1. 引言

Pure Mathematics

2160-7583 2160-7605

汉斯出版社

10.12677/pm.2025.151024

pm-106261

Articles

数学与物理

P _m□P _n的奇染色和正常无冲突染色
Odd Coloring and Proper Conflict-Free Coloring of P_m□P_n

王泰山

方晓峰

火箭军工程大学基础部数学室，陕西西安

07 01 2025

15 01 211 215 12 12 ：2024 15 12 ：2024 15 1 ：2025

2024

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

图的染色理论在模式识别、生物信息、社交网络和电力网络上有重要的应用。对于图

G

的一个点染色

φ : V (G) \to {1, 2, \dots, k}

，若满足对任意非孤立点

v \in V (G)

，都存在

c \in {1, 2, \dots, k}

使得

| φ^{- 1} (c) \cap N (v) |

是一个奇数，则称

φ

是图

G

的一个奇

k

-染色。特别地，若

| φ^{- 1} (c) \cap N (v) | = 1

，则称

φ

是图

G

的一个正常无冲突

k

-染色。图

G

的奇(正常无冲突)色数是使图

G

有一个奇(正常无冲突)

k

-染色的

k

的最小值，记作

χ_{o} (G) (χ_{p c f} (G))

。本文研究笛卡尔乘积图的奇染色和正常无冲突染色，确定了

P_{m}

和

P_{n}

的笛卡尔乘积图的奇色数和正常无冲突色数，确定了奇色数的上界，丰富了图的染色理论，为实践应用提供了理论指导。
The coloring theory of graphs has important applications in pattern recognition, biological information, social networks and power networks. For a vertex coloring

φ : V (G) \to {1, 2, \dots, k}

of a graph G, it is called an odd k-coloring of G if for each non-isolated vertex

v \in V (G)

, there exist

c \in {1, 2, \dots, k}

such that

| φ^{- 1} (c) \cap N (v) |

is odd. Especially, it is called a proper conflict-free k-coloring of G when

| φ^{- 1} (c) \cap N (v) | = 1

. The odd (proper conflict-free) chromatic number of a graph G, denoted by

χ_{o} (G) (χ_{p c f} (G))

, is the minimum k such that G has an odd (proper conflict-free) k-coloring. In this paper, we study the odd coloring and proper conflict-free coloring of cartesian product graph, determine the odd chromatic number and PCF chromatic number of cartesian product graph of

P_{m}

and

P_{n}

, and determine the upper bound of odd chromatic number, which enriches the coloring theory of graphs and provides theoretical guidance for practical application.

路，笛卡尔乘积图，奇染色，正常无冲突染色
Path
Cartesian Product Graph Odd Coloring Proper Conflict-Free Coloring

1. 引言 1.1. 研究背景和意义

图论是一个古老的数学分支，起源于著名的戈尼斯堡七桥问题。近年来，图论的发展已渗透到语言学、物理学、化学、电讯工程、计算机科学以及数学的其他分支中。图的染色理论在模式识别、生物信息、社交网络和电力网络上有着重要的应用，因此染色理论一直是图论研究的热门。

时至今日，图的染色类型多种多样，如点染色、边染色、全染色、动态染色、多彩染色、均匀染色、关联染色、奇染色、正常无冲突染色等。其中，奇染色和正常无冲突染色是两个较新的染色概念，相关的结论较少。考虑到笛卡尔乘积图在网络理论中构建模型的重要作用，本文研究笛卡尔乘积图的奇染色和正常无冲突染色。

1.2. 基本定义和记号

本文研究的图是简单有限图。给定图 $G$ ， $V (G)$ 和 $E (G)$ 分别表示图 $G$ 的顶点集和边集。点 $v$ 的度数是与其关联的边数，记作 $d (v)$ ，点 $v$ 的邻点集是与点 $v$ 相邻的所有顶点的集合，记作 $N (v)$ 。长度为 $n - 1$ 的路记作 $P_{n}$ ，长度为 $n$ 的圈记作 $C_{n}$ 。图 $G$ 和 $H$ 的笛卡尔乘积图，记作 $G H$ ，其顶点集为 $V (G) \times V (H)$ ， $(u_{1}, v_{1})$ 与 $(u_{2}, v_{2})$ 相邻当且仅当 $u_{1} = u_{2}, v_{1} v_{2} \in E (H)$ 或 $v_{1} = v_{2}, u_{1} u_{2} \in E (G)$ 。

下面介绍本文相关的几个染色的定义。

定义1.1 图 $G$ 的一个点染色是一个映射 $φ : V (G) \to {1, 2, \dots, k}$ 满足对于相邻的顶点 $u$ 和 $v$ 有 $φ (u) \neq φ (v)$ ，映射 $φ$ 称为图 $G$ 的一个 $k$ -染色。图 $G$ 的点色数是使 $G$ 有一个 $k$ -染色的最小的 $k$ ，记作 $χ (G)$ 。

