结合代数的Hochschild上同调理论由Hochschild于1945年在其奠基性工作[1]中提出。至20世纪60年代，Gerstenhaber深入探讨了结合代数的形变理论，并在文献[2]中证明了Hochschild上同调能够控制形变。

无穷小双代数的概念由Aguiar [3]在研究结合Yang-Baxter方程和Hopf代数理论时首次提出，它是李双代数在结合代数下的情况。Rota-Baxter算子起源于概率论[4]，后经Rota [5]和Cartier [6]被应用于组合学与量子场论[7]。结合代数上的 O -算子是权为零的Rota-Baxter算子的推广，与dendriform代数、结合Yang-Baxter方程以及结合r-矩阵等概念紧密相连[8]-[10]。2020年，Das [8]系统地建立了结合代数上 O -算子的上同调与形变理论，作为应用得到结合代数上Rota-Baxter算子、结合r-矩阵以及无穷小双代数的形变。

2016年，为了研究A[[t]]上形变的B-代数结构，Staic [11]引入了B-代数上的二次上同调，相关研究见[12][13]。2023年，黄在[14]中研究了B-代数上 O -算子的二次上同调。在此基础上，刘等人将Das [8]关于结合代数上 O -算子的形变理论推广到B-代数上[15]，研究了B-代数上 O -算子，Rota-Baxter算子和结合r-矩阵的形变。本文旨在进一步研究B-代数上由结合r-矩阵诱导的无穷小双代数的形变理论。

文中所有代数都有单位元，向量空间均为有限维，且所有向量空间，线性映射，张量积在特征为0的域 K 上讨论。

本节主要介绍B-代数及其上 O -算子、结合r-矩阵的基本概念与结论。

定义2.1[11] 设A是一个代数，B是一个带单位元 1 B 的交换代数， ε : B → A 是代数同态，且满足 ε ( B ) ⊆ Z ( A ) ( Z ( A ) 是A的中心)，则称A为一个B-代数， ( A , B , ε ) 是一个三元组。

注2.2 由文献[11]可知，B-代数等价于存在一簇乘法 { m b : A ⊗ A → A } b ∈ B 使得 ( A , m 1 B ) 是一个带单位元 1 A 的代数，且对任意 b 1 , b 2 , b 3 ∈ B ， q ∈ K ，有

此时，称 ( A , { m b } ) 是B-代数。

定义2.3[15] 设 ( A , { m b } ) 是B-代数，M是一个向量空间。若存在两簇线性映射 { L b : A ⊗ M → M } b ∈ B 和 { R b : M ⊗ A → M } b ∈ B ，使得对任意 a , a 1 , a 2 ∈ A ， m ∈ M ， b 1 , b 2 , b 3 ∈ B ， q ∈ K ，满足

以及

此外，还满足

且 L 1 B ( 1 A ⊗ m ) = R 1 B ( m ⊗ 1 A ) ，则称 ( M , L 1 B , R 1 B ) 为B-代数A的一个双模。

例2.4[15] 设 ( A , B , ε ) 是三元组。定义一簇乘法 { m b : A ⊗ A → A } b ∈ B 为

设 M 是B-代数A的双模。对任意 b ∈ B ，定义映射 { L b : A ⊗ M → M } b ∈ B ， { R b : M ⊗ A → M } b ∈ B 为

容易验证 ( A , { ⋅ b } ) 是B-代数，且 ( M , L b , R b ) 是B-代数A的一个双模。

注2.5[15] 对于每个 a ∈ A ， b ∈ B ，存在映射 l a , b : M → M ， m ↦ L b ( a , m ) 以及 r a , b : M → M ， m ↦ R b ( m , a ) 。特别地，B-代数 ( A , { ⋅ b } ) 自身作为A-双模，其左右模作用 L b = R b = ⋅ b 。我们称该双模为B-代数 ( A , { ⋅ b } ) 上的伴随双模，相应地有映射 a d a , b l 和 a d a , b r ，即对固定的 a ∈ A ， b ∈ B ，以及任意 x ∈ A ， a d a , b l ( x ) = a ⋅ b x ， a d a , b r ( x ) = x ⋅ b a 。此外，B-代数 ( A , { ⋅ b } ) 的对偶空间 A * 也是B-代数的双模(又称B-代数上的余伴随双模结构)，此时 L b : A ⊗ A * → A * , R b : A * ⊗ A → A * ，对于 b ∈ B ， a 1 , a 2 ∈ A 以及 f ∈ A * ，有

