\right)}{N\left(x\right)}$或 $D\left(x\right)=N\left(x\right)\cdot Q\left(x\right)+R\left(x\right)$ (5)

则

$D\left(x\right)\equiv R\left(x\right)\left(模N\left(x\right)\right)$ (6)

在循环码中，若 $A\left(x\right)=a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+\cdots +a_{1}x+a_0$是一个长为n的许用码组，则 $x^i\cdot A\left(x\right)=a_{n-1}{x}^{n-1+i}+a_{n-2}{x}^{n-2+i}+\cdots +a_{n-1-i}{x}^{n-1}+\cdots +a_1{x}^{1+i}+a_0{x}^i$在按模 $\left(x^n+1\right)$运算下，得到的余式 $A^{\prime }\left(x\right)\equiv a_{n-1-i}{x}^{n-1}+a_{n-2-i}{x}^{n-2}+\cdots +a_0{x}^i+a_{n-1}{x}^{i-1}+\cdots +a_{n-i}$也是该编码中的一个许用码组，即

$x^i\cdot A\left(x\right)\equiv A^{\prime }\left(x\right)$模 $\left(x^n+1\right)$ (7)

研究发现， $A^{\prime }\left(x\right)$是 $A\left(x\right)$代表的码组向左循环移位i次的结果 [3] 。

基于以上理论，对给定的信息位编码得到循环码的系统码：设m(x)为信息码多项式，其次数小于k。1) 用 $x^{n-k}$乘m(x)，得到的 $x^{n-k}m\left(x\right)$的次数必定小于n。2) 用g(x)除 $x^{n-k}m\left(x\right)$，得到余式r(x)，其次数必定小于(n − k)。3) 将此余式r(x)加于信息位之后作为监督码，即将r(x)和 $x^{n-k}m\left(x\right)$相加，得到编出的多项式码组 $A\left(x\right)=x^{n-k}m\left(x\right)+r\left(x\right)$。可见，循环码系统码编码的核心就是用除法器求出余式r(x)，然后将r(x)所代表的监督码元附加在信息码元之后，即可完成编码。循环码的译码可以将接收码组用生成多项式g(x)去除，以余项是否为零来判别接收码组中有无错码。

线性分组码 [4] 有一个重要性质——封闭性，是指一种线性码中的任意两个码组之和仍为这种码中的一个码组。也就是说，若码组 $B_1$和 $B_2$是一种线性码中的两个许用码组，即

$B_1\cdot H^{\text{T}}=0$， $B_2\cdot H^{\text{T}}=0$ (8)

H为监督矩阵。将以上俩式相加得

$B_1\cdot H^{\text{T}}+B_2\cdot H^{\text{T}}=\left(B_1+B_2\right)H^{\text{T}}=0$ (9)

所以， $\left(B_1+B_2\right)$也是一个许用码组 [2] 。由于循环码是线性分组码的一个重要子类，其码组既具有线性分组码的封闭性，又具有循环码特有的循环移位性。

在循环码的求解计算中，我们发现得到的生成矩阵G(x)大多数不是典型生成矩阵，不符合 $G=\left[I_{k}Q\right]$的要求，这时候就需要将G(x)化成典型阵，再用 $A=\left[a_{n-1}{a}_{n-2}\cdots a_k{a}_{k-1}\right]\cdot G$，才能得到循环码的系统码。

根据线性分组码的封闭性，我们研究发现一种循环码系统码的创新计算方法——线性变换法。该方法不用将G(x)化成典型阵，也不用代入公式 $A=\left[a_{n-1}{a}_{n-2}\cdots a_k{a}_{k-1}\right]\cdot G$求系统码，而是直接分析生成矩阵G(x)，将G(x)分成两部分 $G=\left[{I^{\prime }}_k{Q}^{\prime }\right]$，通过对 ${I^{\prime }}_k$各行的线性变换得到任意信息位， $Q^{\prime }$同步进行线性变换得到监督位，将线性变换后的信息位 ${I^{\prime }}_k$和监督位 $Q^{\prime }$组合在一起，就得到循环码的系统码。