定义1.2 [1] 如果图 $G$ 的一个 $k$ -染色 $φ$ 满足对任意顶点 $v$ ，其邻点的颜色数至少为 $d (v)$ 和 $r$ 的最小值，则称 $φ$ 是 $G$ 的一个 $(k, r)$ -染色。图 $G$ 的 $r$ -多彩染色数是使 $G$ 有一个 $(k, r)$ -染色的最小的 $k$ ，记作 $χ_{r} (G)$ 。特别地，若 $r = 2$ ，也称 $φ$ 是 $G$ 的一个 $2$ -动态染色。

定义1.3 [2] 如果图 $G$ 的一个 $k$ -染色 $φ$ 满足对任意顶点 $v$ ，都存在 $c \in {1, 2, \dots, k}$ 使得 $| φ^{- 1} (c) \cap N (v) |$ 是一个奇数，则称 $φ$ 是 $G$ 的一个奇 $k$ -染色。图 $G$ 的奇色数是使 $G$ 有一个奇 $k$ -染色的最小的 $k$ ，记作 $χ_{o} (G)$ 。

定义1.4 [3] 如果图 $G$ 的一个 $k$ -染色 $φ$ 满足对任意顶点 $v$ ，都存在 $c \in {1, 2, \dots, k}$ 使得 $| φ^{- 1} (c) \cap N (v) | = 1$ ，则称 $φ$ 是 $G$ 的一个正常无冲突 $k$ -染色。特别地，称 $c$ 为点 $v$ 的唯一色，记作 $φ_{*} (v)$ 。图 $G$ 的正常无冲突色数是使 $G$ 有一个正常无冲突 $k$ -染色的最小的 $k$ ，记作 $χ_{p c f} (G)$ 。

无论从经典的点染色，到2-多彩染色，再到正常无冲突染色，还是从经典的点染色，到奇染色，再到正常无冲突染色，条件都是逐步加强的，因此有下面的定理。

定理1.5 对任意图 $G$ ，有 $χ (G) \leq χ_{2} (G) \leq χ_{p c f} (G)$ ， $χ (G) \leq χ_{o} (G) \leq χ_{p c f} (G)$ 。

图1 中给出了一个简单图的 $2$ -多彩染色、奇染色和正常无冲突染色，特别地，图1(b) 和图1(c) 是 $2$ -多彩染色，图1(a) 是奇染色。

Figure 1 Figure 1. A 2-hued coloring, an odd coloring and a proper conflict-free coloring of a simple graph--图1. 一个简单图的 2 -多彩染色、奇染色和正常无冲突染色-- 1.3. 研究现状

一些经典的图，比如路、树、圈、超立方体等，它们的奇色数和正常无冲突色数是容易确定的。值得注意的是，由于路和圈的特殊结构，它们的 $2$ -多彩染色数、奇色数和正常无冲突色数是一致的。

定理1.6 [4] - [6]

1) 设 $P_{n}$ 是一条有 $n (n \geq 2)$ 个顶点的路，那么

① 当 $n = 2$ 时， $χ_{2} (P_{2}) = χ_{o} (P_{2}) = χ_{p c f} (P_{2}) = 2$ ；

② 当 $n \geq 3$ 时， $χ_{2} (P_{n}) = χ_{o} (P_{n}) = χ_{p c f} (P_{n}) = 3$ 。

2) 设 $C_{n}$ 是一个有 $n (n \geq 3)$ 个顶点的圈，那么

① 当 $3 | n$ 时， $χ_{2} (C_{n}) = χ_{o} (C_{n}) = χ_{p c f} (C_{n}) = 3$ ；

② 当 $3 ∤ n$ 且 $n \neq 5$ 时， $χ_{2} (C_{n}) = χ_{o} (C_{n}) = χ_{p c f} (C_{n}) = 4$ ；

③ 当 $n = 5$ 时， $χ_{2} (C_{5}) = χ_{o} (C_{5}) = χ_{p c f} (C_{5}) = 5$ 。

3) 设 $T$ 是一颗非平凡的树，那么

① 当 $T$ 是一个奇图时， $χ_{o} (T) = 2$ ，否则 $χ_{o} (T) = 3$ ；

② 当 $T = K_{2}$ 时， $χ_{p c f} (T) = 2$ ，否则 $χ_{p c f} (T) = 3$ 。

4) 设 $Q_{n}$ 是 $n (n \geq 2)$ 维超立方体，那么

① 当 $n$ 是奇数时， $χ_{o} (Q_{n}) = 2$ ；

② 当 $n$ 是偶数时， $χ_{o} (Q_{n}) = 4$ ；

③ $χ_{p c f} (Q_{n}) = 4$ 。

由于独特的结构性质，平面图的奇染色和正常无冲突染色被广泛研究，但是确定一般平面图的奇色数和正常无冲突色数是NP问题。2022年，Petruševski和Škrekovski [2] 证明了任意平面图奇色数的上界是 $9$ 。同年，Caro等 [4] 对该结论给出一个更简单的证明。2023年，Petr和Portier [7] 将平面图奇色数的上界降到了 $8$ 。此外，Petruševski和Škrekovski [2] 提出了下面的猜想。

