本文所研究的图均为有限、无向、无重边的简单图。

设 Γ = ( V , E ) 是一个4度图，其中 V 表示顶点集， E 表示边集，顶点数 | V | 称为 Γ 的阶数。令 A u t ( Γ ) 为 Γ 的自同构群，并设 G 是 A u t ( Γ ) 的一个子群，记作 G ≤ A u t ( Γ ) 。若 G 分别在顶点集、边集上传递，则称图 Γ 是 G -点传递、 G -边传递的。每条边 { α , β } ∈ E 对应两个有序数对 ( α , β ) 和 ( β , α ) 称为 Γ 的弧，若 G 在弧集上传递，则称 Γ 是 G -弧传递的。

在图论研究中，对称图的结构与分类始终是核心研究方向之一。我们对奇数阶2倍素数度弧传递的研究早在1993年，徐明耀教授完成了一类重要图的分类，是度数为两个不同奇素数乘积的点本原图[1]，为后续对称图、点传递非凯莱图的分类奠定了重要基础。进入21世纪，李才恒教授在[2]中取得重要进展，证明了如果奇数阶对称图最多为3-弧传递图，这类图均可由几乎单群构成。随后，在2021年和2023年，李才恒教授等人在[3][4]中，进一步推进了奇数阶2-弧传递图的分类，特别是在交错群与对称群情形下给出完整刻画。这些研究不仅推动了对称图研究的深入发展，也为本原图的研究提供了新视角。近年来，冯涛教授等人完成了有限几乎单群的可解因子的完全分类[5]，即对任意几乎单群 G ，明确刻画了所有满足 G = H K 的可解子群 H (其中 K 为 G 的无核子群)。该工作不仅完善了几乎单群因子分解的内容，还被进一步应用于拟本原置换群的分类，并给出了具有可解传递子群的拟本原群的结构定理。同年，李靖建教授在[6]论文中，对度数为两个不同素数幂乘积的基本2-弧传递图给出了完全分类，推进了Praeger提出的经典问题。

关于无平方因子阶对称图的研究，其背景可追溯至对特殊度数对称图的早期探索。冯涛教授于2010年完成了5度正则图的完全分类，构造二面体群上的Cayley图，开启了对具体度数无平方因子阶图的研究[7]。随后，2015年李才恒教授研究了无平方因子阶边传递图[8]，并在此基础上确定了无平方因子阶局部本原图弧传递图的自同构群。紧接着在2016年又进一步，系统研究了无平方因子阶的弧传递图，成功实现了对5、6、7度局部本原弧–传递图的完全分类[9]。在2019年路在平教授等人成功将分类推广至11度弧传递图[10]，并给出了包括完全二分图、二面体群Cayley图以及与 J 1 和 P S L ( 2 , p ) 相关图例在内的完整列表。这些研究清晰地展示了从理论到具体度数分类，不断扩展的学术发展路径。

本文将研究了4度无平方因子阶，点传递、边传递图。通过构造陪集和本原置换群，证明此类图在非2-弧传递且本原、几乎单的条件下是唯一存在的。

定理1.1 设 Γ = ( V , E ) 是一个无平方因子阶的4度连通图，且 G ≤ A u t Γ 是一个几乎单群，在顶点集 V 上作用是本原的，边集 E 上是传递的。则下述结论之一成立：

(1) G = S 7 ， | V | = 35 ，此时 Γ 同构于Odd图 O 4 ；

(2) G = P S L ( 2 , p ) ，其中 p ≠ 7 且 p ≡ ± 1 ( mod 8 ) ，且 | V | = p ( p 2 − 1 ) 48 ；

(3) G = P S L ( 2 , p ) ，其中 p ≠ 5 且 p ≡ ± 3 ( mod 8 ) ，且 p ≠ 1 ( mod 10 ) ，且 | V | = p ( p 2 − 1 ) 24 ；