对应的映射记为 a d a , b * l 和 a d a , b * r ，

B-代数上的伴随双模和余伴随双模在本文第4节研究无穷小双代数的形变理论中起着核心作用。

定义2.6[15] 设 ( A , { ⋅ b } ) 是B-代数，M是B-代数A的双模。若对任意 b ∈ B ， u , v ∈ M ，线性映射 T : M → A 满足

则称其为B-代数上关于M的 O -算子。

定义2.7[15] 设 ( A , { ⋅ b } ) 是B-代数， r = ∑ i x i ⊗ y i ∈ A ⊗ A 。定义

其中

若对任意 b ∈ B , A b ( r ) = 0 ，则称r为B-代数A上的结合r-矩阵。

定义反对称线性映射 r ♯ : A * → A : 〈 β , r ♯ ( α ) 〉 = r ( α , β ) , ∀ α , β ∈ A * 。

命题2.8[15] r ∈ A ⊗ A 是B-代数A上的结合r-矩阵当且仅当 r ♯ 是B-代数A上关于余伴随双模 A * 的 O -算子。

下面介绍B-代数上两个结合r-矩阵之间的弱同态。

定义2.9[15] 设 r 1 , r 2 ∈ A ⊗ A 是B-代数A上的两个结合r-矩阵， ϕ : A → A 是一个B-代数同态， ψ : A → A 是一个线性映射。若对于任意 a 1 , a 2 ∈ A , b ∈ B ，满足以下等式：

则称 ( ϕ , ψ ) 是从 r 1 到 r 2 的弱同态。若 ϕ 和 ψ 都是同构，则称 ( ϕ , ψ ) 为弱同构。

以下结果描述了B-代数上结合r-矩阵的弱同态(同构)与相应的 O -算子之间的同态(同构)关系。

定理2.10[15] 设 r 1 , r 2 ∈ A ⊗ A 是B-代数上的两个结合r-矩阵，则 ( ϕ , ψ ) 是从 r 1 到 r 2 的弱同态(同构)当且仅当 ( ϕ , ψ * ) 是从

到

的 O -算子同态(同构)。

定理2.11[15]B-代数A上的两个结合r-矩阵 r 1 和 r 2 等价当且仅当存在B-代数同构 ϕ : A → A 使得 ( ϕ , ϕ − 1 ) 是从 r 1 到 r 2 的弱同构。

本节首先定义B-代数上的无穷小双代数，并证明三角无穷小B-双代数可由B-代数上的结合r-矩阵诱导得出。在此基础上，我们将引入B-代数上弱同态的概念来刻画B-代数上无穷小双代数之间的同态。

定义3.1 设 ( A , { ⋅ b } ) 是一个B-代数。若存在一簇余乘法 { Δ b : A → A ⊗ A } b ∈ B 使得对每个 b ∈ B ， ( A , { Δ b } ) 是一个B-余代数(即满足B-余结合律)，且对任意 b 1 , b 2 ∈ B 及 a 1 , a 2 ∈ A ，成立

其中右模作用和左模作用分别定义为

则称 ( A , { ⋅ b , A } , { Δ b , A } ) 为一个B-代数上的无穷小双代数。

注3.2 当 B = K 时，上述定义退化为经典的无穷小双代数[1]，此时 Δ ( a 1 ⋅ a 2 ) = a 1 ⋅ Δ ( a 2 ) + Δ ( a 1 ) ⋅ a 2 。

设 ( A , { ⋅ b , A } , { Δ b , A } ) 和 ( R , { ⋅ b , R } , { Δ b , R } ) 是两个B-代数上的无穷小双代数。若存在B-代数同态 ϕ : A → R ，且该同态与余积相容，即 ( ϕ ⊗ ϕ ) ∘ Δ b , A = Δ b , R ∘ ϕ ，则称其为B-代数上无穷小双代数的同态。在有限维向量空间上，结合余代数结构等价于其对偶空间上的结合代数结构。从对偶等价的角度来说，若存在B-代数同态 ϕ : A → R 满足其对偶态射 ϕ * : R * → A * 是B-代数同态，则称其为B-代数上无穷小双代数的同态。若 ϕ 是线性同构，则称其为B-代数上无穷小双代数的同构。