线性变换法的具体求解步骤为：首先，将 $G\left(x\right)$的k行分别标注为①②……，将G(x)前k列标注为 ${I^{\prime }}_k$，后(n − k)列标注为 $Q^{\prime }$；接着，对 ${I^{\prime }}_k$列，通过对①②……进行线性变换，得到除了信息位全零以外的所有信息位取值；在 ${I^{\prime }}_k$进行线性变换时， $Q^{\prime }$同步进行线性变换，得到新的 $Q^{\prime }$即是信息位对应的监督位；将线性变换后的信息位 ${I^{\prime }}_k$和监督位 $Q^{\prime }$组合在一起，即是循环码的系统码。

具体计算方法举例说明：

题目：已知一个(7,4)循环码的生成多项式 $g\left(x\right)=x^3+x+1$，求循环码的全部码组？

传统的计算方法，将生成多项式 $g\left(x\right)=x^3+x+1$代入公式(1)得

$G\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}{x}^{k-1}\cdot g\left(x\right)\\ \begin{array}{c}{x}^{k-2}\cdot g\left(x\right)\\ ⋮\\ \begin{array}{c}x\cdot g\left(x\right)\\ g\left(x\right)\end{array}\end{array}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}^3\cdot g\left(x\right)\\ x^2\cdot g\left(x\right)\\ x\cdot g\left(x\right)\\ g\left(x\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}^6+x^4+x^3\\ x^5+x^3+x^2\\ x^4+x^2+x\\ x^3+x+1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1011000\\ 0101100\\ 0010110\\ 0001011\end{array}\right]$ (10)

此时，从公式(10)矩形框可以发现 $G\ne \left[I_{k}Q\right]$，它不是典型生成矩阵。接下来，就需要将G(x)化成典型阵。

$\begin{array}{c}①\to \\ ②\to \\ ③\to \\ ④\to \end{array}\left[\begin{array}{c}1011000\\ 0101100\\ 0010110\\ 0001011\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{c}1000101\\ 0101100\\ 0010110\\ 0001011\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{c}1000101\\ 0100111\\ 0010110\\ 0001011\end{array}\right]$ (11)

首先，将G(x)的四行分别标注为①②③④；接着，① + ③ + ④进行线性变换，对应位置的码元模2运算，得到的计算结果放在第一行，如中间矩阵所示；再对中间矩阵的② + ④进行线性变换，对应位置的码元模2运算，得到典型生成矩阵G，从公式(11)矩形框可以看出 $G=\left[I_{k}Q\right]$；最后，将典型生成矩阵代入公式(3)，得到循环码的系统码。由于(7,4)循环码的信息位k = 4，则共有循环码的系统码 $2^4=16$组，如下所示：

0000000、0001011、0010110、0011101、0100111、0101100、0110001、0111010

1000101、1001110、1010011、1011000、1100010、1101001、1110100、1111111

线性变换法的求解方法：首先，将G(x)的四行分别标注为①②③④，将前四列标注为 ${I^{\prime }}_4$，后三列标注为 $Q^{\prime }$；接着，对 ${I^{\prime }}_4$列，通过对①②③④进行线性变换，得到除了信息位0000以外的0001~1111的所有信息位取值；在 ${I^{\prime }}_4$进行线性变换时， $Q^{\prime }$同步进行线性变换，得到新的 $Q^{\prime }$即是信息位对应的监督位；将线性变换后的信息位 ${I^{\prime }}_4$和监督位 $Q^{\prime }$组合在一起，就得到循环码(7,4)的系统码。

$\begin{array}{c}①\to \\ ②\to \\ ③\to \\ ④\to \end{array}\left[\underset{I^{\prime }}{\underset{︸}{\begin{array}{c}1011\\ 0101\\ 0010\\ 0001\end{array}}}\underset{Q^{\prime }}{\underset{︸}{\begin{array}{c}000\\ 100\\ 110\\ 011\end{array}}}\right]$ (12)