(4) G = P G L ( 2 , p ) ，其中 p ≡ ± 3 ( mod 8 ) ，且 | V | = p ( p 2 − 1 ) 24 ；

(5) G = P G L ( 2 , 7 ) ， | V | = 21 ，此时 Γ 是与例3.1中的图同构。

本节将介绍一些重要的定义，引理和定理，为后续的内容奠定基础。

首先，我们引入陪集图的概念。设 G 是一个抽象群，其子群 H ≤ G 称为无核的，即 H 中不包含 G 中任何非平凡的正规子群。对于子集 S ⊆ G ，可定义一个有向图陪集图 Γ = Cos ( G , H , H S H ) ，其顶点集为 V Γ = [ G : H ] = { H x | x ∈ G } ，边集为 E ( Γ ) = { { H x , H y } | y x − 1 ∈ H S H } 。由此容易推得，任意元素 g ∈ G 通过陪集作用诱导出图 Γ 的一个自同构，即： g : H x ↦ H x g ，对于任意 x ∈ G 在陪集作用下， G 在顶点集 V Γ 上的作用是忠实的，因此我们可以将 G 视为 A u t Γ ( Γ 的全自同构群)的一个子群，即 G ≤ A u t Γ 。于是， G 在 V Γ 上的作用是传递的，且 Γ 是 G -顶点传递的。如果 H S − 1 H = H S H 成立，则 Γ 的邻接关系是对称的，因此通过将两条弧(有向边) ( H x , H y )和( H y , H x )等同于一条无向边 { H x , H y } ， Γ 可被视为一个无向图。

其次是有关陪集图的两个重要引理：

引理2.1. [11]设 Γ = cos ( G , H , H S H ) 是一个无向陪集图，那么

(1) Γ 是连通的当且仅当 〈 H , S 〉 = G ；

(2) Γ 是 G -边传递的当且仅当存在某个 g ∈ G ，使得 H S H = H { g , g − 1 } H ；

(3) Γ 是 G -弧传递的当且仅当存在某个 g ∈ G 满足 g 2 ∈ H 且 H S H = H g H 。

当图具有边传递性时，该度数可以进一步写成如下形式：

引理2.2. [12]设 Γ = Cos ( G , H , H S H ) 是无向陪集图， Γ 是 G -边传递的存在某个 g ∈ G ，且 H S H = H g H ，则 Γ 的度数等于 | H : H ∩ H g | ；若 Γ 是 G -弧传递的，则度数仍为 | H : H ∩ H g | ；若 Γ 是 G -边传递但非弧传递，则度数为 2 | H : H ∩ H g | 。

紧接着，我们引入 s -弧传递的相关定义。设 Γ = ( V , E ) 是一个图， s 为正整数。 Γ 中的一条 s -弧是由 s + 1 个顶点组成的序列 α 0 , α 1 , ⋯ , α s ，使得 α i 与 α i + 1 相邻且 α i ≠ α i + 2 。设 G ≤ A u t Γ ，若 G 在 V 上传递作用，并且在 Γ 的 s -弧上传递，则称图 Γ 是 ( G , s ) -弧传递的。若进一步 G 在 ( s + 1 ) -弧上非传递，则称 Γ 是 ( G , s ) -传递的。

关于度数为4的 s -弧传递图，其点稳定化子已有完整分类。

引理2.3 [13]设 Γ = ( V , E ) 是一个连通的 ( G , s ) -传递图，度数为4，其中 s ≥ 2 。则对于 α ∈ V ，稳定子 G α 以及 s 的取值如下表1：

Table 1. Classification of vertex-stabilizers

表1. 点稳定子的分类

最后，我们给出点本原4度弧传递图分类结果来结束本节。

定理2.4 [14]设 Γ 是一个度数为 l = 4 的点本原弧传递图，能得到以下结论。其中， p 为素数， n 为 Γ 的顶点数， Γ 是 m 个互不同构的 s -传递图之一，其 s 、 m 、 n 以及 A u t ( Γ ) 如表2所示。

此外， Γ 是群 R 的Cayley图当且仅当 A u t ( Γ ) = Z p : Z 4 ， Z p 2 : D 8 ， P G L ( 2 , 5 ) ， P G L ( 2 , 7 ) ， P G L ( 2 , 11 ) 或 P S L ( 2 , 23 ) ，且相应的 R 分别为 Z p ， Z p 2 ， Z 5 ， Z 7 : Z 3 ， Z 11 : Z 5 ， Z 23 : Z 11 。

Table 2. Classification of 4-valent vertex-primitive arc-transitive graphs

表2.4度点本原弧传递图的分类

首先在证明定理之前，我们先构造一类无平方因子阶4度图。

例3.1的构造，设 G = P G L ( 2 , 7 ) ， N = P S L ( 2 , 7 ) 。在 G 中存在一个子群 H ≅ D 16 (16阶二面体群)，且 H 不包含于 N ，即 H ∩ N ≅ D 8 。令 K ≤ H ∩ N 满足 K ≅ Z 2 2 ，则 K 在 H 中的正规化子为 N H ( K ) ≅ D 8 ，而在 G 中的正规化子为 N G ( K ) ≅ S 4 。