由文献[15]可知，B-代数A上的结合r-矩阵 r ∈ A ⊗ A 诱导了 O -算子

。在对偶空间

A *

上可以定义

B

-代数结构：

其中

和

是

B

-代数

A

上的右余伴随和左余伴随作用，具体作用见注2.5。对偶地，该

B

-代数结构对应了

A

上的一个

B

-余代数结构

Δ b,r

，定义为

此时，A上的B-代数结构和上述B-余代数结构构成一个B-代数上的无穷小双代数，称 ( A , { ⋅ b } , { Δ b , r } ) 为由r诱导的B-代数上的三角无穷小双代数。

接下来，我们引入B-代数A上两个无穷小双代数之间的弱同态概念。

定义3.3设 ( A , { ⋅ b } , { Δ b } ) 和 ( A , { ⋅ b } , { Δ ′ b } ) 是B-代数A上的两个无穷小双代数。若存在一对 ( ϕ , ψ ) ，其中 ϕ : A → A 是B-代数同态， ψ : A → A 是B-余代数同态(即对每个 b ∈ B ， Δ ′ b ∘ ψ = ( ψ ⊗ ψ ) ∘ Δ b )，使得对任意 a 1 , a 2 ∈ A , b ∈ B ，

则称其为B-代数A上两个无穷小双代数之间的弱同态。若 ϕ 和 ψ 都是线性同构，则称 ( ϕ , ψ ) 为弱同构。

命题3.4 设 ( A , { ⋅ b } , { Δ b } ) 和 ( A , { ⋅ b } , { Δ ′ b } ) 是B-代数A上的两个无穷小双代数。它们作为B-代数A上的无穷小双代数同构当且仅当存在B-代数同构 ϕ : A → A 使得 ( ϕ , ϕ − 1 ) 是B-代数A上从 ( A , { ⋅ b } , { Δ b } ) 到 ( A , { ⋅ b } , { Δ ′ b } ) 的弱同构。

下面我们说明，B-代数A上结合r-矩阵的弱同态会诱导相应无穷小双代数之间的弱同态。

定理3.5 设 ( A , { ⋅ b } ) 是一个B-代数， r 1 , r 2 ∈ A ⊗ A 是两个B-代数上的结合r-矩阵。若 ( ϕ , ψ ) 是B-代数上从 r 1 到 r 2 的弱同态(弱同构)，则 ( ϕ , ψ ) 也是B-代数上从无穷小双代数 ( A , { ⋅ b } , { Δ b , r 1 } ) 到 ( A , { ⋅ b } , { Δ b , r 2 } ) 的弱同态(弱同构)。

证明：由于 ( ϕ , ψ ) 是从 r 1 到 r 2 的弱同态，由定义3.3知 ψ ( ϕ ( a 1 ) ⋅ b a 2 ) = a 1 ⋅ b ψ ( a 2 ) 和 ψ ( a 1 ⋅ b ϕ ( a 2 ) ) = ψ ( a 1 ) ⋅ b a 2 。因此只需证明 ψ : A → A 是B-余代数同态，即等价于证明 ψ * : A * → A * 是B-代数同态。对任意 α , β ∈ A * , x ∈ A ， b ∈ B ，我们有

这表明 ψ * ( α ⋆ b , r 1 β ) = ψ * ( α ) ⋆ b , r 2 ψ * ( β ) 。证毕。

结合定理2.11，命题3.4，定理3.5可得如下推论。

推论3.6 设 r 1 , r 2 ∈ A ⊗ A 是B-代数 ( A , { ⋅ b } ) 上的两个结合r-矩阵。若 r 1 与 r 2 等价，则无穷小双代数 ( A , { ⋅ b } , { Δ b , r 1 } ) 与 ( A , { ⋅ b } , { Δ b , r 2 } ) 同构。

在本节末尾，我们给出一个具体的低维B-代数及其结合r-矩阵的例子。

例3.7取一个2维交换代数 A = K [ x ] / ( x 2 ) ，基为 { 1 , x } ，乘法满足 1 ⋅ 1 = 1 ， 1 ⋅ x = x ， x ⋅ x = 0 。取另一2维交换代数 B = K [ ε ] / ( ε 2 ) ，基为 { 1 , ε } 。定义 ε : B → A 为 ε ( 1 ) = 1 ， ε ( ε ) = x 。由于A交换， ε ( b ) 自然在A的中心，因此 ( A , B , ε ) 构成一个B-代数。相应的乘法族为：对 b = b 0 + b 1 ε ， a 1 ⋅ b a 2 = ε ( b )   a 1 a 2 = b 0 a 1 a 2 + b 1 x a 1 a 2 。取 r = 1 ⊗ x ∈ A ⊗ A ，易知 A b ( r ) = 0 对任意 b ∈ B 成立，即r是一个结合r-矩阵。计算