猜想1.7 [2] 设 $G$ 是一个平面图，那么 $χ_{o} (G) \leq 5$ 。

2023年，Fabirici等 [3] 对任意一个平面图给出一个具体的正常无冲突 $8$ -染色，并且构造出一个正常无冲突色数恰好为 $6$ 的平面图，这意味着平面图的正常无冲突色数的上界在 $6$ 到 $8$ 之间。

Caro等 [5] 和Cho等 [8] [9] 对平面图加上围长的条件，进一步降低了平面图的奇色数和正常无冲突色数的上界。关于外 $1$ -平面图和环面图的奇色数的结论，参见 [10] - [13] 。

对于一般图的奇色数和正常无冲突色数，学者们试图用最大度或者最大平均度作为条件给出上界。相关结论参见 [4] 和 [5] 。

可以看到关于乘积图，尤其是经典的笛卡尔乘积图，奇染色和正常无冲突染色的研究还相对较少。为了下文的证明方便，下面介绍一个笛卡尔乘积图的 $2$ -多彩染色数的结论。

定理1.8 [14] 如果自然数 $m, n \geq 2$ ，那么 $χ_{2} (P_{m} □ P_{n}) = 4$ 。

在上述工作基础上，本文研究 $P_{m} □ P_{n}$ 的奇染色和正常无冲突染色。

2. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <msub> <mi> P </mi> <mi> m </mi> </msub> <mo> □ </mo> <msub> <mi> P </mi> <mi> n </mi> </msub> </mrow> </math>的正常无冲突染色和奇染色

本节先研究 $P_{m} □ P_{n}$ 的正常无冲突染色，确定 $P_{m} □ P_{n}$ 的正常无冲突色数，再结合定理1.5得到 $P_{m} □ P_{n}$ 的奇色数的上界。

当 $m = 1$ 或 $n = 1$ 时， $P_{m} □ P_{n} ≅ P_{n}$ 或者 $P_{m} □ P_{n} ≅ P_{m}$ ，此时 $P_{m} □ P_{n}$ 的正常无冲突色数和奇色数可由定理2得到。因此，我们研究 $m, n \geq 2$ 的情形。对于自然数 $m$ 和 $n (m, n \geq 2)$ ，记 $V (P_{m}) = {u_{1}, u_{2}, \dots, u_{m}}$ ， $V (P_{n}) = {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ ， $V (P_{m} □ P_{n}) = {(u_{i}, v_{i}) | u_{i} \in V (P_{m}), v_{j} \in V (P_{n}), i = 1, 2, \dots, m; j = 1, 2, \dots, n}$ 。

2.1. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <msub> <mi> P </mi> <mi> m </mi> </msub> <mo> □ </mo> <msub> <mi> P </mi> <mi> n </mi> </msub> </mrow> </math>的正常无冲突色数

定理2.1 如果自然数 $m, n \geq 2$ ，那么 $χ_{p c f} (P_{m} □ P_{n}) = 4$ 。

证明由定理1.5和定理1.8可知 $χ_{p c f} (P_{m} □ P_{n}) \geq 4$ ，因此只需证 $χ_{p c f} (P_{m} □ P_{n}) \leq 4$ 。我们定义 $P_{m} □ P_{n}$ 的一个 $4$ -染色 $φ$ 。

当 $i = 1 (m o d 4)$ 时，若 $j = 1 (m o d 2)$ ，令 $φ (u_{i}, v_{j}) = 1$ ；若 $j = 0 (m o d 2)$ ，令 $φ (u_{i}, v_{j}) = 3$ 。

当 $i = 2 (m o d 4)$ 时，若 $j = 1 (m o d 2)$ ，令 $φ (u_{i}, v_{j}) = 2$ ；若 $j = 0 (m o d 2)$ ，令 $φ (u_{i}, v_{j}) = 4$ 。

当 $i = 3 (m o d 4)$ 时，若 $j = 1 (m o d 2)$ ，令 $φ (u_{i}, v_{j}) = 3$ ；若 $j = 0 (m o d 2)$ ，令 $φ (u_{i}, v_{j}) = 1$ 。

