SIR模型是流行病动力学的基础模型，因其概念清晰且易于实现，已成为数学建模教学中广泛采用的范例[8]。SIR模型将总人口 N 划分为三类仓室：

易感者(S)：未染病但可能被感染的人群数量。

感染者(I)：已染病并可传播疾病的人群数量。

康复者(R)：已康复或移除(具有免疫力或死亡)的人群数量。

其动力学由以下非线性微分方程组描述：

其中， β > 0 为有效接触率(单位时间内一个感染者传染易感者的人数)， γ > 0 为康复率(单位时间内感染者康复的倒数，平均感染期为 1 / γ )。

系统存在一个无病平衡点： x * = ( S * , I * , R * ) = ( N , 0 , 0 ) 。流行病学中关键阈值—基本再生数定义为

直观上， R 0 代表一个感染者在完全易感人群中平均能传染的人数。它是判断传染病能否流行的核心指标。

要分析系统在无病平衡点附近的稳定性，需进行线性化。定义状态向量 x = ( S , I , R ) T ，右端向量 F = ( F 1 , F 2 , F 3 ) T = ( − β S I N , β S I N − γ I , γ I ) T ，系统可以写成 d x d t = F 。在平衡点 x * 处计算雅可比矩阵：

在平衡点附近，系统的局部行为近似由线性系统 d y d t = J y 描述，其中 y = x − x * 是微小扰动。此时，矩阵 J 的特征值 λ 将决定微小扰动是指数增长还是衰减，从而决定了无病平衡点的局部稳定性。

本研究识别到学生可能在微积分(特别是导数、积分概念)和常微分方程基础知识上存在不足。为此，设计以下干预补救机制：

1) 线上预备模块：在项目开始前一周，通过课程平台发布“微积分核心概念复习”和“常微分方程入门”微视频(总时长约90分钟)及配套自测习题。内容聚焦于导数/积分的物理意义、微分方程的基本形式与平衡点概念[9]。

2) 课堂快讲与咨询时间：在“阶段一：问题导入与模型建立”中，预留1课时对微分方程建模思想进行快速回顾，并设立专门的课外咨询时间，由助教为有需要的学生提供辅导。

3) 分层任务设计：在编程实践中，提供不同起点的MATLAB代码模板。基础模板包含完整的模型数值求解框架，学生仅需修改参数；进阶模板则要求学生独立编写欧拉法或龙格–库塔法求解器，以适应不同基础的学生。

示例1：学生提交的MATLAB代码片段(特征值计算与稳定性验证)

% ... (省略模型参数定义与SIR模型求解代码)

% 计算无病平衡点处的雅可比矩阵J

N = 总人口; beta = 接触率; gamma = 康复率;

J = [0, -beta, 0;

0, beta - gamma, 0;

0, gamma, 0];

% 计算雅可比矩阵的特征值与特征向量

[V, D] = eig(J);

lambda = diag(D); % 特征值向量

disp(['特征值为: ', num2str(lambda')]);

% 提取关键特征值 lambda3 = beta - gamma

lambda3 = lambda(3);

R0 = beta / gamma;

if lambda3 > 0

disp(['R0 = ', num2str(R0), ' > 1, 关键特征值(', num2str(lambda3),')>0，系统不稳定，疾病可能流行。']);

else

disp(['R0 = ', num2str(R0), ' <= 1, 关键特征值(', num2str(lambda3),')<=0，系统局部稳定，疾病趋于消亡。']);

end

% 绘制初始扰动阶段的感染人数对数图，验证指数增长率

% ... (省略绘图代码)

%代码注释：该代码片段显示学生能够正确编程计算雅可比矩阵的特征值，并将数学结果( λ 3 的符号)与流行病学关键指标 R 0 关联，实现了理论到计算的贯通

示例2：学生项目报告分析片段

“……通过本次项目，我们理解了特征值不仅是矩阵的一个数字。在SIR模型中，雅可比矩阵在无病平衡点处的特征值 λ 3 = β − γ ，直接决定了系统对微小感染的响应。当 λ 3 > 0 (即 R 0 > 1 )时，任意微小扰动(感染者)都会按 e λ 3 t 指数增长，这意味着疾病会流行。这解释了为什么防控措施的核心是降低有效接触率 β 或提高康复率 γ ，从而使 λ 3 转为负值。我们将MATLAB模拟中初始感染人数的对数曲线斜率与 λ 3 理论值进行比较，两者基本吻合，直观验证了特征值作为‘系统内在增长率’的物理意义……”

报告分析表明：学生能够清晰阐述特征值的物理意义，并利用数值实验进行验证，同时能定性讨论模型参数与防控策略的关系[10][11]。

过程性评估(40%)：从课堂讨论参与度、编程实践记录、小组协作表现三个方面来考察课堂参与情况。项目报告(40%)：从报告的完整性、数学推导的正确性、数值实验与理论分析结合的自然程度以及拓展研究的深度诸方面来考察。期末关联考题(20%)：由于传统计十分清楚算题以外没有简答题，故可以加上一道简答题：“简述特征值在分析动力系统平衡点稳定性中的作用，并举例说明”。

(1) 概念理解深化：从现有反馈中可以、可靠地看到，有超过85%的学生因此项目而真正弄清了“特征值是系统内在增长率”的本质，绝不只是矩阵的一个数字标签。

(2) 建模能力提升：由于学生能从物理现象出发经过微分方程再进入线性代数问题的建模过程，因此其数学应用能力有很大提高。

(3) 跨学科兴趣激发：由于许多学生对流行病学、系统科学都怀有进一步钻研的兴趣，故体会到了数学作为基础工具的巨大作用。

从防控措施(降低 β 、提高 γ )与有关问题的关系入手，引导学生理解非药物干预措施(如减少接触、提高医疗效率)背后的数理逻辑，从而培养其严谨的科学精神以及对公共卫生事业的社会责任感。

挑战：由于学生微分方程的基础比较薄弱，故宜先安排微积分知识的补习材料，又因为求特征向量时要讨论重根问题，所以宜事先做好教学预案。改进：由于网页排名(PageRank)算法中有关于主特征向量的例子及振动系统中固有频率的例子，故宜引入二者形成“特征值/向量”专题模块。