：设对偶基

{ 1 * , x * }

，则

，

。于是

A *

上的

B

-代数结构

{ ⋆ b }

为：对

α,β∈ A *

，

具体计算得：

通过基计算可得 A * 上的乘法，进而对偶得到A上的余乘法 Δ b , r 。例如， Δ b , r ( x ) = 0 。于是得到了一个由r诱导的B-代数上非平凡的三角无穷小双代数 ( A , { ⋅ b } , { Δ b , r } ) 。

本节研究B-代数 ( A , { ⋅ b } ) 上无穷小双代数的线性形变。

定义4.1 设 ( A , { ⋅ b } , { Δ b } ) 是一个B-代数上的无穷小双代数。考虑一簇线性映射 { Δ ′ b : A → A ⊗ A } b ∈ B ，如果对每个参数 t ∈ K ， b ∈ B , ( A , { ⋅ b } , { Δ b + t Δ ′ b } ) 仍定义了一个B-代数A上的无穷小双代数结构，则称对于每个 b ∈ B ， { Δ ′ b } 生成了B-代数上无穷小双代数 ( A , { ⋅ b } , { Δ b } ) 的一个线性形变。

令 κ ∈ A ⊗ A 是B-代数 ( A , { ⋅ b } ) 上的结合r-矩阵，对于每个 b ∈ B ，定义映射 { ⋆ b , κ : A * ⊗ A * → A * } ，

，其对偶映射为

{ Δ b,κ }

。由于

B

-代数

A

上的结合

r

-矩阵

r∈A⊗A

可以诱导

O

-算子

r ♯ : A * →A

，我们可以得到以下结果。

命题4.2设r是B-代数 ( A , { ⋅ b } ) 上的一个结合r-矩阵，对于每个 b ∈ B ，相应的无穷小双代数为 ( A , { ⋅ b } , { Δ b , r } ) 。若 κ 生成了B-代数A上结合r-矩阵r的线性形变，则 { Δ b , κ } 生成了B-代数A上无穷小双代数 ( A , { ⋅ b } , { Δ b , r } ) 的一个线性形变。

证明：由假设， κ 生成r的线性形变，即对每个 t ∈ K ， r t = r + t κ 仍是B-代数A上的结合r-矩阵。由命题2.8知，对任意 b ∈ B ，

是由

B

-代数

A

上结合

r

-矩阵

r t =r+tκ

诱导的

O

-算子。因此，

诱导了

A *

上的

B

-代数结构

⋆ b, r t

，其对偶即为

A

上的

B

-余代数结构

Δ b, r t

。由定义3.1知，

( A,{ ⋅ b },{ Δ b, r t } )

是无穷小双代数。又

Δ b, r t = Δ b,r +t Δ b,κ

，由定义4.1知，

{ Δ b,κ }

生成了

( A,{ ⋅ b },{ Δ b,r } )

的一个线性形变。

定义4.3设B-代数A上无穷小双代数 ( A , { ⋅ b } , { Δ b } ) 的两个线性形变为 Δ b , t 1 = Δ b + t Δ ′ b 和 Δ b , t 2 = Δ b + t Δ ″ b ，如果存在 a ∈ A 使得

是B-代数A上从 ( A , { ⋅ b } , Δ b , t 1 ) 到 ( A , { ⋅ b } , Δ b , t 2 ) 的弱同态，即对每个 b ∈ B 和任意 x , y ∈ A 有

且 ψ t , b 是余代数同态： ( ψ t , b ⊗ ψ t , b ) ∘ Δ b , t 1 = Δ b , t 2 ∘ ψ t , b ，则称这两个线性形变是等价的。

关于B-代数A上结合r-矩阵的形变与相应无穷小双代数的形变之间的等价关系，我们有如下结论。

定理4.4设 r b , t 1 = r + t κ 1 和 r b , t 2 = r + t κ 2 是B-代数A上结合r-矩阵 r ∈ A ⊗ A 的两个线性形变。考虑B-代数A上相应无穷小双代数 ( A , { ⋅ b } , { Δ b , r + t Δ κ 1 } ) 和 ( A , { ⋅ b } , { Δ b , r + t Δ κ 2 } ) 的线性形变，则 r b , t 1 与 r b , t 2 等价当且仅当 Δ b . t κ 1 = Δ b , r + t Δ κ 1 与 Δ b , t κ 2 = Δ b , r + t Δ κ 2 等价。