当 $i = 0 (m o d 4)$ 时，若 $j = 1 (m o d 2)$ ，令 $φ (u_{i}, v_{j}) = 4$ ；若 $j = 0 (m o d 2)$ ，令 $φ (u_{i}, v_{j}) = 2$ 。

下面验证 $φ$ 是 $P_{m} □ P_{n}$ 的一个正常无冲突 $4$ -染色 $φ$ 。由 $P_{m} □ P_{n}$ 的定义，对任意点 $(u_{i}, v_{j}) \in V (P_{m} □ P_{n})$ ，都有 $d (u_{i}, v_{j}) \in {2, 3, 4}$ ，我们只需验证 $φ_{*} (u_{i}, v_{j})$ 的存在性即可。

若 $d (u_{i}, v_{j}) = 2$ ，则在 $φ$ 中， $(u_{i}, v_{j})$ 的两个邻点的颜色必然一个是奇数，另一个是偶数，因此 $φ_{*} (u_{i}, v_{j})$ 存在。

若 $d (u_{i}, v_{j}) = 3$ ，则有 $i = 1, 2 \leq j \leq n - 1$ 或 $i = m, 2 \leq j \leq n - 1$ 或 $j = 1, 2 \leq i \leq m - 1$ 或 $j = n, 2 \leq i \leq m - 1$ 。如果 $i = 1, 2 \leq j \leq n - 1$ ，那么 $φ (u_{1}, v_{j - 1}) = φ (u_{1}, v_{j + 1}) \neq φ (u_{2}, v_{j})$ ，因此 $φ_{*} (u_{1}, v_{j}) = φ (u_{2}, v_{j})$ 。其他三种情形可进行类似的证明。

若 $d (u_{i}, v_{j}) = 4$ ，则有 $2 \leq i \leq m - 1, 2 \leq j \leq n - 1$ 。在 $φ$ 中 $φ (u_{i - 1}, v_{j}) \neq φ (u_{i}, v_{j - 1}) = φ (u_{i}, v_{j + 1}) \neq φ (u_{i + 1}, v_{j})$ ，并且 $φ (u_{i - 1}, v_{j}) \neq φ (u_{i + 1}, v_{j})$ 。因此， $φ_{*} (u_{i}, v_{j}) = φ (u_{i - 1}, v_{j})$ 或者 $φ_{*} (u_{i}, v_{j}) = φ (u_{i + 1}, v_{j})$ 。

因此， $φ$ 是 $P_{m} □ P_{n}$ 的一个正常无冲突 $4$ -染色 $φ$ ，进而有 $χ_{p c f} (P_{m} □ P_{n}) \leq 4$ 。证毕。

2.2. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <msub> <mi> P </mi> <mi> m </mi> </msub> <mo> □ </mo> <msub> <mi> P </mi> <mi> n </mi> </msub> </mrow> </math>的奇色数的上界

定理2.2 如果自然数 $m, n \geq 2$ ，那么 $χ_{o} (P_{m} □ P_{n}) = 4$ 。

证明由定理1.6和定理2.1可知，定理2.2成立。

3. 总结与展望

本文研究了 $P_{m} □ P_{n}$ 的奇染色和正常无冲突染色，并确定了 $P_{m} □ P_{n}$ 的正常无冲突色数，找到了奇色数的上界，丰富了图的奇染色和正常无冲突染色理论。总结如下：

定理3.1 关于 $P_{m} □ P_{n}$ 的奇色数和正常无冲突色数，有如下结论：

1) 当 $m = n = 1$ 时， $χ_{o} (P_{1} P_{1}) = χ_{p c f} (P_{1} P_{1}) = 1$ ；

2) 当 $m = 1, n = 2$ 或 $n = 1, m = 2$ 时， $χ_{o} (P_{m} □ P_{n}) = χ_{p c f} (P_{m} □ P_{n}) = 2$ ；

3) 当 $m = 1, n \geq 3$ 或 $n = 1, m \geq 3$ 时， $χ_{o} (P_{m} □ P_{n}) = χ_{p c f} (P_{m} □ P_{n}) = 3$ ；

4) 当 $m, n \geq 2$ 时， $χ_{o} (P_{m} □ P_{n}) = 4$ ， $χ_{o} (P_{m} □ P_{n}) \leq 4$ 。

本文的研究方法可以应用到其他经典图的乘积图的奇染色和正常无冲突染色的研究。在以后的工作中，我们可以进一步研究任意两个图的笛卡尔乘积图和其他乘积图(强积图、冠积图)的奇染色和正常无冲突染色。此外，本文的研究对于研究电力网络的最优重新配置中多代理系统的通讯问题具有一定的指导意义。

NOTES

^*通讯作者。

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