与标准的随机微分方程(SDEs)不同，随机McKean-Vlasov微分方程(MV-SDEs)不仅依赖于当前的状态，还依赖于其分布，因而在物理[1]，金融[2]和控制理论[3]中都有广泛的应用。基于漂移项和扩散项都满足关于状态和测度的线性增长和Lipschtiz条件，经典的MV-SDEs强解的存在唯一性理论已然成立[4]，而关于弱解和强解的进一步理论结果可以在[5][6]及其所引用的文献中找到。然而，许多实际模型的系数常呈现超线性增长或仅满足非全局Lipschitz条件，例如，描述种群演化的Cucker-Smale群体运动模型[7]，以及神经科学中的Hodgkin-Huxley模型和FitzHugh-Nagumo模型[8][9]。在非全局Lipschitz条件下，关于漂移项满足单边Lipschitz条件或漂移项与扩散项满足耦合单调性条件时，解的存在唯一性结果可参考文献[10][11]。

由于此类MV-SDEs的解析解通常难以获得，数值模拟则成为另一条求解思路，而MV-SDEs模拟的关键在于需要在每个时间步对分布进行逼近。由于混沌传播的理论结果，原始的MV-SDEs可以看作交互粒子系统在粒子数量趋于无穷时的极限。因此，MV-SDEs的数值模拟过程为：选取适当的粒子数目用有限粒子系统的经验测度逼近真实测度，然后引入恰当的时间离散方法进行离散。基于此，文献[12]提出了Euler-Maruyama的离散格式，并在漂移项和扩散项关于状态和测度均满足全局Lipschitz条件的假设下，推导了一维MV-SDEs关于时间步长与粒子数量的强收敛阶，其他相关研究参考[13]。

然而，对具有超线性增长且单边Lipschitz连续漂移项的SDEs，使用显式Euler-Maruyama格式得到的数值解在均方意义下可能发散[14]；当将其应用于具有类似条件的MV-SDEs时会出现“粒子腐蚀”现象[15]。“粒子腐蚀”现象是指，当数值格式无法有效处理漂移项或扩散项系数的超线性增长时，在较大步长下容易诱发某个粒子的数值解发散。由于模拟随机McKean-Vlasov方程的核心在于粒子间通过经验分布进行耦合，单个粒子的发散状态会立即被引入该经验分布，进而污染所有其他粒子所满足的动力学方程，致使整个粒子系统发生连锁式数值崩溃。此外，该现象呈现一个反直觉特性：系统粒子数越多，出现初始发散粒子的概率越高，因而整体模拟越容易触发“粒子腐蚀”。为克服这一问题，[15]提出了驯服Euler-Maruyama方法及针对状态分量的隐式方法，证明了该方法的强收敛性与粒子系统的混沌传播性质。后续研究进一步放宽了条件限制：[16]仅要求漂移项关于状态分量满足单边局部Lipschitz条件，扩散项关于状态分量满足 1 2 + α -Hölder连续；[17]则进一步允许漂移项在状态分量和测度分量上均具有超线性增长。此外，其他重要进展包括能够保持数值不变测度收敛性的截断Euler-Maruyama方法[18]、具有最优半阶收敛速率的截断θ方法[19]以及适用于扩散项超线性增长情况的自适应格式[20]等。值得一提的是，文献[21]提出了一种基于算子的通用分析框架，统一建立了多种数值方法的强收敛性，从而为构造新算法和统一分析提供了有效工具。

本文旨在针对漂移项满足超线性增长与非全局Lipschitz条件的MV-SDEs，发展高效稳健的数值方法。重点研究将适用于确定性刚性常微分方程的单支θ方法[22]推广至随机情形后所得的分裂步θ方法[23]，并将其扩展应用于该类方程的数值求解。该方法通过分步计算策略有效抑制数值模拟中出现的“粒子腐蚀”现象：其隐式步骤在数值上实现了对漂移项的预平均与平衡调节，从而抑制了超线性增长项的直接放大；后续更新则基于此经稳定的中间状态进行，确保各粒子在每一时间步所受等效漂移力可控，进而从源头阻断了因个别粒子发散、经分布耦合引发系统崩溃的链式反应。在假设漂移项对状态分量满足单边全局Lipschitz条件与超线性增长，而对分布及其他变量满足全局Lipschitz条件的框架下，本文系统分析了该方法的长时间性态。理论结果表明，在步长满足一定约束时，分裂步θ方法于参数范围 1 2 ≤ θ ≤ 1 内具有均方收缩性，于 1 2 < θ ≤ 1 内具有均方稳定性，而对 0 ≤ θ ≤ 1 2 的情形，则需要附加额外的线性增长条件以保证均方稳定性。