证明：设 r b , t 1 = r + t κ 1 与 r b , t 2 = r + t κ 2 是B-代数A上结合r-矩阵r的两个线性形变。由定理2.11， r b , t 1 与 r b , t 2 等价当且仅当存在依赖于参数t的B-代数同构 ϕ t : A → A ，使得 ( ϕ t , ϕ t − 1 ) 是从 r b , t 1 到 r b , t 2 的弱同构。将 ϕ t 展开为形式幂级数 ϕ t = i d + t ϕ + O ( t 2 ) ，则 ϕ t − 1 = i d − t ϕ + O ( t 2 ) ，其中 ϕ : A → A 是线性映射。将 ( ϕ t , ϕ t − 1 ) 代入弱同构条件(定义2.9)，比较t的一次项，得到：

即 ϕ 是B-代数A上的导子。根据结合r-矩阵的形变理论(参见文献[15])，满足上述条件的导子 ϕ 必为内导子，即存在某个 a ∈ A 使得 ϕ = a d a , b l − a d a , b r 。于是构造映射

由于 ϕ t 与 ϕ ¯ t , b 相差 O ( t 2 ) ， ϕ t − 1 与 ψ ¯ t , b 相差 O ( t 2 ) ，且 ( ϕ t , ϕ t − 1 ) 满足弱同构条件，故 ( ϕ ¯ t , b , ψ ¯ t , b ) 满足弱同态条件至t的一阶。因为形变是线性的(仅含t的一次项)，所以 ( ϕ ¯ t , b , ψ ¯ t , b ) 构成定义4.3中的弱同态。进而由定理3.5知， Δ b , t κ 1 = Δ b , r + t Δ κ 1 与 Δ b , t κ 2 = Δ b , r + t Δ κ 2 等价。

反之，若存在 a ∈ A 使得 ( ϕ ¯ t , b , ψ ¯ t , b ) 是定义4.3中的弱同态，则比较t的一次项可得 ϕ = a d a , b l − a d a , b r 满足上述导子条件及第一个等式，因此由定理2.10和2.11可知 r b , t 1 与 r b , t 2 等价。证毕。

例4.5例3.7中的B-代数 A = K [ x ] / ( x 2 ) 和 r = 1 ⊗ x ，取 κ = x ⊗ 1 ，则 r t = r + t κ = 1 ⊗ x + t   x ⊗ 1 ，计算 A b ( r t ) 可知其为零，故 κ 生成了r的一个线性形变。对应的 Δ b , κ 由对偶得到： Δ b , κ ( 1 ) = ε ( b ) ( x ⊗ 1 − 1 ⊗ x ) ， Δ b , κ ( x ) = 0 。于是 Δ b , t κ = Δ b , r + t Δ b , κ 给出 Δ b , r 的线性形变。若取另一形变 κ ′ = − κ ，则 r ′ t = r − t κ ，易知 ( i d − t ( a d a , b l − a d a , b r ) , i d + t ( a d a , b l − a d a , b r ) ) 等价，其中 a = 1 ，易知这两个形变等价，符合定理4.4。

本文将Das [8]中关于无穷小双代数的形变理论推广到了B-代数框架下。我们首先定义了B-代数上的无穷小双代数，并证明了三角无穷小B-双代数可由B-代数上的结合r-矩阵自然诱导得出。在此基础上，我们引入了弱同态的概念，并系统研究了这类双代数的线性形变。本文的核心结论是建立了B-代数上结合r-矩阵的形变与其诱导的三角无穷小B-双代数形变之间的一一对应。这一工作不仅完善了B-代数上 O -算子形变理论的应用，也为进一步研究B-代数上更一般的双代数结构提供了基础。

然而，在本文所研究的B-代数上无穷小双代数的形变中，我们只对B-余代数结构进行了线性形变，这与结合r-矩阵的形变以及 O -算子的形变是一致的，即只形变r-矩阵或 O -算子，而保持基代数不变。因此，考虑更一般的形变，即允许B-代数结构也发生形变，值得进一步研究。