具体变换规律：

信息位0000，对应监督位000，不用变换得到系统码0000000；

信息位0001，对应 ${I^{\prime }}_4$的第④行，对应监督位为011，则系统码0001011；

信息位0010，对应 ${I^{\prime }}_4$的第③行，对应监督位为110，则系统码0010110；

信息位0011，对应 ${I^{\prime }}_4$的③ + ④的线性变换，对应监督位为101，则系统码0011101；

信息位0100，对应 ${I^{\prime }}_4$的② + ④的线性变换，对应监督位为111，则系统码0100111；……依次类推，得到循环码信息位、线性变换、监督位和系统码如 表1 所示：

基于以上线性变换法得到循环码系统码，其设计流程图如 图1 所示，仿真开始，初始化定义参数，生成随机信息位；接着定义生成矩阵，检查生成矩阵有效性，需要满足k行、n列；根据信息位长度将生成矩阵分为两部分匹配，对生成矩阵进行线性变换编码，绘制波形图，完成编码过程。要验证编码的正确性，可以进行译码，检验译码输出的序列是否和输入的信息位一致 [5] [6] 。本文采用题目中循环码(7,4)进行MATLAB编译码仿真，得到相应波形如 图2 所示。

图2 是(7,4)循环码的编译码图形， 图2(a) 是循环码的一个原始信息位，横坐标是时间，纵坐标是幅值。从图中可以看出，原始信息位为(1100)。 图2(b) 是经过线性变换编码后生成的系统码，对应t从1到7的系统码为(1100010)，其中，前四位是信息码，后三位是监督码，这和 表1 中信息位(1100)对应的系统(1100010)保持一致。 图2(c) 是译码输出的序列，为(1100)，这和原始信息位相同。 图2(d) 是译码输出的频谱图。循环码的译码输出验证了线性变换编码的正确性。

为了进行性能比较，定义了一些评估标准，并设计实验来收集数据 [7] 。以下是对三种方法进行性能比较：1) 定义评估标准，分别为计算量：执行编码所需的操作数，计算速度：完成编码所需的时间，

计算准确度：编码结果的正确性。2) 设计实验，对比三种方法在不同长度的数据上的性能，在相同的硬件和软件环境下运行三种方法，记录每种方法的运行时间和资源消耗。3) 收集数据，执行实验并收集以下数据，计算量：记录每种方法执行的异或操作数，计算速度：使用MATLAB的tic和toc命令测量运行时间，计算准确度：检查编码结果是否与预期相符。数据结果如 表2 所示。

注：方法1是模N运算法，方法2是公式推导法，方法3是线性变换法。

表2 中，数据长度是输入到编码算法中的数据位数或数据样本的数量，数据长度指定的(100, 1000, 10,000)，用于测试不同方法在不同数据规模下的性能。计算速度通常使用实际测量的时间来完成编码过程。在MATLAB中，可以使用tic和toc命令来测量代码执行所需的时间。{计算速度} = {toc} − {tic}，其中tic在代码执行前调用，开始计时。toc在代码执行后调用，结束计时并返回经过的时间。表格中的计算速度值(例如，0.05秒、0.5秒、5秒)是使用上述tic和toc命令测量得到的。这些值表示完成编码过程所需的实际时间。

在 表2 中，性能比较计算量，发现方法3在所有数据长度下的计算量都是最小的，这表明它在执行编码时所需的操作数最少，在处理大量数据时，方法3更加高效。性能比较计算速度，方法3在所有数据长度下的计算速度都是最快的。使用“tic”和“toc”命令测量的时间显示，方法3需要的时间最短来完成编码过程。这是由于它的算法优化及更少的操作数。性能比较计算准确度，所有方法的计算准确度都是100%正确，这意味着所有方法都能准确地完成编码任务。此外，我们也研究了3种方法的扩展性和可伸缩性，随着数据长度的增加，方法3的计算量和计算速度的增加幅度是最小的。这表明方法3具有良好的扩展性和可伸缩性，适合处理大规模数据集成，例如在嵌入式系统、实时通信等大规模数据处理应用。