本文的结构安排如下：第二章节介绍必要的预备知识与假设条件；第三章节给出分裂步θ方法及其均方收缩性与均方稳定性的证明；随后通过若干数值实验验证理论结果；最后总结全文并展望后续研究工作。

在本文中，设 ( Ω , ℱ , { ℱ t } t ≥ 0 , P ) 为完备概率空间，其滤子 { ℱ t } t ≥ 0 满足一般条件，即 { ℱ t } t ≥ 0 单调递增、右连续，且 ℱ 0 包含所有 P 零测集。 W t 是关于 { ℱ t } t ≥ 0 的 m 维标准布朗运动。记 〈 ⋅ , ⋅ 〉 和 |   ⋅   | 分别为 ℝ d 上的欧式内积和欧式范数。若 A 为矩阵，则 A * 和 | A | 分别表示其转置与范数。令 ℬ ( ℝ d ) 为 ℝ d 上的Borel σ -代数，

为

上所有概率测度构成的集合。进一步，

表示所有具有有限二阶矩的

组成的集合：

对任意

，

上 μ 和 ν 的Wasserstein距离定义如下：

其中 C ( μ , ν ) 表示 μ 与 ν 所有概率测度耦合构成的集合，即 π ∈ C ( μ , ν ) 当且仅当 π ( ⋅ , ℝ d ) = μ ( ⋅ ) 且 π ( ℝ d , ⋅ ) = ν ( ⋅ ) 。

在本文中，考虑如下 d -维随机McKean-Vlasov微分方程

其中 μ t X 表示过程 X 在时刻 t 的分布，且初值 ξ 是 ℝ d 中满足 E | ξ | p < ∞ 的 ℱ 0 -可测随机变量。映射

和

可测，并满足如下假设。

假设2.1. (参考[15][24])对任意 x , y ∈ ℝ d 及

，假设：

(1) 漂移项 f 关于 x 满足单边Lipschitz条件，关于分布满足Lipschitz条件，即存在常数 L f < 0 ， L > 0 ，对所有 t ∈ [ 0 , T ] 有

此外 f 关于 x 满足如下增长条件：存在常数 L > 0 ， q > 0 ，使得对所有 t ∈ [ 0 , T ] ，

有

(2) 扩散项 g 关于 x 和分布均满足Lipschitz条件，即存在常数 L g > 0 ，使得对所有 t ∈ [ 0 , T ] 有

(3) 漂移项 f 与扩散项 g 关于时间 t 满足 1 2 -Hölder连续，即存在常数 L > 0 ，使得对所有 t , s ∈ [ 0 , T ] 有

其中 a ∨ b = max { a , b } 。

在假设2.1条件下，令 C f = sup t ∈ [ 0 , T ] | f ( t , 0 , δ 0 ) | 2 且 C g = sup t ∈ [ 0 , T ] | g ( t , 0 , δ 0 ) | 2 ，那么对所有 t ∈ [ 0 , T ] ，任意 x ∈ R d 和 μ ∈ ℱ 2 ( ℝ d ) 有

且

定义

则有

在假设2.1下关于方程(2.1)强解的存在唯一性已在文献[10]中建立。

现在对每个 i = 1 , 2 , ⋯ , N ，令 ( W i , X 0 i ) 为 ( W , X 0 ) 的独立样本，首先考虑与方程(2.1)关联的如下非交互粒子系统

由于该系统只是原始方程(2.1)的 N 个独立样本，故有 μ t X i = μ t X 。将 μ t X 替换为其对应的经验测度

其中 δ X t j , N 为点 X t j , N 处的狄拉克测度，则可以得到如下交互粒子系统

现在将时间区间 [ 0 , T ] 通过均匀步长 h = T M 划分为 M 步，并将文献[22]中提出的分裂步 θ 方法应用于方程(2.9)。我们得到如下数值格式

其中 X n i , N , M 是 X t n i , N 的近似， t n = n Δ t ， n = 1 , 2 , ⋯ , M ，且

初值 X 0 i , N , M = X 0 i , N ， Δ W n i = W t n + 1 i − W t n i 是独立的 N ( 0 , Δ t ) -分布高斯随机变量。参数 θ ∈ [ 0 , 1 ] 。当 θ = 0 时，数值格式(3.1)~(3.2)退化为经典Euler-Maruyama方法。对任意 θ ∈ ( 0 , 1 ] ，我们需要求解隐式方程。由压缩映射定理易知，若 θ h L f < 1 ，则隐式方程(3.1)存在唯一解。