特别地， N N ( K ) ≅ S 4 且 N H ( K ) ⊂ N N ( K ) 。选取一个对合 x ∈ N N ( K ) \ H (这样的 x 存在，因为 N N ( K ) ≅ S 4 而 N H ( K ) ≅ D 8 是 S 4 的一个子群)。构造陪集图 Γ = Cos ( G , H , H x H ) ，其顶点集为 G / H ，边集由 { H g , H x g } 给出(由于 x 是对合， H x H = H x 为单陪集)。易证 Γ 是连通的4度图，且 G 在 Γ 上弧传递。 Γ 的阶为 21 = 3 × 7 ，无平方因子。进一步，该图 Γ 是两个弧传递的2度图的边不交并，其中每个图由7个长度为3的圈顶点不交并构成。这就是我们需要构造的图。

接下来，我们来证明定理1.1。假设 Γ = ( V , E ) 是一个无平方因子阶4度连通图， G ≤ A u t Γ 且 Γ 是 G -弧传递的， G 是几乎单群且在 V 上本原作用。由表2可知，所有4度点本原弧传递图已经被完全列出，故我们可以逐一验证：

由于 G 是几乎单群，其基柱为非交换单群，故表2中第一行 A u t ( Γ ) = Z p : Z 4 和第二行 A u t ( Γ ) = Z p 2 : D 8 对应的自同构群为仿射型，矛盾。进一步要求阶为无平方因子，其中第七行 n = 45 = 3 2 × 5 、第八行 n = 153 = 3 2 × 17 、第十行 n = 26068 ，都有平方因子阶，排除。因此满足条件的只有对应的第3，4，5，6，9行可能满足条件。

根据文献[13]中定理4.7，对于无平方因子阶的4度边传递图，其自同构群的基柱 s o c ( G ) 只能同构于 A 7 ， J 1 ， P S L ( 3 , 3 ) ， P S L ( 2 , p ) ( p ≥ 5 素数)结合图的无平方因子阶，进一步分析：

假设 s o c ( G ) ≅ J 1 ，则此时 G = s o c ( G ) ≅ J 1 于表2的分类矛盾。 J 1 在表2中并未出现所以可以排除这个情况。若 s o c ( G ) ≅ P S L ( 3 , 3 ) ，则由引理2.4可知， G ≅ P S L ( 3 , 3 ) ⋅ Z 2 与表2中的分类矛盾。

当 s o c ( G ) ≅ A 7 ，此时 G ≅ S 7 ，令集合 Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } 的所有3元子集组成图 Γ 的点集，且 ( α , β ) ∈ E 当且仅当 α ∩ β = ∅ 。可验证 Γ ≅ O 4 ，因此 O 4 是一个阶为35，度数为4的图，并且满足定理中的条件，此时 Γ 是 ( G , 3 ) -传递的。符合定理1.1中的情形(1)。

下面讨论 s o c ( G ) ≅ P S L ( 2 , p ) 的情况。

若 Γ 是 ( G , 2 ) -弧传递的，则由表1可知 G α ≅ A 4 或 S 4 。结合 G 的本原性及表1的分类可知，定理1.1中的(2)~(4)部分成立。

若 Γ 不是 ( G , 2 ) -弧传递的，令 α ∈ V ，则由 P G L ( 2 , p ) 的子群分类结果可知 G α ≅ Z 2 2 ， Z 2 s 或 D 2 t 。其中 s = 1 ， t ≥ 3 再结合表2可知 G α ≅ D 16 。此时 G = P G L ( 2 , 7 ) ， s o c ( G ) = P S L ( 2 , 7 ) 相应的图由例3.1给出，于是定理证得。

由定理1.1的证明可直接得出如下推论：

推论3.2设 Γ = ( V , E ) 是一个无平方因子阶的4度连通图，且 G ≤ A u t Γ 是几乎单群，在顶点集上作用本原，在边集上传递。若 Γ 不是 ( G , 2 ) -弧传递的，则 Γ 唯一存在，且同构于例3.1中构造的陪集图。